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热点 05 等效替代法
等效替代法是科学研究中常用的一种思维方法，对一些复杂问题采用等效方
法，将其变成理想的、简单的、已知规律的过程来处理，常可使问题的解决得以简
化，能替代的前提是等效，等效是指不同的物理现象、模型、过程等在物理意义、
作用效果或物理规律方面是相同的，它们之间可以相互替代，而保证结论不变。等
效的方法是指面对一个较为复杂的问题，提出一个简单的方案或设想，而使它们的
效果完全相同，从而将问题化难为易、化繁为简求得解决。这种科学思维方法不仅
在定义物理概念时经常用到，如等效电路、等效电阻、分力与合力等效、合运动与
分运动等效等，而且在分析和设计实验时也经常用到。再如交流电的有效值，即是
用交流电与直流电在热效应里产生的“等效作用”来确定的。物理实验中经常会用
到“等效替代法”。
例题1. 如图，等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，
线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点M、N与直流电源两端相接，已如导体棒MN
受到的安培力大小为F，则线框LMN受到的安培力的大小为（ ）
A．2F B．1.5F C．0.5F D．0
【答案】B
【解析】物理模型一：三角形边长为L,磁感应强度为B, 流入ML、LN的电流I,将ML、
LN 边受到的安培力进行合成， F =2IBLcos600 =IBL ,MN 边受到的安培力
合
F=2IBL，三角形线框受到的合力1.5F
物理模型二：经过推导，通电折线MLN的受力等效于长为MN直线段受力，这样电流流
入两个两个MN的导体棒，由于电阻不同，电流不同，同样得出三角形线框受到的合力
1.5F。
【点评与总结】上两边ML、LN受到安培力作用的等效长度就是MN 边长，这个结论可以
推广为弯曲通电导线受到安培力作用的等效长度为弯曲通电导线端点之间的距离
例题2. 如图，将导轨装置的一端稍微抬高，在导轨上端与电阻R相连处接上开关和一个传感器（相当于一只理想的电流表），能将各时刻的电流数据实时传输到计算机，经计算
机处理后在屏幕上同步显示出I−t图象。先断开K，使导体棒恰好能沿轨道匀速下滑．闭
合K，匀强磁场方向垂直于轨道平面向下，让杆在悬挂物M的牵引下，从图示位置由静止
开始释放，此时计算机屏幕上显示出如图（乙）所示的I−t图象（设杆在整个运动过程中
与轨道垂直，且细线始终沿与轨道平行的方向拉杆，导轨的电阻、导体棒电阻不计，细线
与滑轮间的摩擦及滑轮的质量均忽略不计，（已知R=1Ω，杆长L=1m，g=10m/s2
，
M=m=0.1kg
）．试求：杆速度稳定时下滑的位移？
【解析】方法一：本题需要应用图像的物理意义，通过读图得出流过导体棒的电量的近似
值。在此基础上，求出棒从开始运动至匀速运动的位移也是近似值。
当悬挂物与棒刚好作匀速下滑时，由图知：t=0.82,I=1.0A
Mg 0.1×10
B= = =1T
IBL=Mg IL 1.0×1
如果棒从静止到匀速过程中流过棒截面的电量为q，发生的位移为S，由图像中图线所围
的面积表示该段时间内的电量，通过读图数格子可以求出q=0.042 ×370=0.59C
BLS qR 0.59×1
又知 q= S= = =0.59m
R BL 1×1
方法二：本题如果应用微元累积法求解，就可以求出真实解，微元累积法解法如下：
在棒与悬挂物变加速运动的过程中，分别隔离悬挂物与棒，利用牛顿第二定律得：
Mg−T=Ma
①
B2L2v
T− =ma②
R
Mg BLv
a= −
①②解得
M+m R(M+m)
代入数据得a=5−5v
当棒与悬挂物匀速运动时
a=0,v =1
m棒从静止作变加速到匀速运动时,发生的位移为S
应用微元累积法：
Δt→0，则Δv=aΔtΣΔv=ΣaΔt
v
m
=5ΣΔt−5ΣvΔt 1=5×0.82−5S
