3.3利用导数研究函数的极值与最值（教师版）_数学_一轮复习_2025年_2025年高考数学一轮复习《题型转练》系列（新高考新题型）_资料

3.3 利用导数研究函数的极值与最值考点一 求已知函数的极值（点）
【例1-1】（2024湖北孝感）函数 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，
又 ，
令 ，则 或 ，所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，所以 的极大值为 ．
故选：D．
【例1-2】（2023春·湖南）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则 的（ ）
A．极小值0，极大值 B．极小值 ，极大值0
C．极小值0，极大值 D．极小值 ，极大值0
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
因为函数 的图形与 轴相切与点 ，可得 ，
解得 ，即 且 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 ，函数 取得极大值，极大值为 ，
当 ，函数 取得极小值，极小值为 .
故选：C.
【例1-3】（2024四川达州·期中）已知函数 ， 的图象在 处的切
线交 轴于点 .
(1)求实数 的值；
(2)求函数 的极值.
【答案】(1)6(2) 的极大值为 ；极小值为
【解析】（1） ，所以 ，即切线斜率为2，
又 ，所以切点坐标为
在 处的切线方程为： ，
代入点 ，得 ；
（2）由（1）得 ，
，
令 ，得 或
当 变化时， 变化情况如下表：
2 3
0 0
单调递
单调递减 单调递增
增
因此， 时， 有极大值，极大值为 ；
时， 有极小值，极小值为 .
【一隅三反】
1．（2024甘肃定西）函数 的极大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
【答案】D
【解析】因为 ，令 ，得 时；令 ，得 ，
所以当 时，函数 取得极大值 ．
故选：D.
2（2023·北京）已知函数 的导函数 的图像如图所示，若 在 处有极值，则 的值为（ ）A．-3 B．3 C．0 D．4
【答案】C
【解析】由函数 的导函数 的图像可知当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，
故 为函数 的极大值点，即 ，
故选：C
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列 中， ， 使函数 在 时取得
极值 ，则 的值是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【解析】由题意 ，
因为 在 时取得极值 ，
所以 ，
解得 或 ，
当 ， 时，，
所以 在 上单调递增，不合题意，
当 ， 时，
，
所以 时， ，
时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时 取得极小值，满足题意，
所以 ，
又 ， ， 同号，
所以 .
故选： .
考点二 已知极值（点）求参数
【例2-1】（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数 的极大值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，可得 或 ，
当 ，即 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是函数 的极大值点，满足题意；
当 ，即 时， 恒成立，
则 在 上单调递增，没有极值点，不满足题意；
当 ，即 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是函数 的极小值点，不满足题意；
综上， ，即 的取值范围为 .
故选：A.
【例2-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数 在区间 上恰有两个极值点
，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】 ，
因为 ，所以 ，
因为 是 在区间 上的两个极值点，不妨设 ，
则 ，所以 ，所以 .
故选：C.
【例2-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数 在区间 上有极值点，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知 ，由题意知 在 内有变号零点，
显然 在 单调递增，
故原条件等价于 ，解得 ，
故实数a的取值范围是 .
故选：C.
【例2-4】（2024北京顺义·期中）若函数 既有极大值也有极小值，则错误的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，
所以函数 在 上有两个变号零点，而 ，
所以方程 有两个不等的正根 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
故BCD正确，A错误．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2024内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 有极值 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】由题目条件可得：函数 的定义域为 ， .
令 ，得 ；
令 ，得 .
所以函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增.
则 是函数 的极小值点，
故 ，解得 .
故选：B
2．（2024·福建泉州·二模）在等比数列 中， 是函数 的两个极值点，若
，则t的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】C
【解析】 ，
所以 是方程 的两个实数根，则 ， ， ，
根据等比数列的性质， ，且所以 ，即 ，得 .
