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5.3 递推公式求数列通项公式考法一 公式法
【例1-1】（2024·四川·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的通项公式为
【答案】
【解析】 ，当 时， ，
当 也满足，
所以数列 的通项公式为 .
【例1-2】（23-24 天津宁河·期末）若数列 的前 项和 ，则 的通项公式是
【答案】
【解析】当 ，则 ，
而 ，显然不满足上式，所以 .
【例1-3】（2024高三下·全国·专题练习）若数列 的前 项和 ，则 的通项公式是
【答案】
【解析】因为 ①，则当 时， ②，
①―②得： ，整理得： ，
又 ，解得 .所以数列 是首项为1，公比为 的等比数列，则 .
【例1-4】（23-24辽宁·期中）已知数列 满足 ，则
【答案】
【解析】由 ① 知，当 时， ；
当 时， ②，
由① ② ： ，即得 ，
当 时，符合题意，故 .
【例1-5】（2024陕西榆林·期末）已知数列 的前n项和为 ， ， ，则
【答案】
【解析】因为 ，则 ，整理得 ，又 ，则 ，
因此数列 是首项为1，公差为1的等差数列，则 ，所以 .
【一隅三反】
1．（23-24北京·期中）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】数列 中， ， ，
当 时， ，显然 满足上式，
数列 的通项公式为 .故答案为：
2．（23-24江西景德镇·期中）若数列 的前n项和 ，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】当 时， ,又 ，所以 ；
当 时， ，
因为 ，也满足关系 ，所以 .故答案为： .
3．（23-24广东深圳·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 .【答案】
【解析】当 时， ；
当 时， .
所以 .故答案为：
4．（23-24广东佛山·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ， ，则 的通项公式为
【答案】
【解析】数列 中， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，而 ，因此数列 是首项为3，公比为3的等比数列，
所以 的通项公式为 .故答案为：
5．（2024·四川·模拟预测）已知 为正项数列 的前 项和， 且 ，则
.
【答案】
【解析】因为 ，即 ，
当 时， ，又因为 ，即 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，两式相减，可得 ，
因为 ，可得 ，又 ，所以 ，
所以数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ．故答案为：
6．（23-24·江西抚州·阶段练习）数列 满足 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ，当 时 ，
当 时 ，所以 ，所以 ，
当 时 不成立，所以 .故答案为：
考法二 累乘法
【例2-1】（23-24四川成都·阶段练习）已知数列 满足： 且 ，则数列 的
通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
累乘可得 ，即 ，所以 ，
当 时， 也成立，所以 .故答案为：
【例 2-2】（22-23 福建宁德·期中）已知 ，则数列 的通项公式是
．
【答案】
【解析】由 ，得 ，所以 ，
所以 ， ， ，……， （ ），所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，因为 也满足上式， ，故答案为：
【例2-3】（2024高三下·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 .
【答案】
【解析】当 时， ，则 ，两式作差得 ，即，即 ，
所以 ，即 ，
又由 且 ，即 ，所以 ，可得 ，
则 .
显然 时也符合 ，可得 ，
所以 .
故答案为： .
【一隅三反】
1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.
【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以当 时， ，
因为 ，所以 ，
又因为 时， 满足上式，所以
2．（2024高三下·全国·专题练习）在数列 中， ，前 项和 ，则数列 的通项公式
为
【答案】
【解析】由于数列 中， ，前 项和 ，∴当 时， ，两式相减可得：
∴ ，所以 ，
因此
3．（2023高二·全国·专题练习）已知正项数列 满足 .求 的通项公式
【答案】
【解析】由 可得： ，
因为 为正项数列，所以 ，
所以 ，则 ，……， ，
将这 个式子相乘，则 ，
又因为 ，所以
4．（2024广东）已知数列 满足 ，求 的通项公式
【答案】
【解析】因为 ，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
两式相减得， ，即 ，
且 ，即 ，所以 ；
且 满足上式， 不满足上式，
所以数列 的通项公式为 .
考法三 累加法
【例3-1】（23-24上海宝山·阶段练习）已知数列 满足 ，则 .
【答案】
【解析】因 ，
则 .
故答案为： .
【例3-2】（23-24上海）在数列 中，已知 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】由 可得：
，．
故答案为： .
