9.1 椭圆考点一 椭圆定义及应用
【例1-1】（2023·陕西西安·一模）已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则
的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【解析】设圆 的圆心为 ，则 ，
设 ，则 ，
所以
，当且仅当 时取得最大值，
所以 ．
故选：B．
【例1-2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，
是椭圆的右焦点，则 的周长的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】C
【解析】椭圆的方程为 ，则 ， ， ，
连接 ， ，则由椭圆的中心对称性可知 ，
可知 为平行四边形，则 ，
可得 的周长为 ，
当AB位于短轴的端点时，|AB)取最小值，最小值为 ，
所以周长为 ．
故选：C.
【例1-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆 的右焦点，P为C上一点，Q为圆
上一点，则 的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】B
【解析】由题意知， ，设椭圆的左焦点为 ，
如图，P为C上一点，Q为圆 上一点， ，半径为1，
，
当且仅当 三点共线时，等号成立，
所以 的最大值为 .故选：B
【例1-4】（23-24 湖北·期末）已知椭圆 （ ）的两焦点分别为 、 ．若椭圆上有一点P，
使 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，不妨设 ，由点 在椭圆上可得： ①，
由余弦定理可得： ，化简得： ②，
由①式两边平方再减去②式，得： ，
于是 的面积为 .
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·四川内江·三模）设 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆C上，若 为直角三角
形，则 的面积为（ ）
A． B．1或 C． D．1或
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，若 （当 时，面积一样），则 ， ，
所以 ；
若 ，设 ，则 ，所以 ，
故 ，符合题意；
综上： 的面积为1或 .
故选：D
2．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P是C上的任意一
点，则（ ）
A．C的离心率为 B．
C． 的最大值为 D．使 为直角的点P有4个
【答案】BCD
【解析】由原方程可得椭圆标准方程为 ，
， ，故A错误；
由椭圆定义可知 ，故B正确；
由椭圆的性质知 ，故C正确；
易知以线段 为直径的圆（因为 ）与C有4个交点，故满足 为直角的点 有4个，故D正确.
故选：BCD
3．（23-24 北京丰台·期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上.若
，则 的面积为（ ）A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】B
【解析】如图所示，椭圆 ，可得 ，则 ，
因为点 在椭圆 上，可得 ，
又由 ，可得 ,
联立方程组 ，可得 ，
所以 的面积为 .
故选：B.
4．（2024·江西九江·二模）已知椭圆 的上顶点为 ，离心率为 ，过其左焦点倾斜角
为30°的直线 交椭圆 于 ， 两点，若 的周长为16，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的离心率 ，可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，则点 ，右焦点 ，所以 ，
由题意可得直线 的斜率 ，
所以 ，即 ，
由题意设直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
设直线 与直线 的交点为 ，
联立 ，可得 ， ，
则 ，可得 为 的中点，所以直线 为线段 的中垂线，
即 ， ，
的周长为 ，可得 ，
所以 ， ，
所以椭圆的方程为： .
故选：C．
5．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为6，点 ，
直线 与 交于A，B两点，且 为AB中点，则 的周长为 ．
【答案】
【解析】由题意知 ，设A，B两点坐标分别为 ，
两式相减得 ，
由题意 为AB中点，
则 ，代入整理得 ．
即由题意知 ，
因此 ，所以 ，由焦距为6，解得 ．
由椭圆定义知 的周长为 ．
故答案为：
6．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知 ，点 为椭圆 上的动点，当 取最
小值时，点 的横坐标的值为 ．
【答案】
【解析】因为 为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为 ，则 ，
由椭圆的定义，得 ，
当 为射线 与椭圆交点时， 取最小值，
因为直线 方程为 ，设P(x,y)，联立 ，消去 得 或 ，
由于 ，所以 ，
故答案为：
考点二 椭圆的标准方程
【例2-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，焦距为 ，则该椭圆的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知： ，可得 ，
则 ，所以该椭圆的方程为 .
