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1.3 不等式性质与三个一元二次一元二次方程根的分布
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x ，x ，且x<x ，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方
1 2 1 2
程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．
（1）两根与0的大小比较即根的正负情况
（2）两根与k的大小比较
一正根一负根即一个根小
两个负根即两根都小于 两个正根即两根都大于
分布情况 于0，一个根大于
0(x<0，x<0) 0(x>0，x>0)
1 2 1 2
0(x<0<x)
1 2
大致图象(a>0)
得出的结论 f(0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(0)>0
综合结论(不讨论a) a·f(0)<0
两根都小于k即 两根都大于k即x>k， 一个根小于k，一个根大
1
分布情况
x<k，x<k x>k 于k即x<k<x
1 2 2 1 2
大致图象(a>0)
f(k)<0
得出的结论
大致图象(a<0)
f(k)>0
得出的结论
综合结论(不讨 a·f(k)<0论a)
（3）根在区间上的分布
两根有且仅有一根在
两根分别在区间(m，n)
(m，n)内(图象有两 一根在(m，n)内，另一
分布情况 两根都在(m，n)内 外，即在区间两侧x<m，
1
种情况，只画了一 根在(p，q)内，m<n<p<q
x>n
2
种)
大致图象(a>0)
得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
大致图象(a<0)
得出的结论 f(m)·f(n)<0 或
综合结论(不讨
__________ f(m)·f(n)<0
论a)
考点一 比较数（式）大小
【例1-1】（2024湖南长沙）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
所以 .
故选：C.
【例1-2】（2024辽宁丹东）（多选）下列各式的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于选项A,B:由指数函数 与幂函数 可知：
当 时，有 ，因为 ，所以 ,故选项A正确；
当 时，有 ，因为 ，所以 ,故选项B错误；
对于选项C: 要判断 与 的大小，只需比较 的大小，
因为 ，所以 ，即 ,故选项C正确;
对于选项D:因为 ，
所以
所以 ，即 .故选项D错误.
故选：AC.
【例1-3】（2024·云南昆明·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】设 ，则 ，得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减， ，则 ，
又 ，得 ，所以 ，选：A
【一隅三反】
1．（2024吉林长春）（多选）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】AB
【解析】因为 ， ， ，
又 ，
，
故 ， ，所以 ， .
故选：AB
2（2023·云南）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
所以 ， ， .
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ；因为 ，
则 ，所以 .
综上， .
故选：C.
3（2024·重庆）（多选）下列大小关系正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由指数函数 和幂函数 可知，当 时 ，
因为 ，所以 ，选项A不正确；
因为 ，所以 ，故选项B正确；
因为 ，所以 ，即
所以 ，所以 ，故选项C不正确；
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，故选项D正确，故选：BD
考点二 判断不等式的正误
【例2-1】（2024高三·全国·专题练习）若 ,且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得，当 时， ，此时 ， ，故CD错误，当 时， ，此时A错误，
综上可知，当 时，则 成立，故B正确，
故选:B.
【例2-2】（2024广西贺州）（多选）若 ， ，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对A, ， ，由不等式性质易知 ，故A正确；
对B, ， ,则 ，故B正确；
对C, ， ，由不等式性质易知 ，故C错误；
对D, 若 ，则 , 故D正确.
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024北京·期中）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于选项A：例如 ，则 ，即 ，故A错误；
对于选项B、D：例如 ，则 ，故BD错误；
对于选项C：因为 ，且 在 上单调递增，所以 ，故C正确；
故选：C.
2．（2024上海）设 ，若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，由 ，则 ，故 ，即 ，故A错误；
对B，由A得 ，故 ，故B正确；对C，由 ，则 ， ，则 ， ，故 ，故C错误；
对D，由A得 ，故 ，故D错误.
故选：B.
3．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对A，令 ， ，有 ，故A错误；
对B，由 ，故 ，故B错误；
对C， ，
即只需， ，由 ，故 ，故C正确；
对D，令 ，有 ，故D错误.
故选：C.
