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7.3 统计概率基础知识考点一 随机抽样
【例1-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到
100的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮
料的编号可能是（ ）
A．5，15，25，35，45 B．10，25，40，55，70
C．10，20，30，40，50 D．10，30，50，70，90
【答案】D
【解析】利用系统抽样，把编号分为5段，每段20个，每段抽取1个，号码间隔为20.
选项A中样本间隔为10，选项B中样本间隔为15，选项C中样本间隔为10，
选项D中样本间隔为20.
故选：D
【例1-2】（2024·山东泰安·模拟预测）某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的
方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有
720名学生，则该校共有学生 人．
【答案】1800
【解析】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，
所以抽取的比例为
设该校共有 名学生，可得 ，
解得 人，即该校共有1800名学生.
故答案为：1800.
【一隅三反】
1．（2024湖南永州·阶段练习）总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个
个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的
编号为（ ）
（第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
（第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A．20 B．26 C．17 D．03
【答案】D
【解析】从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，
选出的编号依次为：12，13，40，33，20，38，26，13，89，51，03，…，剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，
则选出来的个体的编号依次为：12，13，20，26，03，…，
所以选出来的第5个个体的编号为03.
故选： .
2．（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名
学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表
中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【答案】A
【解析】从第5行第6列开始向右读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，
第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，
下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.
故选：A.
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区
中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽
取的高中生中近视人数为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．40
【答案】B
【解析】由图甲可知抽取的高中生人数是 ，
又由图乙可知高中生的近视率为 ，所以抽取的高中生中近视人数为 人．
故选：B．
4．（2024·河南·三模）已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年
级三个班优秀学生总人数为（ ）
A．16 B．30 C．24 D．18
【答案】C
【解析】甲、乙、丙三个班级人数比为 ，由分层随机抽样知，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10，
所以高三年级三个班优秀学生总人数为 人.
故选：C
5．（2024·重庆·三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地
区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为
保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为保证调研结果的代表性，设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人，
则 ，
解得 ，
即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为
故选：C
考点二 特征数
【例2-1】．（2024·重庆九龙坡·三模）（多选）已知样本数据 的平均数为2，方差为1，则下列说法正
确的是（ ）
A．数据 ， ， 的平均数为6
B．数据 ， ， 的方差为9
C．数据 的方差为1
D．数据 的平均数为5
【答案】BD
【解析】因为样本数据 的平均数为2，方差为1，
所以数据 ， ， 的平均数为 ，故A错误；数据 ， ， 的方差为 ，故B正确；
， ，
数据 的平均数为 ，
所以方差为 ，故C错误；
由 ， ，
得 ，所以 ，
所以数据 的平均数为 ，故D正确.
故选：BD.
【例2-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知 ，有一组数据为 ，3， ， ，8，
10， ，12，13，若在这组数据中去除第5个数8，则（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变
【答案】AD
【解析】原数据的平均数为 ，
去除第5个数8后的平均数为 ，
所以平均数不变，故A正确；
当 时，原数据的中位数为 ，
去除第5个数8后的中位数为 ，
此时中位数改变，故B错误；
对于C，原数据的方差
，
去除第5个数8后的方差 ，
所以 ，即方差改变，故C错误；
对于D，因为 ，所以 这个数对于极差没有影响，即极差不变，故D正确.故选：AD.
【例2-3】（2024·山西·模拟预测）（多选）某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分
100分，成绩取整数）按 ， ， ， 分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方
图，则下列说法错误的为（ ）
A． 的值为0.035
B．估计这组数据的众数为90
C．估计这组数据的第70百分位数为89
D．估计成绩低于80分的有350人
【答案】ABD
【解析】易知 ，解得 ，所以A错误；
由频率分布直方图可知众数落在 区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为 ，
前三组频率之和为 .
故第70百分位数落在区间 ，设第70百分位数为 ，
则 ，解得 ，所以 正确；
成绩低于80分的频率为 ，所以估计成绩低于80分的有 人.故D错误.
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024·河北保定·三模）（多选）若一组数据14，17，11，9，12，15， ，8，10，7的第65百分位数为
12，则 的值可能为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．14
【答案】AB
【解析】将这组数据除去 后，按从小到大的顺序排序：7，8，9，10，11，12，14，15，17.
因为 ，所以 .