故选：C.【例2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为
，真线 与 轴的交点为 ，过右焦点 作 于点 ，且
的中点 在椭圆 上，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，依题意，知 是线段 的中点， ，
又 是线段 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因为点 在椭圆 上，结合椭圆的定义，
，得 ，
解得 （ 舍去），所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：C.
【例2-3】（2024·山西太原·三模）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点， 的内切圆的圆心为 ，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设椭圆 的方程为 ，由 在 上，得 ，
显然 的内切圆与直线 相切，则该圆半径为1，而 ，
又 ，于是 ， ，因此 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程是 .
故选：B
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】方程 可化为： ，
因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
所以 ，解得 .
故选：C2．（2024·福建南平·二模）已知椭圆 的焦点为 ， ，点 在 上，点 在 轴上， ，
，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆 的焦点为F (−1,0)，F (1,0)，
1 2
所以设椭圆 的方程为： ,
设 ， ，F (1,0)，
2
则 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 或 ，
因为 在 上，所以 ，即 ，
解得： 或 ，因为椭圆 的焦点在 轴上，
所以 .故 的方程为 .故选：D.
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆 的中心为原点，焦点为 ， ，以 为圆心， 为
半径的圆交椭圆 于 、 两点，且 ，则椭圆 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 、 ，根据对称性可知 ，
又 ，所以 为等边三角形，即 ，
所以 点为椭圆的短轴的顶点，
又 ，所以|AF )=|AF )=a=2c=4，则 ，
1 2
所以椭圆方程为 .
故选：C
4．（2024·江西九江·三模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ,过 且倾斜角为 的直线交 于第一象限内一点 .若线段 的中点在 轴上, 的面积为 ,则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图, 为线段 的中点, 为线段 的中点, ,又 轴, 轴.
在 中, ,设 ,则 的面积为 ,
,
,则C的方程为 .
故选：D.
考点三 椭圆的离心率
【例3-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的短轴长为2，则其离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆 的短轴长为2，知 ， ，即 ， ，
因此 ，又椭圆的离心率 ，
故选：A.
【例3-2】（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆 的左焦点、右顶点， 满足
，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
，即 ，
整理得 ，即 ，
等号两边同时除以 得 ，即 ，求得 ，
， ，
故选：B.
【例3-3】．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： ，点
， ，若以 为直径的圆过椭圆 的右焦点 ，且
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由以 为直径的圆过椭圆 的右焦点 ，得 ，即 ，
而 ，则 ，又 ，
由 ，得 ，
则 ，即 ，因此 ，
整理得 ，解得 ，所以椭圆 的离心率为 .
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·湖南·三模）已知 是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，过 作直线与
C交于A，B两点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
我们首先来证明一个引理：若 ，则 ，证明如下：设 ，则由余弦定理有
，即 ，
所以 ，
所以 ，从而引理得证；
根据题意可得， ，解得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
由 ， ，可得三角形 为等边三角形，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 是 的中点，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：C.
2．（2024·江苏南京·二模）设 分别为椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点，直线
与以 为圆心、 为半径的圆切于点 为坐标原点 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， ， ，因为直线 与以 为圆心、 为半径的圆切，
所以 ，
因此由勾股定理可知 ，
又 ，所以 ，因此 ，
由勾股定理可得 ，
根据椭圆定义， ， .
故选：B
3．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两点，
线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
则 ，两式相减可得 ，
，即 ，即 ， ，故 .
故选：B
4．（2024·河南濮阳·模拟预测）点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆
的焦点 ，圆 与 轴相交于 两点，若 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 圆 与 轴相切于焦点 ， 轴，可设 ，
在椭圆上， ，解得： ， 圆 的半径为 ；
作 轴，垂足为 ，
， ，
为锐角三角形， ， ，
，即 ，解得： ，
即椭圆离心率的取值范围为 .
故选：D.考点四 椭圆的实际应用
【例4-1】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点
变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个焦点
的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在 点第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用 和 分
别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图可知， ， ， ，A不正确；
， ， ；B不正确；
由 ， 可知 ，C不正确；
，可得 ，故 ，
即 ， ， ，即 ，D正确，
故选:D.
