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专题 34 概率
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：概率的相关概念................................................................................................................................2
考点二：概率的计算方法................................................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：概率的相关概念................................................................................................................................3
题型一：事件的分类................................................................3
题型二：判断事件发生可能性的大小..................................................3
题型三：理解概率的意义............................................................4
题型四：判断几个事件概率的大小关系................................................5
考点二：概率的计算方法................................................................................................................................5
题型一：根据概率公式计算概率......................................................5
题型二：根据概率作判断............................................................6
题型三：利用概率求数量............................................................7
题型四：列举法求概率..............................................................9
题型五：画树状图法/列表法求概率..................................................10
题型六：几何概率.................................................................12
题型七：频率估计概率.............................................................16
题型八：用频率估计概率的综合应用.................................................18
题型九：放回实验概率计算方法.....................................................22
题型十：不放回实验概率计算方法...................................................24
题型十一：游戏公平性.............................................................27
题型十二：概率的应用.............................................................30
题型十三：概率与统计综合.........................................................33专题 34 概率
模块一：基础知识
考点一： 概率的相关概念
1. 概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，
记为P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
随机事件出现的次数
概率公式： P(随机事件)= .
所有可能出现的结果数
2.确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生， P(必然事件)=1
定 事件 这些事情称为必然事件。
事
不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发 P(不可能事件)=0
件
事件 生，这些事情称为不可能事件。
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 0＜P(随机事件)＜1
（随机事件） 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
考点二：概率的计算方法
m
1.公式法：P（A）= ，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
n
2.列举法
（1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过
列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
（2）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
（3）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等.
（4）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
3.画树状图法
（1）当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状
图法.
（2）画树状图法求概率的步骤：
①明确试验由几个步骤组成；
②画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
③根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
4.列表法
（1）当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
（2）列表法求概率的步骤：
①列表，并将所有可能结果有规律地填人表格；
②通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
m
③利用概率公式P(A)= ，计算出事件的概率．
n
5.用频率估计概率的方法（1）通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显
示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
（2）适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相
等时，一般通过统计频率来估计概率．
模块二：题型分类
考点一：概率的相关概念
题型一：事件的分类
1.如图，掷两枚质地均匀、大小完全相同的骰子，则下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷得的点数和为5 B．掷得的点数和为9
C．掷得的点数和大于15D．掷得的点数和小于13
2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
3.下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽 B．如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a
C．打开电视，正在播广告 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
4.下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
5.彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
6.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都
可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
7.下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起 B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和是540°
题型二：判断事件发生可能性的大小
1.下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（
）
A． B． C． D．
2.袋中有白球3个，红球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能
性更大，那么袋中红球的个数是（ ）
A．2个 B．不足3个 C．4个 D．4个或4个以上
3.下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上 B．三角形的内角和是180°
C．明天会下雨 D．明天的数学测验，小明会得满分4.某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人
的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个
不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同
5.袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球
的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
6.将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有 1～4四个数字，随机抽出一张，出现可能性最大
的是（ ）
A．数字大于2的卡片 B．数字小于2的卡片 C．数字大于3的卡片 D．数字小于4的卡片
题型三：理解概率的意义
1.小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面
几种说法正确的是（ ）
A．小亮明天的进球率为10% B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球 D．小亮明天肯定进球
2.抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下列判断正确的是（ ）
A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次