故选：AB.2 ．（2024·河北·三模）（多选）根据中国报告大厅对2023年3月~10月全国太阳能发电量进行监测统计，太
阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：
月份 3 4 5 6
发电量/亿千瓦时 242.94 230.87 240.59 259.33
月份 7 8 9 10
发电量/亿千瓦时 258.9 269.19 246.06 244.31
关于2023年3月~10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ）
A．中位数是259.115 B．极差是38.32
C．第85百分位数是259.33 D．第25百分位数是240.59
【答案】BC
【解析】将数据从小到大排序可得 ，共8个数据，
所以中位数是 ，故A错误；
极差是 ，故B正确；
因为 ，所以第85百分位数是第7个数，即 ，故C正确；
因为 ，所以第25百分位数是 ，故D错误；
故选:BC
3 ．（2024·全国·模拟预测）（多选）一组数据 ， ， ， ， 的平均值为5，方差为2，极差为7，中
位数为6，记 ， ， ， ， 的平均值为 ，方差为 ，极差为 ，中位数为 ，则（
）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得 ， ， ， .
故选：ACD．
4．（2024·广东汕头·三模）（多选）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差
B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本乙的方差一定小于样本甲的方差
D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
【答案】BCD
【解析】对于A，甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于
6；从而甲和乙的极差可能相等，A错误；
对于B，根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，乙的众数大于甲的众
数，B正确；
对于C，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中，因此乙的方差小于甲的方差，C正确；
对于D，甲的各组频率依次为： ，其中位数位于[3.5,4.5)之间，
乙的各组频率依次为： ，其中位数位于[5.5,6.5)之间，
所以甲的中位数小于乙的中位数，D正确.
故选：BCD
5．（2024·湖北荆州·模拟预测）（多选）某班语文老师对该班甲、乙、丙、丁4名同学连续7周每周阅读的天
数（每周阅读天数可以是1，2，3，4，5，6，7）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅
读天数分别做了如下描述：
甲：中位数为4，极差为3； 乙：中位数为3，众数为5；
丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3.
那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】BCD
【解析】对于甲，因为中位数为4，极差为3，所以这7个数可以是 ，则甲不符合题意.
对于乙，因为中位数为3，众数为5，所以这7个数从小到大排列后，第4个数是3，
所以 中一定有一个数出现2次，5出现3次，所以这7个数中一定没有出现7，则乙符合题意.对于丙，若出现1个7，则这7个数从小到大排列后，后4个数之和最小为19，前3个数之和最小为3，
从而这7个数的平均数最小为 ，即这7个数的平均数不可能为3，故丙符合题意.
对于丁，设这7个数分别为 ，则 ，
.
若 7，则
,
从而 这6个数可能是 或 或
或 或 或 或 或
或 或 ，这与 矛盾，
即这7个数中一定没有出现7，故丁符合题意.
故选：BCD.
6．（2024·广东茂名·一模）（多选）中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐代，如今逐渐演化为赏月、
颂月等活动，以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡，思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足
珍贵的文化遗产.某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得到如
图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为75
B．样本的 分位数为75
C．样本的平均值为68.5
D．该校学生中得分低于60分的约占
【答案】AC
【解析】依题意， ，解得 ，选项A， 最高小矩形的中点横坐标为75， 众数是75，故A正确.
选项B，设样本的 分位数为 ，又 ，
，解得 ，故B错误.
选项C，平均数为 ，故C正确.
选项D，样本中得分低于60分的占 ，
该校学生中得分低于60分的约占 ，故D错误.
故选：AC.
考点三 统计图表
【例3-1】（2024·辽宁·二模）（多选）下图为某市2023年第一季度全市居民人均消费支出构成图．已知城镇
居民人均消费支出7924元，与上一年同比增长4.4％；农村居民人均消费支出4388元，与上一年同比增长
7.8％，则关于2023年第一季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（ ）
A．2023年第一季度该市居民人均消费支出6393元
B．居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50％
C．城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小
D．医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6％
【答案】ABD
【解析】2023年第一季度全市居民人均消费支出为 （元），
故A正确；
易知居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和为 （元），
占总人均消费支出的 ，故B正确：
依题意可得2022年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为 （元），
2023年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为 （元），
由于 ，故C错误；医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和占总人均消费支出的 ，故D正确．
故选：ABD．
【一隅三反】
1．（2024·浙江杭州·三模）（多选）南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的
奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前
往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺
时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或
其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，
左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）
A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵
B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加
C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降
D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡
【答案】BCD
【解析】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积，
根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死
亡的士兵；错误；
对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，
表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确；
对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因
疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确；对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，
可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，
因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的
死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确,
故选：BCD.