【一隅三反】1．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射
后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为 ，
其左、右焦点分别是 ， ，直线l与椭圆C切于点P，且 ，过点P且与直线l垂直的直线 与椭圆长
轴交于点M，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得 ， ，
由椭圆定义可得 ，
根据光的反射定理可得 为 的角平分线，
由正弦定理 ，
所以 ， ，又
所以
即 .
故选：D.
2 ．（2023·全国·模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运
行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭
圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为 ，则半焦距为 ，
设变轨后椭圆的长半轴长为 ，显然变轨后椭圆离心率为 ，半焦距为 ，
依题意， ，整理得 ，即 ，
而 ，解得 ，
此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为 .
故选：C
3．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处
在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为 ，最小距离 ，太阳半径为 ，则该行星运行轨迹椭
圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的焦距为 ，长轴长为 ，
则由已知可得 ，
两式相加可得 ，两式相减可得 ，
则 ， ，所以离心率 .
故选：A.
4．（2022·江西九江·三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工
艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞
沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为 时，在地面形成了一个椭圆形影子，
且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长 ，
在 中， ，
由正弦定理得：
，
所以 ，故选：D.
5．（2023·广东广州·三模）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势
既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几
何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相
等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置
在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体
（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新
几何体与半球的体积相等，即 ．现将椭圆 绕 轴旋转一周后得到如
图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造一个底面半径为 ，高为 的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，
圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体．
当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为 时，设小圆锥底面半径为 ，
则 ，即 ，故新几何体的截面面积为 ．
把 代入 ，即 ，解得 ，
故半椭球的截面面积为 ，由祖暅原理，可得椭球的体积为：
．
圆柱 圆锥
故选：A．
6．（2023·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大
的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大
桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段
，且 过椭圆的下焦点， 米，桥塔最高点 距桥面 米，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为 ，
令 ，即 ，解得 ，依题意可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
故选：D．考点五 弦长及应用
【例5-1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点
为椭圆 上一点，且 的面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若倾斜角为 的直线l与C相交于两个不同的点 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
（2） ，故可设 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，消去 可得 ，
，即 ，
， ，
则
，则当 时，|AB)有最大值，且其最大值为 .
【例5-2】（2024·天津·模拟预测）椭圆 ，过左焦点 的直线 交椭圆E于A、C两点，
的最大值为 ，最小值为 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过 的直线 交椭圆E于B、D两点，且 ，求四边形ABCD的面积的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）记直线 的倾斜角为 ，点A在x轴上方，则 ，记 ，
则 ，
在 中，由余弦定理得 ，整理得 ，
同理，在 中，由余弦定理整理可得 ，
所以 ，
易知，当 时， 取得最大值 ；当 时， 取得最小值 .
依题意有 ，解得 ，所以，椭圆E的标准方程为 .
（2）因为 ，所以 的倾斜角为 或者 ，
因为 ，
所以由（1）可得 ， ，
则四边形ABCD的面积
.
因为 ， ，
所以 ，所以 .
【一隅三反】
1．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点
.
(1)求C的方程；
(2)设过C的左焦点且斜率为 的直线与C交于M，N两点，求 的面积.【答案】(1)
(2)
c ❑√3
【解析】（1）设 的半焦距为 ，则 = .
a 3
故 .
将 代入C的方程有 ，故 ， ， .
所以C的方程为 .
（2）
由（1）可知 的左焦点为 .
故过左焦点且斜率为 的直线为 ： .
将 与 的方程联立 ，有 .
设M(x ,y )，N(x ,y )，则不妨取 ， .
1 1 2 2
故 .
且P到 的距离 .所以 的面积为 .
