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8.1 平面向量的线性运算及基本定理考点一 平面向量概念的辨析
【例1】（2024陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
【答案】C
【解析】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若 同向共线， ，
若 反向共线， ，
若 不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知 .
综上可知对于任意向量 ，必有 ，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
【一隅三反】
1（2024重庆北碚·期中）（多选）下列说法错误的是（ ）
A． 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．
【答案】AB【解析】对于A，若 ，则 的方向相同或相反， 所在的直线与 所在的直线平行或在同一直
线上，故A不正确；
对于B，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B不正确；
对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：AB.
2．（2024广东江门·阶段练习）设 是非零向量，则 是 成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于非零向量 ，
由 可知向量 共线，但不一定是 ，所以充分性不成立；
由 ，可知向量 共线同向，则 ，所以必要性成立，
所以设 是非零向量，则 是 成立的必要不充分条件，
故选：C.
3．（2024安徽黄山 ）以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行 B．若 ， ，则
C．若 ( 为实数)， 则必为零 D． 和 都是单位向量，则
【答案】A
【解析】对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；
对于B， 时，满足 ， ，但 不一定成立，故错误；
对于C, 时， 或 ，故错误；
对于D， 和 都是单位向量，则 ，但 不一定成立，故错误．故选：A．
4．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则
D． 恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取 ，满足 ， ，但 、 不一定共线，A错；
对于B选项，若 与 共线且模长相等，则 或 ，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项， 恒成立，D对.
故选：ABC.
考点二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2024·广东汕头·三模）已知四边形 是平行四边形， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在 中，由 ， ，
得 .
故选：A
【例2-2】（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形 中， 是 的中点， 是 上的
一点，且 ，则下列说法正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】 ，故A正确，B错误；
因为 ，
所以
，故C错误，D正确.
故选：AD.
【例2-3】．（2024·江西·二模）在 中，已知 ， 为线段 的中点，若 ，则
．
【答案】
【解析】根据题意，在 中，已知 ，则 ，
由于 为线段 的中点，
则 ，
又 ， 、 不共线，故 ， ，
所以 ．
故答案为： ．【一隅三反】
1．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形 中， ，且 ，点 是 的中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意可得
．
故选：D
2．（2024广东）已知 分别为 的边 上的中线，设 ， ,则 ＝（ ）
A． ＋ B． ＋C． D． ＋
【答案】B
【解析】 分别为 的边 上的中线,
则 ,
,
由于 ， ，所以 ,
故解得
故选：B
3．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形 中， 为 中点， 与 交于点 ，若将 ，
作为平面向量的一个基，则向量 可表示为 （用 表示）.
【答案】
【解析】由已知 ，
则 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .考点三 平面向量共线定理
【例3-1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
， ，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【答案】C
【解析】对A，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，
故A错误；
对B，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，故B错误；
对C，因为 ， ，则 ，故 、 、 三点共线，故C正确；
对D，因为 ， ，不存在实数 使得
，故 、 、 三点不共线，故D错误.
故选：C
【例3-2】（2024·广东·二模）已知向量 与 能作为平面向量的一组基底，若 与 共线（
），则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若 与 共线，则设 ，
因为向量 与 能作为平面向量的一组基底，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：B.
【例3-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）在 中， ，过点 的直线分别交直线 、 于点 、，且 ，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
因为 ，易知 ，
又 ，所以 ，
易知 三点共线，利用共线定理可得 ，
又 ， ，
所以 ；
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C
【一隅三反】
1 ．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量 、 ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的
是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【解析】对A：不存在实数 ，使得 ，故 和 不共线，可作基底；
对B：不存在实数 ，使得 ，
故 和 不共线，可作基底；
对C：对 和 ，因为 是不共线的两个非零向量，
且存在实数 ，使得 ，
故 和 共线，不可作基底；
对D：不存在实数 ，使得 ，故 和 不共线，可作基底.
故选：C.
2 ．（23-24 海南省直辖县级单位·阶段练习） 是平面内不共线两向量，已知
，若 三点共线，则k的值是（ ）
A．2 B．－3 C．－2 D．3
【答案】A
【解析】 ，由 三点共线，故存在实数 ，使 ，
即 ，即 ，解得 .