4．（2024四川成都）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】BD
【解析】对于A：令 ， ，满足 ，此时 ，故A不正确；
对于B：因为指数函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，故B正确；
对于C：令 ， ， ， ，满足 ， ，
此时 ，不满足 ，故C不正确；
对于D：因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，故D正确．选：BD．
考点三 代数式不等式范围
【例3-1】（2024云南）（多选）已知 ， ，则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C．ab的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】AC
【解析】因为 ， ，所以 ， ， ，
所以， 的取值范围为 ， 的取值范围为 ，A选项正确，B选项错误；
因为 ， ，所以， ， ， ，
所以，ab的取值范围为 ， 的取值范围为 故C选项正确，D选项错误.选：AC
【例3-2】（2024山东菏泽）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
所以 ，解得 ，即可得 ，
因为 ， ，所以 ，故选：A．
【例3-3】（2024云南大理）已知 的三边长分别为 ， ， ，且满足 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由已知及三角形三边关系得 ，所以 ，则 ，两式相加得
，
所以 .故选：C
【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ， ，得 ，即 ， ，
所以 ，即 ，故选：D
2．（2024河北·阶段练习）（多选）已知 ，则以下命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A： ,故A错误.
对于B： ,故B正确.
对于C： ,故C错误.
对于D; ,故D正确.
故选：BD.
3．（2024广东广州）已知 且满足 ，则 的取值范围是 .【答案】
【解析】设 ，求出 结合条件可得结果.
设 ，可得 ，解得 ， ，
因为 可得 ，所以 .故答案为： .
考点四 解无参不等式
【例4】（2023秋·内蒙古呼和浩特）求解下列不等式的解集：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .
(6) ；(7) ；(8) ；(9) .
【答案】(1) 或 (2) (3) (4) (5)
(6) (7) (8) (9)
【解析】（1）由 可得 ，解得 或 ，
故原不等式的解集为 或 .
（2）由 可得 ，解得 ，故原不等式的解集为 .
（3）由 可得 ，即 ，解得 ，故原不等式的解集为 .
（4）解：由 可得 ，解得 ，故原不等式的解集为 .
（5）解：由 可得 ，解得 ，故原不等式的解集为.
（6）由 ，得 ，解得 ，故不等式的解集为 .
（7）由 ，得 ，即 ，解得 或 ，故不等式的解集为
.
（8）由 ，得 ，即 ，解得 ，故不等式的解集为 .
（9）由 ，得 ，解得 或 ，故不等式的解集为 .
【一隅三反】
（2024广东湛江）解下列关于x的不等式：
（1） （2）(1) （3） ．（4）(4) :(5)
(6) ；(7) ．(8) (9) (10)
【答案】(1) (2){ 或 }；（3） (4) (5)
(6) 或 (7) (8) (9) (10)
【解析】（1）由 ，得 ，即 ，所以 ，
所以不等式的解集为 ；
（2）原不等式可化为 或 ，所以解集为：{ 或 }；
（3）
由 可得： 或 ，又 ，则得： ： 或 ，即不等式的解集为：
.（4）由 ，得 ，所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为
（5）当 ，即 时， ，得 ，此时， ，
当 ，即 时， ，得 ，此时， ，综上所述， ，即不等式的解集为
（6）原不等式可化为 或 ，
即 或 ．
由图可知，原不等式的解集为 或 ．
（7）原不等式 可化为 ,即 ，
即 或 ，即 或 ．
（8） ，令 ，则 ，原不等式为： ，
即 ， 或 ，即 ；
（9）对于 ，当 时， ，原不等式等价于 ，
等价于 ，解得 或 ，即 ；
当 时， ，原不等式成立，所以 是原不等式的一个解；
综上，原不等式的解集为 ；
（10）对于 ，变形为 ，即 ，与 同解， ，即；
考点五 解含参的一元二次不等式
【例5-1】（2024广东潮州）解下来关于实数 的不等式
（1） (2) ．（3） ．
【答案】答案见解析
【解析】（1）易知方程 的 ，
由 得 ，解得 ，
当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ．
（2）不等式 可化为 ，
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式化为 ，其解集为 ；
当 时，不等式化为 ，
（ⅰ）当 ，即 时，不等式的解集为 ；
（ⅱ）当 ，即 时，不等式的解集为 ；
（ⅲ）当 ，即 时，不等式的解集为 .
