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方法01 整体法与隔离法在物理学中的应用 微元法是高中物理中一种非常重要且深刻的思维方法和数学工具，其核心思想是“化变 为恒，化曲为直，先微分再积分”。它主要用于处理非均匀变化（变量累积）的物理过程。 一、微元法的本质 当一个物理量（如力、速度、质量）随位置或时间连续变化，导致过程不均匀时，我们 无法直接用初等数学的公式求解。此时，我们可以在极短的时间（Δt）或极小的空间（Δx） 内，将变化量近似看作不变，求出该“微元”内的贡献（如功ΔW、位移Δs、质量Δm），然 后将所有微元累加起来（求和或积分），得到总效果。 二、在高中物理中的典型应用 1.变力做功问题 当力F 随位移x 变化（如弹簧弹力F=kx、随距离变化的引力/库仑力）时，做功不能用W=Fs 直接计算。 步骤：取一段极小的位移Δx，在此Δx 内，力F(x)可视为恒力。微元功 ΔW=F(x)·Δx。 总功：W≈ΣΔW，其几何意义是F-x 图像下的面积。例如，弹簧弹力做功W=(1/2)kx²， 正是三角形面积。 2.非匀变速运动的位移与时间 已知瞬时速度v 随时间t 变化的关系v(t)，求总位移。 步骤：取极短时间Δt，认为v 不变，微位移Δs=v(t)·Δt。 总位移：s=ΣΔs，即v-t 图像下的面积。这正是高中用图像法求位移的原理，也是积分 思想的雏形。 3.连续体问题（流体、电荷、链条） 研究对象是连续分布的质量或电荷。 示例：一段均匀带电细棒产生的电场。棒不能视为点电荷。 步骤：将细棒分成无数小段Δl，每一段带电量Δq，可视为点电荷，计算其在场点的微 元场强ΔE，再通过矢量叠加（积分）求总场强E。 4.电磁感应中的电荷量计算 由q=I·t，但电流I 随时间变化。 步骤：根据I=Δq/Δt，有Δq =I·Δt。结合电磁感应定律E =ΔΦ/Δt 和欧姆定律 I=E/R，可得I·Δt=ΔΦ/R，即Δq=ΔΦ/R。 累加：q=ΣΔq=(ΔΦ)/R。这是一个极其重要的结论：通过闭合回路的电荷量只与磁通量 总变化量和电阻有关，与时间无关。这是微元法推导出的经典结论。 三、思想升华与意义 微元法是连接初等数学与高等微积分的桥梁。在高中阶段，我们通常用“无限分割、求 和取极限”的语言来描述，并用几何面积来形象化结果。它训练学生以下关键能力： 建模能力：将复杂连续过程分解为简单单元。 近似与极限思维：理解“在无穷小范围内，变量可视为常量”。 综合应用：结合物理定律（如牛顿定律、能量守恒）与数学工具解决问题。 总结：微元法是解决高中物理中“变力”、“变速”、“连续体”等高级问题的核心钥 匙。掌握它，不仅能为高考压轴题提供解题思路，更能为大学深入学习物理学和工程学奠定 坚实的思维基础。它体现的“化整为零，再积零为整”的思想，是科学分析的通用范式。 一、单选题 1．一质量为 且质量均匀分布的细圆环放置在光滑水平面上，其半径为，过圆心的几何轴与水平面垂 直，若圆环能经受的最大张力为 ，估算此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度约为（当 角很小时， ）（ ） A． B． C． D． 2．研究物体的碰撞时，碰撞过程中受到的作用力F 往往不是恒力，求F 的冲量时，可以把碰撞过程细分 为很多短暂的过程，如图所示，每个短暂的 时间内物体所受的力没有很大的变化，可认为是恒力，则每 个短暂过程中力的冲量分别为 、 ……，将关系式相加，就得到整个过程作用力F 的冲量在数值上 等于 曲线与横轴所围图形的面积。这种处理方式体现的物理方法是（ ） A．控制变量法 B．微元法 C．转换法 D．类比法 3．如图所示，在弯曲的光滑管道内，有一根质量分布均匀长为L 的绳子。初始时，用手拉着绳的A 端使 之静止在管道内，绳A、B 两端竖直高度差为h。已知重力加速度为g，则放手瞬间绳的加速度为（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，两个固定的半径均为r 的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2=2r，两 环分别带有均匀分布的等量异种电荷+Q、-Q（Q>0）。一带正电的粒子（重力不计）从O1处由静止释放， 静电力常量为k，下列说法正确的是（ ） A．粒子在O2处动能最大 B．粒子在O1O2中点处动能最大 C．O1O2中点处的电场强度为 D．O1O2中点处的电场强度为 5．法国科学家库仑精心设计了一种测量仪器叫库仑扭秤，他用此装置找到了电荷间相互作用的规律，总 结出了库仑定律。库仑扭秤能研究微小的库仑力，它在设计时应用的最主要物理学思想方法为（ ） A．等效替代法 B．微小量放大法 C．微元法 D．理想模型法 6．