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知 是椭圆 的左焦点，A，B分别是E的左、右顶
点，C是E上一点（异于A，B），线段 的中点为D，O为坐标原点， ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知过 且斜率不为0的直线与椭圆E交于M，N两点，求四边形AMBN面积的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【解析】（1）设 是椭圆 的右焦点，连接 ，
∵D是线段 的中点，O是线段 的中点，
∴ ，由椭圆的定义知，
，
∴ ，由椭圆的几何性质知，
，∴ ，
，∴椭圆E的标准方程为 ；
（2）设M(x ,y )，N(x ,y )，直线 ，
1 1 2 2将 代入 整理得，
， ，∴ ，
，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ 在区间 上是减函数，
∴ ，∴四边形AMBN面积的最大值为6．
3．（2024·四川德阳·三模）已知椭圆 的离心率为 其左右焦点分别为 下顶
点为A，右顶点为B， 的面积为
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设不过原点O 的直线交C于M、N两点，且直线 的斜率依次成等比数列，求 面积的
取值范围．【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意 ，又 ，
又 ，
所以 ，
所以椭圆 C 的方程为 .
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线： ，
，联立直线和椭圆 ，
化简得 ，
由题意可知 ，即 ，
且 ，
则
，
又直线 的斜率依次成等比数列。即 ，
则 ，所以 且 ，
设点O到直线 的距离为 ，又
，
所以 ，
令 ， ，
显然 在(0,1)上为增函数，在 上为减函数，
所以 ，即 ，
所以 ，故 面积的取值范围为(0,1).
一．单选题
1．（2024·黑龙江大庆·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，若经过 的
弦 满足 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
由题可知 ，
所以 ，解得 ，
由
得 ，
整理得 ，
所以 .
故选：A.
2．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，P为C上一
点，满足 ，以C的短轴为直径作圆O，截直线 的弦长为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取弦AB的中点D，连接 ，则 ，即 ，因为 ，
所以 ，因为O为 的中点，所以D是 的中点，所以 ，因为 ，所以OD垂直平分弦AB，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
由椭圆定义可得 ， ，
所以 ，解得 ， ，
所以离心率为 ，
故选：A．
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线 与椭圆 相切，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，联立 ，得 ，
化解得 ，
因为直线 与椭圆 相切，
所以 ，
化简整理得 ，所以 .
故选：C.4．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆 ，其右焦点为 ，若直线 过点 与 交于 ，则 最
小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】要使|AB)最小，即为 和焦点 在的轴垂直的直线截得的线段长．
右焦点为 ，直线为 ，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为 ，
故|AB)最小值为1．
故选：B．
5．（2024·浙江金华·三模）已知椭圆 ， 、 分别为其左右焦点，点M在C上，且
，若 的面积为 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】设 ， ，则 ，
化简得： ，所以 ， ，
另外，由余弦定理得： ，结合以上两个式子，
消去 可得 ，
又因为 ，所以化简可得： ，所以 ，可得 .
故选：B.
6．（2024·湖南长沙·二模）已知 ， 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆的上顶点，
过 作 的垂线，并与椭圆交于点 ，且满足 ，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示，
设 关于原点对称的点为 ，则 为平行四边形，
由 可知， ， ， 三点共线，且 ，
设 ，则 ，在 中， ，解得 ，
注意到 ，
在 中结合余弦定理可得， ，
解得 ，则 ，所以 ，
故选：C.
7（2024·河南驻马店·二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在 上但不
在坐标轴上，且 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】依题意得 ，设 ，
不妨设点 在第一象限，若 ，有 ，故 或 ，
解得 或 ，又 9，所以 .
若 ，有 ，同理可得 .
此时 ， ，不符合点 在第一象限，
所以 .
故选：B.
8．（2024·新疆·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上不与左右顶点重合的任
意一点， ， 分别为ΔM F F 的内心和重心，则⃗IG⋅⃗F F =（ ）
1 2 1 2
A．0 B．1 C． D．3
【答案】A
【解析】
m n
设M(m,n),n>0，I(s,t),t>0，则G( , )，
3 3
因为椭圆 ，则|M F )+|M F )=6,|F F )=2，
1 2 1 2
，F (−1,0)，F (1,0)，
1 2
由切线的性质和椭圆的焦半径公式得
m ( m)
|M F )−|M F )=3+ − 3− =(s+1)−(1−s)，
1 2 3 3m
则s= ，
3
1 1
由S = n|F F )= t(|M F )+|M F )+|F F ))，
△MF 1 F 2 2 1 2 2 1 2 1 2
n
即2n=t(6+2)，即t= ，
4
所以I (m , n) ，则⃗IG= ( 0, n ) ，
3 4 12
又⃗F F =(2,0)，
1 2
所以⃗IG⋅⃗F F =0.