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为
中心”的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变．如图为2023年中国父母参与过的各类亲子活
动人数在参与调查总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是（ ）
A．在参与调查的总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读
B．在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于
C．图中各类亲子活动占比的中位数为
D．图中10类亲子活动占比的极差为
【答案】AB
【解析】对于A，亲子阅读阅读占比 ，为最大，A正确；
对于B，由于 ，B正确；
对于C，图中各类亲子活动占比的中位数为 ，C错误；
对于D，图中10类亲子活动占比的极差为 ，D错误.
故选：AB
3 ．（2024·全国·模拟预测）（多选）如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额
（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 年营业额逐年增加
B．2022年的净利润超过 年净利润的总和
C． 年营业额的增长率最大的是2022年
D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元
【答案】BC
【解析】选项A：2019年的营业额低于2018年，A错误．
选项B：2022年的净利润为166.2亿元，
年的净利润的总和为 （亿元）， ，B正确．
选项C： 年营业额的增长率最大的是2022年，C正确．
选项D：设2023年第一季度的净利润为 亿元，则第四季度的净利润为 ，
则 ，得 ，
故2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多21.37亿元，D错误．
故选：BC.
考点四 互斥事件、对立事件与独立事件的辨析
【例4-1】（2024湖北）若 ， ， ，则事件A与B的关系是（ ）
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
【答案】C
【解析】由 ，得事件 与 不互斥、不对立，ABD错误；由 ，得 ，因此 ，因此事件A与B相互独立，C正确.
故选：C
【例4-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有 ， ， ， 四个数字，
将这个模型抛掷一次，并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为 的倍数”为事件 ，“数字是 的倍
数”为事件 ，“数字是 的倍数”为事件 ，则下列选项正确的是（ ）
A．事件 两两互斥 B．事件 与事件 对立
C． D．事件 两两相互独立
【答案】D
【解析】事件 包含基本事件“数字为 ”， “数字为 ”，
事件 包含基本事件“数字为 ”， “数字为 ”，
事件 包含基本事件“数字为 ”， “数字为 ”，
事件 可能同时发生，所以事件 不是互斥事件，A错误；
事件 包含基本事件“数字为 ”， “数字为 ”，“数字为 ”，
事件 包含基本事件“数字为 ”，
所以事件 与事件 不是互斥事件，故也不是对立事件；B错误；
， ， ，
事件 包含基本事件“数字为 ”， ，
所以 ，C错误；
事件 包含基本事件“数字为 ”， 事件 包含基本事件“数字为 ”，
事件 包含基本事件“数字为 ”，
所以 ，
又 ，
由独立事件定义可得事件 两两相互独立，D正确；
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·福建福州·模拟预测）（多选）投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“ ”， 表示事件“ ”， 表示事件“
”，则（ ）
A． 和 互为对立事件 B．事件 和 不互斥
C．事件 和 相互独立 D．事件 和 相互独立
【答案】BC
【解析】根据题意， 表示事件“ ”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则
，
表示事件“ ”，即第二次抛掷中，正面向上，则 ，
表示事件“ ”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面， ，
依次分析选项：
对于A，事件 、 可能同时发生，则事件 、 不是对立事件，A错误；
对于B，事件 、 可能同时发生，则事件 和 不互斥，B正确；
对于C，事件 ，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面， ，
由于 ，则事件 和 相互独立，C正确；
对于D，事件 ，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面， ，
，事件 、 不是相互独立事件，D错误．
故选：BC．
2．（2024·上海·三模）在一个有限样本空间中，假设 ，且A与B相互独立，A与C互
斥，以下说法中，正确的个数是（ ）
① ② ③若 ，则B与C互斥
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①， ， 且 与 相互独立， 则，故①错误；
对于②， ，
，
故 ， 故②正确；
对于③， ，
则 ， ，
故 ，
即 ，
若 互斥，则 ， 满足上式，
故 ， 即 与 互斥， 故③正确．
故选：C．
3．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件 表示“两个点数都是偶数”，事件
表示“两个点数都是奇数”，事件 表示“两个点数之和是偶数”，事件 表示“两个点数的乘积是偶数”．
那么下列结论正确的是（ ）
A． 与 是对立事件 B． 与 是互斥事件
C． 与 是相互独立事件 D． 与 是相互独立事件
【答案】D
【解析】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，
即一次试验，事件 和事件 可以都不发生，所以选项A错误；
对于选项B，因为 即两个点数都是偶数，即 与 可以同时发生，所以选项B错误，
对于选项C，因为 ， ，又 ，所以 ，故选项C错误，
对于选项D，因为 ， ，所以 ，所以选项D正
确，故选：D.