（3）对方程 ，当 时，即 时,不等式的解集为
当 时，即 或 时, 的根为 ，
不等式的解集为 ；综上可得， 时,不等式的解集为 ，或 时，不等式的解集为 .
【例5-2】（2024·湖南邵阳）关于x的不等式 恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 恰有2个整数解，即 恰有2个整数解，
所以 ，解得 或 ，
①当 时，不等式解集为 ，因为 ，故2个整数解为1和2，
则 ，即 ，解得 ；
②当 时，不等式解集为 ，因为 ，故2个整数解为 ， ，
则 ，即 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 或 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024北京）关于 的不等式 的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个 的取
值范围 .
【答案】
【解析】关于 的不等式 可化为 ,当 时, 解不等式得 ,
当 时, 解不等式得 ,因为不等式的解集中至多包含 1 个整数,所以 或 ,
当 时，不等式的解集为 ，也满足题意；所以 的取值范围是 .答案为: .2（2024湖北武汉）若关于 的不等式 有且仅有两个整数解，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【解析】①当 时，解得 ，不符合题意；
故 ，关于 的不等式 ，即 ，
②当 时，不等式即 ，解得 或 ，
即它的解集为 ，不满足题意；
③当 时，不等式即 ，
由于 ，当且仅当 时取等号，故它的解集为 ， ，
由题意 ，即 ，解得 或 ，
则实数 的取值范围为 .
故答案为：
3.（2024江苏无锡）已知函数 ．
(1)解关于 的不等式 ；
(2)若不等式 有且仅有唯一整数解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2) ．
【解析】（1）因为 ，所以当 时，解得 ；当 时，解得 或 ；
当 时，解得 ；
当 时，不等式无解；
当 时，解得 ；
综上所述，当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
（2）由（1）知，当 时不符合题意；
当 时，解集为 ，则 ，解得 ，所以 ．
4.
5. （2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式
（1） （2） （3） ．（4）
【答案】答案见解析
【解析】（1）由 ，可得 或 ，则：
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
（2）由对应函数 开口向上，且 ，
当 ，即 时， 恒成立，原不等式解集为 ；
当 ，即 或 时，由 ，可得 ，
所以原不等式解集为 ；综上， 解集为 ；
或 解集为 .
（3）由 得 或 .
当 ，即 时，不等式解集为 ；
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时，解集为 ．
综上： 时，不等式解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 ．
（4）①当 时， ；∴ .
②当 时，由 得 或 ，
（i）当 即 时， ，
（ⅱ）当 即 时， ，
（ⅲ）当 即 时， ，
综上，当 时，所求不等式的解集为 .
当 时，所求不等式的解集为 ，
当 时，所求不等式的解集为 ，
当 时，所求不等式的解集为 .
考点六 三个一元二次的关系
【例6-1】（2024云南昭通）不等式 的解集是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为不等式 的解集是 ，
所以 ， 和 是方程 的根，
所以 ，即 ， ，则 ．
故选：D．
【例6-2】（2024黑龙江大庆）（多选）已知关于x的不等式 的解集为 或 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B．关于x的不等式 的解集是
C． D．关于x的不等式 的解集为 或
【答案】ABD
【解析】由关于x的不等式 的解集为 或 ，
知 和3是方程 的两个实根，且 ，故A正确；
根据根与系数的关系知： ，
所以 ，
选项B：不等式 化简为 ，解得： ，
即不等式 的解集是 ，故B正确；
选项C：由于 ，故 ，故C不正确；
选项D：不等式 化简为： ，
解得： 或 ，故D正确；故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024广东揭阳）（多选）已知不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由不等式 的解集为 ，
可得相应的二次函数 的图像开口向下，所以 ，所以A错误；
又由2和 是方程 的两个根，则有 ，
因为 ，故 ，所以BC正确；
因为 ，所以 ，所以D错误.