S=0.62m
【点评与总结】本题用第一种方法解题简单明了，用微元法解题要求高难度大。用第一种
方法解题是不二选择。
等效替代法是高中物理问题教学中常见的解题方法。能够替代的前提是它们对所要
解决的问题是等效的，一般用比较简洁的模型或方法代替比较复杂的模型或方法，便于
学生对物理知识的理解与掌握。等效替代法可以分为物理模型等效替代法、解题方法等
效替代法。
1.物理模型等效替代法
物理模型是对物理问题的简化与抽象，物理模型包括对象模型、过程模型、状态模
型。由于学生的知识结构的限制，在构建物理模型时，由于理解的问题角度不同，构建
的物理模型有简单有复杂，几种物理模型对所要解决的问题来说是等效的，我们一般选
择简单的模型。
2解题方法替代法
如果问题有多种解法，一般用简单的解题方法替代复杂的解题方法，用学生容易理
解与接受的解题方法替代不容易理解与接受的解题方法。
（建议用时：45分钟）
一、单选题
1．如图所示， 右侧空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，面积为S的金属“ ”形线框
与电压表接触良好，线框绕 以角速度 匀速转动，则电压表示数为（ ）
A． B． C． D．0【答案】A
【解析】若该线框 左右两侧空间均有垂直纸面向里的匀强磁场B，且有一个阻值为
电阻组成闭合回路，回路中感应电动势的峰值
电动势的有效值为
在如图所示的磁场中，线框绕 以角速度 匀速转动时，只有半个周期产生感应电动势，
设电压表的示数为 ，即此时感应电动势的有效值 ，仍假设有一个阻值为 电阻与线
框组成闭合回路。设周期为
得
电压表示数为
故选A。
2．如图甲所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，在侧壁同一竖直线上有A、B两小孔相距
h，将一小球从上部A孔沿筒内壁水平射入筒中，小球紧贴筒内壁运动，并恰好能到达下部
小孔B，所用时间为t，到达下部小孔B时的速度大小为v .如图乙所示，用光滑细钢丝绕
1 B
成的螺距相同的柱形螺线管，横截面半径也为R，竖直固定，钢丝上下两端C、D恰好在
同一竖直线上，相距h，一小铜环穿在钢丝上从上端C无初速下滑到达底端D，所用时间
为t，到达D端时的速度大小为v ，二者相比较，下列结论正确的是( )
2 D
A．t＝t B．tv
B D B D
【答案】BD
【解析】：. 图甲中小球在筒内受重力和水平指向圆筒竖直中心轴的筒壁的弹力，贴着筒壁
做螺线运动，可视为水平面内的匀速圆周运动与竖直方向上的自由落体运动的合运动，由竖直方向上的自由落体运动，可求得小球由A运动到B的时间为t ＝.图乙中小钢环沿钢丝
1
运动，受重力和方向斜向前上方的弹力，可等效为小环沿光滑斜面下滑，如图所示，则小
环由C运动到D的时间为t＝，其中a＝gsin α，s＝4×>h，故tv ，选项C错误，D正确．
B D
3．如图所示，一段导线abcd弯成半径为R、圆心角为90°的部分扇形形状，置于磁感应强
度大小为B的匀强磁场中，且与磁场方向（垂直于纸面向里）垂直。线段ab和cd的长度
均为 。流经导线的电流为I，方向如图中箭头所示。则导线abcd所受到的安培力为（
）
A．方向沿纸面向上，大小为
B．方向沿纸面向上，大小为
C．方向沿纸面向下，大小为
D．方向沿纸面向下，大小为
【答案】A
【解析】图中导线的等效长度为a到d的直线距离，由几何关系可知，等效长度由安培力计算公式
由左手定则可知，方向向上，选项A正确。
故选A。
4．如图，等腰梯形线框 是由相同材料、相同横截面积的导线制成，梯形上底和腰长
度均为 ，且腰与下底成 。整个线框处在与线框平面垂直的匀强磁场中。现给线框通
入图示电流，若下底 受到的安培力为 ，则上底 受到的安培力为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】梯形上底和腰均为L且腰与下底成60°，由几何关系可知，梯形的下边dc长为
2L；由电阻的决定式