B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次
C．连续掷2n次时，正面朝上一定会出现n次
D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5
3.“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
4.如图，某天气预报软件显示“扬州市邗江区明天的降水概率为85%”，对这条信息的下列说法中，正确
的是（ ）
扬州市邗江区天气
12－16℃
日出06：43 日落17：18
体感温度 降水概率 降水量 空气质
量
14℃ 85% 1.0mm 优
A．邗江区明天将有85%的时间下雨 B．邗江区明天将有85%的地区下雨
C．邗江区明天下雨的可能性较大 D．邗江区明天下雨的可能性较小
5.县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为90%，下列理解正确的是（ ）
A．明天千岛湖镇下雨的可能性较大 B．明天千岛湖镇有90%的地方会下雨
C．明天千岛湖镇全天有90%的时间会下雨 D．明天千岛湖镇一定会下雨6.在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（
）
A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌(一张黑桃，一张红桃)
C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉
题型四：判断几个事件概率的大小关系
1.在4个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的10个球，任意摸出1个球，摸到红球可能性最大的是
（ ）
A．1个红球，9个白球 B．2个红球，8个白球
C．5个红球，5个白球 D．6个红球，4个白球
2.在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，
袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上
3.任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ）
A．朝上一面的点数大于2 B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数 D．朝上一面的点数是3的倍数
4.下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（ ）
A．朝上的点数为2 B．朝上的点数为7
C．朝上的点数为2的倍数 D．朝上的点数不大于2
5.一个不透明的盒子中装有1个红球和2个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，
则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大
6.桌子上有6杯同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯双氧水，从6个杯子中随机
取出1杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ．（填序号 即可）①取到75%的酒精；②取
到双氧水；③没有取到75%的酒精；④取到84消毒液．
考点二：概率的计算方法
题型一：根据概率公式计算概率
1.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）掷一次，朝上一面点数是1的
概率为 ．
2.在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红
球的概率是（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 4
3.书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
4.老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
5 4 3 45.从有理数−1，0，1，2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线y=−x+1上的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 4 3
6.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯
的概率是（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
2 4 3 12
7.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；
③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（
）
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 2 6 3
8.一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相同．现按下列方案向袋中增加或减
少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄球的概率相等的方案是（ ）
A．增加2个白球 B．减少2个黄球
C．增加1个白球、减少1个黄球 D．增加4个白球、3个黄球
9.如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内
的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是 ．
题型二：根据概率作判断
1.一只盒子中有红球m个，白球6个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球
的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m+n=6 B．m+n=3 C．m=n=3 D．m=2，n=4
2.一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，1
请写出概率为 的事件： ．
3
3.一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是
黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m与n的关系一定正确的是（ ）
A．m=n=8 B．n−m=8 C．m+n=8 D．m−n=8
4.已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是0.5，则在一定时间段内，由该元件组
成的图示电路A，B之间，电流能够正常通过的概率是 ．
5.在一个不透明的袋子中装有3个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外其它均相同，现添加1个同
1
种型号的球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是 ，则添加的球是（ ）
3
A．红球 B．白球 C．黑球 D．任意颜色
6.一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概
1
率小于 ，则密码的位数至少需要（ ）位．
999
A．3位 B．2位 C．9位 D．10位
7.不透明的袋子里装有红、黑、白三种颜色的小球，它们质地、形状完全相同，从袋子中随机抽取一个小
1
球，记事件A为“抽到红球”，事件B为“抽到红球或黑球”，若P(A)= ，则P(B)的取值范围是
2
．
题型三：利用概率求数量
1.不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融
图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机
1
摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是 ，则n的值是 ．
5
2.一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的
1
概率为 ，则这个箱子中黄球的个数为 个．
4
3.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的
球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
4.一个不透明的口袋中装有n个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入两个红球，它们除颜色外其它
完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．243
5.袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为 ”，
4
则这个袋中白球大约有 个．
6.在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个
球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个
数约为 ．
7.在不透明的袋子里装有2个红球和1个蓝球，红球和蓝球除颜色外其余都完全相同．
(1)从袋子中一次摸出两个球，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球是一红一蓝的概率；
3
(2)若再向袋中放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为 ，求后来放入袋
4
中蓝球的个数．
8.在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，
1
黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 ．
3
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
1
(2)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率 若能，请写出如何调整白球
4
数量；若不能，请说明理由．
9.黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色
的小球共4个，这些球除颜色外无其它差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放
回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球实验．下表是这次活动的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 26 38 50 127 197 251
摸到白球的频率
m 0.260 0.253 0.250 0.254 0.246 0.251
n
(1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为