1 2
故选：A.
二．多选题
9．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线 经过椭圆 的一个焦点和一个顶
点 ，且与 在第四象限交于点 的左、右焦点分别为 ，则（ ）
A． 离心率为 B． 的周长为
C．以 为直径的圆过点 D．
【答案】BC
【解析】不妨设 为上顶点，如图，
对于A，直线 经过 的右焦点 和上顶点 ，所以 ，
则 ，所以 离心率为 ，故A错误；对于B，由椭圆的定义知可知， 的周长为 ，B正确；
对于C，由A中分析可得 ，所以 ，
所以 ，则以 为直径的圆过点 ，C正确；
对于D，由A中分析可知 的方程为 ，
由 解得 或 ，则 ，
所以 ，D错误．
故选：BC.
10．（2024·福建福州·模拟预测）已知 为椭圆 的左，右焦点， 为平面上一点，若
，则（ ）
A．当 为 上一点时， 的面积为1
B．当 为 上一点时， 的值可以为1
C．当满足条件的点 均在 内部时，则 的离心率小于
D．当点 在 的外部时，在 上必存在点 ，使得
【答案】ACD
【解析】对A：如图：因为 点在椭圆上，不妨设 点在第一象限，所以 ，
又因为 ，所以 .
所以 ，所以 ，故A正确；
对B：因为 ， ，所以 ，而 .
所以 不可能为1，故B错误；
对C：如图：
当 都在椭圆内部，则 ，故C正确；
对D：如图：
当 在 的外部时，因为 ，所以以 ， 为直径的圆与椭圆 必有交点，不妨取 ，则 ，
故D正确.
故选：AC
11．（23-24 福建南平·期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于 两点，
则（ ）A． 的周长为4
B．|PF )的取值范围是
1
C．|PQ)的最小值是3
D．若点 在椭圆上，且线段 中点为 ，则直线 的斜率为
【答案】BCD
【解析】由题意可知椭圆的长轴长 ，左焦点 ，
由椭圆的定义可知 ，
故A错误；
设 ， ，
易知 ，故B正确；
若 的斜率存在，不妨设其方程为： ，
联立椭圆方程 ，则 ，
所以 ，
若 的斜率不存在，则其方程为 ，与椭圆联立易得 ，
显然当 的斜率不存在时， ，故C正确；
设 ，易知
，
若 中点为 ，则 ，故D正确.
故选：BCD三．填空题
12．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆 的离心率为 ，过 的左焦点且斜率为1的直线
与 交于 两点.若 ，则 的焦距为 .
【答案】
【解析】由椭圆 的离心率为 ，可得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 ，即 ，
由直线 过椭圆 的右焦点 且斜率为 ，可得 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
所以 ，
解得 ，所以椭圆 的焦距为 .
故答案为： .
13．（2024上海·期末）已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且
，若 的面积为9，则 的值为 ．【答案】3
【解析】 ，
，①
又
②
①-②得： ，
的面积为9，
，
故答案为：3.
14．（2024·湖南·模拟预测）过椭圆C： （ ）上的动点P向圆O： 引两条切线
．设切点分别是A，B，若直线 与x轴、y轴分别交于M，N两点，则 面积的最小值是 .
【答案】
【解析】设点P(x ,y )，则以 为直径的圆的方程为 ，
0 0
与圆O的方程 相减得 ，即 是过切点 的直线方程， ，
令 ，得 ，所以 ，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以点 到直线 的距离 ，
所以 ，
因为点P(x ,y )在椭圆C： （ ）上，
0 0
所以 ，
即 ，等号成立当且仅当 ，
所以 ，等号成立当且仅当 ，
综上所述， 面积的最小值是 .