故选：A.
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知 ， ， 是直线 上不同的三点，点 在 外，若
，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由已知得 ，
故 ，易知 ， ， 是直线 上不同的三点，故 ， ， 三点共线，
必有 ，解得 ，
故选：A
考点四 平面向量的坐标运算
【例4】（23-24 湖北武汉·期中）（多选）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为 ， ，
所以 ，
对于A，因为 ，所以 与 不垂直，所以A错误，
对于B，因为 ， ，所以 ，所以 ，所以B正确，
对于C，因为 ，所以 ，所以 ，所以C
错误，
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，所以D正确.
故选：BD
【一隅三反】
1．（23-24江苏宿迁·期中）（多选）已知空间向量， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】对于A项， ，则 ，则 与 不平行，故A
项错误；对于B项， ，
则 ，
则 不成立，故B项错误；
对于C项， ，故C项正确；
对于D项， ，故D项正确，
故选：CD
2．（23-24 湖南岳阳·期末）（多选）下列运算结果正确的是（ ）.
A．已知 ，若 ，则
B．已知点 ，则向量 在 方向上的投影数量为
C．已知向量 ，若 ，则
D． 向量不共线，点 在线段 上，且 ，则
【答案】ABCD
【解析】对A：由 ，则有 ，即 ，故A正确；
对B： ， ，则 ，故B正确；
对C： ， ，由 ，
则有 ，解得 ，故C正确；
对D：由 ，则有 ，
即 ，又 向量不共线，点 在线段 上，
故 ，解得 ，此时有 ，
即点 在线段 靠近 点的三等分点上，符合要求，故D正确.故选：ABCD.
3．（23-24 湖北武汉 ）（多选）已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为 D． 在 上的投影向量为
【答案】CD
【解析】对于A， ，故A错误，
对于B, ,而 ，故 与 不共线，故B错误，
对于C， ，由于 ，故 与 的夹角为 ，C正确，
对于D， 在 上的投影向量为 ，故D正确，故选：CD
5．（23-24 浙江丽水·期末）（多选）已知向量 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．向量 在向量 上的投影向量为
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为 ， ，不存在实数 使得 成立，故A错误；
对于B选项，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C选项，因为 ，所以 ，故C错误；
对于D选项，向量 在向量 上的投影向量为 ，故D
正确，故选：BD
一．单选题1．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形 中， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，由题意 ,可知 是 的中点，
所以 ．
故选：C．
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）在 ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足 ，若
△
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为点D为线段BC的中点，点E满足 ，
所以 ，所以 ，
消去 ，得 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 ．
故选：D．3．（2023四川资阳·期中）已知 为不共线向量， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】A
【解析】因为 ，所以 三点共线，
故选：A．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 是边长为1的正三角形， 是 上一点且
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】 ， ，且 ，
而 三点共线， ，即 ，
，
所以 .
故选：A.5．（2024·四川遂宁·模拟预测）在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若
，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以设 ，故 ，
即 ，
又 ，
故 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为9.
故选：D
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）在 中， 为线段 的中点，过 的直线分别与线段
交于 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
如图，因 则 ,即 （*），
又 , ,代入（*）得， ,
即 ，因 三点共线，故 ，解得， .
故选：B.
7．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量 ， 不共线， ， ，且 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】因为 ， 且 ，
所以 ，即 ，
又 ， 不共线，
所以 ，解得 .
