文档内容
考点 02 常用逻辑用语（核心考点讲与练）
一、充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
⇒ p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p⇒ q且q p
p是q的充要条件 p q
⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p q⇔且q p
二、全称量词与存在量词
要点一、全称量词与全称命题
全称量词
全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.
常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“
”表示，读作“对任意”.
全称命题
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.
一般形式：“对M 中任意一个 x ，有 p(x) 成立”，
记作： xM ， p(x) （其中M 为给定的集合， p(x) 是关于 x 的语句）.
要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以
被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是
正数”；都是全称命题.
要点二、存在量词与特称命题
存在量词
定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.
常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“
”表示，读作“存在 ”.
特称命题
特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.
x p(x )
一般形式：“存在M 中一个元素 0，有 0 成立”，记作： x 0 M ， p(x 0 ) （其中M 为给定的集合， p(x) 是关于 x 的语句）.
R,R
要点诠释： （1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在 使
sin()sinsin
.
（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.
（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述
要点三、 含有量词的命题的否定
对含有一个量词的全称命题的否定
p xM p(x)
全称命题 ： ，
p p x M p(x )
的否定 ： 0 ， 0 ；
从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部
xM,p(x)
分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意 ”的否定为“
x M p(x )
0 ， 0 ”.
对含有一个量词的特称命题的否定
p x M p(x )
特称命题 ： 0 ， 0
p p xM p(x)
的否定 ： ， ；
x M p(x ) p(x )
从一般形式来看，特称命题“ 0 ， 0 ”，它的否定并不是简单地对结论部分 0 进行否
x M p(x ) xM
定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“ 0 ， 0 ”的否定为“ ，
p(x)
”.
要点诠释：
(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；
(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.
（3）正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、
小于等于
否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.一、充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断.
(2)集合法：根据使⇒p，q成⇒立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
二、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不
等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等
号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.
充分条件、必要条件与充要条件
一、单选题
1．（2021·广东·普宁市普师高级中学二模）下列结论正确的是 （ ）
① “ ”是“对任意的正数x，均有 ”的充分非必要条件．
②随机变量 服从正态分布 ，则
③线性回归直线至少经过样本点中的一个．
④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均
数为a，中位数为b，众数为c，则有
A．③④ B．①② C．①③④ D．①④
【答案】D
【分析】对①：当 时，利用均值不等式可得 成立；反之，对任意的正数x，均有 成
立， 不一定成立；根据充分必要条件的定义即可判断正确；对②：由正态分布的定义知②不正确；
对③：线性回归直线不一定经过样本点中的一个知③不正确；
对④：由平均数，中位数，众数定义，计算可判断正确.
【详解】解：①当 时，由基本不等式得 ；但对任意的正数x，均有 时，
不一定成立，所以“ ”是“对任意的正数x，均有 ”的充分非必要条件，故①正确；
②因为 ，所以②不正确；
③线性回归直线不一定经过样本点中的一个，所以③不正确；
④因为平均数为 ，中位数为15，众数为17，所以 ，故④正确．
所以正确的为①④．
故选:D．
2．（2021·江苏南通·三模）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有
共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共
产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（ ）条件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】直接利用充分条件的定义进行判断即可.
【详解】记条件p: “没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”
是“没有新中国”的充分条件.
故选：A.
3．（2022·河北·模拟预测）设 ， 为两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． ， 垂直于同一个平面
C． ， 平行于同一条直线 D． ， 垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】利用空间中线面、面面的位置关系判断即可；
【详解】解：对于A： 内有无数条直线与 平行推不出 ，只有 内所有直线与 平行才能得出，故A错误，
对于B： ， 垂直于同一平面，得到 或 与 相交，故B错误，
对于C： ， 平行于同一条直线，得到 或 与 相交，故C错误，
对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故 ， 垂直于同一条直线 ，故D正确．
故选：D．
4．（2022·浙江嘉兴·二模）若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】解：当 时，
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 ，
当 时， ，此时 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2022·广东湛江·二模）已知 ， 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】 ， ，只有一条垂直直线，不能得出 ，不充分，
当 时，由于 ，则有 ，是必要的，
因此是必要不充分条件．
故选：B．
6．（2022·天津市第四中学模拟预测）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，得 ，
因为当 时， 一定成立，
而当 时， 不一定成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A
7．（2022·北京通州·一模）若a， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用重要不等式 即可由“ ”推出“ ”；“ ”成立时，“
”不一定成立，举反例证明.
