文档文本内容
8.2 平面向量的数量积及应用考点一 投影及投影向量
【例1-1】（2024·全国·二模）已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意， 在 上的投影向量为： .故选：A
【例1-2】（2024·江苏南京·模拟预测）向量 在向量 上的投影为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，即 ，
又 ，则 ，即 ，
所以 ，则 .
故选： ．
【一隅三反】
1．（2024·河南驻马店·二模）已知向量 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，则 在 方向上的投影向量为： .
故选：C
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系 中， ，点 在直线 上，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设点 ，则 ，
则 在 上的投影向量为
.
故选：C
3．（2024·江苏苏州·三模）已知 ，且 在 方向上的投影向量为单位向量，则
（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【解析】由题意可得 ，所以 ，即 ，
所以 ①，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ②，
① ②可得 ，即
又 在 方向上的投影向量为单位向量，则 ，即 ，解得 ，
则 ，代入②中可得 ，解得 .
故选：B
考点二 数量积公式简单应用
【例2-1】（2024·山西太原·一模）在 中， ， ， ，设点 为 的中点， 在
上，且 ，则 （ ）
A．16 B．12 C．8 D．
【答案】A
【解析】因为在 中， ， ， ，以 为原点，建立如图坐标系，
则 ， ，C(0,6)， ，设E(0,b)，则 ， ，
由题意可知 .即 ，即 ，所以 .
所以 ， .所以 .
故选：A.
【例2-2】（2024·四川资阳·二模）已知向量 ， 的夹角为150°，且 ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.【详解】因为 ，
所以 .
故选：D
【例2-3】（2024·山西太原·二模）已知 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，则 ，即 ，
解得 ，
设 与 的夹角为 ，则 ，又 ，
所以 ，即 与 的夹角为 .
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量 为单位向量， 且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量 均为单位向量，即 ，且 ， ，
则 ，两边平方可得 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 与 的夹角为 ．
故选：C．2．（2024·河南周口·模拟预测）已知 中， ， ，AD为BC上的高，垂足为 ，点 为
AB上一点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
由题意可知， ， ， ，故 ，
因为 ，
所以 ，
则
.
故选：A.
3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知 、 均为单位向量，且 ，则 与 的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，即 .
，
则 ，因为 ，所以 与 的夹角大小为 .
故选：C
4．（2024·江苏·三模）已知过抛物线 的焦点 的直线与 相交于 两点， 轴上一点 满足
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
设 ， ， ，
联立方程组得到 ，消 可得 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
而 ，
而 ，
解得 ，此时 ， ，
，故D正确.
故选： .
考点三 取值范围【例3-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 中 ，若
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由 可得
，
因x∈R，故 时， ，即 的最小值为 .
故选：B．
【例3-2】（2024·安徽·模拟预测）已知 是圆O： 的直径，M，N是圆O上两点，且
，则 的最小值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．
【答案】C
【解析】设 的中点为C，∵ ， ，
则 ，
∵C为 的中点，∴ ，
设向量 与 的夹角为 ，
∴ ，
又 ，∴ 的最小值为 .
故选：C.【一隅三反】
1（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 是边长为 的正三角形，点 是 所在平面内的一点，且满足
，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】法一：设 的重心为 ，则 ，
点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
又 ， 的最小值是 .
法二：以 所在直线为 轴，以 中垂线为 轴建立直角坐标系，
则 ，
设 ，即 ，
化简得 ， 点 的轨迹方程为 ，
设圆心为 ， ，由圆的性质可知当 过圆心时 最小，又 ，故 得最小值为 .
故选：C.
2．（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆 上运动，且 ，若点 的坐标为 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】因为 ，所以 为直径且过原点， 的中点为原点 ，
所以由平行四边形法则可得： ，
所以 ，
所以当 共线且方向相同时模长最长，即当 运动到 时，
取得最大值为 .
故选：C.