故选：BC.
2．（2024山东临沂）（多选）已知关于 的一元二次不等式 的解集为{ 或 }，则
（ ）
A． 且 B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
【答案】AC
【解析】由题意可知 ，所以 且 ， ，故A正确，
B错误；不等式 ，故C正确；
不等式 ，即 ，所以 或 ，故D
错误.故选：AC
3．（2024江苏）（多选）关于 的不等式 的解集为 ，下列说法正确的是
（ ）
A．B．不等式 的解集为
C． 的最大值为
D．关于 的不等式 解集中仅有两个整数，则 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】不等式 的解集为 或 ，故 和 是方程 的两个根，
所以 ，解得 ，故A正确，
对于B， 可变为 ，解得 或 ，故B错误，
对于C， ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最大值
为 ，C正确，对于D， 的不等式可变为 ，
记 由于 ，故0是 的一个整数解，
由于对称轴 ，要使不等式 解集中仅有两个整数，则 ，故 ，
故D正确，故选：ACD
考点七 一元二次方程根的分布
【例7-1】（2024河南南阳）一元二次方程 有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知一元二次方程 的两根为 ，要使得方程有一个正实根和一个负实根，需 ，
结合选项知，只有 ，
即一元二次方程 有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是 ，
故选：C
【例7-2】（2024重庆）关于x的一元二次方程 有一个根小于 ，另一个根大于1，则a
的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 ，开口向上，由题意知 ，
即 ，解得 ，所以 ．故答案为： ．
【例7-3】（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实
数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令 ，因为方程 在区间 上有两个不相等的实数解，
所以 ，即 ，解得 ，所以 的取值范围是 ．故选：A．
【例7-4】（2024北京石景山）若关于 的一元二次方程 有两个实根，且一个实根小于1，另一
个实根大于2，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
根据已知结合二次函数性质，作图
则有 ，解得 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2024山西太原）（多选）已知关于 的方程 ，则（ ）.
A．当 时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BC
【解析】对于A选项：当 时， ，此时 ，
此时方程没有实数根，故A选项错误；
对于B选项：方程无实数根的充要条件是 ，即 ，
所以方程无实数根的一个充分条件是 的子集，显然 符合，故B选项正确；
对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得： ，故C选项正确;
对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得： ，故D选项错误;
故选：BC.2．（2024辽宁大连）关于x的方程 至少有一个负根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，方程为 ，此时方程的根为负根，
当 时，方程 ，
当方程有二个负根时，则有 ，
当方程有一个负根一个正根时，则有 ，
综上所述：当关于x的方程 至少有一个负根时，有 ，
即关于x的方程 至少有一个负根的充要条件是 .
故选：D.
3．（2024河南南阳）若方程 的两实根均在区间 内，求 的取值范围（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可知，一元二次函数 在区间 内与 轴有交点，
所以需满足 ，解得 ；所以可得 的取值范围是 .
故选：B
4．（2024高三·全国·专题练习）关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，
那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 即为 ，不符合题意；
故 ， 即为 ，
令 ，
由于关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，
则 与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故 时， ，即 ，解得 ，故 ，
故选：D
5．（2024浙江）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根 ，且 ．
则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数 ，依题意， 的两个不等实根 满足 ，
而函数 图象开口向上，因此 ，则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .故答案为：
考点八 一元二次（能）恒成立【例8-1】（2024上海）若对于任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】①当 时，不等式恒成立，所以 符合要求；
②当 时，题意等价于 ，即 ，解得 ，
综上可知 .故答案为： .
【例8-2】（2024湖南郴州） ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】 ，不等式 恒成立，即 ，
由于函数 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 ，即 ，则
，
故答案为：
【例8-3】（2024新疆哈密）已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【解析】设 ，则 在 的最大值为4，
因为关于 的不等式 在 上有解，即 ，解得 ，故答案为： .
