3.4导数的综合运用（教师版）_数学_一轮复习_2025年_2025年高考数学一轮复习《题型转练》系列（新高考新题型）_资料

3.4 导数的综合运用考点一 判断函数的零点个数
【例1】(2024福建合肥)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
【答案】见解析
【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋2(x－1)．
当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0．
所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，
因为f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有1个零点．
当a＞1时，f′(x)＝1＋ln x－a＋2a(x－1)＝1＋ln x＋2ax－3a，
令g(x)＝1＋ln x＋2ax－3a，因为a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′＝g＝1＋ln ＞0，所以存在实数x∈，使得g(x)＝0．
0 0
在(0，x)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；在(x，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
0 0
所以f(x)的最小值是f(x)，其中x 满足f′(x)＝0，即1＋ln x＋2ax－3a ＝0．
0 0 0 0 0
所以f(x)＝xln x－ax＋1＋a(x－1)2＝x(3a－1－2ax)－ax＋1＋a(x－1)2＝(1－x)(a＋ax＋1)，
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
因为x∈，所以f(x)＜0，因为f＝＋1－＞0，f(3)＝3ln 3＋a＋1＞0，所以f(x)有2个零点．
0 0
综上所述，当a＝1时，f(x)有1个零点；当a＞1时，f(x)有2个零点
【一隅三反】
1．（2024·湖北·模拟预测）函数 ．
(1)当 时，证明： ；
(2)讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）当 时， ，所以 ，令 得 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
从而 ，不等式得证．
（2）令 ，则 ， ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
又 ，当 时， ；当 时， ．
从而当 时， 无零点；当 或 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点．
2．（2024·河南）已知函数 ， ．
(1)当a＝2时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论关于x的方程 的实根个数．
【答案】(1) (2)答案不唯一，具体见解析
【解析】(1)当a＝2时， ， ，
则切线的斜率为 ，
又 ，所以曲线 在 处的切线方程是 ，
即 ．
(2) 即为 ，化简得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ．
当 时， ，即 在 上单调递增；当 时， ，即 在 上单调递减．
①当 时， ，即 ，
所以 在R上单调递减．
又 ，所以 有唯一零点0；
②当 时， ， ，所以存在 ， ，
又 ，
令 ， ，
所以 在 上单调递减， ，
即 ，所以存在 ， ，
x n m
－ 0 ＋ －
单调递减 单调递增 单调递减
则 ，又 ，所以存在 ， ；
同理， ，又 ，所以存在 ， ，
由单调性可知，此时 有且仅有三个零点0， ， ．
综上，当 时， 有唯一零点，方程 有唯一的实根；
当 时， 有且仅有三个零点，方程 有3个实根．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 在 时取得极大值．
(1)讨论 在 上的单调性；(2)令 ，试判断 在 上零点的个数．
【答案】(1)答案见解析
(2)三个零点
【解析】（1）由题意， ，因为 在 时取得极大值，
则 ，得 ，
所以 ，
令 ，则 或 ．
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
（2） 在R上有3个零点，理由如下： ，
因为 ，所以 是 的一个零点．
，
所以 是偶函数，即要确定 在R上的零点个数，需确定 时， 的零点个数即可．
①当 时， ，
令 ，即 或 ，
时， 单调递减，且 ，时， 单调递增，且 ，
所以 在 有唯一零点；
②当 时，由于 ，
，
而 在 单调递增， ，
所以 恒成立，故 在 无零点，
所以 在 有一个零点，
由于 是偶函数，所以 在 有一个零点，而 ，
综上， 在R有且仅有三个零点．
考点二 已知函数零点求参数
【例2】（2024·广东汕头·三模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 的极值.
(2)若 在 只有一个零点，求 .
【答案】(1)极小值 ，无极大值；
(2) .
【解析】（1）函数 的定义域为R，求导得 ， ，
依题意， ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 在 处取得极小值 ，无极大值.
（2）函数 在 只有一个零点，等价于 在 只有一个零点，
设 ，则函数 在 只有一个零点，当且仅当 在 只有一解，
即 在 只有一解，于是曲线 与直线 只有一个公共点，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在 取得极小值同时也是最小值 ，
当 时， ；当 时， ，
画山 大致的图象，如图，
在 只有一个零点时， ，
所以 在 只有一个零点吋， .