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在 中， 为线段 的中点， 为线段 上一点， ，
过点 的直线分别交直线 ， 于 ， 两点．设 ， ，则 的
最小值为（ ）A． B． C．3 D．6
【答案】B
【解析】因为 为线段 的中点，所以 ，又因为 ，所以
，
又 ， ，则 ，
而 ， ， 三点共线，所以 ，即 ，
则
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选：B．
二．多选题
9．（23-24 浙江宁波 ）已知平面向量 ， ，则（ ）
A．当 时， B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 与 的夹角为钝角，则
【答案】ACD
【解析】对A，当 时， ，所以 ，故A正确；对B，若 ，则 ，解得 ，故B错误；
对C，若 ，则 ，解得 ，故C正确；
对D，若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，
解得 且 ，即 ，故D正确，
故选：ACD
10．（2024山东泰安·期末）如图，在四边形ABCD中， 为BC边上一
点，且 为AE的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由 ，
由向量加法的三角形法则得
，
又F为AE的中点，则 ，故A正确；
，故B正确；
，故D正确；
，故C错误.故选：ABD
11．（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段 ，则向量
B．若向量 ，则线段
C．若向量 与 共线，则线段
D．若向量 与 反向共线，则
【答案】AD
【解析】选项A：由 得点B在线段 上，则 ，A正确：
选项B；三角形 ， ，但 ，B错误；
对于C： ， 反向共线时， ，故 ，C错误；
选项D： , 反向共线时， ，故D正确．故选：AD．
三．填空题
12．（2023·天津红桥·一模）如图所示，在 中，点 为 边上一点，且 ，过点 的直线
与直线 相交于 点，与直线 相交于 点（ ， 交两点不重合）.若 ，则
，若 ， ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】在 中， ， ，则 ，
故，
故 ；
又 ，而 ， ，
所以 ，则 ，
又 三点共线，所以 ，结合已知可知 ，
故 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时，取等号；
即 的最小值为 ，
故答案为： ；
13．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）如图，在 中， ， ，CD与BE交于点P，
， ， ，则 的值为 ；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设
， （ ， ），则 的最小值为 .
【答案】 2
【解析】在 中， ， ，设 ，
则 ，由 三点共线，得 ，解得 ，因此 ，
因为 ， ， ，于是
，解得 ；
因为 ， ， ，则有 ，
而 三点共线，因此 ，则
，当且仅当 ，即 取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为： ；
14．（2023·河南开封·模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做
扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形 ，其中 ， ， ，点
在 上，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图， ，
若 为 中点，且 ，则 ，则 ，
要使其最小，只需 共线，
此时，由图知此时 .
故答案为： .
四．解答题
15．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）在 中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量 ， 表示向量 ， ；
(2)若点N满足 ，证明：B，N，E三点共线．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【解析】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，
所以 ，
则 ，
.
（2）因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，即 ，所以 ，又因为 有公共点 ，
所以 ， ， 三点共线.
16．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别
交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．
所以O为MN的中点，所以 ，
所以 ．
因为Q是BC的中点，所以 ， ，
所以 ，
即的 取值范围为 ；
（2）令 ，则 ，∴ ，即：
∴
∴点T 在BC上，
又因为O为MN的中点，
所以 ，从而 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 的最小值为 ．
17．（204·陕西·模拟预测）等边 外接圆圆心为 ，半径为 上有点 ．
(1)若 为弧 中点，求 ；
(2)求 最大值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】（1）设 是 的中点，则 ，且 三点共线，
若 为弧 中点，则 四点共线，
由于 ，
所以三角形 和三角形 是等边三角形，所以 ，
所以四边形 是菱形， ，
所以 ，
所以 .（2）因为 ，
所以 ， ，
，
所以当 同向时， 取得最大值为 .
18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧 （含端点）上的
动点．记 （ ， 均为实数）．
(1)若O到弦AB的距离是 ，求 的取值范围；
(2)若 ，向量 和向量 的夹角为 ，求 的最小值．【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知O到弦AB的距离是 ，则 ，
故 ，且 ，
记劣弧 的中点为D，
则 ，
，
两式相加得 ，
故 ，
由于 ，故 ，
即 的取值范围为 ；
（2）设 ，
由 可得 ，
即 ，结合 可得 ，
故 ，
而 ，由于向量 和向量 的夹角为 ，
故
，
令 ，则 在 上单调递增，
则 ，
即 得最小值为 .
19．（2024湖北）已知O是线段 外一点，若 ， ．
（1）设点 、 是线段 的三等分点， 、 及 的重心依次为 、 、 ，试用向量 、
表示 ；
（2）如果在线段 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】（1）如图：
因为点 、 是线段 的三等分点，所以 ，同理可得：
，；
（2）层次1：
设 是 的二等分点，则 ； ；
设 、 、 是 的四等分点，则 ；
设 是 的n等分点，则 ．
层次2：设 是 的n等分点，
；
层次3：设 是 的n等分点，
则 ；
证明如下：
．