___________（精确到0.01）；
(2)试估算盒子里有多少个白球？
(3)根据第（2）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的概率．
题型四：列举法求概率
1.现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ．
2.在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电阻及若干条导线连接如图所示的电
路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是 ．
3.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由
三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色
小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
1 3 1 2
A． B． C． D．
3 8 2 3
4.从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
5.有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4张，现正面朝下放置在桌面
上，将其混合后，一次性从中随机抽取两张，则抽中卡片上正面的图形都是中心对称图形的概率为
．
6.暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位
（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法
有（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
7.如图，三根同样的绳子A A 、BB 、CC 穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次
1 1 1
各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等．
(1)姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子BB 的概率为_______________；
1(2)在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端A 、B 、
1 1
C 三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．
1
8.宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠； ③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 18 24 64
9.看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每
匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的
概率为 ．
马匹 中等
下等马 上等马
姓名 马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
10.如图，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
1 2 3
11.某地区2月上旬的空气质量指数（AQI）（单位：ug/m3）如下表所示：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AQI/（ug/m3） 28 31 44 37 41 78 45 113 50 29
AQI不高于75ug/m3表示空气质量优良．如果小李2月上旬在该地区度假三天，那么在他度假期间该地区
的空气质量都是优良的概率是 ．
题型五：画树状图法/列表法求概率
1.周至县历史悠久，山川秀丽，风景名胜与文物古迹颇多，人文和自然景观十分丰富，汉家离宫唐家园林，
星罗棋布．小刚和小强两人准备从A．楼观台国家森林公园，B．黑河国家森林公园，C．沙河湿地公园，
D．终南山鼓楼观景区中各自任意选择一景点游玩．楼观台国家森林公园 黑河国家森林公园 沙河湿地公园 终南山鼓楼观景区
(1)小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率为 ；
(2)请用列表法或画树状图的方法求两人选择的景点不同的概率．
2.在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食
安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取
一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 3 4
3.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 3 2
4.为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，
则甲被抽中的概率是（ ）
1 1 3 5
A． B． C． D．
2 4 4 12
5.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和
小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 3
6.班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在
①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
7.一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；
(2)搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的
方法，求2次都摸到红球的概率．8.一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先
从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
9.有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为
6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为
15kg的概率．
10.如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，
其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好
停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________．
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树
状图法求满足a+b<0的概率．
题型六：几何概率
1.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 6 82.如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，
指针停止后落在黄色区域的概率是( )
1 1 1 7
A． B． C． D．
6 4 3 12
3.将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 5 5
4.如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，
扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没
有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
π π √10π √5π
A． B． C． D．
12 24 60 60
5.如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧
恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB=1，则该点取自阴影部分的概率为 ．6.一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
7.“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是
用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影
部分）的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
32 24 16 8
8.正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1为半径画弧，得到如图所示的阴影
部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为 .
9.如图，正方形ABCD及其内切圆O，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
π π π π
A． B．1− C． D．1−
4 4 8 810.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，
他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝
长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结
果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为
（ ）
A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2
11.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全
相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
12.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结BD交AF、
CH于点M、N．若DE平分∠ADB，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
．
13.如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF
的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．14.如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入
一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ）
4 2 8 20