【一隅三反】
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数至多一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 得： ，
当 时， ， ，
所以函数 在 处的切线方程为： ，即 ，所以
（2）由函数 的定义域为 ，
又由 ，分离参变量得：
令
令
在 单调递增，又 ，
在 上 ，在 上 ，
在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
又 时 时
2．（2024·广东深圳·期中）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恰有三个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：当 时，函数 ，可得 ，
所以 ，且 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）解：因为 ，可得 是 的一个零点，
因为 恰有三个零点，所以方程 有两个不为2实数根，
即方程 有两个不为2实数根，
令 ，所以 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以，当 时，函数取得极大值，也是最大值 ，
且当 时， ，
所以，当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为 ，
所以 ，且 ，所以 且 ．
所以a的取值范围是 ．
3．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数
(1)当 时，求 的零点；
(2)若 恰有两个极值点，求 的取值范围.
【答案】(1) 有且仅有一个零点
(2)
【解析】（1）当 时， 等价于 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增.因为 ，所以 有且仅有一个零点 .
（2）由 ，得 .
令 ，则 .
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
最多只有一个零点，则 最多只有一个极值点，不符合题意；
若 ，则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 .
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，从而 .
显然，当 时， ，则 ， .
令 ，则 ，
设 ，则 ，
由 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 恒成立，故 单调递增.
当 时， ，即 ，
则 .因为 ，所以 ， .
当 时， ，当 时， ，
则 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
则 恰有两个极值点.
故当 恰有两个极值点时， 的取值范围为 .
考点三 隐零点
【例3-1】（2024湖北）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求证：函数 的图象在x轴上方.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2)证明见解析.
【分析】(1)求 ，根据 正负即可求y的单调区间；
(2)求 ，根据 零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.
【详解】（1） ，
令 则 .
当 时， ，∴函数在 上单调递增；
当 时， ，∴函数在 上单调递减.
即 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
（2） ，
，易知 单调递增，
又 ， ，∴在 上存在一个 ，
使得： ，即： ，且 ，
当 ，有 单调递减；
当 ，有 单调递增.
∴ ，
∴ ，
∴函数 的图象在x轴上方.
【例3-2】（2024·广东深圳）已知函数 .
（1）求函数 在 上的零点之和；
（2）证明： 在 上只有1个极值点.
【答案】（1） （2）详见解析
【分析】（1） 得到 或 ，据此计算答案.
（2）求导设 ，则 ，判断函数 在 上单调递减，在 上单调递
增，又 ， ，得到答案.
【详解】（1）解：令 ，得 或 ，
即 或 ，即 或
所以 在 上的零点之和为（2）证明设 ， ，
， ，
当 时， ，则 为增函数.
因为 ， ，所以 ，
所以当 时， ；当 时， ，
从而 的 上单调递减，在 上单调递增
又 ， ，所以必存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ；当 时，
故 在 上只有1个极值点
【一隅三反】
1．（2024·江苏宿迁）已知函数
(1)若 求 的极值；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) 的极小值为 ，无极大值
(2)
【解析】（1）当 ，
令 ，解得 ，则当 单调递减，当 单调递增，
故 的极小值为 ，无极大值；
（2）由题意可得
令 则
当 时， 则 时， ，不合题意；
当 时，设 ，
， ，
所以存在 时， ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以当 ， ；当 ， ，
则当 ， ；当 ， ，
则 在 单调递减，在 单调递增，
所以
因为 ，所以 ，即
故 解得
综上所述，实数a的取值范围
2．（2024北京）已知函数 （ ，e为自然对数的底数）．
(1)求函数 的极值；(2)若方程 在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明： ．
【答案】(1)见解析(2)证明见解析.
【解析】(1)函数 的定义域为 ，且 .
当 时， 恒成立， 在 上单调递减，无极值.
当 时，由 ，得 ，所以 )在 上单调递增；
由 ，得 ，所以 在 上单调递减.
所以当 时，函数 取得极大值，且极大值为 .
综上所述，当 时，函数 无极值；当 时，函数 的极大值为 ，无极小值.
(2)
方程 ，即为方程 .
由题意，得方程 在区间 内有两个不相等的实数 ，不妨设 .
令 ，则 .
令 ，即 ，解得 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因为 ，所以 即 .
要证 ，只需证 .
又因为 ，所以 .所以只需证 ，只需证 .
因为 ，所以 .所以 .
所以只需证 ，只需证 .
只需证 ， 只需证 .
令 ，则 ，所以只需证 .
令 ，则 .
令 ，则 恒成立.
所以 在 上单调递减.所以 .
