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1.2 常用的逻辑用语考点一 充分、必要条件的判断
【例1-1】（2024·河北唐山·一模）已知 ， ：“ ”， ：“ ”，则 是 的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，即 ，解得 或 ，所以 ：“ 或 ”，
故由 推不出 ，即充分性不成立，由 推得出 ，即必要性成立，所以 是 的必要但不充分条件.故选：B
【例1-2】（2024浙江绍兴）已知i是虚数单位， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时，即 ，得 ，
而 时， ，推不出一定是 ，即推不出 ;
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
【例1-3】（2021·24江苏南京·模拟预）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充
分条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A， ， ， ，
由甲是乙的充分不必要条件得， B，由乙是丙的充要条件得， ，
由丁是丙的必要不充分条件得， D，所以 D，，故甲是丁的充分不必要条件.
故选：A.【一隅三反】
1．（2024广东·韶关）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 .故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2024广东深圳）“ 且 ”是“ 为第四象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：因为 ，所以 为第一象限角或第四象限角或终边在 轴的非负半轴，
又 ，则 ，所以 为第三象限角或第四象限角或终边在 轴的非正半轴，
综上知， 为第四象限角，故充分性成立；必要性：若 为第四象限角，则 且 ，
此时 ，故必要性成立，故“ 且 ”是“ 为第四象限角”的充要条件，
故选:A.
3．（2024北京）“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，
描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，
由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，
故选： ．
4（2023·天津·高考真题）已知 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B【解析】由 ，则 ，当 时 不成立，充分性不成立；
由 ，则 ，即 ，显然 成立，必要性成立；
所以 是 的必要不充分条件.故选：B
考点二 充分、必要条件的选择
【例2-1】（2024·新疆·二模）使“ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，解得 ，则选项中的 的范围组成的集合是 的真子集，
由选项知，选项 均不满足，选项B满足.故使“ ”成立的一个充分不必要条件可以是“ ”.
故选：B.
【例2-2】（2024广东汕头）命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则使命题 成立的充分必
要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若命题 为真命题，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
所以， ，解得 ，因此，使命题 成立的充分必要条件是 .故选：B．
【一隅三反】
1.（2024陕西）使不等式 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． 且 B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，故不等式 的解集为 且 ，故不等式 成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是 且 的真子集，
显然，满足题意的只有 .故选：D.
2．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知 ，则 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由不等式 ，可得 ，即 ，解得 ，
结合选项，可得 的一个必要不充分条件为 .故选：A.
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线 与圆 有公共点的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
若直线 与圆 有公共点，则 ，解得 ，
因为 ， ， ，
所以，直线 与圆 有公共点的一个充分不必要条件是为 .
故选：B.
4．（2024·福建·模拟预测）已知 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】对于A，令 ，显然有 ，而 ，A不是；
对于B，当 ， 时， ，B不是；
对于C，当 ， 时，由 ，得 ，
当且仅当 时取等号，反之取 ，满足 ，而 不成立，
因此 是 成立的一个充分不必要条件，C是；
对于D，令 ，不等式 成立，而 ，D不是.
故选：C
考点三 充分、必要条件求参
【例3-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合 ， ，若 是 的必要
不充分条件，则实数 的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题， ， ，
当 时，有 ，符合题意；
当 时，有 ，此时 ，所以 或 ，所以 .
综上，实数 的所有可能的取值组成的集合为 .
故选：A.
【例3-2】（2024·陕西）设 ； ．若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由 ，得 ；由 ，得 ．
因为p是q的必要不充分条件， ,所以 ，解得 ．故选：D
【例3-3】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ，则“ 有两个极值”的一个充分不必要
条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得 ，若满足题意，则 有两个正的穿越零点，
令 ，则 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
又 ， ，当 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
若 有两个正的穿越零点，则 ，解得 ，即 有两个极值的充要条件是：
，根据选项，则 有两个极值的一个充分不必要条件是 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2024湖南）已知集合 ， ，若“ ”是“
”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意集合 ，，
若 ，则 ，此时 ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 ,故 ；
若 ，则 ，此时 ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 ,故 ；
若 ，则 ，此时 ，满足 ,
综合以上可得 ，故选：C
2．（2023·海南海口·模拟预测）已知集合 ，则 的充要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设， ， ，若 ，则 ，故 ，可得
.
所以 是 的充要条件.故选：B
3．（2024山东临沂）方程 至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【解析】当 时，方程为 有一个负实根 ，反之， 时，则 ，于是得 ；
当 时， ，若 ，则 ，方程有两个不等实根 ， ，即 与 一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积 小于0， ，于是得 ，若 ，由 ，即 知，方程有两个实根 ，必有 ，此时 与 都是负数，
反之，方程 两根 都为负，则 ，解得 ，于是得 ，
综上，当 时，方程 至少有一个负实根，反之，方程 至少有一个负实根，必有
.
