4.3三角函数的性质（教师版）_数学_一轮复习_2025年_2025年高考数学一轮复习《题型转练》系列（新高考新题型）_资料

4.3 三角函数的性质考点一 周期
【例1-1】（2024·上海·高考真题）下列函数 的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对A， ，周期 ，故A正确；
对B， ，周期 ，故B错误；
对于选项C， ，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D， ，周期 ，故D错误，
故选：A．
【例1-2】（2023·湖南）给出下列函数：
① ；② ；③ ；④ ．
其中最小正周期为 的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】A
【解析】对于①， ，其最小正周期为 ;
对于②，结合图象，知 的最小正周期为 ．
对于③， 的最小正周期 ．对于④， 的最小正周期 ．故选：A．
【例1-3】（2024·北京·高考真题）设函数 .已知 ， ，且 的最小
值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，则 ，即 ，
且 ，所以 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2023北京）下列函数中，最小正周期为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对选项A，由于函数 不是周期函数，故排除A；
对选项B，由于函数 ，周期为 ，故排除B；
对选项C，由于函数 的周期为 ，故排除C；

对选项D，由于函数 的周期为 ，故D正确.
2
故选：D
2．（2023·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于选项A， ，∴选项B： 且 ， ∴
对于选项C， ，∴
对于选项D， ，∴ ,
故选：C.
3．（2024河南）下列函数中是奇函数且最小正周期为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由选项A得 ，
所以该函数为偶函数，且最小正周期为 ，选项A错误；
对于选项B， ，该函数为偶函数，且最小正周期为 ，选项B错误；
对于选项C， .该函数为偶函数.且最小正周期为 ，选项C错误；
对于选项D， ，该函数是奇函数且最小正周期为 ,D选项正确.
故选：D
考点二 对称性
【例2-1】（23-24高三上·重庆·期末）（多选）下列函数中，其图象关于点 对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，当 时， ，A不是；
对于B，当 时， ，B是；对于C，当 时， ，C是；
对于D，当 时， ，正切值不存在，D是.
故选：BCD
【例2-2】（2024·安徽·三模）“ ”是“函数 的图象关于 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数 的图象关于 对称，
则 ，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“函数 的图象关于 对称”的充分不必要条件.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024·河北承德·二模）函数 的图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
所以 ， ，解得 ，
故选：C.
2．（2024·山东滨州·二模）已知函数 在 上有且仅有4个零点，直线 为函数图象的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，且 ，则 ，
由题意可得： ，解得 ，
又因为直线 为函数 图象的一条对称轴，
则 ，解得 ，
可知 ，即 ，
所以 .
故选：C.
3．（2024·江西·模拟预测）已知函数 的图象关于点 中心对称，则
（ ）
A．3或 B．2或 C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】由题意可知： ，
其中 ， ．
因为 的图象关于点 中心对称，则 ，
整理可得 ，则 ，解得 ， ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
综上所述： 或 ．故选：A．
考点三 单调性
【例3-1】（2024·全国·模拟预测）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，令 ，
,
故函数 的单调递增区间为 .
故选：D．
【例3-2】（2024江西赣州·期中）函数 的图象经过点 和点
，则 的单调递增区间是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，且 ，
即 且 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以 时，故 ，
所以 ．
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间是 ．
故选：D．
【例3-3】（2024·天津·一模）下列函数中，以 为周期，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A： ， ，故 不以 为周期，故A错误；
对B： ，故 以 为周期，
当 时， ，由 在 上单调递减，且 ，故 在 上单调递减，故B错误；
对C： ， ，故 不以 为周期，故C错误；
对D： ，故 以 为周期，
当 时， ，由 在 上单调递减，
但 ，故 时， ，
故 在 上单调递增，故D正确.
故选：D.
【例3-4】（2024·福建莆田·三模）（多选）已知函数 （ ， ）的图象既关于点
中心对称，也关于直线 轴对称，且 在 上单调，则 的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】AB
【解析】由题意可得 则 ，
即 .因为 在 上单调，
所以 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，
解得 .因为 ，所以 或 或 .
当 时， ， ，此时 在 上单调递减，故 符合题意；当 时， ， ，此时 在 上单调递减，故 符合题意；
当 时， ， ，此时 在 上不单调，故 不符合题意.
故选：AB.