【一隅三反】
1．（2024上海）若存在 ，使得 ，则实数a的取值范围 ．
【答案】【解析】当 时， ，显然 ，当且仅当 取等号，
由存在 ，使得 ，得 ，所以实数a的取值范围是 .故答案为：
2．（2024广西柳州）若不等式 对一切 恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 ，即 时，不等式为 对一切 恒成立．
当 时，需满足 ，即 ，解得 .
综上可知，实数a的取值范围是 ．故选：C
3．（2024·重庆）已知命题“对 ，都有 恒成立”为真，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则问题转化为 在 上的最小值满足 即可.
当 时， ，最小值为 ，符合题意；
当 时，对称轴 ，函数 在 上单调递减，
而 适合题意；当 时，对称轴 ，
则 ，
所以 ；综上 的取值范围为 .故选：A.
4．（2024贵州铜仁）当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，不等式 恒成立，
当 时，满足不等式恒成立；
当 时，令 ，则 在 上恒成立，
函数 的图像抛物线对称轴为 ，
时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则有 ，解得 ；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则有 ，解得 .
综上可知， 的取值范围是 .
故选：D.
5．（2024河南南阳）已知函数 ，若 ， ，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，所以 ，
令 ，
因为 恒成立，所以 恒成立，亦即 恒成立，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，所以 .
故选：B
一．单选题
1．（2024北京·期中）若a，b是任意实数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 ，故A错误；若 ，故B错误；
若 ，故C错误；显然 ，故D正确.故选：D
2．（2024浙江杭州）已知a、b都是实数，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，不等式 成立，而当 时，满足 ，不等式 不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A
3．（2024上海浦东新）方程 在区间 和 各有一个根的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为一元二次方程 在区间 和 各有一个根，
令 ，则由题意可得 ，即 ，解得 ，
则方程 在区间 和 各有一个根的充要条件是 .
故选：B.
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时，不等式 可化为 ，显然不合题意；
当 时，因为 的解为全体实数，所以 ，解得 ；
综上： .故选：C.
5．（2024浙江金华）若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令函数 ，显然 在 上单调递减， ，
因为任意 ，不等式 恒成立，于是 ，所以 .故选：A
6．（2024山东滨州）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不等式 对任意 恒成立，则 ， 成立，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，因此 ，
所以实数 的取值范围是 .故选：B
7．（2024四川绵阳）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对A，当 时，显然错误，故A错；
对B，当 时，则 ，故B错；
对C，当 时， ，故C错；
对D，当 时， ，故 ；
当 时， ；
当 时，
，所以 ， ，故D正确.
故选：D8．（2024河南信阳）若 ，那么下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ， ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，故
C正确；对于D， ，故D正确.故选：B
二．多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解集是
B．不等式 的解集是
C．若不等式 恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式 的解集是 ，则 的值为
【答案】CD
【解析】对于A， 或 ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
若不等式 恒成立，
当 时， 是不可能成立的，
所以只能 ，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得 是一元二次方程 的两根，从而 ，解得 ，
而当 时，一元二次不等式 满足题意，
所以 的值为 ，故D正确.
故选：CD.
10．（2024湖南长沙）已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】AD
【解析】对A，因为 ，所以 ，则 ，故A正确；
对B，当 ，则 ，故B错误；
对C，因为 ，
而 ，则 ，
所以 ，即 ，故C错误；
对D，因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
易知 在 上单调递增，所以 ，故D正确.
故选：AD.
11．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知 ，关于x的一元二次不等式 的解集可能是
（ ）
A． 或 B．C． D．
【答案】ACD
【解析】当 时， ；
当 时， 或 ，故A正确；
当 时， ，
若 ，则解集为空集；
若 ，则不等式的解为： ，故D正确；
若 ，则不等式的解为： ，故C正确.
故选：ACD
三．填空题
12．（2024江苏连云港）已知方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数 的取值
范围 .