A． B． C． D．
27 9 27 27
15.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域
的概率是 ．
16.如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在线段BC上，OF⊥OE交CD于点F，小
明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
题型七：频率估计概率
1.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 800 1000
射中九环以上次数 18 68 82 166 330 664 832
射中九环以上的频
0.90 0.85 0.82 0.83 0.825 0.83 0.832
率根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是 .（精确到0.01）
2.为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原
鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼
苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 鱼池（填甲或乙）3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸
出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．15
4.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合
这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
5.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随
机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到
红球，则口袋中红球的个数约为 ．
6.2025年3月12日是我国第47个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在
同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
7.《卖油翁》中，翁曰：“我亦无他，惟手熟尔”．如图，已知铜线的直径为3cm，厚度为0.2cm，一枚
铜钱的平均密度约为9g/cm3．为计算铜钱的质量，做如下实验：将一滴油随机滴在铜钱上，重复m次，
记录下油恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 g（用含m，n，π
的式子表示）．8.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后
从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”
的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，
小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
3
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
5
题型八：用频率估计概率的综合应用
1.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用
黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机
掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积
约为 cm2．
2.斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于NBA金州勇士队，下表是库里一段时间内在
罚球线上训练投篮的结果记录：
罚球总数 400 1000 1600 2000 2887
命中次数 348 893 1432 1802 2617
罚球命中
0.87 0.893 0.895 0.901 0.906
率
根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为 （精确到0.1）
3.一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，
闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4
附近．(1)估计摸到红球的概率是__________________________；
(2)如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
(3)在（2）的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.7附近，
求n的值．
4.不透明袋子中装有红、黄小球各若干个，这些球除颜色外无其他差别．把“从袋子中随机摸出一个小
球”作为试验，每次试验后，将摸出的小球放回摇匀，再进行下一次试验．试验数据显示：大量重复试
验后，摸出红球的频率越来越稳定于0.2，则下列对于袋子中球的数量的估计，最合理的是（ ）
A．红球有2个 B．黄球有10个
C．黄球的数量是红球的4倍 D．黄球和红球的数量相等
5.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符
合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
6.某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下：
射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500
射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455
射中靶心的频率
m 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91
n
下列说法正确的是（ ）
A．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90
B．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90
C．该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次
D．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次7.根据你所学的概率知识， 回答下列问题：
(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落
地后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明)
(2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：
抛掷次数 m 500 1000 1500 2500 3000 4000 5000 10000
“正面朝上”的次数
265 512 793 1306 1558 2083 2598 5204
n
“正面朝上”的频率
n 0.530 0.512 0.529 0.522 0.519 0.521 0.520 0.520
m
根据上表， 下面有三个推断：
①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是0.512， 所以“正面朝上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在0.520附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计
“正面朝上”的概率是0.520；
③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558
次；
其中推断合理的序号是________．
8.某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg柑橘．销售人员先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行
“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中．
柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
m
柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
n
(1)根据表中的数据，估计这10000kg柑橘中损坏的概率是______；（结果保留小数点后一位）
(2)在（1）的条件下，如果公司希望这些柑橘的销售利润能超过5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的
柑橘）时，每千克至少定价多少元？（结果保留小数点后一位）9.某果园为了实现自动化管理，计划安装不少于2台大型自动喷水机，当降雨量少时喷水机可以对果树自
动灌溉．统计了过去50年的年均降雨量资料，得到如下的频数分布直方图，假设各年的年均降雨量互不
影响，以过去50年的年均降雨量为样本．
(1)估计未来1年中，年均降雨量低于1700的概率．
(2)每年自动喷水机需要运行台数受年均降雨量X限制．并有如下关系：
年均降雨量X 900≤X≤1300 1300≤X≤1700 1700≤X≤2100
喷水机需要运行台数 3 2 1
若一台喷水机运行，一年为果园带来80万元的利润；著某台喷水机未运行，一年也得要投入40万元的费
用；如果由于缺水，少开一台喷水机将使果园损失50万元．欲使果园在喷水机项目上实现年利润的平均
值达到最大，需安装几台喷水机？
10.国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加
强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年
级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完
整的统计图表：
频
组别 睡眠时间分组 频率
数
A t<6 4 0.08
B 6≤t<7 8 0.16
C 7≤t<8 10 a
D 8≤t<9 21 0.42
E t≥9 b 0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a=________，b=________；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是________°；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，
向学校提出一条合理化的建议．题型九：放回实验概率计算方法
1.甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张
卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己
制作的卡片的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 6 9 27
2.一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．随机摸取一个小球然
后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（ ）
2 13 3 12
A． B． C． D．
5 25 5 25
3.不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4．随机摸出一个小球，记录其
数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数字不相同的概率是 ．
4.有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字−1、−2、1、2，将四张卡片背面朝上，任抽一张
卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，则函数y=ax+b的图像不经
过第二象限的概率是 ．
5.在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 1，3，4，5 的小球．它们的形状、大小、质地等完全
相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小
球，记下数字为 y．
(1)列出表示点(x,y)的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数y=5x的图象上的概率．
6.一个不透明的箱子里装有1枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外其他完全相同，每次把箱子
里的棋子摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到黑棋子
1
的频率稳定于 ．
3
(1)请你估计箱子里白棋子的数量；
(2)若一个不透明的袋子里装有2枚黑棋子和1枚白棋子，从箱子和袋子里各随机摸出一枚棋子，请用树
状图或列表法求摸出的两枚棋子颜色不同的概率．7.为庆祝党的二十大胜利召开，阳光中学举行作文比赛，题目有“科技托起强国梦”“家乡的新变化
““时代赋予我们的使命”．比赛时，将这三个作文题目写在三张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀
后正面向下放在桌面上，然后参赛学生依次抽取：乐乐先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由贝
贝从中随机抽取一张卡片，……，每人所抽取到的卡片题目均为自己此次参赛作文的题目．
(1)贝贝抽中题目“家乡的新变化“的概率是 ．
(2)请用画树状图或列表的方法表示出乐乐和贝贝两人抽取的所有可能的结果，并求出他俩抽中不同题目
的概率．（三个作文题目分别用字母A，B，C表示）
8.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：
将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常
数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树
状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
9.在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．
小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下
数字为y．
(1)用列表法或画树状图表示出(x,y)的所有可能出现的结果；
3
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在反比例函数y= 的图象上的概率．
x题型十：不放回实验概率计算方法
1.豫剧，又叫河南梆子、河南讴、土梆子等，是发源于河南省的一个戏曲剧种．如图，豫剧爱好者小华购
买了《豫剧》特种邮票1套3枚，第1枚《花木兰》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝阳沟》，并计
划把其中的两枚送给好朋友乐乐和妙妙．小华将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），先让
乐乐从中随机抽取一枚（不放回），再让妙妙从中随机抽取一枚，则妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率
是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
6 9 9 3
2.盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿
地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三
宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计了 3张环保宣传卡片，正面分别
绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．
(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为
_____；
(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，
请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
3.甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽起一本（不放回），三位同学抽到的
课本都是自己课本的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 6 5 4
4.中国一中亚峰会于5月18日至19日在陕西省西安市举行，让千年古都再次聚焦世界的目光．也让每一
个西安人、陕西人感到骄傲．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“喜”、“迎”、“中”、
“亚”、“峰”、“会”的六个小球
(1)若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为 ；
(2)从袋中任取一个小球，不放回．搅匀后再从剩下的五个小球中任取一个，请用画树状图或列表法（汉
字不分先后顺序）求出取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率．5.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了
“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小
乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再
从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
6.在一个不透明的布袋中，有红，白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球1个，现从中任
2
意摸出一个红球的概率为 ．
3
(1)求袋中红球的个数为___________．
(2)搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．请用树状图或表格求两次
都摸到红球的概率．
7.一个不透明的箱子里装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色不同外其他都相同，则从箱子中先后不放
回摸出两个球，则摸出的两球是1个黄球和1个红球的概率为 ．
8.从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为1、2、2、3，将这四张扑克牌背面，朝上洗匀，
从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽取
的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率．
9.将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3
个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，则摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率 ；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，用列表法或画树状图法求
2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．10.中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，
承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、
新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．
根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的
数量及市场份额的统计图如图所示：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，
其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一
张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．11.随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为人民群众喜闻乐见的运动方式．为让青少年以
享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，并随机在八、
九年级各抽取了20名学生的成绩（百分制），部分过程如下：
收集数据：八年级20名学生的成绩如下：
80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，85
整理数据：八年级20名学生成绩频数分布表：
等级 D C B A
成 绩 x
60<x≤70 70<x≤80 80<x≤90 90<x≤100
（分）
人数（人） 5 9 a 2
分析数据：八、九年级20名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下表：
中 位
年级 平均数 众数 优秀率
数
八 年
78.25 b 75 10%
级
九 年
82.75 82.5 80 25%
级
