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重难点 06 功能关系 能量守恒
能量观点是解决物理问题的方法之一，做功的过程就是能量转化的过程，某种形式
的能量的变化对应某种力的做功过程。能量守恒定律是自然界的各种能量转化的遵
守的规律。在试题中，多以综合题形式出现，选择题计算题等题型均有出现，伴随
多过程问题。
例题1. （多选）（2022·河北·高考真题）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体 和
用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量 ， 时刻将两物体由静止释放，
物体 的加速度大小为 。 时刻轻绳突然断开，物体 能够达到的最高点恰与物体 释
放位置处于同一高度，取 时刻物体 所在水平面为零势能面，此时物体 的机械能为
。重力加速度大小为 ，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的
是（ ）
A．物体 和 的质量之比为 B． 时刻物体 的机械能为
C． 时刻物体 重力的功率为 D． 时刻物体 的速度大小
【答案】BCD
【解析】A．开始释放时物体Q的加速度为 ，则
解得选项A错误；
B．在T时刻，两物体的速度
P上升的距离
细线断后P能上升的高度
可知开始时PQ距离为
若设开始时P所处的位置为零势能面，则开始时Q的机械能为
从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q做负功，大小为
则此时物体Q的机械能
此后物块Q的机械能守恒，则在2T时刻物块Q的机械能仍为 ，选项B正确；
CD．在2T时刻，重物P的速度
方向向下；此时物体P重力的瞬时功率
选项CD正确。
故选BCD。
例题2. （2022·湖北·高考真题）如图所示，质量分别为m和2m的小物块Р和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，Р通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面
间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段
距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为
k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，Р在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位
移大小为（ ）
A．μmgk B． C． D．
【答案】C
【解析】Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足
若剪断轻绳后，物块P与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为x，因此Р相
对于其初始位置的最大位移大小为
故选C。
1．力做功及功能关系
比较
做功特点 功能关系
力
做功与路径无关，只与 初 、 末
重力 W ＝ － Δ E ＝ mgh － mgh
G p 1 2
位置的高度差有关
做功只与弹簧的劲度系数和形 W ＝－ΔE ＝k(Δx )2－
弹 p 1
弹力(弹簧)
变量有关 k(Δx )2(不要求计算)
2
滑动摩擦力做功与路径有关，
摩擦力 可以做正功、负功，也可以不 |W |＝F · s ( s 为路程 )
f滑 f滑
做功
|W |＝Q＝|ΔE |＝F
f滑 机械能 f
一对滑动摩擦力 做功代数和小于零
· x
滑 相对
一对静摩擦力 做功代数和为零
作用力和反作用力可以做功，
一对相互作用力
也可以不做功，做功代数和可以 大于零 、 小于零 ，也可以等
于零
合力如果是恒力，可以根据功
合力 F ·x＝ΔE (动能定理)
合 k
的定义式求解
重力及弹簧弹力 重力及弹簧弹力以外的其他力
W ＝ΔE
其他力 机械能
以外的其他力 所做的功将改变系统的机械能
与路径无关，由初、末位置的
电场力 W ＝ － Δ E ＝ qU
电场力 p
电势差决定
洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向
安培力 可以做功，也可以不做功
感应电流在磁场 做负功，阻碍导体棒与导轨的
|W |＝|ΔE |＝Q
安 机械能
中受到的安培力 相对运动
分子力 可以做正功，也可以做负功 W ＝ － Δ E
分子力 p
核力 核力破坏时将释放巨大的能量 ΔE＝Δmc2其中c为光速
2．力做功正、负的判断及功的计算常用二级结论
(1)F与l的夹角(恒力)
力做功正负的判
(2)F与v的夹角(曲线运动的情况)
断
(3)能量变化(两个相联系的物体做曲线运动的情况)
(1)W＝Flcos α(恒力，定义式)
(2)W＝Pt(变力)
(3)W＝ΔE (变力或恒力)
k
功的计算 (4)W ＝ΔE ，功能原理
其他 机
(5)图象法(变力或恒力)
(6)气体做功：W＝pΔV(p—气体的压强，ΔV—气体的体积变
化)