【详解】 ，当且仅当 时，取等号，
当 ， 时， ，但 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件
故选：A
二、多选题
8．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“ ”互为充要条件的是（ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】先求出 的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.
【详解】 的解为 ，
对于A，因为 为 的真子集，故A不符合；
对于B，因为 等价于 ，其范围也是 ，故B符合；
对于C， 即为 ，其解为 ，故C符合；
对于D， 即 ，其解为 ，
为 的真子集，故D不符合，
故选：BC.
9．（2022·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．已知命题 ：“ ， ”，则 ：“ ， ”
C．若随机变量 ，则
D．已知随机变量 ，且 ，则
【答案】BCD
【分析】选项A：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判
断；选项B：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项C：利用二项分布的期望公式即可求解；选项
D：利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】选项A：若 ，则 ；若 ，则 ， ，
从而“ ”是“ ”的充分不必要条件，故A错误；选项B：由特称命题的否定的概念可知，B正确；
选项C：因为 ，所以 ，故C正确；
选项D：结合已知条件可知，正态曲线关于 对称，
又因为 ，从而 ，解得 ，故D正确.
故选：BCD
10．（2020·广东·大沥高中模拟预测）关于充分必要条件，下列判断正确的有（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ， ， 成等比数列”的充分不必要条件
C．“ 的图象经过点 ”是“ 是幂函数”的必要不充分条件
D．“直线 与 平行”是“直线 与 的倾斜角相等”的充要条件
【答案】BC
【分析】按照必要不充分条件的定义容易判断A；
求出 的等价结论，即可判断B；
根据幂函数的定义可以判断C；
考虑直线是否重合可以判断D.
【详解】因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以A错误；
因为 （ ， ， 均大于0），所以“ ”是“ ， ，
成等比数列”的充分不必要条件，所以B正确；
幂函数的图象都经过点 ，反之不成立，比如： ，所以C正确；
若直线 与 平行，则直线 与 的倾斜角相等；若直线 与 的倾斜角相等，则直线 与 平行或重合，所
以D错误.
故选：BC.
11．（2021·辽宁实验中学二模）下列四个选项中， 是 的充分必要条件的是（ ）．A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ABC
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】A．由 ， ，可得 ， ，反之也成立，∴ 是 的充分必要条件；
B．由 ， ，可得 ， ；反之也成立，∴ 是 的充分必要条件；
C．由 ， ，可得 ， ；反之也成立，∴ 是 的充分必要条件；
D．由 ， ，可得 ， ；反之不成立，
例如取 ， ．∴ 是 的必要不充分条件．
故选：ABC．
12．（2021·重庆市育才中学二模）下列说法正确的是（ ）
A． 是 的充分不必要条件
B．幂函数 在区间 上单调递减
C．抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合
D．函数 的最大值为2
【答案】ABD
【分析】由相等向量的定义和充分条件、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据幂函数的定义和性质，
可判定B正确；根据抛物线和椭圆的性质，可判定C不正确；根据三角函数的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，由 ，可得 成立，反之：若 ，但向量 与 的方向不
一定相同，所以向量 与 不一定相等，所以 是 的充分不必要条件，所以A正确；对于B中，由幂函数 ，可得 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减，所以B正确；
对于C中，抛物线 的焦点坐标为 ，椭圆 的右焦点的坐标为 ，
可得抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点不重合，所以C不正确；
对于D中，由三角函数的性质，可得 ，
当 时，可得 ，所以当 时，函数 取得最大值2，
所以D正确.