所以 .所以 在 上单调递增.
所以 .所以 .
所以 .
3（2024·云南）已知函数 ，函数 ．
(1)求函数 的单调区间．
(2) 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；(2) .
【解析】(1)解： ，令 ，则 ，当且仅当 ， 时等号成
立，∴ 在 上单调递增，即 在 上单调递增．∵ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(2)
解： 时， 恒成立，
， ，
，
时， ，∴ 在 上单调递增，
∵ ，
若 ， 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 时， 恒成立；
若 ，∵ ，∴ ，∴ ，
， ，
∴ 在 有唯一解，设为 ，且 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ 与 恒成立矛盾，舍去．
综上，实数 的取值范围是 ．
考点4 不等式的证明
【例4-1】（2024·北京·三模）已知 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若函数 存在两个不同的极值点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）当 时， ，
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ，
令 ，得 ，令 ，则 ，
原方程可化为 ①，则 是方程①的两个不同的根，
所以 ，解得 ，
由韦达定理得 ，则 ，
所以
，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以 .
【例4-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数 .(1)求函数 在 处的切线方程.
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解答
【解析】（1）由 ，可得 ，
，又 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，即 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，当 时， ，
当 时， ，
综上所述： .
【一隅三反】
1．（2024·山东威海·二模）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得 的定义域为 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，无极值；
当 时，令 ，则 ，令 ，则 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 为函数的极大值点，函数极大值为 ，无极小值；
（2）证明：设 ，
，令 ，
则 ，即 在 上单调递增，
，
故 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故
即 ，即 ，则 .
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析【解析】（1）函数 的定义域为 ，且 ．
当 时， 恒成立，
所以 在区间 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递减．
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
（2）当 时，因为 ，所以要证 ，只要证明 即可，
即要证 ，等价于 （*）．
令 ，则 ，
在区间 上， 单调递减；
在区间 上， 单调递增，
所以 ，所以 （当且仅当 时等号成立），
所以（*）成立，当且仅当 时，等号成立．
又 在 上单调递增， ，
所以存在 ，使得 成立．
综上所述，原不等式成立．
考点五 不等式的恒成立或存在性【例5】（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1） 定义域为 ，
当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，且 时， ，
令 ，下证 即可.
，再令 ，则 ，
显然 在 上递增，则 ，
即 在 上递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，问题得证
【一隅三反】
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2)
【解析】（1）因为 ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）依题意，存在 ，使得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，因此 ，
故 的取值范围为 ．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 在区间 上有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2) ．
【解析】（1）由题意知函数 的定义域为 ，
而 ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）因为不等式 在区间 上有解，
所以 在区间 上有解，此时 ，
即 在区间 上有解，
令 ，则 ．
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ．
当 时 ；当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
综上可知，实数a的取值范围是 ．3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为
(2)
【解析】（1）当 时， ，
∴ ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（2）原条件等价于： 在 上存在实数解．
化为 在 上存在实数解，
令 ，
则 ，
∴在 上， ，得 ，故 在 上单调递增，
∴ 的最小值为 ，
∴ 时，不等式 在 上存在实数解．
考点六 极值点偏移
f x
gx aax
【例6】（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数 ， x ．
f x≥lnx2
x1
(1)当 时， 恒成立，求a的取值范围．
gx x x xx e2
(2)若 的两个相异零点为 1， 2，求证： 1 2 ．,2
【答案】(1) (2)证明见解析
f x≥lnx2
x1
【解析】（1）当 时， 恒成立，
x1lnxax20
x1
即当 时， 恒成立，
Fxx1lnxax2
设 ，
F12a0
a2
所以 ，即 ，
1
Fxlnx 1a，
x
1
设rxlnx 1a，
x
1 1 x1
则rx   ，
x x2 x2
rx0 rx 1,
x1
所以，当 时， ，即 在 上单调递增，
rx≥r12a≥0
所以 ，
Fxrx0 Fx 1,
x1
所以当 时， ，即 在 上单调递增，
FxF12a
所以 ，
Fx0
a2
若 恒成立，则 ．
f x≥lnx2 ,2
x1
所以 时， 恒成立，a的取值范围为 .