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)填空：a=___________，b=___________；
(2)估计该校九年级参加竞赛的500人中，成绩在90分以上的人数；
(3)在收集九年级20我学生成绩的过程中，误将一个数据“80”写成了“85”，小宇认为从中位数角度看，
不会影响该校学生户外运动知识一般水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由；
(4)随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增长，露营、钓鱼、骑行、爬
山等户外运动项目逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式之一、为近一步了解户外运动的参与群体，小宇
和小强收集了印有这四种户外运动项目的图案的卡片（依次记为L，D，Q，P，除正面编号和内容外，
其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽
取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是Q（骑行）和P（爬山）的概率．
题型十一：游戏公平性
1.甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙
胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测2.两个可以自由转动的转盘A、B都被分成3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），
指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，将指针所指两个区域内的数字相乘
（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘）．
(1)试用列表或画树状图的方法，求数字之积为3的倍数的概率；
(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5
的倍数时，小芸得3分．你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得分
规定，使游戏对双方公平．
3.小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和
小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两
个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中
随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编
号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
4.哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2，3，将标有数字的一面朝
下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字
之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方______．(填“公平”或“不公
平”)
5.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游
戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如
果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看
否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
6.桌面上放有形状大小相同的甲、乙两组扑克牌，它们背面朝上，甲组扑克牌是红桃 2，红桃3和黑桃
4；乙组扑克牌是黑桃5、黑桃6、红桃7，
(1)洗匀后随机从甲组扑克牌中摸出一张牌以上面的数作为个位数字，从乙组扑克牌中摸出一张以其上
的数作为十位数字，组成的两位数是偶数的概率是______；
(2)黄震和程祥约定了一个游戏规则：从洗匀后的甲、乙两组扑克牌中各随机摸出一张牌，若摸出的两
张牌花色相同，则黄震胜；若花色不同，则程祥获胜，这个游戏规则是否对双方公平？请用列表法或树状图法说明
7.甲、乙两名同学正在玩下表中的三个游戏，游戏规则如表所示，游戏过程中应不放回地取球．下列说法
正确的是（ ）
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜
2个红球和2个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
色
取球规则 取1个球 依次取2个球 依次取2个球
取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
获胜规则
两个球不同色→乙 两个球不同色→乙
取到白球→乙胜
胜 胜
1 5
A．甲在游戏1取胜的概率为 B．甲在游戏3取胜的概率为
4 8
C．游戏2对甲、乙双方都公平 D．乙在游戏2中最容易取胜
8.如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 （填“甲”或“乙”）
一定获胜；
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ．
9.现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红
球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，
若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规
则对双方是否公平．题型十二：概率的应用
1.某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要
损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情
况后，预测下月好天气的机会是60%，坏天气的机会是40%，则作出决策为______（填“出海”、“不
出海”）．
2.商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种：
方案一：购物每满200元减66元；
方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片
中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为w，w
的值和享受的优惠如表所示．
w的值 2 6 10
实 际 付
8折 7折 6折
款
(1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率；
(2)若某顾客的购物金额为a元（200<a<300），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时
a的取值范围．
3.某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方
案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘 A、B，这两个转
盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在
分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼 金 券
18 9 18
（元）
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较
为实惠．4.有四个完全相同的小球，分别标注−2，−1，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，
从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作P （如：P 是任取两个数，其和的绝对值
k 3
为3的概率）
(1)用列表法求P
1
；
(2)张亮认为：P 的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；
k
(3)能否找到概率P，P ，P （i< j<m），使P +P +P =0.5．若能找到，请举例说明；若不能找到，
i j m i j m
请说明理由．
5.某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个
装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额
设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖 励 （ 单 位 ： 1
5 20
元） 0
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
(1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率；
(2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利?
6.一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的
扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，
则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数
字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转
动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止．
（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；
（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．7.在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的
课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的
“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题
有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求
助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______；
(2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的
概率；
(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
8.一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有4个选项，第二道题有