故选：ABD.
13．（2021·山东·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分条件
C．已知回归直线方程 ，且 ， ，则
D．函数 的图象向左平移 个单位，所得函数图象关于原点对称
【答案】AB
【分析】选项A. 由指数对数互化可得 ，由均值不等式可判断;选项B. 根据两直线垂直得出 的值，
再根据充分、必要条件的判断方法可判断；选项C. 根据回归直线一定过样本中心点可判断；选项D. 先由
函数图像平移得出平移后的解析式，再判断其奇偶性可判断.
【详解】A.由 ，得 ， ， ， ， ， ，
所以 (由于 所以等号不成立)，故A正确.B. 由两直线垂直，可得 ，解得 或 ；
所以“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分条件，故B正确.
C.回归直线一定过样本中心点， ， ；故C不正确.
D.将 的图象向左平移 个单位，可得 ，
函数 ，由 ，所以 ，
所以 不是奇函数，其图像不关于原点对称，所以D不正确.
故选：AB
14．（2021·山东·沂水县第一中学模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．命题 的否定
B．二项式 的展开式的各项的系数和为32
C．已知直线 平面 ，则“ ”是 ”的必要不充分条件
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】AD
【分析】根据特称命题的否定求解方法可判断A；令 代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B；
由于直线 与 的关系不确定故能判断C；判断 是否等于 ，就能判断D是否正确．
【详解】解：对于A：命题 的否定 ，故A正确；
对于B：二项式 的展开式的各项的系数和为 ，故B错误；
对于C：已知直线 平面 ，由于直线 与 的关系不确定，
故“ ”是 ”的既不必要不充分条件，故C错误；
对于D：由于 关于 的对称点为 ，故 ，满足 ，
故函数 的图象关于直线 对称，故D正确.
故选：AD．
三、解答题
15．（2020·福建三明·模拟预测）已知集合 ， .
(1)若 ，求 ；
(2) 是 的___________条件，若实数 的值存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.（请
在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，
则按第一个解答计分.
【答案】(1) 或
(2)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）求出集合 、 ，利用补集和的交集的定义可求得结果；
（2）求出集合 ，根据所选条件可得出集合 、 的包含关系，可得出关于实数 的不等式组，解之即
可得出结论.
(1)解：由不等式 ，解得 ，可得
当 时，不等式 ，解得 ，即 ，
可得 或 ，
所以 或 .
(2)解：由不等式 ，解得 ，
所以 .
若选择条件①，则集合 是 的真子集，得 ，解得 .当 时， ， ，合乎题意；
若选择条件②，则集合 是 的真子集，得 ，解得 .
当 时， ，则 ，合乎题意；
若选择条件③，则集合 ，得 无解，所以不存在满足条件③的实数 .
16．（2020·广东中山·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，不等式
的解集为集合 ．
（1）求集合 和 ；
（2）已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ； 或 ；（2） 或 ．
【分析】（1）使式子有意义可得 ，解不等式可求出 ；解一元二次不等式可求出 ；
（2）由题意可得集合 是集合 的真子集，再由集合的包含关系即可求解.
【详解】（1）函数 有意义，
则 ，解得 ，
所以集合 ，
由不等式 得 或 ，
所以集合 或 ．（2）因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以集合 是集合 的真子集，
所以 或 ，所以 或 ．
全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2022·山东枣庄·一模）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.
【详解】命题“ ， ”的否定为“ ， ”.
故选：D.
2．（2022·江西九江·二模）已知命题p： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】由否定定义求解即可.
【详解】由否定的定义可知， 为 ， .