lnxx ax x 
 1 2 1 2
lnx ax  x
（2）由题意知，
g(x)lnxax
，不妨设
x x 0
，由
lnx
1
ax
1 得
 
ln
x
1 ax
1
x
2
 ，
1 2 2 2 2
x
1 1
lnxx  x x x
1 2  1 2  2
则 ，
x x x x
ln 1 1 2 1 1
x x
2 2
x lnxx  t1 t1
令t 1 1，则 1 2  ，即：lnxx  lnt ．
x lnt t1 1 2 t1
2
t1 2t1 2t1
要证 x 1 x 2 e2 ，只需证 lnx 1 x 2 2 ，只需证 t1 lnt2，即证lnt t1 t1，即证lnt t1 0（ t1
），t12
2t1 mt 0
令mtlnt （ ），因为 tt12 ，所以 mt在1,上单调递增，
t1 t1
2t1
当 t1,时， mtm10 ，所以lnt 0成立，故 xx e2．
t1
1 2
【一隅三反】
1．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在 轴上，另一个顶点 在函数
图象上
(1)当顶点 在 轴上方时，求 以 轴为旋转轴，边 和边 旋转一周形成的面所围成的几何体的
体积的最大值；
(2)已知函数 ，关于 的方程 有两个不等实根 .
（i）求实数 的取值范围;
（ii）证明： .
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明过程见详解.
【解析】（1）因为 在 轴上方，所以： ；
为直角三角形，所以当 轴时，所得圆锥的体积才可能最大.
设 ，则 ， （ ）.
设 （ ），则 ，由 .
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 .
从而： .（2）（i）因为 ，即 ，即 ，
令 ，所以 ，
因为 为增函数，所以 即 ，
所以方程 有两个不等实根 等价于 有两个不等实根 ，
令 ，所以
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.所以
.
当 时， ；当 时，由洛必达法则知 ；
所以 .
（ii）由（i）知， ，
令 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，即 在 单调递增， ，所
以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
因为 ， ，且 在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
2．（2024·四川眉山·三模）已知函数 .
(1)若过点 可作曲线 两条切线，求 的取值范围；
(2)若 有两个不同极值点 .
①求 的取值范围；
②当 时，证明： .
【答案】(1) ；
(2)① ；②证明见解析.
【解析】（1）依题意， ，
设过点 的直线与曲线 相切时的切点为 ，斜率 ，
切线方程为 ，而点 在切线上，
则 ，即有 ，
由过点 可作曲线 两条切线，得方程 有两个不相等的实数根，
令 ，则函数 有2个零点，
求导得 ，
①若 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得极大值；当 时， 取得极小值，
又 ，
当 时， 恒成立，因此函数 最多1个零点，不合题意；
②若 ， 恒成立，函数 在 上单调递增，
因此函数 最多1个零点，不合题意；
③若 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得极大值；当 时， 取得极小值，又 ，
显然当 时， 恒成立，因此函数 最多1个零点，不合题意；
④若 ，显然 ，当 时， ，当 时， ，
函数在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 取得最大值 ，
要函数 有2个零点，必有 ，得 ，
当 时， ，
而函数 在 上的值域为 ，因此 在 上的值域为 ，
当 时，令 ，求导得 ，函数 在 上单调递减，
则 ， ，
而函数 在 上单调递减，值域为 ，
因此函数 在 上的值域为 ，
于是当 时，函数 有两个零点，所以过点 可作曲线 两条切线时， 的取值范围是 .
（2）①由（1）知， ，
由函数 有两个极值点 ，得 ，即 有两个实数根 ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递增， 上单调递减， ，
且 ，当 时，函数 恒成立，因此当 时， 有两个实数根
所以函数 有两个极点时， 的取值范围是 .
②由 ，即 ，得 ，
要证明 ，只需证明 ，
而 ，
令 ，则 ，欲证明 ，
即证明 ，只需证明 即可，
令 ，
求导得 ，
则 在 时单调递增，故 ，
则 ，令 在 时单调递增，则 ，
因此 ，即 ，
所以 .一．单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数 在区间 内有两个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以当 或 时 ，
即 在 ， 上单调递增，
当 时 ，即 在 上单调递减，
根据题意可得 ，即 ，解得 .
故选：A
2．（2024·陕西·模拟预测）当 时， 恒成立，则实数 最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【解析】因为 ，由 ，得 .令
令 ，则 在 上恒成立，
故函数 在 上单调递增，所以 即 ，
由 ，得 ，所以 .
当且仅当 时，取“=”，
此时 ，由 与 图象可知 使 ，此时 .所以 ，即 有最大值为4.
故选：B.
3．（2024·河南·三模）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】显然首先 ，
，
令 ，则 ，所以 在定义域内严格单调递增，
所以若有 成立，则必有 ，
即 对于任意的 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
从而 ，所以 的取值范围是 ，即实数 的最大值为 .