4．（2024·山西晋中·模拟预测）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，
每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示
事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列说法错误的是（
）
A．丙与丁是互斥事件 B．甲与丙是互斥事件
C．甲与丁相互独立 D． （乙 丙） （乙）+ （丙）
【答案】D
【解析】对于A：丙与丁不可能同时发生，所以丙与丁是互斥事件，A正确；
对于B：若第一次取出的球的数字是1，则两次取出的球的数字之和不可能是8，所以甲与丙不可能同时发生，
是互斥事件，B正确；
对于C： （甲） ， （丁） ， （甲丁） ，
则 （甲） （丁） （甲丁），所以甲与丁相互独立，C正确；
对于D：乙 丙包含的基本事件有 共10个，
乙包含的基本事件有 共6个，
丙包含的基本事件有 共5个，
所以P（乙 丙） P（乙）+P（丙），D错误.
故选：D.
考点五 概率的性质
【例5-1】（2024·江苏盐城·一模）已知随机事件A，B相互独立，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为事件A，B相互独立，且 ，可得 ，
所以 = .
故选：B.
【一隅三反】1 ．（2024·广东·三模） 为样本空间，随机事件A、B满足 ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
对于A，若事件 ，事件 ，则 ， ，但 ，选项A错
误；
对于C，若事件 ，事件 ，则 ， ，但 ，选项C错误；
对于D，若事件 ，事件 ，则 ， ，但 ，
选项D错误；
对于B，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，B正确；
故选：B.
2．（2024广西玉林·期末）（多选）已知事件A，B，且 ，则（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
【答案】ABD
【解析】A：由 ，则 ，正确；
B：由 ，则 ，正确；C：如果A与B相互独立，则 ，
，错误；
D：由C分析及事件关系知： ，正确.
故选：ABD.
3．（2024·全国·模拟预测）设 是随机事件，且 ，则 ．
【答案】 /0.125
【解析】因为 ，所以 ，
故 ．
故答案为：
一．单选题
1．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件 ，“点数之和为
4的倍数”是事件 ，则（ ）
A． 为不可能事件 B． 与 为互斥事件
C． 为必然事件 D． 与 为对立事件
【答案】B
【解析】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，“点数之和为5”是事件 有 共有4种情况；
“点数之和为4的倍数”是事件 有 共有9种情况；
对于选项A: 表示“点数之和为5或是4的倍数”， 不是不可能事件.故A错误；
对于选项B：A与B不可能同时发生．故B正确；
对于选项C： 表示“点数之和为5且是4的倍数”，是不可能事件，故C错误；
对于选项D： 与 不能包含全部基本事件，故D错误.
故选:B．
2．（2023·四川凉山·一模）设A， 是两个事件，且 发生A必定发生， ，给出下列各
式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 发生 必定发生，
（A）， （B），故A，D错误，
，故B错误，
，故C正确．
故选：C．
3．（2024·江西宜春·模拟预测）某学校高三年级共有900人，其中男生500人，现采用按性别比例分配的分层
抽样抽取了容量为90的样本. 经计算得男生的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差
为19，则下列说法中不正确的是（ ）
A．女生的样本容量为40
B．女生甲被抽到的概率为
C．估计该校高三年级学生身高的均值为166
D．估计该校高三年级学生身高的方差大于19
【答案】B
【解析】由题抽样比例为 ，故男生被抽到人数为 人；女生被抽到人数为 人，故A对；
所以女生甲被抽到的概率为 ，故B错；
由上以及题意得总样本均值为： ；
总样本方差为： ，故C、D对.
故选：B
4．（2024·江西鹰潭·模拟预测）下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（
）
A．这10年粮食年产量的极差为16
B．这10年粮食年产量的第70百分位数为35
C．这10年粮食年产量的平均数为33.7
D．前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差
【答案】 B
【解析】A选项，将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年
产量极差为 ，故A正确；
B选项， ，结合A选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即 ，故B
不正确；
C选项，这10年粮食年产量的平均数为 ，故C正确；
D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的
方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D正确．
故选：B
5．（2023·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点
数之和是偶数；事件A的概率为 ，事件B的概率为 ；则 是下列哪个事件的概率（ ）A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数
【答案】D
【解析】由题意，事件 为：两个点数都为奇数，
由概率 指的是事件 的对立事件的概率，
则事件 的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.