故选：C
3．（2024·重庆·模拟预测）若函数 有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
因为函数 有极值，所以 在 上有变号零点，
即 在 上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数 的对称轴为 ，开口向上，
所以只需 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C
4．（2024湖南长沙·阶段练习）（多选）已知a为常数，函数 有两个极值点 ， （
），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】 ， ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减．
作出 ， 的大致图象，当 时， 有两个根 ， ，且 ，故A正确；
当 时， ，故B错误；
又函数 在区间 上递减，在区间 上递增，在区间 上递减，
， ，故CD正确；
故选：ACD．
5．（2023·陕西宝鸡·二模）若函数 无极值点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，则 ，
若函数 无极值点，
则 无变号零点，
令 ，
则 ，
当 时， ， ， ，则 ，则 ，
当 时， ， ， ，则 ，则 ，
则 在 上单调递减， 上单调递增，
即 在 上单调递减， 上单调递增，在 处取得最小值，
若 无变号零点，则 ，解得： ，
故答案为： .考点三 已知函数求最值
【例3-1】（2024上海市虹口区）已知 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） ，故所求为 .
（2）因为 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增，
而 ，
所以 ，
所以函数 在 上的最大值与最小值分别为 .
3
【例3-2】（2023春·云南）函数
f(x)x3
在区间 上的最小值是（ ）
x (0,)
A．4 B．5 C．3 D．1
【答案】A
3 3(x41)
f(x)3x2 
【解析】 x2 x2 ,
0x1 f(x)0 x1 f(x)0
当 时， ，当 时， ，
所以函数 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，
f(x) (0,) f(1)4
所以 在区间 上的最小值是 .故选：A【一隅三反】
1．（2024广西河池·阶段练习）函数 在 上的最大值为 .
【答案】9
【解析】由函数 ，可得 ，
所以 在 单调递增，所以 .
故答案为：9.
ysin2x2sinx
2．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数 的最大值为__________．
3 3 3
3
【答案】 2 /2
y2cos2x2cosx2(2cos2x1)2cosx4cos2x2cosx2
【解析】 ，
cosxt[1,1] f(t)4t22t2
设 ， ，
1
令 ，得t  或 ，
f(t)0 2 t 1
1
所以当t(1, )时， ，
2 f(t)0
π π
即在(π2kπ, 2kπ)和( 2kπ,π2kπ)(kZ)上 单调递减，
3 3 y
1
t( ,1)
当
2
时， f(t)0，
π π
即在( 2kπ, 2kπ) 上， 单调递增，
3 3 (kZ) y
π 3 3
f( 2kπ)
又因为 f(π2kπ)0， 3 2 ，
3 3 3 3
所以y的最大值为 2 ，故答案为： 2 ．
f(x)x33x29xa.
3．（2024·重庆永川）设
f x
(1)求函数 的单调递增区间；
f x f x 2，2
10
(2)若函数 的极大值为 ，求函数 在 上的最小值．，1 3，
17
【答案】(1)单调递增区间为 和 ；(2) .
f(x)3x26x93(x3)(x1)
【解析】（1） ，
f�( x) >0
x3 x1
由 得 或 ，
f x ，1 3，
所以 的单调递增区间为 和 ；
( ) f x x=1
（2）由 Ⅰ 知函数 在 处取得极大值，
f 110 a5 f(x)x33x29x5
即 ，得 ，则 ，
f x 2，1 1，2
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
f 23 f 217 f x 2，2
17
又 ， ，所以 在 上的最小值为 ．
考点四 已知函数的最值求参数
【例4-1】（2024湖南益阳·期中）已知 （a为常数）在 上有最大值3，则此函数
在 上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知： ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 上单调递增，则 上单调递减，
则函数的最大值为 ，
此时 ，且 ， ，
可知当 时，函数 取得最小值为 .
故选：A.
【例4-2】（2023·四川宜宾·统考三模）若函数 的最小值是 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以，函数 的极小值为 ，
因为函数 的最小值为 ，当 时，函数 在 上单调递减，
此时，函数 在 上无最小值，不合乎题意；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时，函数 在 上的极小值为 ，且 ，则 ，
综上所述， .
故选：A.
【例4-3】（2024湖北·阶段练习）若函数 在 内有最小值，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
，
令 可得 或 （舍），
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 处取得极小值，即最小值，
又因为函数 在 内有最小值，故 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023春·安徽）已知 在区间 上的最大值就是函数 的极大值，则m的取值范
围是________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，得 .
由题意得 ，
故 ．
故答案为： .