故选：B.
4．（23-24高二下·天津·期中）若函数 恰好有四个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 不是 的零点，当 时，令 ，得 ，
令 ，
由对勾函数性质可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
令 ，
则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
且当 趋近正无穷时， 趋近2，如图所示，
所以当 时， 与 的图象有且仅有四个交点，
此时函数 恰好有四个零点.
故选：C.
5．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ，若存在 使得 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于 ， ，
所以 在区间 上单调递增， ，所以当 时， 的值域为 .
对于 ， ，
若 ，则 ，不符合题意.
若 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， 的值域为 ，符合题意，D选项正确.
当 时， 在区间 上 单调递增，
在区间 上 单调递减，
，而当 时
所以当 时， 的值域为 ，不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
故选：D
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则正实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，且 ，
两边加上 得， ，
设 ，则 ，所以 单调递增，
，即 ，
令 ，则 ，的定义域是 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， 取得极大值即为最大值， ，
， .
故选：C．
7．（2024·全国·模拟预测）已知过点 的直线与函数 的图象有三个交点，则该直线的斜率
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】问题转化为方程 有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为 ，所以方程
有三个不等的实根等价于方程 有两个不等的实根．
令 ，
则 ．
令 ，则 ，即 单调递增．
又 ，所以当 时， 单调递减，且 ；
当 时， 单调递增，
且 ．
又因为当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以实数k的取值范围是 ．
故选：C．
方法二：分离函数令 ，则 ，所以 ．
令 ，则 ，解得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 有极小值；
而 且 ，
所以方程 有一解 ．
①当 时， 过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当 时，过原点O作 的切线，
设切点 ，则 ，
所以 ．
又 ，得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
8．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知 ，若函数 有两个不同的零点，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意 ，令 ，得 ，
已知 ，当 时， ，此时 在 单调递减，当 时， ，此时 在 单调递增，
故当 时， 有最小值，而 ，
由此可知当 时， ，当 时， ，
若函数 有两个不同的零点，结合零点存在定理可知，
的最小值 ，
又 ，所以 ， ，所以 ，所以 ，
即a的取值范围是 ．
故选：B.
二．多选题
9．（2024·河北衡水·三模）已知函数 ， 是函数 的一个极值点，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．函数 在区间 上单调递减
C．过点 能作两条不同直线与 相切 D．函数 有5个零点
【答案】AD
【解析】对于A中，由函数 ，可得 ，
因为 是函数 的一个极值点，可得 ，
解得 ，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由 ，令 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
故 在区间 上递增，在区间 上递减，在区间 上递增，所以B错误；对于C中，设过点 且与函数 相切的切点为 ，
则该切线方程为 ，
由于切点 满足直线方程，则 ，
整理得 ，解得 ，所以只能作一条切线，所以C错误；
对于D中，令 ，则 的根有三个，如图所示， ，
所以方程 有3个不同根，方程 和 均有1个根，
故 有5个零点，所以D正确．
故选：AD．
10．（2024·湖北·二模）已知 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】设 ，则 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，即 ，A正确；
令 ， ，则 ，而 ，所以 ，B不正确；
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；
则 在 时取得最小值 ，即 ，C正确；
设 ，则 ，所以 在 上是增函数，
所以由 得 ，即 ，D正确.
故选：ACD
11．（2024·山东济南·三模）已知函数 ，则（ ）
A．曲线 在 处的切线斜率为
B．方程 有无数个实数根
C．曲线 上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于
D． 在 上单调递减
【答案】BCD
【解析】对于A， ，则 ，
故 ，A错误；
对于B，由于 为周期函数，当 时， ，
故 的图象大致如图示：
结合图象可知，当x增大到一定数值 满足 后，
大于 的数将有无数个满足 ，B正确；对于C，设 为 上任意一点，则 ，
由于 ，故 ，
由于 时， ，故曲线 上任意一点与坐标原点连线的斜率在 时才取到正值，
则 时， 取正值时， ， 取负值时，显然成立；
设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，故 ，
由于 取等号条件和 取等号条件不一致，
故 ，C正确；
对于D，设 ，则 ，
故 在 上单调递减，则 ，则 ；
设 ，
，
故 在 上单调递减，D正确，
故选：BCD
三．填空题
12．（2024·河北·三模）已知 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】【解析】因为 ， ，
所以 ，即 ，
设 ， ，
令 ， ，即 在 上单调递增，
令 ， ，即 在 上单调递减，
则 ，
所以 ，
解得 .