【例3-3】（23-24辽宁·期中）在首项为1的数列 中 ，则
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
，
，
，
以上各式相加得： ，
令 ，①
，②
错位相减： 有， ，
即 ，
所以 ，
又因为 ，所以有，所以 ,检验 时， 符合上式，所以 .
故答案为：
【一隅三反】
1（23-24四川南充·阶段练习）（多选）已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是单调递增数列
C． 是等差数列 D．
【答案】AB
【解析】 ，即 ，
， ， ， ， ，
以上各式相加得 ，
又 ，所以 ，而 也适合上式， ,故A正确，
由于 ，所以 ，故 是单调递增数列，B正确，C错误，
，D错误，
故选：AB
2．（2024河北）设数列 满足 ，则 =_______.
【答案】
【解析】因为数列 满足 ， ，
所以当 时， .
所以 ， ，因为 ，也满足上式，所以数列 的通项公式为 ，
故答案为：
3．（2024江西）已知首项为 的数列 的前 项和为 ，且 ，则 ______．【答案】
【解析】依题意， ，则 ，
故 ，
， ， ，…， ，
累加可得， ，
，
当n=1时， 也成立，
故 ，
；
故答案为： .
考法四 构造等比数列
【例4-1】（23-24广东深圳·期末）已知数 满足 ，则数列 的通项公式 ．
【答案】
【解析】由 可得： ，又 , ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
故答案为：
【例4-2】（23-24上海·期末）数列 满足 ，则数列 的通项公式为 .【答案】
【解析】数列 中，由 ，得 ，即 ，
而 ， ，于是数列 是首项为3，公比为 的等比数列，
因此 ，即 ，
所以数列 的通项公式为 .
故答案为：
【例4-3】（23-24高三下·广东·阶段练习）在数列 中， ，且 ，则 的通项
公式为 ．
【答案】
【解析】因为 ，设 ，其中 、 ，
整理可得 ，
所以， ，解得 ，所以， ，
且 ，所以，数列 是首项为 ，公比也为 的等比数列，
所以， ，解得 .
故答案为： .
【一隅三反】
1．（23-24河北沧州·阶段练习）已知数列 满足 ， ，则该数列的通项公式
．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，则数列 时以 为首项
公比为 的等比数列，故 ，所以 .2．（22-23宁夏中卫·阶段练习）数列 满足 且 ，则数列 的通项公式是
．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 为常数，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
故答案为：
3．（2023高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为
.
【答案】
【解析】解法一：设 ，整理得 ，可得 ，
即 ，且 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法二：(两边同除以 ) 两边同时除以 得： ，
整理得 ，且 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法三：(两边同除以 )两边同时除以 得： ，即 ，
当 时，则
，
故 ，
显然当 时， 符合上式，故 .
故答案为： .
4．（2024河南）设数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 .
【答案】
【解析】设 ，化简后得 ，
与原递推式比较，对应项的系数相等，得 ，解得 ，
即 ，令 ，则 ，又 ，
故 ， ，得 .
故答案为：
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 ，则 的通项
公式为 .【答案】
【解析】因为当 时， ，所以 ，
又 ，则 ，
所以 是以 为首项，4为公比的等比数列，
所以 ，
从而
，
当 时， 满足上式，
所以 .
故答案为： .
考法五 构造等差数列
【例5-1】（2024福建）已知数列 满足 ， ， ，则 .
【答案】
【解析】数列 中， ， ，显然 ，取倒数得 ，
即 ，则数列 是首项为1，公差为4的等差数列，
因此 ，所以 .
故答案为： .
【例5-2】（2024山东淄博·期中）已知 数列满足 ， ，则数列 的通项公式为【答案】
【解析】由 得 ，故 为等差数列，公差为1，首项为1，所以
所以 .故答案为：
【例5-3】（23-24 湖南常德 ）已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】若 ，则 ，即 ，这与 矛盾，所以 ，
由 两边同时除以 ，得 ，
则 ， ， ， ，
上面的式子相加可得： ，
所以 ，故答案为： .
【一隅三反】
1．（23-24安徽）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为数列 满足 ，且 ，则 ，
， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，在等式 两边取倒数可得 ，则 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
所以， ，所以， .
故答案为： .
2．（23-24 福建宁德·期末）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，
可知数列 是以首项为3，公比为2的等比数列，
可得 ，所以 .
故答案为： .