可知梯形的边dabc的电阻等于下边dc的电阻的1.5倍，两者为并联关系，设dc中的电流
大小为I，根据欧姆定律，则dabc中的电流为 ；由已知条件可知ab边与dc的电流方向
相同，由题意知
所以边ab所受安培力为
方向与dc边所受安培力的方向相同；
故选A。
二、多选题
5．质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速度率经小孔S垂直进入匀强磁场，运
行的半圆轨迹如图虚线所示，将该粒子的运动等效为环形电流，下列表述正确的是A．M 的等效电流方向顺时针 B．N 的等效电流方向逆时针
C．M 的电流值等于 N 的电流值 D．M 的角速度等于 N 的角速度
【答案】BCD
【解析】由左手定则判断出N带正电荷，M带负电荷，故N的等效电流方向逆时针，M的
等效电流方向逆时针，故A错误，B正确；根据洛伦兹力提供向心力： ，结合
周期公式： ，可得： ，每个周期T内通过的电量为q，根据电流的定义式
可知等效电流： ，故M的等效电流值等于N的等效电流值，均为： ，
故C正确；粒子在磁场中运动半周，即时间为周期的一半，而两粒子的周期均为 ，
故M的运行时间等于N的运行时间，故M的角速度等于N的角速度，故D正确．所以BCD
正确，A错误．
6．如图所示，在一个足够大的表面平坦的雪坡顶端，有个小孩坐在滑雪板上，给他一个大
小为 的水平初速度使其运动，若雪坡与滑雪板之间的动摩擦因数 ，不计空气阻力，
则（ ）
A．沿初速度方向做匀速直线运动
B．最终会沿斜面做垂直于初速度方向的匀加速直线运动
C．一直做曲线运动
D．最终会做直线运动
【答案】BD
【解析】A．由于动摩擦因数 可知
即沿着初速度方向有加速度，小孩不可能沿初速度方向做匀速直线运动，故A错误；
BCD．由于摩擦力的方向与运动方向相反，结合A中分析可知，在初速度方向做减速运动，
当水平速度减为零后，最终会沿斜面做垂直于初速度方向的匀加速直线运动，故BD正确，C错误。
故选BD。
三、实验题
7．以下是某实验小组探究“两个互成角度的力的合成规律”的过程。首先进行如下操作：
①如图甲，两细绳套栓在橡皮条的一端，另一端固定在水平木板，橡皮条的原长为 ；
②如图乙，用手通过两个弹簧测力计共同拉动橡皮条。橡皮条和细绳套的连接点在拉力 、
的共同作用下，位于 点，橡皮条伸长的长度为 ；
③撤去 、 ，改用一个力 单独拉住其中一根细绳套，仍使其位于 点，如图丙。
（1）同学们发现，力 单独作用，与 、 共同作用的效果是一样的，由于两次橡皮条
伸长的长度、方向相同，即橡皮条对小圆环的拉力相同，所以 等于 、 的合力。本实
验采用的科学方法是___________。
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．建立物理模型法
（2）然后实验小组探究了合力 与分力 、 的关系：
①由纸上 点出发，用力的图示法画出拉力 、 和 （三个力的方向沿各自细绳的方向，
三个力大小由弹簧测力计读出）；
②用虚线将拉力 的箭头端分别与 、 的箭头端连接，如图丁，此图形应该是
_______________；
③多次改变拉力 、 的大小和方向，重做上述实验，通过画各力的图示，进一步检验所
围成的图形。
（3）若 是以 、 为邻边构成的平行四边形的对角线，一定沿 方向的是_______
（选填“ ”或“ ”）。
（4）若在图乙中， 、 夹角大于90°，现保持 点位置不变，拉力 方向不变，增大
与 的夹角，将 缓慢转至水平方向的过程中，两弹簧秤示数大小变化为______________。
A． 一直增大 一直增大 B． 先减小后增大 一直增大
C． 一直增大 一直减小 D． 一直增大 先减小后增大【答案】 B 平行四边形 A
【解析】（1）［1］此实验用一个力的作用效果代替两个力的作用效果采用了等效替代法，
故选B；
（2）［2］此实验是为了探究“两个互成角度的力的合成规律”，应该要遵循平行四边形
法则，故此图形应该是平行四边形；