所以方程 至少有一个负实根的充要条件是 .故选：C
考点四 非命题的选择
【例4】（2024·山西·一模）设命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知 .故选：C
【一隅三反】
1．（2024·山西·模拟预测）命题“ ， ”的否定是（ ）
A．“ ， ” B．“ ， ”
C．“ ， ” D．“ ， ”
【答案】C
【解析】依题意全称量词命题“ ， ”的否定为：存在量词命题“ ，
”.故选：C2．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ ， ， ”的否定形式是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“ ， ， ”的否定形式是“
， ， ”.故选：C
3．（2024·河北·一模）已知命题p： ， ，则（ ）
A．p是真命题， ： ，
B．p是真命题， ： ，
C．p是假命题， ： ，
D．p是假命题， ： ，
【答案】A
【解析】函数 在 上的图象如下所示：
数形结合可知，命题p： ， 为真命题；又 ： ， .故选：A.
考点五 根据命题的真假求参数
【例5-1】（2024浙江宁波）命题“ ， ”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“ ， ”为假命题，则命题的否定“ ， ”为真命题，
即 ， 恒成立，
， ，当 ，取得最大值 ，
所以 ，选项中只有 是 的真子集，
所以命题“ ， ”为假命题的一个充分不必要条件为 .
故选：D
【例5-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔）若命题“ ”为假命题，则实数x的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题“ ”为假命题，其否定为真命题，
即“ ”为真命题．
令 ，则 ，即 ，
解得 ，所以实数x的取值范围为 .故选：C
【例5-3】（2024浙江宁波）已知函数 ，使不等式 成立的一个必要不充分条件是
（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】因为函数 ，
所以函数 的图象关于 对称，当 时， 单调递增，根据对称性可知，当 时， 单调递减，
若不等式 成立，则 ，
即 ，可得 ，解得 或 ，
结合选项可知使不等式 成立的一个必要不充分条件是 或 ，
故选：D
【例5-4】（2024安徽合肥）已知函数 ， ，若 ， ，使
成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，函数 在 为单调递减函数，可得 ，
即函数 的值域构成集合 ，
又由函数 在区间 上单调递增，可得 ，
即函数 的值域构成集合 ，
又由 ， ，使 成立，即 ,则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .故答案为： .
【一隅三反】
1．（2023·四川绵阳·模拟预测）若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 是 的必要不充分条件， ，
，解得 . 故选 ：B.2．（2024·陕西）命题“ ”是假命题，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：命题“ ”为真命题，则 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .故选：D.
3．（2024·山西吕梁）“ ，使得 成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，等价于 ，
又 ，当且仅当 时等号成立， ，故 ．故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且对 都有 成立，则实数
的范围为
【答案】
【解析】由题意，函数 ，
要使得 ，即 ，即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，即 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
设 ，则 在 上为增函数，而 ， ，故 在 上存在零点 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
一．单选题
1．（2024广东深圳）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，则 ，即 ，即 ，解得得 ，
则 不能推出 ， 能推出 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选：B.
2.（2024山东菏泽）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题“ ， ”的否定为 ，
.
故选：D.
3．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 可得：当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；所以当 ， 是 的充分不必要条件.故选：A.4．（2024江西）设 ，向最 ， ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时，由 ， 可得 ，解得 ，
当 时，由 ， 可得 ，解得 ，因此“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
5．（2024·福建漳州·模拟预测）若 ， 为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 ， 为真命题，则 .因为 在 上的最小值为 ，所以
，
故选：D.
6．（2024江苏徐州）若命题“ ， ”是假命题，则实数 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为命题“ ， ”是假命题，所以命题“ ， ”是真命题，
因此有 ，所以实数 的最小值为 ，故选：C
7．（2024河北衡水）条件 ， ，则 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若 ，使得 ，则 ，可得 ，则 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
故当 时， ，即 ，所以， 的一个必要不充分条件是 .故选：A.
8．（2024·四川凉山·二模）已知命题“ ， ”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】命题“ ， ”是假命题，
则“ ， ”是真命题，所以 有解，
所以 ，
又 ，
因为 ，所以 ，即 .故选：B.
二．多选题
9．（2023·海南·模拟预测）已知命题 :“ ”， " ”，则下列正确的
是（ ）
A． 的否定是“ ”
B． 的否定是“ ”
C．若 为假命题，则 的取值范围是
D．若 为真命题，则 的取值范围是
【答案】AD
【解析】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；
C选项，若 为假命题，则 的否定“ ”是真命题，即方程 在实数范
围内无解， ，得 ，C不正确；
D选项， ，等价于 ，解得 ，D正确；
故选：AD.