故答案为： .
四．解答题
15．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆 过 和 两点. 分别为椭圆的左､
右焦点， 为椭圆上的点（ 不在 轴上），过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于 两点.
(1)求椭圆的标准方程；(2)求 的范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可知，将点 代入椭圆方程，
得 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）由（1）知F (−1,0)，F (1,0)，
1 2
当直线l的斜率为0时， ，
当直线l的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，消去 ，得 ，
易得 ，则 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
综上， ，即|AB)的范围是 .16．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 为椭圆上三个点， 为坐标原点，若四边形 为矩形，求四边形 的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题知
解得 所以椭圆 的方程为 .
（2）由椭圆的图形可知，当直线 的斜率为0或不存在时，矩形 不存在，不符合题意.
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 .
由椭圆的对称性，只需考虑 的情况.
不妨设点A(x ,y )在第一象限，则点 在第四象限.
1 1由 消去 整理得 ，解得 ，所以 .
由 消去 整理得 ，解得 ，所以 .
因为四边形 是矩形，线段 的中点坐标为 ，
所以线段 的中点坐标为 ，所以 .
又因为点 在椭圆 上，所以 ，
即 .
又 ，所以 .
将 的值代入，得 ，
即 ，整理得 ，解得 ，又 ，所以 ，
此时 ， ， ， ， ，
所以四边形 的面积 .
17（2024·安徽·三模）已知椭圆 ： 的长轴长为4，左，右焦点分别为 ， ，上顶点为
A，其中直线 的斜率为 .
(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线 与椭圆C交于M，N两点，若原点到直线 的距离为1，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意， ，联立解得 ， ， ，故椭圆C的方程为 ；
（2）设M(x ,y )，N(x ,y )， ，则 ，
1 1 2 2
同理得 ，
易知直线 与单位圆相切，设切点为B， ，同理得 ，
故 的周长为 ，
当直线 的斜率不存在时，
的方程为 , , ,则 的周长为4；
的方程为 ， , ,此时 的周长为
；
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，则原点到直线 的距离 ，故 ，
联立 化简可得 ，故 ，易知，故 ， 同号；
当 时，即 ，此时点M在y轴右侧，所以 ， ，
此时 的周长为 为定值；
当 时，即 ，此时点M在y轴左侧，所以 ， ，
此时 的周长为 ，
因为 ，故 ，当且仅当 或 时取等号，
从而 ，故 的周长的取值范围为 ；
综上所述， 的周长的取值范围为 .
18．（2024·重庆·二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 是其左､右顶点，
点 为 上异于 的点，满足直线 与 的斜率之积为 的周长为6.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 过点 ，与椭圆 交于 两点，当 外接圆面积最小时，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) .【解析】（1） ，设P(x ,y )，有 ，
0 0
又 .
由题意， ，即 ，解得 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）设直线 ，联立 ，得 ，
设 ，则 ，
, .
点 到直线 的距离为 .
面积 .
设 外接圆半径为 ，
由正弦定理，有
令 ，则 .令 ，则 ，
因为 ，
所以 在 上单调递增，
从而当 ，即 时， 取最小值，即 外接圆面积最小，
此时直线 的方程为： .
19．（2024·陕西渭南·二模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，Q为E短轴的一个端
点，若 是等边三角形，点 在椭圆E上，过点 作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD
分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求证：直线MN过定点；
(3)求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）如图，因为点 在椭圆E上，所以 ，
因为 是等边三角形，所以 ， ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
所以 ，即 ，
将 的坐标中的 用 代换，得 的中点 .
当 时， 所在直线为 ，
当 时， ，直线 的方程为 ，整理得
，所以直线 过定点 .
（3）
，
令 ，则 ，
由于 则在 上递增，
所以当 ，即 时， 取得最大值为 ，
即 面积的最大值为 .