【一隅三反】
x x
1．（2023春·广西）已知函数
f(x)cos2 sin2
，则（ ）
2 2
 π π  π π 
A． f x 在    2 , 6  上单调递减 B． f x 在    4 , 12  上单调递增
C． f x 在    0, π 3   上单调递减 D． f x 在    π 4 , 1 7 2 π  上单调递增
【答案】C
x x
【解析】因为 f(x)cos2 sin2 cosx .
2 2
π π  π π
对于A选项，当  2 x 6时， f x 在    2 , 6  上单调递增，A错；
π π  π   π 
对于B选项，当  4 x 12时，则 f x 在    4 ,0 上单调递增，在   0, 12  上单调递减，故B错；
π  π
对于C选项，当0x 时，则 f x在0, 上单调递减，C对；
3  3
π 7π π 7π
对于D选项，当4 x 12 时，则 f x 在  4 , 12  上单调递减，故D错.故选：C.
2．（2024·福建泉州·一模）已知函数 的周期为 ，且在区间 内单调递增，则 可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 的周期为 ，所以当 时，对正、余弦函数来说， ，故排除AB，
当 时， ，
因为 在 上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C
3．（2024·湖南长沙·二模）已知函数 的最小正周期为 ，直线 是
图象的一条对称轴，则 的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于 的图象是将 的图象在x轴下方部分翻折到x
轴上方，
且 仅有单调递增区间，
故 和 的最小正周期相同，均为 ，
则 ，即 ，
又直线 是 图象的一条对称轴，则 ，即 ，结合 ，得 ，
故 ，令 ，则 ，
即 的单调递减区间为 ，
故选：B
4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数 图象的一个对称中心为 ，且 在
上单调递增，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】因为 的一个对称中心为 ，所以 ， ，
即 ， ，①；
又 ，则 ， 在 上单调递增，
所以 ， ，
即 ，解得 ， ，②；
又 ，结合①②可得， 的最小值为 .
故答案为： .
考点四 奇偶性
【例4-1】（2024河北衡水 ）下列函数中，最小正周期为 的奇函数是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】对于A： 最小正周期为 ，故A错误；
对于B： ，最小正周期 ，且为奇函数，故B正确；
对于C： ，最小正周期为 的偶函数，故C错误；
对于D： ，则 ，
故 为偶函数，故D错误.
故选：B
【例4-2】（2024·贵州黔南·二模）若函数 为偶函数，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知： 为函数 的对称轴，
则 ，则 ，
对于选项A：令 ，解得 ，不合题意；
对于选项B：令 ，解得 ，符合题意；
对于选项C：令 ，解得 ，不合题意；
对于选项D：令 ，解得 ，不合题意；
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数 ，则“ ， ”是“ 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】函数 ，当 时，
，
则 为奇函数，所以充分性不成立，
当 为偶函数时， ，所以必要性不成立，
故“ ， ”是“ 为偶函数”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
2．（2024·河北·模拟预测）定义在 上的函数 周期为 ，且 为奇函数，则（ ）
A． 为偶函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为奇函数
【答案】D
【解析】定义在 上的函数 周期为 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，
即 ，所以 为奇函数，故B错误；
所以 ，则 ，
所以 ，则 为奇函数，故D正确；
由 ，所以 ，则 关于 对称，
令 ，则 ，满足函数 周期为 ，
且 满足 为奇函数，但是 为奇函数，故A错误；
令 ，则 ，满足函数 周期为 ，
又 满足 为奇函数，
但是 为偶函数，故C错误.
故选：D
3．（2024·福建宁德·三模）（多选）函数 .若存在 ，使得 为奇函数，则实数
的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可得，函数 ，且 ，
存在 ，函数 为奇函数，则 ，所以 为奇函数，
可得 ，所以 ,
当 时，B满足条件，当 时，D满足条件，AC不满足.选：BD.
考点五 值域
 π
【例5-1】（2023云南）函数 f xcosx 3sinx在  0, 2   的最大值是（ ）
3
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】C
1 3   π
【解析】由已知可得， f x2   2 cosx 2 sinx   2cos  x 3  .
π π π 5π π 5π
0x x   , 
因为 2 ，所以3 3 6 .又ycosx在3 6 上单调递减，
所以，当x π  π ，即 时，函数取得最大值 f 02cos π 1 .故选：C.
3 3 x0 3【例5-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）函数 的值域为 .
【答案】
【解析】由题可得：
，令 ，则 ，令 ，
所以函数 的值域等价于 在区间 上的值域，
由于 ，所以当 时， ， ，
则函数 的值域为 ，
故答案为：
【例5-3】（2024·全国·三模）当 时， 的最大值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】D
【解析】原式 ，
其中锐角 由 确定，由 ，得 ，
所以 .