故选：D.
6．（2023·河南·二模）设 ， 是两个随机事件，且 发生 必定发生， ， ，给出下
列各式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ， 是两个随机事件，且 发生 必定发生，知： ，即 ， ，
所以 ， ， ，A、B、D错，C对；
故选：C
7．（2024·河南南阳·三模）甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.
先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以 ， ， 表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取
出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以 表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是
（ ）
A．事件 ， ， 是两两互斥的事件 B．事件 与事件 为相互独立事件
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ， ， ，
显然事件 ， ， 是两两互斥的事件，故A正确；
，故D正确；
， ，所以 ，故事件 与事件 不是相互独立事件，故B错误；
，故C正确；
故选：B.
8．（2024·广东佛山 ）已知事件A，B，C的概率均不为0，则 的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为 ，由 ，
只能得到 ，并不能得到 ，故A错误；
对于B，由于不能确定 ， ， 是否相互独立，
若 ， ， 相互独立，则 ， ，
则由 可得 ，
故由 无法确定 ，故B错误；
对于C，因为 ，
，
由 ，只能得到 ，
由于不能确定 ， ， 是否相互独立，故无法确定 ，故C错误；
对于D，因为 ， ，
又 ，所以 ，故D正确；
故选：D.
二．多选题9．（2024·广东广州·三模）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整
数）分成 ， ， ， ， 五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（ ）
A．图中a的值为0.005 B．低于70分的考生人数约为40人
C．考生成绩的平均分约为73分 D．估计考生成绩第80百分位数为83分
【答案】AC
【解析】对于A，由 ，解得 ，故A对；
对于B，低于70分的考生人数约为 ，故B错；
对于C，考生成绩的平均分约为
，故C对；
对于D，成绩落在 内频率为 ，
落在 内频率为 ，
故考生成绩第80百分位数落在 ，设为m，
由 ，解得 ，
故考生成绩第80百分位数为82.5分，故D错误；
故选：AC
10．（2024·广东湛江·二模）广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ）A．湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B．湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C．湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D．湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万
【答案】ACD
【解析】由图可知，湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为 (万),A正确;
这6年的常住人口前3年呈递增趋势，后三年也递增，但后三年的常住人口低于前3年，B错误.
湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12，703.09，703.54，730.50，
732.20，736.00，
，所以第60百分位数为730.50万，中位数为 （万），C，D均正确.
11．（2024·山东日照·二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件 ，“乙正面向
上”为事件 ，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 与 相互独立 B． 与 互斥 C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，依题意 ， ， ，
所以事件 与事件 相互独立，故A正确；
对于B，由题意可知，事件 与事件 有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件 与事件 不是互斥事件，故B错误；
对于C、D， ，因为 ，所以 ，
所以 ，故C正确，D错误．
故选：AC．三．填空题
12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办
公室分配2人，则恰好甲､乙两人打扫同一个办公室的概率为 .
【答案】 /
【解析】指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，
每个办公室分配2人有 种分配方法，
恰好甲､乙两人打扫同一个办公室的有 种分配方法，
则恰好甲､乙两人打扫同一个办公室的概率为 .
故答案为：
13．（2024·重庆·模拟预测）袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、
乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ．
【答案】
【解析】记“甲、乙、丙三人都抽到蓝色球”为事件A，“甲、乙、丙三人至少有一人抽到红色球”为事件
B，则事件 为对立事件.
因为 ，所以 ，即至少有一人抽到红色球的概率为 ．
故答案为：
149．（2024·天津武清·模拟预测）某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办
垃圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为:抢答3道题，每题10分，
答对得10分，答错自己不得分，对方得10分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的
获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为 ，记事件A为“答第一道题，甲选手得分”，则
，记甲选手的得分为 （单位，分）， ．
【答案】
【解析】由题意可知：事件 包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况，所以 ；
若 ，可知抢答3道题，其中有2道题甲得分，
所以 .
故答案为： ； .
四．解答题
15．（2024·陕西安康·模拟预测）近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过
去6个月的利润率统计如下：
A公司 3 2 1
B公司 2 2 2
利润率 ，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
(1)比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小；
(2)用频率估计概率，且假设A，B两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月A，B两公司至少
有一家盈利的概率．
【答案】(1) 公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率；
(2) .