一个质点运动的速度时间图像如图甲所示，任意很短时间内质点的运动可以近似视为匀速运动，该时 间内质点的位移即为条形阴影区域的面积，经过累积，图线与坐标轴围成的面积即为质点在相应时间内的 位移。利用这种微元累积法我们可以研究许多物理问题，图乙是某物理量随时间变化的图象，此图线与坐 标轴所围成的面积，下列说法中不正确的是（ ） A．如果y 轴表示变化磁场在金属线圈产生的电动势，则面积等于该磁场在相应时间内磁感应强度的变 化量 B．如果y 轴表示力做功的功率，则面积等于该力在相应时间内所做的功 C．如果y 轴表示流过用电器的电流，则面积等于在相应时间内流过该用电器的电量 D．如果y 轴表示加速度，则面积等于质点在相应时间内的速度变化 7．图甲、乙、丙是中学物理课本必修1 中推导匀变速直线运动的位移公式所用的速度图象，下列关于位移 公式的推导和这三幅图的说法正确的是（ ） A．这里推导位移公式主要采用了对比的方法 B．甲图中利用矩形面积的和来表示位移大小比实际位移大小偏小 C．乙图中利用矩形面积的和表示位移大小比丙图利用梯形面积表示位移大小更接近真实值 D．这种用面积表示位移的方法只适用于匀变速直线运动 8．微元累积法是常用的物理研究方法，如图所示为某物理量随时间变化的函数图象，关于此图线与两坐 标轴围成面积的物理意义，下列说法正确的是 A．如果y 表示加速度，则面积等于质点t0在时刻的速度 B．如果y 表示流过用电器的电流，则面积等于在相应时间内该用电器消耗的电能 C．如果y 表示力做功的功率，则面积等于该力在相应时间内所做的功 D．如果y 表示变化磁场在金属线圈中产生的电动势，则面积等于该磁场在相应时间内磁感应强度的变 化量 9．关于物理学研究方法，下列说法错误的是（ ） A．甲图中，在推导匀变速直线运动的位移公式时，采用了微元法 B．乙图中，伽利略在研究力和运动的关系时，采用了理想实验法 C．丙图中，用光电门测小球的瞬时速度体现了极限的思想 D．丁图中，研究红蜡块的运动时，主要运用了放大的思想 10．下列对教材中的四副插图所包含物理思想方法的说法正确的是（ ） A．图甲：类比法 B．图乙：控制变量法 C．图丙：等效替代法 D．图丁：理想实验方法 11．微元思想是物理中一种重要的思想方法，它能巧妙的“化变为恒”，从而便于求解物理量。例如图若 为 图像，因纵轴力 变化，往往将横轴的时间微分，即取无穷多很短的时间 ，在很短的时间内力 变化很小， 可视为恒力，图像中小长方形的面积代表 时间内的冲量，然后通过求和即可知道函数图像 和横轴包围的面积得到 的总冲量，以下四个选项说法错误的是（ ） A．若是 （体积-压强）图，则图中函数图像和横轴 围成的面积代表理想气体气体对外做的功 B．若是 （加速度-时间）图，则函数图像和横轴围成的面积代表对应时间内物体的速度变化量 C．若是 （力-位移）图，则函数图像和横轴 围成的面积代表对应位移内力 所做的功 D．若是 （电流-时间）图，则函数图像和横轴围成的面积代表对应时间内的电荷量 二、多选题 12．如图是教材上用速度（v）-时间（t）图像推导匀变速直线运动的位移公式。下列叙述正确的是 （ ） 倾斜直线表示物 把t 分成五段，每段 若 取得更小，矩 若 ，矩形上端 体做匀变速直线 运动的 图像 时间内视为做匀速 直线运动，其位移的 数值等于这个小矩形 的“面积” 形上端的台阶更 密，更接近斜直线 的台阶形成的折线就 变成了 图的斜直 线。图中无限个小矩 形的“面积”之和即 梯形的“面积”就等 于t 时间内的位移的 数值 A．这个分析过程体现了微元思想 B．图（b）中从左到右的五个矩形面积之比为1：3：5：7：9 C．如果v-t 图像是曲线，则所围“面积”的数值也等于该段时间的位移大小 D．若是加速度（a）-时间（t）图像，则所围“面积”的数值等于末速度的大小 13．下列四幅图涉及不同的物理知识，其中说法正确的是（ ） A．图（a）所示的射线“3”是三种射线中电离能力最强的 B．图（b）英国物理学家G·P 汤姆孙在实验中让电子束通过多晶薄膜得到的电子衍射图样，从而证实 了粒子具有波动性 C．图（c）所示为α 粒子散射实验，实验发现少数α 粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进 D．图（d）位移推导过程应用了控制变量法 14．在物理学的发展过程中，科学家们运用了许多研究方法。以下关于物理研究方法的叙述正确的是（ ） A．“探究向心力大小的表达式”实验中用到了等效替代法 B．卡文迪什利用扭秤实验测量引力常量运用了放大的思想 C．在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法 D．研究小船渡河问题时，主要运用了极限的思想方法 15．了解物理规律的发现过程，学会像科学家那样观察和思考，往往比掌握知识本身更重要。下列陈述与 事实相符的是（ ） A．求匀变速直线运动位移时，将其看成很多小段匀速直线运动的累加，采用了微元法 B．