故选：D
【例5-4】（2024北京朝阳·期末）函数 是（ ）A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为
C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】由函数 ，可得其定义域 ，关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数，
因为 ，
所以 为 的一个周期，
不妨设 ，
若 时，可得 ，
因为 ，可得 ，
当 时，即 时，可得 ；
当 时，即 时，可得 ；
若 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
当 时，即 时，可得 ；
当 时，即 时，可得 ，
综上可得，函数 的最大值为 ，最小值为 .
故选：D.
【例5-5】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 的图象关于点 对称，若当
时， 的最小值是 ，则 的最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，则 ，
又 ，故 ，即 ，
当 时， ，又 的最小值是 ，
则 ，故 ，即 的最大值是 .
故选：B.
【一隅三反】
ysin2x2sinx
1.（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数 的最大值为__________．
3 3
【答案】
2
y2cos2x2cosx2(2cos2x1)2cosx4cos2x2cosx2
【解析】】 ，
1 1
设 cosxt[1,1] ， f(t)4t22t2 ，令 f(t)0 ，得t  2 或 t 1 ， 所以当t(1, 2 )时， f(t)0 ，
π π
即在(π2kπ, 2kπ)和( 2kπ,π2kπ)(kZ)上 单调递减，
3 3 y
1 π π
当t( ,1)时， ，即在( 2kπ, 2kπ) 上， 单调递增，
2 f(t)0 3 3 (kZ) y
π 3 3 3 3 3 3
f( 2kπ)
又因为 f(π2kπ)0， 3 2 ，所以y的最大值为 2 ，故答案为： 2 ．
2．（2024·河北石家庄·二模）已知函数 在区间 上的值域均为 ，则实数 的
取值范围是 ．
【答案】
【解析】当 时， ，当 时， .
因为函数 在区间 上的值域均为 ，
而 ， ，所以 .又因为 ， ,
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
3．（2024·江苏苏州·三模）函数 的值域是 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
当 时 ，
由 ，则 ，所以 ，则 ；
当 时 ，
由 ，则 ，所以 ，则 ；
综上可得 的值域为 .
故答案为：
4．（23-24高三下·河南·阶段练习）（多选）下列函数中，最小值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A， ，其最小值为 ，故 错误；对于B，
，
当且仅当 ， 时等号成立，故B正确；
对于C．设 ， ，则 ，
所以 ，
当 时， ，故C错误；
对于D， ，又 ，
所以当 ，即 ， 时， ，故D正确．
故选：BD．
考点六 伸缩平移
【例6-1】（2024·河北衡水·模拟预测）（多选）已知函数 的图象向左平移 个单位后得到
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的图象关于 对称
C． 的图象关于 对称
D． 在 上单调递增
【答案】BCD【解析】 ，故A错误；
由 ，故B正确；
由 ，得C正确；
由 ，令 ，得 ， ,
当 时， ，故D正确.
故选:BCD.
【例6-2】（2024·江苏·模拟预测）将函数 图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标
不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于 轴对称，写出一个符合条件的 的值
.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】将函数 图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象对应的解析式为
，
由题意 的图象关于 轴对称，
所以 ，解得 ， ，令 ，得 .
故答案为： （答案不唯一）.
【一隅三反】
1．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点
（ ）A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
【答案】A
【解析】 ，
由诱导公式可知：
又
则 ，即只需把图象向右平移 个单位.
故选：A
2．（2024·山东·模拟预测）（多选）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得
的图象关于 轴对称，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的最小值为
C． 的最小正周期可以为 D． 的图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】对于A，将 的图象向左平移 个单位长度后，关于 轴对称，所以 的图象关于直线 对
称，故A正确；
对于B，由题可知 ，解得 ，又 ，所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C，若最小正周期 ，则 ，由B项可知，不存在满足条件的 ，故C错误；
对于D，因为 ，代入 ，得 ，
所以 的图象关于点 对称，将 的图象向右平移 个单位长度可以得到 的图象，则对称中心 对应平移到坐标原点，故 的图象关于原点对称，故D正确．
故选：ABD
3．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 在 上的最小值为 D．直线 是 图象的一条对称轴
【答案】D
【解析】对于选项A，由题意，可得 ，
故A错误；
对于选项B，令 ， ，
所以 在 上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为 ，所以 ，故 ，
在 上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数 的对称轴方程为 ，
化简可得 ，取 ，可得 ，
所以 是 图象的一条对称轴，故D正确.