2．（2024·上海·三模）若函数 在 上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 得， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以当 ， 有极小值，
因为函数 在 上存在最小值，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为： .
3．（2024江苏淮安·阶段练习）已知函数 ，在 上的最小值为 ，则实数 的值为
．
【答案】
【解析】易知函数 的定义域为 ，
因为 ，所以 ，
令 ，因为 在开区间 上有最小值 ，
则 在 上必有两根，即有 ，
又 在 上的两根为 ，且 ，
由 的图象可知，
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又 在开区间 上有最小值 ，则必有 ，且 ，
令 ，得到 ，所以 ，整理得到 ，令 ，
则 ，易知 在区间 上单调递减，
又 ，所以，当 时， ，当 时， ，
即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ，所以 在 上有且只有一根 ，
由 ，解得 ，
故答案为： .
考点五 导函数图像与函数极值最值的关系
【例5-1】（2023·四川·一模）已知函数 的导函数为 ， 为奇函数且图象如图所示，则 的
解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 为奇函数，可知 为偶函数，故可排除B、C；
对于A，当 时， ，排除A；
对于D，由 ，有 ，设 ，令 ，即
有无数解，即说明 有无数的极值点，与题意相符.
故选：D
【例5-2】（2024四川广元·阶段练习）如图是 的导函数 的图象，对于下列四个判断，其中正确
的判断是（ ）A．当 时， 取得极大值 B． 在 上是增函数
C．当 时， 取得极大值 D． 在 上是增函数，在 上是减函数
【答案】D
【解析】根据导函数 的图象可知，
当 时， ，当 时， ，
可知 在 内单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 取得极小值，当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的两个极值点为 ，故排除选项A和选项D，
当 时， ，所以 恒为正，排除选项C，
即只有选项B符合要求.
故选：B．
2．（2024山东青岛·开学考试）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．2为 的极大值点 B． 在区间 上单调递增
C． 为 的极小值点 D． 在区间 上单调递增
【答案】A
【解析】由导函数图象可得当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
且在 的左边 ，在 的右边 ，
所以 的极大值点为 、 ，极小值点为 .
故选：A
3．（2024江苏连云港·期末）函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）A． 为函数 的零点 B． 为函数 的极大值点
C．函数 在 上单调递减 D． 是函数 的最小值
【答案】C
【解析】由 的图象可得，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时，
所以 在 和 上单调递增，在 和 上单调递减，
所以 为 的极小值点，所以B选项错误，C选项正确；
是 的零点，但不一定是 的零点，所以A错误；
是函数 的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.
故选：C
4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图是函数 的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A． 在 上是增函数 B．当 时， 取得最小值
C．当 时， 取得极大值 D． 在 上是增函数，在 上是减函数
【答案】D
【解析】根据图象知：
当 ， 时， 函数 单调递减；
当 ， 时， 函数 单调递增.
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当 时， 取得极小值，选项C不正确；
当 时， 不是取得最小值，选项B不正确；
故选：D.
考点六 极值与最值的综合运用
【例6-1】（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 是 上的增函数 B．函数 有且仅有一个零点
C．函数 的最小值为 D． 存在唯一个极值点
【答案】BD
【解析】对于选项A：因为 ，则 ，
当 时，则 ， 可得 ，
即 ，所以 不是 上的增函数，故A错误；
对于选项B：因为 ，
当 时， ，可知 是 的零点；
当 时， ，可知 在 内无零点；
当 时， ，则 ，
可得 ，可知 在 内无零点；
综上所述：函数 有且仅有一个零点，故B正确；
对于选项C：当 时， ；
当 时， ；当 时，则 ， ，可得 ，
综上所述： ，所以 不是函数 的最小值，故C错误；
对于选项D：因为 ， ，
所以 的符号决定于 ，
显然 是 上的增函数，
又因为当 时， ；
当 时， ，
所以 ，使 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
所以 有唯一极小值点. 故D正确.
故选 ：BD.
【一隅三反】
1．（2024·广西贵港·模拟预测）若直线 是函数 的图象的切线，则 的最小值为
．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
设切点为 ，则 ，
则切线方程为 ，即 ，
可得 ， ，所以 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
可得 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： .