（3）［3］当是一个力作用时，O结点受F及GO拉力的作用，二力平衡，F与GO的拉力
等大反向，故F一定沿GO的方向；
（4）［4］保持F 的方向及合力不变，当F 转动至水平位置过程中，如图
2 1
F 与F 的长度一直在增加，F 与F 的大小一直在增加，故选A。
2 1 2 1
8．甲、乙两实验小组分别利用传感器，弹簧测力计来探究力的合成规律，装置如图所示。
（1）甲、乙两实验小组的木板须在竖直平面内的是_______（选填“甲”或“乙”），实
验中须保持O点位置不变的是_________（选填“甲”或“乙”）。
（2）甲实验中测得两传感器的拉力分别为 ， ，钩码总重力为G，下列数据不能完成
实验的是_________
A．
B．
C．
D．
（3）乙实验中保持O点的位置不变，初始时 ，现使 角不变，β角缓慢增大至
90°。则此过程中，有关两弹簧测力计示数 ， 的变化，下列说法正确的是_________
A． 减小、 减小
B． 增大、 增大
C． 减小、 先减小后增大D． 增大、 先减小后增大
【答案】 甲 乙 A B
【解析】（1）[1][2]甲实验，在实验开始前，需要调节木板使其位于竖直平面内，以保证
钩码重力大小等于细绳中拉力的合力，但不需要每次实验保证O点位置不变；乙实验，在
实验过程中，用一个弹簧测力计和用两个弹簧测力计分别拉橡皮绳时，必须保证O点位置
不变，以保证两次实验效果相同，但未利用重力所以不需要木板竖直放置。所以，第一空
填甲，第二空填乙。
（2）甲实验中，三个力受力平衡满足三角形定则，则两力之和一定大于第三力，A选项不
满足，其他选项都满足。
故选A。
（3）乙实验中保持O点的位置不变，可知两弹簧测力计合力保持不变；现使 角不变，β
角缓慢增大至90°，运用力的矢量三角形图解法，如图所示
随着 角增大， 由1位置转至2位置过程中，可看出 增大、 增大。
故选B。
四、解答题
9．如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O，半径为r，内壁光滑，A、B
两点分别是圆轨道的最低点和最高点。该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为
m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动（电荷量不变），经过C点时速度最大，
O、C连线与竖直方向的夹角θ=60°，重力加速度为g。
（1）求小球所受的静电力大小；
（2）求小球在A点的速度v 为多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小。
0
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由于小球经过C点时速度最大，表明在该位置，重力与电场力的合力方向
恰好背离圆心，可知电场力大小为（2）由于小球在轨道内侧做完整的圆周运动，若小球经过B点时对圆轨道的压力最小，则
小球应该是恰好能够经过C点关于圆心的对称点D，此时在D点轨道对小球的弹力恰好为
0，由重力与电场力的合力提供向心力，则有
小球从A到达D过程有
解得
10．如图，半径 的光滑绝缘导轨竖直固定，在轨道平面内有沿某一方向的匀强电
场，带正电的小球能沿轨道内侧做完整的圆周运动，小球质量 ，所带电量
。小球做圆周运动过程中；小球经过A点时的动能最大，此时小球对轨道
的压力 ，小球最大动能比最小动能多3.2J；AB为过圆心O的直径，AB与竖直
方向间夹角 ，重力加速度 。求：
(1)小球的最小动能 ；
(2)小球在B点对轨道的压力；
(3)匀强电场的场强。
【答案】(1)0.8J；(2)0；(3)
【解析】(1)设小球所受重力与电场力的合力为F，小球经B点时动能最小，由动能定理得
在A点，由牛顿第二定律可得
又
解得：(2)在B点，由牛顿第二定律可得
解得
(3)小球在A点受力如图
由于
所以电场强度方向水平向左。又
解得