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．如图所示，轻弹簧放置在倾角为 的斜面上，弹簧下端与斜面底端的挡板相连，可看
作质点的小物块A、B叠放在一起，在斜面的顶端由静止释放一起沿斜面下滑。弹簧被压缩
到最短时，A物块刚好从B上滑离，此后弹簧将物块B弹出，B刚好又能滑到斜面顶端，已知重力加速度为g，B物块与斜面间动摩擦因数为 ，则关于A、B的质量m和M之间的
关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从开始运动直到弹簧压缩最短的过程中，对整体研究，由于弹簧被压缩到最短时，
A物块刚好从B上滑离，则二者速度为0，设运动距离为L，则根据能量守恒定律可知
对于弹簧将物块B弹出，B刚好又能滑到斜面顶端的过程中，根据能量守恒定律可知
联立解得
故选A。
2．如图所示，餐桌中心有一个半径为r的圆盘，可绕其中心轴转动，在圆盘的边缘放置一
个质量为m的小物块，物块与圆盘及餐桌间的动摩擦因数均为µ。现缓慢增大圆盘的角速
度，小物块将从圆盘上滑落，最终恰好停在桌面边缘。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
重力加速度为g，圆盘厚度及圆盘与餐桌间的间隙不计。则下列说法正确的是（ ）
A．餐桌的半径为
B．小物块刚从圆盘上滑落时，小物块的速度为
C．小物块刚从圆盘上滑落时，圆盘的角速度为
D．该过程中因摩擦产生的内能为µmgr
【答案】A
【解析】C．小物块刚滑落时，最大静摩擦力等于所需向心力，可得解得
选项C错误；
B．小物块刚滑落时的速度大小为
选项B错误；
A．设小物块在餐桌上滑行的距离为x，根据动能定理可得
解得
小物块在桌面上运动的俯视图如图所示
根据图中几何关系可得
解得
选项A正确；
D．该过程中因摩擦产生的热量为
选项D错误。
故选A。
3．水平地面上的传送装置如图所示。 长 的水平传送带以 的速率顺时针匀速
转动，左端与半径为 的四分之一光滑圆弧轨道相切于B点（不接触），右端与同一水
平面上的平台 平滑衔接于C点（不接触）。在平台右边固定一轻质弹簧，弹簧左端恰
好位于D点，C、D之间的距离为 。质量为 的滑块P与传送带间的动摩擦因数为0.25，与平台 之间的动摩擦因数为0.2， 部分光滑，重力加速度 ，弹簧始
终处于弹性限度内。现格滑块P从光滑圆弧轨道上端A点由静止释放，下列说法正确的是
（ ）
A．滑块P运动到圆弧轨道底端B点时对轨道的压力大小为
B．滑块P通过传送带 过程中系统产生的热量为
C．弹簧压缩过程中的最大弹性势能为
D．滑块P最终停在平台 的中点
【答案】C
【解析】A．滑块P运动到圆弧轨道底端B点时，根据动能定理及牛顿第二定律有
代入相关数据求得
轨道对滑块的支持力为
则可得滑块对轨道的压力大小为 ，故A错误；
B．因为滑块P滑上传送带时的速度 小于传送带的速度 ，所以滑块P滑上传送带时，受
到的滑动摩擦力向前，滑块将做匀加速直线运动，设当滑块P加速到与传送带速度相同时，
通过的位移为 ，则有
把 及相关数据代入求得
所以，滑块P将在传送带上一直加速直到离开传送带，则滑块P在传送带上运动的时间 满
足
把 及相关数据代入求得则滑块P相对于传送带滑动的距离为
根据功能关系可得该过程中系统产生的热量为
故B错误；
C．滑块P到达C点时的速度为
根据能量守恒定律可得弹簧压缩过程中的最大弹性势能为
把 ， 代入上式，求得
故C正确；
D．设滑块P最终停在距离平台 点为 的地方，根据能量守恒定律，有
求得
即滑块P最终停在平台 的C点，故D错误。
故选C。
4．风能是一种环保型能源，目前我国风力发电总装机容量已达2640兆瓦。风力发电是将
风的动能转化为电能，某地平均水平风速为 ，空气密度 ，所用风力
发电机的叶片长度 ，效率 ，则该风力发电机的发电功率大约是（ ）
A．0.8kW B．2kW C．8kW D．33kW
【答案】C
【解析】叶片旋转所形成的圆面积为
时间t内流过该圆面积的空气柱体积为
空气柱的质量
空气柱的动能所以发电机的发电功率
代入数据解得
故选C。
二、多选题
5．如图甲所示，倾角为 的传送带在电动机带动下沿顺时针方向匀速转动，将一质
量为 的木箱（可视为质点）轻放到传送带底端 ，木箱运动的速度 随时间 变化
的图像如图乙所示， 时刻木箱到达传送带上端 。重力加速度 取 ，
， ，则下列正确的是（ ）
A．木箱与传送带之间的动摩擦因数为
B．木箱从 到 的过程中，木箱克服重力做功
C．木箱从 到 的过程中，电动机多消耗的电能为
D．木箱从 到 的过程中，木箱与传送带之间的摩擦产热等于木箱机械能的增加量
【答案】AC
【解析】A．根据题意，由图乙可知，木箱先做匀加速运动后做匀速运动，由 图像中
斜率表示加速度可得，木箱的加速度为
对木箱，由牛顿第二定律有
联立代入数据解得
故A正确；
B．由 图像中图像与横轴的面积表位移可得，木箱的位移为
木箱从 到 的过程中，木箱克服重力做功故B错误；
CD．根据题意，由图乙可知，传送带的速度为
木箱与传送带的相对位移为
木箱从 到 的过程中，木箱与传送带之间的摩擦产热为
木箱机械能的增加量为
则木箱从 到 的过程中，木箱与传送带之间的摩擦产热小于木箱机械能的增加量，由能
量守恒可知，木箱从A到B的过程中，电动机多消耗的电能等于木箱重力势能和动能的增
加量以及因摩擦而产生的热量之和，即
故D错误，C正确。
故选AC。