10．（2024辽宁葫芦岛）下列选项中，与“ ”互为充要条件的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BC
【解析】对A， 则 ，即 ， ，解得 ，故A错误；
对B， 则 ，故 ，解得 ，故B正确；
对C， 则 ，解得 ，故C正确；
对D， ，则 ，解得 ，故D错误.
故选：BC
11．（2024内蒙古呼伦贝尔）命题“ ”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】 ，则 对 都成立，又 ，所以 ，
观察选项可得命题“ ”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
故选：BCD.
三．填空题
12．（2024江西抚州）已知 ， （a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为q的一个充分不必要条件是p，所以 是 的一个真子集，
则 ，即实数a的取值范围是 .故答案为： .
13．（2023·陕西宝鸡·一模）若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】命题“ ”的否定为：“ ， ”.因为原命题为假命题，则其否定为真.当 时显然不成立；当 时， 恒成立；当 时，只需
，解得： .综上有 故答案为： .
14．（2024河北张家口·阶段练习）已知函数 （ 且 ），若 ，
是假命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】 或
【解析】因为 ，
若 ，由于 单调递减，则 在R上单调递增；
若 ，由于 单调递增，则 在R上单调递减，
又 ，故 ，
因为 ， 是假命题，
故 ， 恒成立为真命题，
即不等式 对 恒成立，
当 时， ，即 在 恒成立，
设 ，即 在 恒成立．
由于对勾函数 在 单调递减，在 单调递增，
因为 ，因此 ；
当 时， ，
即 在 恒成立，
当 时，函数 有最小值 ，即 ，又因为 ，故 ．综上可知： 或 ．
故答案为： 或
四．解答题
15．（2024·重庆酉阳）命题 ：任意 ， 成立；命题 ：存在 ， + 成立.
(1)若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或 或
【解析】（1）由q真： ，得 或 ，
所以q假： ；
（2）p真： 推出 ，
由 和 有且只有一个为真命题，
真 假，或 假 真，
或 ，
或 或 .
16（2024福建龙岩）设命题 p：对任意 ，不等式 恒成立； 命题q：存在 ，
使得不等式 成立．
(1)若p为真命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若命题p，q至少有一个是真命题，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 或 .【解析】（1）令函数 ， ，则当 时， ，
由任意 ，不等式 恒成立，得 ，
所以p为真命题的实数 m 的取值范围是 .
（2）令函数 ， ，则当 时， ，
不等式 ，由存在 ，使得不等式 成立，得 ，
由（1）知，命题 ，而命题 ，
若 真 假，则 ，若 假 真，则 ，若 都为真命题，则实数 不存在，
所以命题p，q至少有一个是真命题的实数 m 的取值范围是 或 .
17（2024福建漳州·期末）设函数 ，其中 .
(1)若命题“ ， ”为假命题，求实数 的取值范围；
(2)判断 在区间 上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
【答案】(1)
(2) 在区间 上单调递减，证明见解析
【解析】（1）因为命题“ ， ”为假命题，
所以“ ， ”为真命题，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
（2） 在区间 上单调递减.证明如下：
，且 ，则
，
因为 ，且 ，
所以 ， ， ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 在区间 上单调递减.
18（2024陕西咸阳）已知命题：“ ”是真命题
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设关于x的不等式 的解集为A，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求
实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵“ ”是真命题，
∴ ，
∴当 时， ，
∵函数 的图像开口向上，且对称轴为直线 ，
∴当 时， 的最大值为 ，
∴当 时， ．
∴实数m的取值集合 ．（2）∵ ，
∴不等式 等价于 ．
①当 ，即 时， ，
又“ ”是“ ”的充分不必要条件，
∴ 是 的真子集，即 包含于 ，
∴ ，∴ ；
②当 ，即 时， ，符合题意；
③当 ，即 时， ，
又“ ”是“ ”的充分不必要条件，
∴ 是 的真子集，即 包含于 ，
∴ ，∴ ；
综上，实数a的取值范围为 ．
19（2024湖南长沙）已知函数 ， ．
（1）若命题：“ ， ”是真命题，求 的取值范围；
（2）若 ， ， ， ，求 的最小值；
（3）若 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）4 ；（3）
【解析】（1）依题，当 时， ， ，所以 在 上单调递减．
故 ，即 ，解得 ．
（2）由 ， ， 及基本不等式得， ，
故
，
等号当且仅当 时成立．
故 的最小值为 ．
（3）由（1）知 在 上单调递减．
函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ．
即 ，
对任意的 成立．
因为 ，所以函数 在区间 上单调递增，
时， 有最小值 ，由 ，得 ．
故 的取值范围为 ．