故选：D
3．（2022·重庆·模拟预测）下列有关命题的说法正确的是( )
A．若 ，则
B．“ ”的一个必要不充分条件是“ ”
C．若命题 ： ， ，则命题 ： ，
D． 、 是两个平面， 、 是两条直线，如果 ， ， ，那么【答案】C
【分析】A：根据向量加法的性质即可判断；
B：根据充分条件的概念即可判断；
C：根据含有一个量词的命题的否定的改写方法判断即可；
D：根据空间线面关系即可判断.
【详解】A：若 ，则 方向相反且 ，故A错误；
B：若 ，则 ，故“ ”是“ ”的充分条件，故B错误；
C：命题 ： ， ，则其否定为 ： ， ，故C正确；
D：如果 ， ， ，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.
故选：C.
4．（2022·重庆·模拟预测）命题 的否定为“ ，使得 ”，则命题 为（ ）
A．
B． ，使得
C．
D． ，使得
【答案】C
【分析】把所给的命题否定可得命题
【详解】因为命题 的否定为“ ，使得 ”，
所以命题 为“ ”，
故选：C
二、多选题
5．（2021·辽宁·沈阳二中模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．等比数列 ， ，则
B．抛物线 的焦点C．命题“ ”的否定是：“ ”
D．两个事件 ，“ 与 互斥”是“ 与 相互对立”的充分不必要条件.
【答案】ABCD
【分析】根据等比中项的性质判断选项A；根据抛物线的性质判断选项B；根据全称命题和特称命题的关
系判断选项C；根据互斥事件、对立事件的关系判断选项D；
【详解】A. 等比数列 ， ，所以 ，
则 ，又 ，所以 ，故A错误；
B.抛物线 化成标准式得： ，所以其焦点 ，故B错误；
C.命题“ ”的否定是：“ ”,故C错误；
D.两个事件 ，若 与 互斥，则 与 不一定相互对立，但若 与 相互对立，则 与 一定互斥，
故“ 与 互斥”是“ 与 相互对立”的必要不充分条件，故D错误.
故选：ABCD;
【点睛】本题中有一些易错知识点，比如抛物线的焦点在哪个坐标轴上，需要把抛物线化成标准形式再进
行判断，再比如事件相互互斥和相互对立间的关系等等，在平时备考中要清楚这些易错点，谨防出错.
6．（2021·山东淄博·三模）下列说法正确的是（ ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学
生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为 ，则应从高二年级中抽
取20名学生
B．线性回归方程 对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
C．命题“ ， ”的否定是“ ， "
D．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离
散程度越小
【答案】ACD
【分析】根据分层抽样计算公式即可判断A；根据线性回归方程定义即可判断B；根据全称命题的否定原理即可判断C；根据方差定义即可判断D．
【详解】对于A，高二年级中抽取为 ，正确；
对于B，线性回归方程 对应的直线不一定经过其样本数据点中的点，故错误；
对于C，否定是“ ， "正确；
对于D，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据
的离散程度越小，正确．
故选：ACD
三、解答题
7．（2020·海南·一模）已知 ， ； ， .
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 与 的真假性相同，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】（1）即求 解集为 时， 的取值范围，对 分类讨论，结合根的判别式，即可求
解；
（2）先求出 为真时 的范围，转化为求 ，再由命题的真假，求出结论.
【详解】（1）∵ ，∴ 且 ，
解得 .所以当 为真命题时，实数 的取值范围是 .
（2） ， .
又∵当 时， ，∴ .∵ 与 的真假性相同.
当 假 假时，有 ，解得 ；
当 真 真时，有 ，解得 .
∴当 与 的真假性相同时，可得 或 .
【点睛】本题考查不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查命题的真假判断，意在考查
对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题（理））等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是
递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说
明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过
程．
2．（2020·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
3．（2020·山东·高考真题）已知 ，若集合 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当 时，集合 ， ，可得 ，满足充分性，
若 ，则 或 ，不满足必要性，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
4．（2020·北京·高考真题）已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的
（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或
，
亦即存在 使得 ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，
属于基础题.
5．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是
“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而
，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.6．（2021·湖南·高考真题）“x=1”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将 代入 可判断充分性,求解方程 可判断必要性,即可得到结果.