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 满足 ，函数 在 处取得最大值，若
，则
【答案】
【解析】因为 ，令 ，
则 在 上单减，
且 ，
由零点存在定理知，存在唯一的 ，使得 ，
即 ①，
且当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
所以 在 上单调递增， 上单调递减，
由 ，
而 ②，
由①②知， ，所以 ，
从而 .
故答案为： .
f x2x3ax2b
3.（2023春·吉林）已知函数
f x
a3
(1)当 时，求 的极值；
f x
(2)讨论 的单调性；
f x 0,1
a0
(3)若 ，求 在区间 的最小值.
f x b f x 1b
【答案】(1) 极大值 ， 极小值
f x2x33x2b
a3
【解析】（1）当 时 定义域为R，
fx6x26x6xx1
且 ，
x0 x1 f�( x) >0 0x1 fx0
所以当 或 时 ，当 时 ，
f x
x0 x1
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
f x  f 0b f x  f 11b
即 极大值 ， 极小值 ；
f x2x3ax2b fx6x22ax2x3xa
（2）函数 定义域为R，则 ，
a
令 fx0，解得 或x ，
x0 3
a
①当
a0
时，则当
x0
或x
3
时， f�( x) >0，
a
当0x 时， fx0，
3
a   a
所以 f x 的单调增区间为 ,0 ，  3 , ，单调减区间为   0, 3  ；
fx0 f x
a0
②当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增；a a
③当
a<0
时，当x
3
或
x0
时， f�( x) >0，当
3
x0时， fx0，
 a a 
所以 f x 的单调递增区间为   , 3  ， 0, ，单调递减区间为  3 ,0 ，
a   a
综上可得当a0时 f x 的单调增区间为 ,0 ，  3 , ，单调减区间为   0, 3  ；
f x
a0
当 时 在R上单调递增；
 a a 
当a<0时 f x 的单调递增区间为   , 3  ， 0, ，单调递减区间为  3 ,0 ；
a   a
（3）因为a0，由（2）可得 f x 的单调增区间为 ,0 ，  3 , ，单调减区间为   0, 3  ，
a
若 1，即 时 f x在0,1上单调递减，
3 a3
f x 0,1 f x  f 12ab
所以 在 上的最小值为 min ，
a  a a 
若 0 3 1 ，即0<a<3时， f x 在   0, 3  单调递减，在  3 ,1 单调递增，
a a3
所以 f x 在 0,1 的最小值为 f x min  3    27 b ，
2ab,a3

f x  a3
所以 min  b,0a3.
 27
一．单选题1．（2023·贵州遵义·三模）函数 在 处取得极值0，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】 ，所以 ，解得 ，
经检验， 满足题意，所以 .故选：A
2．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列 中， 是函数 的一个极大值点，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦函数性质知，当 ，即 时，函数 取得极大值，
则 ，由等差数列性质，得 ，
所以 .
故选：D
3．（2023·天津和平·三模）已知函数 （ ，且 ）， ，若
函数 在区间 上恰有3个极大值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． ． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
， ，函数 在区间 上恰有3个极大值点，
故 ，解得 .
故选：D
4．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数 的极值点为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】由 得 ， ，
设 ，则 ，所以 在 单调递减，
又 ， ，由零点存在定理知，存在 ，使得 ，
所以当 时， ， ，函数 单调递增；
当 时， ， ，函数单调递减， ，
所以 是函数 的极大值点，则 ，即 .
所以 .
故选：D
5．（2024·宁夏银川·一模）若函数 在 处取得极大值，则 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 在 处取得极大值，
则 ， 且 ，即 ，所以 ；
所以 ， ，
令 ，则 或 ，
由 ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以函数 在 处取得极大值， .
故选：C.
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数 在 处有极值 ，则 等于（ ）
A． B．16 C． 或16 D．16或18
【答案】A
【解析】 ，
若函数 在 处有极值8，
则 且 ，即 ，
解得： 或 ，
当 时， ，此时 不是极值点，故舍去，
当 时， ，
当 或 时， ，当 ，故 是极值点，
故 符合题意，
故 ，
故 ，
故选：A7．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 在 上恰有两个极值点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ．
因为函数 在 上恰有两个极值点，则 在 上有两个变号零点．
当 时， 在 上恒成立，不符合题意．
当 时，令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ， ，
所以 ，则 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D．
8．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线 与函数 的图象相切于两点，则函数
有（ ）．A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点
C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点
【答案】B
【解析】 ，
作出与直线 平行的函数 的所有切线，各切线与函数 的切点的横坐标依次为 ，
在 处的导数都等于 ，
在 上， , 单调递增，
在 上， 单调递减，
因此函数 有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：B.
