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热点 04 对称法
由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普
遍存在于各种物理现象和物理规律中．应用这种对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世
界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题。应用对称性去求解某
些具体的物理问题的思维方法在物理学中称为物理解题中的对称法。
例题1. （多选）如图所示，立方体 的四个顶点 、 、 、 处各固定
着一个电荷量均为 的正点电荷， 为 连线的中点， 为 连线的中点。下列说法
正确的是（ ）
A． 、 两点处的电势相同 B． 、 两点处的电势相同
C． 、 两点处的电场强度相同 D． 、 两点处的电场强度相同
【答案】AB
【解析】AC．设正方体中心为O，根据几何关系可知三角形ACH和ACF为全等的等边三
角形。设A、C、H在D点产生的电场强度为E，电势为φ；A、C、F在B点处产生的电
1 1
场强度为E，电势为φ。根据对称性可知φ 等于φ，E 沿OD方向，E 沿OB方向。而F
2 2 1 2 1 2
在D点产生的电场强度方向沿OD方向，H在B点产生的电场强度沿OB方向，根据对称
性以及电场的叠加可知B、D两点电场强度大小相同、方向不同。而F在D点产生的电势
与H在B点产生的电势相等，则根据电势的叠加可知B、D两点电势相等，故A正确，C
错误；
BD．根据对称性可知A、C两点在M产生的合场强为零，F、H两点在M产生的合场强沿
OM方向；H、C两点在N产生的合场强为零，A、F在N产生的合场强沿ON方向，根据
对称性以及电场的叠加可知M、N两点电场强度大小相同、方向不同。而A、C在M产生
的电势与H、C在N产生的电势相等，H、F在M产生的电势又与A、F在N产生的电势相
等，根据电势的叠加可知M、N两点电势相等，故B正确，D错误。
故选AB。
例题2. （多选）如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的书写式激光笔，组成一竖直
悬挂的弹簧振子，在竖直平面内装有记录纸。当弹簧振子沿竖直方向上下自由振动时，以
速率v水平向左匀速拉动记录纸，激光笔在记录纸上留下如图所示的书写印迹，图中相邻竖直虚线的间距均为x（未标出），印迹上P、Q两点的纵坐标为y 和-y，忽略空气阻力，
0 0 0
重力加速度为g，则（ ）
A．该弹簧振子的振幅为y
0
B．该弹簧振子的振动周期为
C．激光笔在留下P、Q两点时加速度相同
D．激光笔在留下PQ段印迹的过程中，弹簧弹力对激光笔做功为-2mg y
0
【答案】AD
【解析】A．由图可知，弹簧振子的振幅为y， 故 A正确；
0
B．记录纸匀速运动，振子振动的周期等于记录纸运动位移2x 所用的时间，则周期为
0
故 B错误；
C．加速度是矢量，激光笔在留下P、Q两点时加速度大小相等，方向相反，故C错误；
D．在激光笔留下PQ段印迹的过程中，根据动能定理可知合外力做功为零，但重力做正功
为2mgy，故弹力对物块做负功为－2mgy，故D正确。
0 0
故选AD。
一、对称法在静力学中的应用
在静力学中，若结构具有对称性，则受力就具有对称性，我们可以利用对称法进行思维，
简化运算。
二、对称法在抛体运动中的应用
物体做斜抛运动时，其向斜上运动阶段和向斜下运动阶段具有对称性。物体做平抛运动时，
若碰撞到竖直的障碍物后反弹（没有机械能损失），则小球与竖直的障碍物碰撞前后的速
度v'和v关于墙壁对称，碰撞后的轨迹与无竖直的障碍物时小球做平抛运动的轨迹关于竖
直的障碍物对称。
三、对称法在简谐运动中的应用
物体做简谐运动时，其物体在平衡位置两侧的位移、加速度、回复力、动能、势能和速度的大小关于平衡位置具有对称性。
四、对称法在电场中的应用
带电薄板和点电荷的电场都具有对称性。等量异号（或同号电荷）的电场具有对称性。
带电量相等的异号带电粒子在同一电场中运动轨迹具有对称性。
五、对称法在磁场中的应用
当带电粒子以一定的角度进入边界为直线的匀强磁场中，其轨迹具有对称性。若粒子仍从
该边界射出，则射出磁场时的速度方向与磁场边界的夹角和射入磁场时的速度方向与磁场
边界的夹角相等。
六、对称法在光学中的应用
光的反射线与入射线关于法线对称，平面镜所成的像与物关于镜面对称，入射到玻璃球体
的光线再从玻璃球体出射时出射角与入射角相等，出射光线与入射光线对称。
七、对称法在机械波中的应用
波从波源向四面八方传播，关于波源具有对称性。波动传播具有双向性。机械波的干涉出