【详解】将 代入 中可得 ,即“ ”是“ ”的充分条件；
由 可得 ,即 或 ,所以“ ”不是“ ”的必要条件,
故选:A
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.
一、单选题
3．（2022·全国·高三专题练习）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合函数定义域和单调性得到不等式组，求出 所满足的 的取值范围，进而判
断出结果.
【详解】因为 定义域为 ，且为增函数，又 ，所以 ，解得：
，因为 ，而 ，故“ ”是“
”的充分不必要条件.故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接利用充分条件和必要条件得定义判断即可
【详解】由已知条件得 ，
则“ ” “ ”， “ ” “ ”，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选： .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C： ，点 ， ，则“ ”是
“直线AB与圆C有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求出圆心C到直线AB的距离为 ，利用定义法判断.
【详解】圆C： 的圆心为 ,半径R.
由点 ， 求出直线AB的方程为： .
所以圆心C到直线AB的距离为 .
充分性： 时，有 ，所以直线直线AB与圆C相交，有公共点，故充分性满足；
必要性：“直线AB与圆C有公共点”，则有 ，即“ ”，故必要性不满足.
所以“ ”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件.故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）若向量 ， ，则“ ”是“向量 ， 夹角为钝角”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由向量 ， 夹角为钝角可得 且 ， 不共线，然后解出 的范围，然后可得答案.
【详解】若向量 ， 夹角为钝角，则 且 ， 不共线
所以 ，解得 且
所以“ ”是“向量 ， 夹角为钝角”的必要不充分条件
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）“ ”是“圆 上有四个不同的点到直线
的距离等于1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系求出 ，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】∵圆 的半径 ，
若圆C上恰有4个不同的点到直线l的距离等于1，则
必须满足圆心 到直线 的距离
，解得 .
又 ，∴“ ”是“圆 上有四个不同的点到
直线 的距离等于1”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）“ ”是“过点 有两条直线与圆 相切”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先由已知得点 在圆 外，求出 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义
分析判断
【详解】由已知得点 在圆 外，
所以 ，解得 ，
所以“ ”是“过点 有两条直线与圆 相切”的必要不充分条件，
故选：B
9．（2022·全国·高三专题练习）设p： ，q： ，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解不等式化简命题q，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】解不等式得： ，即 ，显然 ，
所以p是q成立的必要不充分条件.
故选：C
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对 的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性解不等式 ，利用集合的包含关系判断可
得出结论.
【详解】若 ，由 可得 ，此时 ；
若 ，则 ，不合乎题意；
若 ，由 可得 ，此时 .
因此，满足 的 的取值范围是 或 ，
因为 或 ，
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出 与 的夹角为钝角时k的范围，即可判断.
【详解】当 与 的夹角为钝角时， ，且 与 不共线，即 所以 且 .故“
”是“ 与 的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选B.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】由 及对数函数的单调性可得 ；将 变形化同构，进而构造函数，
利用导数讨论函数的单调性可得 ，即可得解．
【详解】由 ，得 ．
由 ，得 ．
记函数 ，则 ，
所以函数 在R上单调递增，又 ，
则 ，所以 ．
因此“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知a， ，则“ ”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用 否定ACD选项，进而得答案.
【详解】解：对于A选项，当 时， ，此时 ，故 不是 的必要条件，
故错误；
对于B选项，当 时， 成立，反之，不成立，故 是 的必要条件，故正确；
对于C选项，当 时， ，但此时 ，故 不是 的必要条件，故错误；
对于D选项，当 时， ，但此时 ，故故 不是 的必要条件，故错误.
故选：B
二、多选题
14．（2022·全国·高三专题练习）下列叙述正确的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．“ ”是“ ”的充要条件
C． 的展开式中 的系数为D．在空间中，已知直线 满足 ， ，则
【答案】AC
【分析】对于A运用全称命题否定形式的相关知识判断；对于B根据对数函数相关知识判断；对于C根据
二项式展开式相关知识即可判断；对于D直观想象即可得出直线 和 的位置关系.