3．（2024黑龙江）数列{an}满足 ， ，则数列{an}的通项公式为 .
【答案】 ．
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
∴ 是等差数列，而 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】数列 中， ， ，显然 ，则有 ，即 ，
而 ，因此数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ．故答案为：
考法六 其他方法
【例6-1】（2024江苏无锡·阶段练习）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这
样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数
组成的数列 称为“斐波那契数列”，记 为数列 的前 项和，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】 ， ，∴ 成立，故选项A正确；
由 ，两边累加：
即 ，
∴ ，故选项B错误；
由 ， ， ，…， ，
可得： ．选项C正确；斐波那契数列总有 ，
则 ， ， ，…，
， ；
∴ ，即答案D成立．
故选ACD．
【例6-2】（23-24 吉林长春·阶段练习）（多选）已知数列 满足 ，记数列 的前 项
和为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】数列 中， ，则 ，
，因此数列 是以3为周期的周期数列，
对于A， ，A错误；
对于B， ，B错误；
对于C， ，
因此 ，C正确；
对于D， ，D正确.
故选：AB
【一隅三反】1．（2024山东菏泽）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，
1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列
称为“斐波那契数列”，记 为数列 的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【解析】 对A，写出数列的前6项为 ，故A正确；
对B， ，故B正确；
对C，由 ， ， ，……， ，
可得： .故 是斐波那契数列中的第2020项.
对D，斐波那契数列总有 ，则 ， ，
，……， ，
，故D正确；
故选：ABCD.
2．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知数列 满足 ， ，记数列 的前n
项和为 ，前n项积为 ，则（ ）
A．数列 是周期数列 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】选项A：易知 ，由 ，得 ，又 ，计算得 ， ， ， ，
因此 为周期数列，且周期为4，A正确.
选项B：由A知， ，B正确,
选项C，D：由周期性，得 ，
，则 ，故C错误，D正确.
故选：ABD.
3．（2024浙江）已知数列 满足： ， ， ，则通项 ．
【答案】
【解析】由 ， ，得 ，两边平方得 ，
则 ，即有 ，因此数列 是常数列，
，所以 .故答案为：
4．（2024甘肃）已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】设 ，令 得： ，解得： ； ，化简得，
，
所以 ，从而 ，故 ，又 ，所以 是首项和公差均为 的等差数列，
从而 ，故 ．故答案为：
一．单选题
1（23-24广东深圳·期末）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ①中，当 时， ，解得 ，
当 时， ②，
式子①-②得， ，即 ，
故 为首项为6，公比为3的等比数列，
故 .
故选：B
2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
①
又因为 ，
②两式相乘，得 ．
①②
故选：A．
3．（23-24 广东湛江·阶段练习）在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．100
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ，
即 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则数列
的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则 ， ， ，
以此类推，对任意的 ， ，
由 可得 ，所以， ，所以，数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，
，因此， .
故选：B.
5．（2024·全国·高三专题练习）已知在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，整理得 ，所以
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．所以 ，解得 ．
故选：A
6．（23-24福建厦门·期末）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由题意知 ，故 时， ，
当 时， ， ，则 ，
即 ，故 ，又 ，
所以 为首项是 ，公比为 的等比数列，
故 ，
随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值，故 时， 取最大值，最大值为 ，
故选：C
7．（22-23福建福州·期末）如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三
角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有 个球，从上往下
n层球的总数为 ，则说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．不存在正整数 ，使得 为质数
【答案】A
【解析】依题意因为 ，
以上n个式子累加可得︰ ,
又 满足上式，所以 ,故 ，故A错误；
因 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 ，故当 且为整数时， ，
此时 必为偶数，则 为整数，且为合数，
则不存在正整数 ，使得 为质数，D正确，
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，则下列说法中正确的是（ ）A．若数列 是等差数列，则数列 可能也是等差数列
B．若数列 是等差数列，则数列 可能也是等差数列
C．若数列 是等差数列，则数列 不可能是等差数列
D．若数列 是正项等差数列，则数列 可能是等差数列
【答案】B
【解析】对于A，设 ，则 ．
当 时， ，
所以 ．
又 ，不符合该式，数列 不是等差数列，故选项A错误．
对于B，由选项A可知，当 时， ，
，当 时， 适合上式；
故只需 ，数列 为等差数列，故选项B正确．
对于C，若数列 满足 ，则数列 为等差数列，故选项C错误．
对于D，若数列 是正项等差数列， ，可知只有当 时，
才有可能，
所以 成为完全平方数，数列 才可以是等差数列，
故对其变形可得 ，
当 时，数列 才为等差数列，而 ，故选项D错误．
故选：B．二．多选题
9．（广西桂林市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷）已知数列 的前n项和 ，则
下列结论中正确的是（ ）
A． B．数列 是递增数列
C． D．
【答案】AC
【解析】当 时， ，解得 ，故A正确；
当 时，由 可得， ，两式相减得 ，
数列 是等比数列，公比 ，且首项 ，所以数列 是递减数列，故B错误；
由等比数列求和公式知， ，故C正确；
由C知， ，故D错误.