故选：D.4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，将 图象上所有的点的
横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，若 在 上恰有一个极值点，则 的取
值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【解析】因为
，
又将 图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，
所以 ．当 时， ，
又因为 在 上恰有一个极值点，所以 ，解得 .选：A．
考点七 解析式
【例7-1】（2024·浙江金华·三模）（多选）已知函数 的部
分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 在区间 的最小值为
【答案】ACD
【解析】由题意得 ，由图象可得 ，
又 ，所以 ，
由五点法可得 ，
所以 .
A：由以上解析可得 ，故A正确；
B：由以上解析可得 ，故B错误；
C： ，故C正确；
D：当 时， ，
所以最小值为 ，故D正确；
故选：ACD.
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数 的部分图象，
将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数
的图像，则 的解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知 ，
则 的一个最低点为 ，
的最小正周期为 ，则 ，
，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，
得 的图象，
再将所得曲线向左平移 个单位长度，
得 ，
故 ，
故选：D.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）函数 的部分图象如图所示，下列说法
正确的是（ ）A．
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在 上单调递减
D．函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度后，所得的图象关于 轴对称
【答案】C
【解析】由 得 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，故A错误；
时， ，所以 ， ，故B错误；
，令 ，则 ，
时， ，此时 单调递增， 单调递减，
故 在 上单调递减，故C正确；
的图象上的所有点向左平移 个单位长度，
得到 ，图象关于原点对称，故D错误.
故选：C.
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数 的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移 个单位长度，得到函数 的部分图象如图所示，则函数 的解
析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图像可得 ，函数 的最小正周期为 ，
所以 ，将点 的坐标代入函数 的解析式，
且函数 在 附近递增，所以 .
则 ，
得 .因为 ，所以当 时， ，
因此 .
函数 的图象向右平移 个单位长度，然后横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，
得到函数 的解析式为 .
故选：B.
考点八 W的取值范围【例8-1】（2024·广西桂林·三模）已知函数 在 上有最小值没有最大
值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，
当 时， ，若 在 上有最小值没有最大值，
则 ，所以 .
故选：D
【例8-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数 ，若 ， ，则
的最小值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
则 或 ，
又 ， ，
当 是函数 的一个对称中心时， ，
若 ，则 ，
所以 ，则 ，又 ，
所以当 时 ；
若 ，则 ，
所以 ，则 ，又 ，所以当 时 ；
当 不是函数 的一个对称中心时，因为 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以当 时 ，
综上所述： .
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·山西太原·三模）已知函数 在 上有且只有两个零点，则实数 的
取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的零点为满足： ，
当 时，函数的第二个正零点 ，
当 时，函数的第三个正零点 ，
综上可得，实数 的取值范围是 .
本题选择B选项.
2．（2024·安徽合肥·三模）已知函数 在区间 上只有一个零点和
两个最大值点，则 的取值范围是 ．【答案】
【解析】
，
由 ， ，得 ，
时， ， 最大时， 也最大，
若 在区间 上只有一个零点和两个最大值点，
则只需 ，解得 ．
故答案为： .
3．（2024天津武清·期中）已知函数 ，若 的图象的一条对称轴是
，且在区间 上单调递增，则w的取值范围是
【答案】
【解析】函数 ， ，
且 的图象的一条对称轴是 ，
所以 ，
所以 ；
又 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ，
；
综上， 的取值范围是 ，
故答案为 ．
一．单选题
1．（2024·宁夏·二模）设函数 ，若对于任意的 ，都有 ，则
的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【解析】若对于任意的 ，都有 ，
则 是函数 的最小值， 是函数 的最大值， 的最小值即为函数 的半周期长，
而函数 的最小正周期 ，因此 ．
故选：B
2．（2024·浙江杭州·三模）已知函数 ，则“ ”是“ 为奇函数且
为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】一方面，当， 时， 是奇函数，是偶函数，故充分性成立，
另一方面，当 时，有 是奇函数，
是偶函数，
但此时关于 的方程 没有解，故必要性不成立，
综上所述，在已知 的情况下，
“ ”是“ 为奇函数且 为偶函数”的充分而不必要条件.
故选：A.
3 ．（2024·江西景德镇·三模）函数 在 内恰有两个对称中心， ，将函数
的图象向右平移 个单位得到函数 的图象.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得 ，
因为函数 在 内恰有两个对称中心，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，
即 ，
因为
，所以 .