6．一带负电的粒子仅在电场力作用下沿 轴正向运动，其电势能 随位移 变化的关系
如图所示，其中 段是对称的曲线， 段是直线，则下列说法正确的是（ ）
A． 处电场强度为零
B．在 、 、 处的电势 、 、 的关系为
C．粒子在 段做变速运动，在 段做匀速直线运动
D．在 段该带负电的粒子速度减小
【答案】ABD
【解析】A．在电势能 随位移 变化的关系图中，斜率表示电场力，在 处斜率为0，
电场力为0，所以场强为0，故A正确；
B．根据电势能和电势的关系式三个物理量都为标量，可知，负试探电荷在低电势电势能大，在高电势电势能小，由图可
知，
所以
故B正确；
C．在 段图像斜率先减小为零后反向增大，表示电场力先减小为零后反向增大，所以
此过程做变加速运动，在 段，同理，斜率不变，电场力不变，此过程做匀变速直线
运动，故C错误；
D．在只有电场力做功时，动能和电势能相互转化，总能量保持不变，在 段，电势
能不断增加，所以动能不断减小，速度不断减小，故D正确。
故选ABD。
三、解答题
7．可视为质点的物块A、B、C放在倾角为37°、长L = 2m的固定斜面上，B、C相距
1m，其位置关系如图所示。物块与斜面间的动摩擦因数均为μ = 0.5，物块A、B的质量分
别为m = 0.80kg、m = 0.40kg，其中A不带电，B、C均带正电，且C的带电量为q = ＋
A B C
2.0 × 10－5C，开始时三个物块均能保持静止且与斜面间均无摩擦力作用。现给A施加一平
行于斜面向上的力F，使A在斜面上一直作加速度大小为a = 2.5m/s2的匀加速直线运动，
经过时间t，物体A、B分离，当A运动到斜面顶端时撤去力F。已知静电力常量k = 9.0 ×
0
109N·m2/C2，g = 10m/s2，sin37° = 0.6。
（1）求物块B带电量q ；
B
（2）求时间t；
0
（3）已知点电荷Q周围的电势分布可表示为 ，求力F对物块A做的功。
【答案】（1）＋4.0 × 10－5C；（2）0.4s；（3）9.8J
【解析】（1）由题知，开始时三个物块均能保持静止且与斜面间均无摩擦力作用，则以
AB整体为研究对象有解得
q = ＋4.0 × 10－5C
B
（2）当A、B刚好分离时，对B有
代入数据有
x′ = 1.2m
在A、B分离前二者一起做匀减速直线运动，则A、B一起匀加速运动了
x = x′－x = 0.2m
BC
根据匀变速直线运动位移与时间的关系有
代入数据解得
t= 0.4s
0
（3）根据以上分析当A、B刚好分离时，二者的共同速度为
v = at= 1m/s
0
由于已知点电荷Q周围的电势分布可表示为 ，则A从A、B开始运动到二者刚好分
离时，根据功能关系有
联立解得
W = 1.8J
F1
当A、B分离后有
F－m gsin37°－μm gcos37° = m a
A A A
解得
F = 10N
则A、B分离后，A还要继续上滑
x″ = L－x′ = 0.8m
则则A、B分离后，A继续上滑过程中F做的功为
W = Fx″ = 8J
F2
则整个过程中力F对物块A做的功
W = W ＋W = 9.8J
F F1 F2
8．如图所示，“L”型平板B静置在光滑的地面上，小物块A处于平板B上的O′点，O′点左
侧粗糙，右侧光滑。用长为L=0.45m的轻绳将质量为M=0.2kg的小球悬挂在O′点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，
碰后小球速度方向与碰前方向相同，上升最大高度h=0.05m后，随即被收回。碰后小物块
A沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，
相对于地面的速度减为零。已知A的质量m =0.1kg，B的质量m =0.3kg，A与B的动摩擦因
A B
数μ=0.4，取重力加速度g=10m/s2。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不
计空气阻力，轻绳不可伸长。求：
（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小v 与v ；
A B
（2）B光滑部分的长度d；
（3）运动过程中A与B摩擦所产生的热量Q。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【解析】（1）设小球与小物块A碰撞前后的速度分别为 ， ，由机械能守恒定律得
解得
，
小物块A与小球碰后速度为 ，由动量守恒定律得
解得
设水平向右为正方向，因为 点右侧光滑，由题意可知A与B发生弹性碰撞，故碰撞过程
根据动量守恒和能量守恒有
代入数据联立解得
，（方向水平向左）
，（方向水平向右）即A和B速度的大小分别为 ， 。
（2）如图所示为A与B挡板碰撞后到运动至O点正下方的运动示意图
A回到 前，A在B上匀速直线运动的时间设为 ，B在这段时间也做匀速直线运动。两物
体在 时间内的位移大小分别为
①
有
A从 回到O点正下方设时间为 ，A在B上做匀减速直线运动，设A的加速度大小为 ，
由牛顿第二定律得
解得
A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，则
解得
时间内A相对于地面的位移大小
又
②
由①②可得
得
则（3）设AB最后的共同速度为 ，由动量守恒定律得
解得
由能量守恒定律得