二．多选题
9．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD【解析】对A，因为函数 的定义域为R，而 ，
易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小值点，
正确；
对B，当 时， ，所以 ，
而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，错误；
对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，正确；
对D，当 时， ，
所以 ，正确；
故选：ACD.
10．（2023·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
11．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
三．填空题
12．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数 ，若函数 的最小值恰好为0，则实数 的最
小值是 .
【答案】
【解析】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
故当 时， 取得最小值 ，
故当 ，即 时，函数 的最小值恰好为0，令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，所以 的最小值为 .
故答案为： .
13．（2024福建福州·期中）已知 在区间 上有最小值，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【解析】由函数 ，可得 ，
当 或 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
即 为函数 的极小值点；
要使得函数 在区间 上有最小值，
则满足 ，即 ，
因为 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，即实数 的取值为 .
故答案为：
14．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 在 上无极值点，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，因为 在 上无极值点，
所以 在 内单调，
因为当 时， ，
所以 在 恒成立，
即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为：
四．解答题
15．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数 的图象在点 处的切线过点 ．
(1)求实数 的值；
(2)求 的单调区间和极值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由已知得 ，
则 ，又 ，所以 图象在点 处的切线方程为 ，
将点 代入得 ，解得 .
（2）所以 ，定义域为 ,
所以 ，
令 ，则 ，
易得 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即 ， 在 上单调递减，
当 时， ，即 ， 在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，极小值为 .
16．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 有且仅有三个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 ，得 ，
令 ，得 ，解得 ．
所以 的单调递增区间为
（2）令 ，解得 或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表所示：0 2
0 0
单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数 有且仅有三个零点，
得方程 有且仅有三个不等的实数根，
所以函数 的图象与直线 有且仅有三个交点．
显然，当 时， ；当 时， ．
所以由上表可知， 的极小值为 ， 的极大值为 ，
故 ．
17．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 单调区间；
(2)若函数 在 有两个极值点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见详解；
(2)
【解析】（1）函数 定义域为 ， ，
时， 恒成立，
时， ； ，
时， ； ，
综上可知： 时为常函数，无单调区间，
时，单调增区间为 ，单调减区间为 ，
时，单调增区间为 ，单调减区间为 ，（2）因为 ， ，
因为函数 在 有两个极值点，则 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 时 ， ， ，
所以 在 上有2个极值点需满足 ，
即实数 的取值范围是 .
18．（2023春·吉林长春）已知函数
(1)当 时，求 的极值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 ，求 在区间 的最小值.
【答案】(1) ，
(2)当 时 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
当 时 在R上单调递增；
当 时 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；(3)
【解析】（1）当 时 定义域为R，
且 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
即 ， ；
（2）函数 定义域为R，则 ，
令 ，解得 或 ，
①当 时，则当 或 时， ，
当 时， ，
所以 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
②当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增；
③当 时，当 或 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
综上可得当 时 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
当 时 在R上单调递增；
当 时 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；（3）因为 ，由（2）可得 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ，
若 ，即 时 在 上单调递减，
所以 在 上的最小值为 ，
若 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增，
所以 在 的最小值为 ，
所以 .
19．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：
设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在 上是一条连续不断的曲线；
②在 内可导;
③对 ， ，则 ，使得 .
特别的，取 ，则有： ，使得 ，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数 满足 ，其导函数 在 上单调递增，证明：函数 在 上为增函
数.
(2)若 且 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)【解析】（1）由题 ，
由柯西中值定理知：对 ， ，
使得 ， ，
又 在 上单调递增，则 ，
则 ，即 ，
所以 ，
故 在 上为增函数；
（2） ，
取 ， ，
因为 ，所以由柯西中值定理， ，
使得 ，
由题则有： ，
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
故 ，所以实数 的取值范围是 .