【答案】
【解析】设 ，
因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
13．（2024上海闵行）已知函数 对任意实数 都有 成立，则实数 的取值范围是
.
【答案】【解析】由题意知当 时， 符合题意；当 时，则
则实数 的取值范围是 .故答案为： .
14（2024重庆）若 时， 恒成立，则a的取值范围为______.
【答案】
【解析】解法1： 时， 恒成立，
即 恒成立，即 恒成立.
令 （ ），则 ， ，
当且仅当 ，即 ，等号成立，
故 ，即a的取值范围为 .
解法2：令 ，
则由题意知， ，在 时恒成立，即 时， .
①当 ，即 时， 在 单调递增，
此时， 成立，
所以， 恒成立；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，
在 单调递增，所以 ，
此时只需， 即可，即
解得， ，∴ ，
综上所述，a的取值范围为 .
故答案为： .四．解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数
(1)若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围.
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）函数 的对称轴为 ，又函数 在 上是单调函数，
或 ，解得 或 ，∴实数a的取值范围为 ；.
（2）当 ， 时， 恒成立，即 恒成立，
令 ， 恒成立，函数 的对称轴 ，
，故m的范围为 .
16．（2024·江西）已知 .
(1)若不等式 的解集为 ，求实数 、 的值；
(2)若 时，对于任意的实数 ，都有 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 的解集为 ， ，
所以方程 的两根为 、 ，
故 ，解得 ，
经检验：当 、 时，不等式 的解集为 .（2）当 时， ，
对于任意的实数 ，都有 ，
即对于任意的实数 ，都有 ，
令 ，
当 时， 恒成立；
当 时，函数 是增函数， 即 ，解得 ；
当 时，函数 是减函数， 即 ，解得 ，
综上所述， ， 的取值范围为 .
17．（2024山东济南）已知函数 .
(1)若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
(2)当 时，
（i）解关于x的不等式 ；
（i）若存在 ，使得 ，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)（i）答案见解析； （i i）
【解析】（1）解：由函数 ，因为不等式 的解集为 ，
可得 和 是方程 的两个实数根据，
则 ，解得 .
（2）解：（i）由函数 ，
因为 ，可得 ，即 ，
所以 ，由不等式 ，即 ，
当 时，即 时，解得 或 ；
当 时，即 时，即为 解得 ；
当 时，即 时，解得 或 ，
综上可得，当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
（i i）由（i）知，当 时，不等式 解集为 ，
若存在 ，使得 ，则满足 ，解得 ；
当 时，不等式 的解集为 ，
此时不存在 ，使得 ；
当 时，不等式 的解集为 ，
此时不存在 ，使得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
18．（2024辽宁）已知函数
(1)解关于 的不等式 ；
(2)若方程 有两个正实数根 ，求 的最小值.
【答案】(1)答案见解析；(2)6.
【解析】（1）不等式 即为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，当 ，即 时，不等式的解集为 ，
综上可知：当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 .
（2）方程 有两个正实数根 ，
即 有两个正实数根
故 ，解得 ，
所以
令 ，则 ，故
当且仅当 即 时取得等号，
故 的最小值为6.
19．（2024江苏宿迁）已知函数 ．
(1)若不等式 的解集是空集，求m的取值范围；
(2)当 时，解不等式 ；
(3)若不等式 的解集为D，若 ，求m的取值范围．
【答案】(1) (2)答案见解析(3)【解析】（1）当 时，即 ，则由 ，得 ，不合题意，
当 ，即 时，由不等式 的解集为 得
，解得 ，
所以 的取值范围为 ；
（2）因为 ，所以 ，即 ，
当 ，即 时，解得 ，所以不等式的解集为 ，
当 ，即 时， ，
因为 ，所以不等式的解集为 ，
当 ，即 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以不等式的解集为 ，
综上，当 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
（3）因为不等式 的解集为 ，且 ，
所以对任意的 ，不等式 恒成立，
即 ，
因为 ，
所以 恒成立，
令 ，则 ， ，所以 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取最大值，最大值为 ，
所以 的取值范围为 .