【解析】（1）A公司过去6个月平均每月的利润率为 ，
B公司过去6个月平均每月的利润率为 ，
因为 ，
所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率．
（2）A公司过去6个月盈利的频率为 ，
B公司过去6个月盈利的频率为 ，
用频率代替概率，可知A，B两公司未来某个月盈利的概率分别为 ．设A，B两公司盈利分别为事件 ， ，由题知 与 相互独立，
所以所求概率为 ．
16．（2024·重庆·三模）我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：
学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于 某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检
测，这批供暖器的噪声 单位：分贝 和热效率的频率分布直方图如图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.
(1)求a，b的值；
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效
率不低于 的概率；
(3)当 ，设供暖器的噪声不超过 （分贝）的概率为 ，供暖器的热效率不低于 的概率为
，求 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【解析】（1）由题意得 ，
解得 ，
，
解得 ；
（2）供暖器的噪声不超过25分贝的概率为 ，
其热效率不低于 的概率为 ，
每1件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为 ，
抽2件中恰有1件符合题意的概率为 ；（3） ，
，则 ，
当
，则
当 ， ，
，则 ，
的取值范围是
17．（2024·浙江·模拟预测）将号码为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码为1，2，3，4的4个盒子中，
每个盒子恰放1个小球．
(1)求1号球不在1号盒中的概率；
(2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X，不同的个数为Y，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）记事件“1号球不在1号盒中”为A，则 ；
（2）X的取值为0，1，2，4，且 ，
， ，
， ，
所以 ， ，
时， ， 时， ，此时 ，则 ，
时， ，此时 ， ，
时， ，此时 ， ，，
因为 ，所以 ．
18．（2024·新疆·三模）某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小
学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.现调查了1万个当地学生的
时间利用信息，得出下图.
(1)根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数）
(2)从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率；
(3)与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议.
【答案】(1)平均值9.63，8.64，方差0.03，0.05
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）设小学生的平均睡眠时间为 ，方差为 ；设初中生的平均睡眠时间为 ，方差为 .
，
，
.（2）设事件 为两个年级均来自高中，则 .
（3）与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4个小时，睡眠时间增加了近一个小时，建议大学生充实在
校生活，增加学习时间以更好地提升自己.(答案不唯一）
19．（2024·福建泉州·模拟预测）测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中
间和右侧的概率分别为0.5，0.1和0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有0.1，0.2和0.2的概率踢飞或踢
偏（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运
动员甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别
为0.6，0.1和0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点
球的的概率为0.8.
(1)求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的概率；
(2)若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的前提
下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会变得着
急，会有0.2的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守
门员乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第
二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动.
（i）求球员甲第二轮罚进点球的概率；
（ii）设 为球员甲在第k轮罚进点球的概率，若 满足对于 ， ，直接写出符合题意
的 .（注：最终结果均保留两位小数.）
【答案】(1)0.34；
(2)（i）0.67；（ii） .
【解析】（1）设球员甲罚点球时，踢向左侧、中间、右侧的事件分别为 ，
球员甲踢飞或踢偏（没有射正）的事件为D，守门员乙在扑点球时扑向右侧、中间、左侧的事件分别为，
守门员乙扑出点球的事件为E，
则 ， ，
，
设球员甲第1次罚点球罚丢的事件为F，则 为互斥事件，
则
.
（2）（i）当球员甲在上一轮罚丢点球时，守门员乙所有方向扑出点球的概率都增加0.1，
或者守门员乙提前移动时，所有方向扑出点球的也增加0.1，因此球员甲第二轮罚进点球包含以下4个互斥事
件：
第一轮罚进，第二轮守门员乙未提前移动且罚进，概率为 ；
①
第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动且罚进，此时罚丢点球的概率为
②
，
此时罚进的点球的概率为 ；
第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动未罚进，
③
此时罚进的概率为 ；
第一轮未罚进，第二轮罚进，此时罚进的概率为 ，
④
所以第二轮球员甲罚进的概率为 .
（ii） .
由（1）及（2）（i）知， ，
则第三轮的情况如第二轮时情形，但第二轮罚进点球的概率增加了，
因此第三轮罚进点球的概率比第二轮时要高，从而 随 的增大而增大，于是若 满足对于 ，均有 ，则 .