故选：A
4．（2024·宁夏银川·三模）下列函数中，是偶函数且在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A：因为 ，所以 为偶函数，
当 时， ， ，
因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B：因为 ，所以 为偶函数，
当 时， ，
当 时， ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故B正确；
对于C：因为 ，所以 为偶函数，
当 时， ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故C错误；
对于D：因为 ，
所以 为非奇非偶函数，故D错误.
故选：B.
5．（2024·四川绵阳·模拟预测）关于函数 ，有下列命题：
① 的最小正周期为 ；②函数 的图象关于 对称；
③ 在区间 上单调递增；④将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得到的图象与函数
的图象重合．
其中正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【解析】 ，
对于①， 的最小正周期为 ，故正确；
对于②， ，所以函数 的图象关于 对称，
故正确；
对于③，当 时， ，因为 在 上单调递减，
所以 在区间 上单调递减，故错误；
对于④，将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到
的图象，不与函数 的图象重合，故错误．
故选：A.6．（2024·山东聊城·三模）设函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，将
的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 的图象与 的图象的所有交点的
横坐标之和为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【解析】由题意得 ，则 .
函数 的图象由函数 图形向右平移1个单位得到.
由函数 的图象与 的图象关于点 对称，在定义域内有4个交点.
所以函数 的图象与 的图象的所有交点的横坐标之和为
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 内恰有两个最小值点，则ω的范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 内恰有两个最小值点， ，所以最小正周期满足
所以 ，
所以有： ，
故选：B
8．（2024·河北·模拟预测）当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
可得 ，
又因为 ，
所以
即 ，
因为 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
则 ，则 ，
要使得不等式 ，即 恒成立，所以 ，即实数 的取值范围为 .
故选：D.
二．多选题
9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 最小正周期为
B． 是 图象的一条对称轴
C． 是 图象的一个对称中心
D． 在 上单调
【答案】BC
【解析】 ，
对于A： 的最小正周期为 ，错误；
对于B：令 可得 ，
所以 的图象关于直线 对称，正确；
对于C：令 可得 ，且 ，
所以 的图象关于点 对称，正确；
对于D：因为 ，所以 ，
由 在 上单调递增， 上单调递减可知，
在 上单调递增，在 单调递减，错误；故选：BC.
10．（2024·广东江门·一模）已知函数 （其中 ）的部分图象如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数 在区间 上单调递增
C．要想得到 的图象，只需将 的图象向左平移 个单位
D．函数 在区间 上的取值范围是
【答案】ABD
【解析】由图得 , ，所以 ， ，
所以 ，因为点 在图象上，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，可得 ，故A正确；
对于B，由 ，
得 ，所以函数 在区间 上单调递增，故B正确；
对于C，将 的图象向左平移 个单位，得到 的图象，故C错误；对于D， 时， ，
所以 ，函数 在区间 上的取值范围是 ，故D正确.
故选：ABD.
11．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， 的图象关于 中心对称
B．当 时，将 图象向右平移 个单位长度后的函数图象关于y轴对称
C．当 时， 在 上单调递减
D．设 的周期为T，若 时， ， 为方程 的两个不相等实根，则
【答案】ABD
【解析】
对于A：当 时， 又 ，
所以 的图象关于 中心对称，故A正确；
对于B：当 时，
将 图象向右平移 个单位长度后的函数为
所以 为偶函数，
所以将 图象向右平移 个单位长度后的函数图象关于y轴对称，故B正确；
对于C：当 时， 因为 ，
所以 ，所以 在 上不是单调递减函数，故C错误；设 的周期为T，若 时，则 ，解得 ，
当 时， 由
则可得 或 ，
所以 ，
当 时， 由
则可得 或 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题
12．（2024·四川·模拟预测）已知函数 （ ），当 时， 单调递增，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当 时， ，
因为 在 上单调递增，
则 解得 ，
又 ，可得 ．
故答案为： ．
13．（2023江西抚州·期末）若函数 在 的值域为 ，则 的取值范围是【答案】
【解析】 因为 ，且 ，
故可得 ，
因为 在区间 单调递减，在 单调递增，
且 ， ，
故要满足题意，只需
解得 .
故答案为： .