【详解】对于A，命题“ ， ”为全称命题，其否定是“ ， ”，故A正
确.
对于B，充分性：当 时， 显然不成立，故充分性不满足；必要性：当 时，
，显然此时 成立，故必要性满足.所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故B错
误.
对于C， 的展开式中 的系数为 ，故C正确.
对于D，若在空间中直线 满足 ， ，则 和 相交或异面或平行，故D错误.
故选：AC
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，设 ，则 成立的一个充
分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数 为偶函数，且在 上单调递增，所以 在
上单调递减，结合 可得 ，举例说明即可判断选项A、B，将选项C、D变形即可判断.
【详解】函数 的定义域为R，
则函数 ，
所以函数 是偶函数，
当 时， ，，
所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递减.
若 ，则 ，即 .
A：若 ，满足 ，但 ，故A错误；
B：若 ，满足 ，但 ，故B错误；
C：由 可得 ，即 ，故C正确；
D：由 ，故D正确.
故选：CD
16．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的有（ ）
A．线性回归直线 必过样本点的中心
B．若平面 平面 ，平面 平面 ，则平面 平面
C．“若 ，则 ”的否命题为真命题
D．若 为锐角三角形，则
【答案】AD
【分析】直接利用回归直线方程和中心点的关系，面面垂直的性质定理，命题真假的判定，三角形形状的
判定的应用判定A、B、C、D的结论．
【详解】解：线性回归直线 必过样本点的中心 ，所以A正确；
若平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ，则平面 与平面 也可能相交，所以B不正确；
“若 ，则 ”的否命题为：若 ，则 ，显然不正确，如 ， ，所以C不正确；
∵ 为锐角三角形，∴ 为锐角，∴ ，∴ ，∴ ∴ ，故D正确.
故选：AD.
17．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ，且 ，则“ ”的一个必要条件可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】题中为必要条件，则 能推出选项，逐一判断
【详解】对于A，若 ，则
成立；
对于B，若 ，则 ，成立；
对于C， ，无法判断出 ；
对于D， ，且 ，因为 ，所以不能得出 与2的大小关系.
故选：AB
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 有零点的充要条件是 B．当且仅当 ， 有最小值
C．存在实数 ，使得 在R上单调递增 D． 是 有极值点的充要条件
【答案】BCD
【分析】对于A，将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程有根的条件可判断其正
误；对于B，分类讨论a的取值范围，利用导数判断函数的最值情况；对于C，可举一具体实数，说明
在R上单调递增，即可判断其正误；对于D，根据导数与函数极值的关系判断即可.【详解】对于A，函数 有零点 方程 有解，
当 时，方程有一解 ；
当 时，方程 有解 ，
综上知 有零点的充要条件是 ，故A错误；
对于B，由 得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 有最大值 ，无最小值；
当 时，方程 有两个不同实根 ， ，
当 时， 有最小值 ，当 时， ；当 时，
有最小值0；
当 时， 且当 时， ， 无最小值；
当 时， 时， ， 无最小值,
综上，当且仅当 时， 有最小值，故B正确；
对于C，因为当 时， ， 在R上恒成立，此时 在R上单
调递增，故C正确；
对于D，由 知，当 时， 是 的极值点，
当 ， 时， 和 都是 的极值点，
当 时， 在R上单调递增，无极值点，所以 是 有极值点的充要条件，故D正确，
故选:BCD.
【点睛】本题以函数为背景，考查二次函数、对数函数性质和利用导数研究函数单调性及最值，考查推理
论证能力、运算求解能力，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.
三、填空题
19．（2022·全国·高三专题练习）命题“ ， ”的否定是__________________．
【答案】 ，
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【详解】解：命题为特称命题，则命题的否定为“ ， ”，
故答案为： ， ．