3．（2024·江西鹰潭·三模）（多选）已知向量 ， ， ，则（ ）
A．若 ，则B． 在 方向上的投影向量为
C．存在 ，使得 在 方向上投影向量的模为1
D． 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，若 ，则 ，
则 ，即 ，所以 ，故 A正确；
对于B， 在 方向上的投影向量为 ，故B错误；
对于C， 在 方向上的投影向量的模为 ，
若 ，则 ，
即 ，其中 ， ，
所以 ，
所以存在 ，使得 在 方向上的投影向量的模为1，故C正确.
对于D， ,
因为 所以 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
考点四 奔驰定理
【例4-1】（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ，
，且 .若 为 的垂心， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 .
由 为 的垂心， ，且 ，
得 ，所以 ，
又 ，则 ，同理可得 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ， ，
所以 ，所以 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（23-24陕西咸阳·阶段练习）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一
个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：
已知 是 内一点， 的面积分别为 ，且 ，
则以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为 的重心
C．若 为 的内心，则
D．若 为 的外心，则
【答案】BCD
【解析】对于A项，由 可得： ，
而由 可得： ，
因 两两互不共线，则必有 ，
则易得： ，故A项错误；对于B项，由 可得 ①，
如图，不妨取 的中点 ，连接 ，则有 ，
代入①式，化简得 ，
即 三点共线，且点 是 的靠近点 的三等分点，
同理可知点 也是另两边上的中线的对应三等分点，
故点 是 的重心，故B项正确；
对于C项，不妨设 的内切圆半径为 ，
则 ，代入 ，
可得 ，
整理得： ，故C项正确；
对于D项，不妨设 的外接圆半径为 ，
因 为 的外心，
则 ， ， ，
则 .
故 ，故D项正确.
故选：BCD.
2．（2024河南南阳·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内
一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则 .设 是锐角
内的一点， 、 、 分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A．若 ，则
B．|⃗OA)=|⃗OB)=2， ， ，则
C．若 为 的内心， ，则
D．若 为 的重心，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为 ，由“奔驰定理”可知 ，A对；
对于B选项，由 |⃗OA)=|⃗OB)=2， ，可知 ，
又 ，所以 ，
由 可得， ， ，
所以 ，B错；
对于C选项，若 为 的内心， ，则 ，
又 （ 为 内切圆半径），
所以， ，故 ，C对；
对于D选项，如下图所示，因为 为 的重心，延长 交 于点 ，则 为 的中点，
所以， ， ，且 ， ，
所以， ，由“奔驰定理”可得 ，D对.
故选：ACD.
3．（22-23 湖北·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是
ABC内一点， BOC， AOC， AOB的面积分别为 ， ， ，且 ．设O是
△ △ △ △
锐角 ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的 ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
△ △
A．若 ，则
B．若|⃗OA)=|⃗OB)=2， ， ，则
C．若O为 ABC的内心， ，则
△
D．若O为 ABC的垂心， ，则
△
【答案】ACD
【解析】对A，由奔驰定理可得， ，又 不共线，故
，A对；
对B， ，由 得 ，故 ，B错；
对C，若O为 ABC的内心， ，则 ，又
△（ 为内切圆半径），三边满足勾股定律，故 ，C对；
对D，若O为 ABC的垂心，则 ， ，
△
又 ，
同理 ，∴ ，
∵ ，则 ，
且
如图， 分别为垂足，
设 ， ，则 ，
又 ，故 ，
由 ，解得 ，
由 ，故 ，D对故选：ACD
4．（2024重庆北碚）奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ，
，则 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若 、 是锐角 内的点，
、 、 是 的三个内角，且满足 ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以
，
又由奔驰定理 得 ，
因为 不共线，所以 ，
所以 ，A正确；
延长 分别与对边交于点 ，如图，由 得 ，所以 ，同理 ，所以 是
的垂心，
所以四边形 中 ， ，所以 ，B正确；
由 得 ，
所以 ，
由选项B得 ， ， ，
所以 ，C正确；
由上讨论知，
，
，
所以 ，
又由选项C： ，
得 ，
由奔驰定理： 得 ，D正确．
故选：ABCD．
考点五 平面向量与三角形的四心【例5-1】（2024四川 ）已知点 ， ， 在 所在平面内，且 ， ，
，则点 ， ， 依次是 的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
所以 ，设 的中点为 ，连接 ，则 ，
所以 ，所以点 在 边上的中线上，同理可得 也在 的中线上，
所以点 是 的重心，
由 ，得 ，所以 到 的三个顶点的距离相等，所以 为 的外心，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，同理得 ，所以 为 的垂心，
故选：A
【例5-2】（2024山东·阶段练习）已知 的三个内角分别为 为平面内任意一点，动点 满足
则动点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】A【解析】在 中，令线段 的中点为 ，由正弦定理 ，
得 ，由 ，
得
即 ，而 ，
则 ，于是得 与 同向共线，而它们有公共起点，
即动点 的轨迹是射线 除点A外),又重心在线段 上，
动点 的轨迹一定经过 的重心．
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024湖北）点 为 所在的平面内，给出下列关系式：
① ；
② ；
③ .