14．（2024·河北衡水·三模）已知 是函数 的一条对称轴， 在区间
内恰好存在3个对称中心，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意知 是函数 的一条对称轴，
故 ，解得 ， ，因为 ，故 ，
故 ，令 ，解得 ，
原点附近的6个对称中心分别为 ，
若3个对称中心恰好是 ，则 ，则t不存在，不合题意；
若3个对称中心恰好是 ，
则 ，则 ；
故当 时，符合题意．
故t的取值范围为 ，
故答案为：
四．解答题
15．（2024广东深圳·阶段练习）函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，求 在 上的最大值和最小值；
(3)若关于 的方程 在 上有两个不等实根，求实数 的取值范围．【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3) ．
【解析】（1）由函数 的部分图象可知 ，
， ， ，又 ，
，解得 ，由 可得 ，
；
（2）将 向右平移 个单位，得到 ，
再将所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，
令 ，由 ，可得 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
可得 ， ；
（3）因为关于 的方程 在 上有两个不等实根，
即 与 的图象在 有两个交点.由图象可知符合题意的 的取值范围为 .
16．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，再将其向右平移 个单位，得到函数 的图
象.若 ，函数 有且仅有4个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
当 时，可得 ，
当 ，即 时， 取得最小值 ，
因为 时， 恒成立，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
（2）由 图象的横坐标缩小为原来的 ，可得： ，再将其向右平移 ，可得： ，
即函数 ，
因为 ，所以 ，在给定区间的正弦函数的零点是 ，
再由函数 有且仅有4个零点，则满足 ，
解得 ，所以实数 的取值范围 .
17．（2024·河北·三模）已知函数 ．
(1)求 在 上的单调增区间；
(2)若关于x的方程 在区间 内有两个不同的解 ， ，求实数a的
取值范围，并证明 ．
【答案】(1) 和
(2) ，证明见解析
【解析】（1） ，
由 得 ，
所以 增区间为 ，
而 ，
故 在 的单调增区间为 和 ．（2）由 得 ，
即 ，其中 ， ．
所以当且仅当 ，
即 满足题意．
故实数a的取值范围为 ．
当 时， ，即 ；
此时 ，而 ，
所以 ，
当 时， ，即 ；
此时 ，而 ，
所以 ；
综上， ．
18．（2024·重庆·三模）如果存在实数对 使函数 ，那么我们就称函数
为实数对 的“ 型正余弦生成函数”，实数对 为函数 的“ 型正余弦生成数对”.
(1)已知函数 的“4型正余弦生成数对”为 ，求方程 在区间 上所有实根之和；
(2)若实数对 的“2型正余弦生成函数” 在 处取最大值，其中 ，求 的取值范
围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：由函数 的“4型正余弦生成数对”为 ，
可得 ，
又由方程 ，即 ，即 ，
因为 ，可得 ，
设 ，即 ，
结合正弦函数 的图象，可得方程 在区间 有2个解，
设其两根为 ，且 ，
由对称性可知 ，解得 ，则实根之和为 .
（2）解：由题意得 ，其中 ，
因为 在 处取最大值，可得 ，
所以 ，
即 ，
可得 ，
又因为 ，且 在 上单调递增，
可得 ，所以 ，即 的取值范围为 .
19．（2024·河北·二模）已知 为实数，用 表示不超过 的最大整数，例如 ，对于函数 ，若存在 ，使得 ，则称函数 是“ 函数”.
(1)判断函数 是否是“ 函数”；
(2)设函数 是定义在 上的周期函数，其最小正周期是 ，若 不是“ 函数”，求 的最小值；
(3)若函数 是“ 函数”，求 的取值范围.
【答案】(1) 是“ 函数”， 不是“ 函数”
(2)1
(3) ，且
【解析】（1）函数 是 函数，设 ，
则 ，
所以存在 ，使得 ，所以函数 是“ 函数”.
函数 ，函数的最小正周期为 ，函数的图象如图所示，
不妨研究函数在 这个周期的图象.
设 ，则 ，
所以 ，
所以函数 不是“ 函数”.
（2）因为 是以 为最小正周期的周期函数，所以 .
假设 ，则 ，所以 ，矛盾.
所以必有 .而函数 的周期为1，且显然不是 函数.
综上所述， 的最小值为1.
（3）当函数 是“ 函数”时，
若 ，则 显然不是 函数，矛盾.
若 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
此时不存在 ，使得 ，
同理不存在 ，使得 ，
又注意到 ，即不会出现 的情形，
所以此时 不是 函数.
当 时，设 ，所以 ，
所以有 ，其中 ，
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 .
综上所述， ，且 .