3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去
掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
9.某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2
个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两
个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入
口进入．
(1)求甲从A口进入，C口离开的概率；
(2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率．
(3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级 80人，九年级150人，九年级160人，比
赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生
从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．题型十三：概率与统计综合
1.某校七、八年级共有600名学生，为了解该校七、八年级学生对诗词知识的掌握情况，从七、八年级学
生中各随机抽取15人进行诗词知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分 10分，8分
及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，
8，9，9，9，9，10；八年级抽取学生的测试成绩条形统计图
七八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 8 a
中位数 b 8
优秀率 80% 60%
(1)填空：a=______，b=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生诗词知识掌握得较好？请说明理由（写出
一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对诗词知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的3名学生中随机抽取2人参加市诗词知识竞赛，请用列表或画树状图法，
求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
2.某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比
赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，
将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．
(1)这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？
(2)分别计算这次预赛中一班成绩的平均数；
(3)已知一班成绩A等的4人中有2个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A
等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的 2人中至少有1个男生
的概率．3.某校为了改善学生伙食状况，更好满足校园内不同民族学生的饮食需求，充分体现对不同民族学生饮食
习惯的尊重，进行了一次随机抽样调查，调查了各民族学生的人数，绘制了两幅不完整的统计图，如图．
请根据图中给出的信息，回答下列问题：
(1)调查的样本容量为______，并把条形统计图补充完整；
(2)珞巴族所在扇形圆心角的度数为______；
(3)学校为了举办饮食文化节，从调查的四个民族的学生中各选出一名学生，再从选出的四名学生中随机
选拔两名主持人，请用列表或画树状图的方法求出两名主持人中有一名是藏族学生的概率．
4.某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了
以下不完整的统计图表（如下图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
0<x≤20 20
20<x≤40 a
40<x≤60 25
60<x≤80 15
x>80 10
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中a=______．
(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60<x≤80”所对应的圆心角度数．
(3)若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数，
(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书
分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表
法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．5.某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽
取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
60≤x<70 10 0.1
70≤x<80 15 b
80≤x<90 a 0.35
90≤x≤100 40 c
请根据图表信息解答下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)补全频数直方图；
(3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表
或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
6.某市初中开放性科学实践活动是通过网络平台进行活动选课，活动项目包括六个领域，A：自然与环境，
B：健康与安全，C：结构与机械，D：电子与控制，E：数据与信息，F：能源与材料．为了了解某区学生
自主选课情况，随机抽取了一部分初三学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)本次调查活动采取的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)本次调查抽取的学生有 人，扇形统计图中m的值是______；
(3)已知选择“A：自然与环境”的20名学生中有12名男生和8名女生，若从这20名学生中随机抽取一名，
且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是______；
(4)若该区初三共有学生3000人，则该区初三学生中选择D：电子与控制的约有______人．7.2024年，中国科技取得10项重大突破，其中4项和安徽有关，分别是A．“人造太阳”刷新世界纪录；
B．“九章2.0”和“祖冲之2.0”的出现；C．光存储时间达1小时；D．证明凯勒几何核心猜想．为调查学
生对这4项科技最想了解的情况，某校对九年级部分学生进行了随机调查（每人只能选一个），根据调
查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
(1)参加这次调查的学生总人数为________；扇形统计图中，D部分扇形所对应圆心角的度数是________；
将条形统计图补充完整；
(2)该校九年级共有800名学生，按照此调查结果，估计最想了解C项目的学生人数；
(3)在所调查的学生中随机抽取甲、乙两名学生，求恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率．
8.某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展了主题为“防诈、反诈”的专题调查活动，采取随机抽样
的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“ B．比较了解”、“ C．基本了解”、
“ D．不太了解”四个等级，将所得数据进行整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图表，请你结合图
表中的信息解答下列问题：
等级 A B C D
频数 110 50 36 n
频率 0.55 m 0.18 0.02
(1)表中m的值为 ，n的值为 ；
(2)扇形统计图中，等级B所对应的扇形的圆心角是 °；
(3)若该校从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人参加市里的比赛，求甲、乙两人恰好同时选中的概率．9.在加强对中小学生“双减”和“五项管理”政策下，某校为了了解在教学改革模式下九年级期末数学成
绩，随机抽取 40 名学生抽测，满分为 50 分，并将测试成绩分成五档：A 档：40≤x≤50；B 档：
30≤x<40；C档：20≤x<30；D档：10≤x<20；E 档：0≤x<10，绘制频数分布图如下，已知在
20≤x<30这一组的具体得分（单位：分）是20、26、22、27、28、26、 26、26、24、29、27、21、
28、27．
(1)在20≤x<30这一组成绩数据中，中位数为 ，众数为 ，并补全频数分布直方图；
(2)若成绩不低于40分为优秀，该校九年级有1800名学生，则该校九年级期末数学成绩优秀的学生约有
多少名？
(3)该校举办“一帮一”活动，在A档中随抽取两名学生，在E档随抽取两名学生，则该4名同学中随机抽
取2名学生，恰好抽出一名A档学生和一名E档学生的概率是多少？
10.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”河南省
实验中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，学校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查
了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在40≤x<60范
围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：
人数
课外阅读时间x（min） 等级
0≤x<20 D 3
20≤x<40 C a
40≤x<60 B 8
x≥60 A b
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的a=______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(2)阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是______min；根据调查结果，请你估计全校600名同学课
外阅读时间不少于40min的人数有______人；
(3)A等级学生中只有一名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列
举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