现的振动加强点、减弱点关于波源也具有对称性。利用对称法对其进行分析，可事半功倍，
避免错误。
[来源:学_科_网Z_X
八、对称法在电路中的应用
当电路具有对称性时，可利用对称法对电路进行分析，对于电流为零的电阻，可以去掉；
对于有些处于对称轴上的结点，可以分成两个，从而化简电路，便于分析计算。
典例7。三个相同的金属圈两两正交地连成如图所示的形状，若每一个金属圈的原长电阻
为R，试求下图中A、B两点之间的等效电阻。
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式通车。为保持以往船行习惯，在航道处建造了
单面索（所有钢索均处在同一竖直面内）斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确
的是（ ）
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
【答案】C
【解析】A．以桥身为研究对象，钢索对桥身的拉力的合力与桥身的重力等大反向，则钢
索对索塔的向下的压力数值上等于桥身的重力，增加钢索的数量钢索对索塔的向下的压力
数值不变，故A错误；
B．由图甲可知 ，当索塔高度降低后， 变大， 变小，故T变大，故B
错误；
C．由B的分析可知，当钢索对称分布时， ，钢索对索塔的合力竖直向下，
故C正确；
D．受力分析如图乙，只要 ，钢索AC、AB的拉力FAC、FAB进行合成，合力
竖直向下，钢索不一定要对称分布，故D错误；
故选C。
2．小球每隔0.2s从同一高度抛出，做初速为6m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰。
第2个小球在抛出点以上能遇到的小球个数为（g取10 ）（ ）
A．三个 B．四个 C．五个 D．六个
【答案】D
【解析】根据竖直上抛运动规律可得小球在空中的时间为
第2个小球在抛出点以上能遇到的小球个数为6个，D正确。
故选D。3．如图所示，一倾角为30的粗糙绝缘斜面固定在水平面上，在斜面的底端A和顶端B分
别固定等量的同种负电荷。质量为m、带电荷量为−q的物块从斜面上的P点由静止释放，
物块向下运动的过程中经过斜面中点O时速度达到最大值v ，运动的最低点为Q（图中没
m
有标出），则下列说法正确的是（ ）
A．P、Q两点场强相同
B．UPO = UOQ
C．P到Q的过程中，物体先做加速度减小的加速，再做加速度增加的减速运动
D．物块和斜面间的动摩擦因数
【答案】C
【解析】ABD．物块在斜面上运动到O点时的速度最大，加速度为零，又电场强度为零，
所以有
所以物块和斜面间的动摩擦因数为
由于运动过程中
所以物块从P点运动到Q点的过程中受到的合外力为电场力，因此最低点Q与释放点P关
于O点对称，根据等量的异种点电荷周围电势的对称性可知，P、Q两点的电势相等，则
有UOP = UOQ，根据等量的异种点电荷产生的电场特征可知，P、Q两点的场强大小相等，
方向相反，故ABD错误；
C．根据点电荷的电场特点和电场的叠加原理可知，沿斜面从B到A电场强度先减小后增大，
中点O的电场强度为零。设物块下滑过程中的加速度为a，根据牛顿第二定律有
物块下滑的过程中电场力qE先方向沿斜面向下逐渐减少后沿斜面向上逐渐增加，所以物块
的加速度大小先减小后增大，所以P到O电荷先做加速度减小的加速运动，O到Q电荷做
加速度增加的减速运动，故C正确。
故选C。
4．如图所示是一种测量电阻的实验装置电路图，其中R、R 是未知的定值定值，R 是保
1 2 3
护电阻，R是电阻箱，Rx是待测电阻， 是一只零刻度在中央、指针可以左右偏转的双向电压表.闭合开关S 、S ，调节R，使电压表 的指针指在零刻度处，这时R的读数为
1 2
90Ω；将R、R 互换后，再次闭合S 、S ，调节R，使电压表V的指针指在零刻度处，这时
1 2 1 2
R的读数为160Ω，那么被测电阻Rx的数值及R 与R 的比值分别为 （ ）
1 2
A．120Ω 3:4
B．125Ω 4:3
C．160Ω 16:9
D．250Ω 9:16
【答案】A
【解析】ABCD.此题中的电路图是电桥电路图，其中R、Rx、R、R 称为电桥的四个臂，调
1 2
节电阻箱R适当时，使电压表的读数为零，此时称电桥平衡；这时要满足的条件为 ，
由该条件即可求出Rx及R、R 的比值；
1 2
当R=90Ω时，即
R、R 互换后，R=160Ω，即
1 2
所以 得Rx=120Ω.进一步求出 。
故A正确，BCD错误。
故选A。
二、多选题
5．如图是某鱼漂的示意图，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好在点