故答案为： .
13．（2024·福建泉州·一模）已知函数 有且只有两个零点，则a的范围 ．
【答案】
【解析】由函数 ，令 ，可得 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ，
可得 或 ，
即 或 ，
令 ， ，可得 ， ，
当 时，可得 ， 在 单调递增，且 ；
当 时， 且 ；
当 时，可得 ， 在 单调递减；当 时，可得 ， 在 单调递增，且 ，
又当 时， ， ，
当 时， 且 ；
作出函数 的图象，如图所示，
要使得 有两个实数根，即 有两个不同的零点，
结合图象，可得 或 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
14．（2024·四川南充·模拟预测）已知圆 和曲线 相交于两个不同的点，则 的取值范围
为 .
【答案】
【解析】由 可知， ，所以令 ， ，
则 ，
可得 ，
令 ，
原题意等价于 在 内有2个零点，则 ，
显然 ，
若 ， ，即 ，可得 ；
若 ， ，即 ，可得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，
当 ，即 时， 可得 ，
此时 至多只有一个零点，不满足题意；
当 ，即 时，则 ，
且当 趋近于 或 时， 均趋近于 ，
由零点存在性定理可知： 在 内有2个零点，符合题意；
综上所述： 的取值范围为 .
故答案为： .
四．解答题
15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 .
(1)若 是函数 的极值点，求 的值，并求其单调区间；
(2)若函数 在 上仅有2个零点，求 的取值范围．
【答案】(1) ； 的增区间是 和 ，减区间是 ；(2)
【解析】（1） ， ，得 ，
当 时， ，得 或 ，
的变化情况如下表所示，
0 0
增区间 极大值 减区间 极小值 增区间
所以函数 的增区间是 和 ，减区间是 ；
（2）令 ， ，
得 ，
令 ， ，
，得 ，
如下表，
1 3
0
减区 增区
极小值3
间 间
因为函数 在 上仅有2个零点，即 与 有2个交点，如图：16．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值.
(2)
【解析】（1）当 时， ，
故 ，
因为 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，而 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 处取极小值且极小值为 ，无极大值.
（2） ，
设 ，
则 ，当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 .
当 时，当 时， ，
故 在 上为减函数，故在 上 ，
即在 上 即 为减函数，
故在 上 ，不合题意，舍.
当 ，此时 在 上恒成立，
同理可得在 上 恒成立，不合题意，舍；
综上， .
17．（2024·广东湛江·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个根 ， ，求实数a的取值范围，并证明： ．
【答案】(1) 在 上单调递增， 上单调递减，
(2)见解析
【解析】（1）由题意可得 ，所以 ，
的定义域为 ，
又 ，由 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，当 时， ，则 在 上单调递减，
（2）由 ，得 ，设 ，
，由 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
又 ， ，且当 趋近于正无穷， 趋近于 ，
的图象如下图，
所以当 时，方程 有两个根，
证明：不妨设 ，则 ， ，
设 ，
，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又 ， ， 在 上单调递减，所以 ，
故 .
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．(1)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若 且 ， ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由 ， ，
得 ， ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，当 时， ， 在区间 上单调递减，
所以当 时， 的最大值为 ．
当 时， ， 在区间 上单调递减，当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 的最小值为 ．
所以 ，故实数 的取值范围为 ．
（2）由 得 ，两边取对数并整理，
得 ，即 ，即 ．
由（1）知，函数 在 上单调递增，在
上单调递减， ，（技巧：注意对第（1）问结论的应用）
而 ，当 时， 恒成立，不妨设 ，则 ．
记 ， ，
则
，所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 ， ，
于是 ， ，
又 在 上单调递减，因此 ，即 ，
所以 ．
19．（2024·全国·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1） 时， ，其中 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，而 成立，故 即 ，
所以 的最小值为 .，
（2） 的定义域为 ，
设 为 图象上任意一点，
关于 的对称点为 ，
因为 在 图象上，故 ，而 ，
，
所以 也在 图象上，
由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 .
（3）因为 当且仅当 ，故 为 的一个解，
所以 即 ，
先考虑 时， 恒成立.
此时 即为 在 上恒成立，
设 ，则 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
当 ， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 时， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 ，则当 时，
故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍；综上， 在 上恒成立时 .
而当 时，
而 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ，
即 的解为 .
综上， .