故选：AC
10．（2024山西）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于AB，因为数列 满足 ， ，
所以当 时， ，此时 ，故A正确，B错误；
对于CD，当 时， ，
两式相减，得 ，整理得 ，又 ， ，即当 时，不满足上式，
所以 是从第二项起首项为 的常数列，
故当 时， ，则 ，
综上， ，故C错误，D正确.
故选：AD．
11．（22-23 广东广州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，
2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 称
为“斐波那契数列”，记 为数列 的前n项和，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对A， ，A对；
对B， ， ，B对；
对C，由 得 ，∴ ，
C错；
对D， ，D对.
故选：ABD
三．填空题
12．（2024·江西鹰潭·二模）设数列 的前 项和为 ， ， ， ，则 .
【答案】 （ ）
【解析】因为 ，当 时， ，两式相减可得 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，且 也符合上式，
所以 ，所以 ， .
故答案为： （ ）
13．（2024·浙江嘉兴·二模）设数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，若 ，
，则 .
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，
由 ，则 ，解得 ，又 ，
所以 ， ，代入 ，
解得 ，
当 时， ，
当 ， 时， ，
满足上式，所以 ， .
故答案为： .
14．（2023·广东深圳·二模）已知正项数列 的前 项积为 ，且满足 ，则
.
【答案】
【解析】由题意 ，且 ，所以 ，又 ，且 ，
所以 ，则 ，又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 ，
所以 .
故答案为： .
四．解答题
15．（22-23北京海淀·期末）求下列数列 的通项公式.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以数列 是以 为公差的等差数列，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以数列 是以 为公比的等比数列，
所以 ；
（3）由 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式不成立，
所以
（4）因为 ，
所以 ，则当 时，
，
当 时，上式也成立，
所以 ；
（5）因为 ，所以 ，
则当 时，
，
当 时，上式也成立，
所以 ；
（6）因为 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ；
（7）由 ，得 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，所以数列 是以 为公比， 为首项的等比数列，
所以 ；
（8）由 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，
所以数列数列 从第二项起是以 为公比， 为首项的等比数列，
所以 ，
当 时，上式不成立，
所以 .
16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，对任意 ，
有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.
【答案】(1) ；
(2)
【解析】（1）由 ， ，
两式相减得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，故 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
所以 ，
记 ，则 ，
17．（24-25湖北）已知数列 的前 项和 ，且满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项乘积为 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 .
所以当 时，
当 时， ，
两式相减得
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则数列通项公式为
（2）记数列 的前 项乘积为 ，
所以 ，由（1）可知则
令 ，开口向上且对称轴为 ，
所以 或8时， 取最小值且最小值为 .
所以 的最小值为 .
18．（23-24北京·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：数列 为等差数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为 ，
若 ，可得 ；
若 ，可得 ，
由于 不符合 ，
所以 ；
（2）因为 ，则 ，由（1）可知： ，
则 ，
可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列．19．（23-24 山东淄博·阶段练习）已知数列 是等差数列，其前 和为 ， ， ，数列 满足
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若对数列 ， ，在 与 之间插入 个2（ ），组成一个新数列 ，求数列 的前83项
的和 .
【答案】(1) ，
(2)180
【解析】（1）设公差为 ，
故 ，解得 ，
故 ，
故 ，①
当 时， ，
当 时， ，②
式子①-②得， ，
即 ，
当 时， 也满足上式，故 ；
（2）因为 ，所以在 中，从项 开始，到项 为止，
共有项数为 ，
当 时， ，当 时， ，
故数列 前 项是项 之后还有 项为2，.