O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，
点N到达水面，鱼漂的运动可看成简谐运动。下列说法正确的是（ ）A．点O到达水面时，鱼漂的速度最大
B．点M到达水面时，鱼漂具有向下的加速度
C．松手后，当鱼漂由下往上运动时，速度先变大后变小
D．一个周期内，鱼漂的点O只有一次到达水面
【答案】AC
【解析】A．当鱼漂静止时，水面恰好在点O，则O点与水面重合时的位置为简谐运动的
平衡位置，此时浮力与重力大小相等，则点O到达水面时，鱼漂的速度最大，A正确；
B．点M到达水面时，浮力大于重力，鱼漂的加速度方向向上，B错误；
C．松手后，当鱼漂由下往上运动时，先靠近平衡位置，后远离平衡位置，速度先变大后变
小，C正确；
D．根据简谐运动的周期性，一个周期内，鱼漂的点O有两次到达水面，D错误。
故选AC。
6．如图所示，一可视为质点的小球以初速度v 从O点被水平抛出，经与两墙壁四次弹性
0
碰撞后刚好落在竖直墙壁的最低点D，此时速度与水平方向的夹角为θ，其中A、C两点为
小球与右侧墙壁碰撞的等高点，B点为小球与左侧墙壁碰撞的点，已知两墙壁间的距离为
d，与墙壁碰撞无能量损失，且速度满足光的反射规律，重力加速度为g，则下列说法正确
的是
A．OA∶AB∶BC∶CD＝1∶3∶5∶7B．相邻两次碰撞之间(指某次碰撞后到下一次碰撞前)速度的变化量均相等
C．小球刚到D点的速度大小是刚到B点的速度大小的2倍
D．tan θ＝
【答案】ABD
【解析】A.小球在水平方向上速度的大小相等，根据等时性知，相邻两次碰撞间的时间相
等，在竖直方向上做自由落体运动，根据初速度为零的匀变速直线运动的推论，知
OA∶AB∶BC∶CD＝1∶3∶5∶7.故A正确．
B.因为在相邻两次碰撞间的时间相等，水平方向上的速度大小不变，竖直方向上做自由落
体运动，则相邻两次碰撞过程中的速度变化量相等．故B正确．
D.小球从O点运动到D点的时间t＝ ，则 .故D正确；
C.D点的竖直分速度是B点竖直分速度的2倍，C错误．
三、解答题
7．如图所示，C是半圆柱形玻璃体的圆心，CD是半圆柱形玻璃体的对称面和纸面的交线，
A、B是与CD轴等距且平行的两束不同单色细光束，有一个垂直CD放置的光屏（D点是
垂足），沿CD方向不断左右移动光屏，可在屏上得到一个光斑P（图中未画出），已知半
圆柱形玻璃体的半径是R， ，B光的折射率 ，求：
(1)光斑P到D点的距离；
(2)A光的折射率n （可用根式表示）。
A
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)光路图如图所示， ，由几何关系可知，两光的入射角 为：
，解得
三角形CMN是正三角形得边长为：
以B光为对象，根据折射定律得： ，解得 ，
三角形FPN也是正三角形，其边长
光斑P到D点的距离
(2)由几何关系知 ，
由正弦定理： ，
解得 ，所以A光的折射率 。
8.如图所示，纸面内建有平面直角坐标系xOy，坐标系的第一、二象限内存在方向垂直坐
标平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、带电量为+q的粒子a在纸面内
以大小为v、方向与x轴负方向成α=30°角的速度从原点O垂直射入磁场。质量为m、带电
0
量为-q的粒子b在纸面内以大小为3v、方向与x轴正方向成β=60°角的速度从原点O垂直
0
射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。
（1）求粒子a射出磁场的位置到O点的距离及该粒子在磁场中运动的时间；
（2）求粒子a在磁场中运动时与x轴之间的最大距离；
（3）若粒子a和b能在磁场中相遇，求两个粒子进入磁场的时间间隔及相遇位置的坐标。【答案】（1） ；（2） ；（3） ，（0， ）
【解析】（1）粒子a在纸面内从原点O垂直射入磁场，进入磁场做匀速圆周运动，由洛伦
磁力提供向心力，有
根据对称性，从A点离开磁场时，速度与x轴负方向也成30°角，则根据几何关系，OA之
间的距离
（2）由图知，过 作 轴垂线，与圆周交于B点，B到 轴的距离就是粒子a运动过程中
与x轴之间的最大距离
（3）粒子b在纸面内从原点O垂直射入磁场，由洛伦磁力提供向心力，有
粒子运动的圆心是 ，两个粒子运动的轨迹相交于C点，a粒子运动的圆弧对应的圆心角
为 ，b粒子运动的圆弧对应的圆心角为 ，由几何知识知
，ab粒子在磁场中运动时间分别为
粒子在磁场运动的周期为
如果使两粒子相遇，先后进入磁场的时间差为
由几何知识知，两粒子相遇时，恰好交于 轴
则相交点的坐标为（0， ）。