根据速度的定义 ，当 非常非常小时， 就可以表示物体在此时的瞬时速度，该定义应用 了极限思想方法 C．加速度的定义 应用了控制变量法 D．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫理想模型法 16．关于研究物理的思想方法，说法正确的是（ ） A．将物体视为质点，运用了极限思想 B．力的分解与合成，运用了等效替代法 C．在极短的位移中，物体的平均速度可以看成它在此位置的瞬时速度，运用了理想模型法 D．在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看作匀速直 线运动，然后把各小段的位移相加，运用了微元积分思想 三、解答题 17．圆周运动是曲线运动的一种特例。由于其属于变加速曲线运动，在研究过程中我们经常用到的方法就 是微元法。 (1)质点沿半径为、圆心为 的圆周以恒定大小的速度运动，某时刻质点位于位置 ，经极短时间 后 运动到位置 ，如图1 所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置 时的加速度的大小 。 (2)物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部 分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图2 所示，曲线上 点的曲率圆定义为通过 点 和曲线上紧邻 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作 点的曲率圆，其半径叫作 点的 曲率半径，在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。将一物体 沿与水平面成 角的方向以速度 抛出，如图3 所示。已知重力加速度为 ，求其轨迹最高点 处的曲率 半径。 (3)《自然哲学的数学原理》中记载牛顿是这样研究匀速圆周运动的：如图4 所示，质量为 的小球沿正多 边形的各边做速度大小恒为的运动，若正多边形的边数趋近于无穷大，则上述运动可看作匀速圆周运动， 若其半径为 ，试用动量定理推导向心力表达式（当 足够小时，有 ）。 18．演绎式探究——曲线运动中的追及和相遇问题： 微元法在研究问题中是一种非常有用的方法，它是一种从局部到整体的思维方法，研究问题的过程中，某 些物理量的各个局部值并不相同，此时不好直接建立有关物理量之间的关系，但我们如果将这一过程分割 为无数个微元部分，由于所取的微元很小，其内部各部分间的差异也很小，这样就可忽略其内部各部分间 的差别，认为描述它的物理量是定值。比如研究曲线运动的轨迹，我们将轨迹分割为无穷多段，物体在每 一小段的运动可以视为直线运动。现有A、B、C 三只蜜蜂同时从边长为3m 的正三角形的三个顶点出发， 速度大小相同均为 ，运动过程中始终保持着A 朝向B，B 朝向C，C 朝向A，试问经过多少时间三只 蜜蜂相遇？每只蜜蜂飞过的路程为多少m？ 19．某校空地上有一个小土坡，该校学生想利用该土坡修建一个如图甲所示的滑草场。小吴同学设计了由 倾斜直滑道和水平直滑道的滑草场方案，如图乙所示，乘客乘坐滑草车从坡顶由静止开始倾斜直滑道滑下， 并平滑进入水平直滑道减速至停下。已知整个滑道上铺设的草皮与滑草车底面的动摩擦因数为μ，坡顶的 高度为h，设乘客始终保持规范姿态且不调整设备，忽略空气阻力影响。求： （1）为了确保乘客的安全，乘客不得滑出水平滑道，则整个滑草场的宽度AB 的距离至少为多少？ （2）小李同学认为小吴同学的方案存在一个问题：实际上乘客滑到倾斜直滑道底端时并不能平滑地进入 水平直滑道，导致乘客的体验感变差，甚至可能会有安全隐患。于是小李同学对小吴同学的方案进行了修 改，仅将倾斜直轨道换成曲线轨道，如图丙所示。请你通过计算说明为了确保乘客的安全，整个滑草场的 最小宽度需要改变吗？如果需要，是变大还是变小？ 20．在处理较复杂的变化量问题时，常常先把整个区间化为若干极小的区间，认为每一小区间内研究的量 不变，再求和。这是物理学中常用的一种方法，即微元法，这种方法具有一般意义。例如，如图所示，利 用 图像研究匀变速直线运动位移就是这种方法。 小亮同学在一次观看跳水比赛时结合物理所学思考了一些问题。如图所示，他将运动员理想化为一个长度 的细长圆柱体，以 的初速度从 跳台竖直向上起跳，向前的速度忽略不计，竖直起跳后 没有做任何动作、始终保持竖直状态。取重力加速度大小为 ；请你帮小亮同学进行下列计算： (1)运动员从起跳到脚接触水面所经历的时间； (2)运动员从脚接触水面到身体全部入水过程视为加速度在变化的减速直线运动，如果其速度与脚入水深 度 的关系为 ，（其中 为脚入水时的速度），求： a.运动员身体全部入水时的速度大小； b.运动员从脚接触水面到身体全部入水过程的时间。
