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3.1 导数的运算及几何意义考点一 导数的运算
【例1-1】（20224北京）求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；
(5) ；(6) ；(7) ；(8) ．
【例1-2】（2024甘肃酒泉）求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；(4)【一隅三反】
1．（2024天津）求下列函数的导数
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .
2．（2024山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
(5) (6) (7) (8)考点二 求导数值
【例2】（2024广东中山）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·江西·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海黄浦）已知函数 ，则 ．
3．（2023春·江苏）如图，函数 的图象在点 处的切线是 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
考点三 导数的几何意义
【例3-1】（2024广东江门）已知直线l： ，且与曲线 切于点 ，则
的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【例3-2】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线 在 处的切线为 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【例3-3】（2024·山东潍坊·三模）若 为函数 图象上的一个动点，以 为切点作曲线
的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【一隅三反】
1．（2024·福建厦门·一模）已知直线 与曲线 在原点处相切，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新疆阿克苏）若直线 与曲线 相切，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·福建福州）已知函数 ，且其图象在点 处的切线的倾斜角为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024春·河南）点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是
5．（2024福建莆田）设P为曲线C： 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是
，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河北）已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 .则 的图像上
任意一点处的切线的斜率的取值范围为 .
考点四 在型切线方程【例4-1】（2023·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 ，则曲线 在 处的
切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南开封·二模）已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·湖南·二模）（多选）下列函数的图象与直线 相切的有（ ）
A． B．
C． D．
考点五 过型切线方程
【例5】（2024·贵州·模拟预测）过点 作曲线 的切线，请写出切线的方程 .
【一隅三反】
1．（2024·云南·模拟预测）曲线 过坐标原点的切线方程为 .
2．（2024·江苏南通·二模）过点 作曲线 的切线，则切线的方程为 .3．（2023吉林）已知函数 ，则曲线 过点 的切线方程为______．
考点六 公切线
【例6】（2024·全国·模拟预测）曲线 与 的公切线方程为 .
【一隅三反】
1.（2023安徽）已知直线l与曲线 、 都相切，则直线l的方程为______．
2．（2024·四川·模拟预测）写出与函数 在 处有公共切线的一个函数 ．
3．（2024·全国·模拟预测）试写出曲线 与曲线 的一条公切线方程 .
考点七 已知切线求参
【例7-1】（2024山东泰安）若函数 的图像在点 处的切线恰为直线 ，
则 （ ）
A．3 B． C．1 D．
【例7-2】（2024·全国·模拟预测）若直线 与函数 的图象相切，则 的最小值为（ ）
A．e B． C． D．
【例7-3】（2023春·河南周口 ）已知曲线 在 处的切线过点 ，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．3
【例7-4】（2024·福建·模拟预测）已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【一隅三反】
1．（2024·陕西西安·二模）已知直线 与曲线 相切于点 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024河南郑州·期中）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，则实数 （ ）A．1 B． C． D．2
3.（2023广东湛江）过点 可以作曲线 的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则 的值
为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
4．（2024·四川绵阳）若函数 与函数 的图象在公共点处有相同的切线，则实数
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西宝鸡）已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则
.
考点八 切线的条数
【例8-1】（2024安徽合肥）已知函数 ，过点 可作曲线 的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例8-2】（2024·云南）若曲线 有两条过点 的切线，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例8-3】（2023·全国·模拟预测）若过点 可作函数 图象的两条切线，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1（2023福建）已知函数 ，则过点 可作曲线 的切线的条数最多为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024湖北·一模）已知过点 作曲线 的切线有且仅有两条，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．3．（2023·湖南·二模）若经过点 可以且仅可以作曲线 的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D． 或
考点九 切线的应用
【例9-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线 上的点到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 （ 且 ）无公共点，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024江西吉安·期末）若动点 在曲线 上，则动点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西汉中·二模）若点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的距离的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）动直线 分别与直线 ，曲线 相交于 两点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
一．单选题
1.（2024·内蒙古）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 等于（ ）A． B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）函数 与直线 相切于点 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．（2024陕西咸阳·阶段练习）已知函数 ，过原点作曲线 的切线 ，则切点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·湖北·统考模拟预测）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最
小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
5.（2024·福建福州）已知函数 ，且其图象在点 处的切线的倾斜角为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024北京）若过点 与曲线 相切的直线只有2条，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024浙江湖州·期末）已知函数 ，若总存在两条不同的直线与函数 ，
图象均相切，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二．多选题
9．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 有2个零点 B．若 ，则 有3个零点
C．存在负数 ，使得 只有1个零点D．存在负数 ，使得 有3个零点
10．（2024安徽合肥）已知函数 （e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的切线斜率可以是
B．曲线 的切线斜率可以是3
C．过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条
D．过点 且与曲线 相切的直线有且只有2条
11．（2024·广东）已知函数 ，则过点 恰能作曲线 的两条切线的充分条件
可以是（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题
12．（2024·四川遂宁·二模）已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ．
13．（2023·河南·模拟预测）已知直线 是曲线 与 的公切线，则
.
14．（2024·四川宜宾·二模）已知 为抛物线 的焦点，过直线 上的动点 作抛物线的切线，
切点分别是 ，则直线 过定点 .
四．解答题15．（2024江苏常州）已知函数 .
(1)求曲线 过点 处的切线；
(2)若曲线 在点 处的切线与曲线 在 处的切线平行，求 的值.
16．（2024四川成都）已知函数 ．若曲线 在点 处的切线为
(1)分别求 的导数，并求切线为 的方程；
(2)若点 在曲线 上，在点 处的切线 与直线 平行，求切线 的方程．17．（2024湖南长沙）已知函数 在区间 上的最小值为－2．
(1)求a；
(2)（ⅰ）若过点 存在2条直线与曲线 相切，求m的值；
（ⅱ）问过点 ， ， 分别存在几条直线与曲线 相切?（只需写出结论）
18．（2024云南·阶段练习）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.
比如，我们可以先猜想某个方程 的其中一个根r在 的附近，如图6所示，然后在点 处
作 的切线，切线与x轴交点的横坐标就是 ，用 代替 重复上面的过程得到 ；一直继续下去，得到
， ， ，…， .从图形上我们可以看到 较 接近r， 较 接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于
是，求r近似解的过程转化为求 ，若设精度为 ，则把首次满足 的 称为r的近似解.
已知函数 ， .(1)试用牛顿迭代法求方程 满足精度 的近似解（取 ，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若 对任意 都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值： ，
， ， ， ）
19．（2024山东）过曲线 ： 上的点 作曲线 的切线 与曲线 交于 ，过点 作曲线
的切线 与曲线 交于点 ，依此类推，可得到点列： ，
已知 ．
(1)求点 ， 的坐标；(2)求数列 的通项公式；
(3)记点 到直线 （即直线 ）的距离为 ，求证： ．