则点 依次为 的（ ）
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心
C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心
【答案】C
【解析】 ①由于 ，其中 为 的中点，可知 为 边上中线的三等分点（靠近线
段 ），故 为 的重心；②向量 ， ，分别表示在边 和 上取单位向量 和 ，它们的差是向量 ，当
，即 时，则点 在 的平分线上，同理由 ，知点 在
的平分线上，故 为 的内心；
③ 是以 ， 为边的平行四边形的一条对角线的长，而 是该平行四边形的另一条对角线的长，
表示这个平行四边形是菱形，即 ，同理有 ，故 为 的外心.
故选：C
2．（2023上海浦东新·期末）点 在ΔABC所在平面内，给出下列关系式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
则点 依次为ΔABC的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心； D．外心、内心、垂心、重心
【答案】C
【解析】（1） 显然得出 为ΔABC的重心；
（2） ，同理 ，所以 为
ΔABC的垂心；
（3） OA,OB分别是 的角平分线，所以 为ΔABC的内
心；
（4） （M是AB中点）同理 （N是BC中点），所以为ΔABC的外心.
故选： .
3．（2024河北邢台·阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ，点 分别为 所在
平面内一点，且有 ， ，
， ，则点 分别为 的
（ ）
A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
即 ，
则 ，
所以 ，则 ，同理可得 ， ，
即 是 三边上高的交点，则 为 的垂心；
由 ，得 ，
设 的中点为 ，则 ，即 ， ， 三点共线，
所以 在 的中线 上，同理可得 在 的其余两边的中线上，
即 是 三边中线的交点，故 为 的重心；
由 ，得 ，即 ，
又 是 的中点，所以 在 的垂直平分线上，
同理可得， 在 ， 的垂直平分线上，
即 是 三边垂直平分线的交点，故 是 的外心；
延长 交 于点 ，因为 ， ， 三点共线，则设 （ ），且 ， ，
代入 ，得 ，
即 ①，
又因为 与 共线， 与 、 不共线，
则只能当 且 时，①成立，
即 ，则 ,
由正弦定理得： ，
又 ，则 ，
即 ，又 ，所以 ，
则 是 的角平分线，即点 在 的角平分线上，
同理可得， 在 ， 的垂直平分线上，
即 是 内角平分线的交点，故 是 的内心；
故选：A.
考点六 平面向量的新概念
【例6-1】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如果向量 ， 的夹角为 ，我们就称 为向量 与 的“向
量积”， 还是一个向量，它的长度为 ，如果 ， ， ，则
（ ）
A． B．16 C． D．20
【答案】B
【解析】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B
【例6-2】（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义： ， ．
若平面向量 满足 ，且 和 都在集合 中，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】D
【解析】因为 ，
设向量 和 的夹角为 ，因为 ，所以 ，
得到 ，
又 ，所以 ，
又 在集合 中，所以 ，即 ，得到 ，
又因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·四川成都·二模）已知向量 ， 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点，对于 内任意一点 ，
当 时，称有序实数对 为点 的广义坐标.若点 ， 的广义坐标分别为(x ,y )，(x ,y )，
1 1 2 2
则“ "是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由已知可得 ， ，
若 ，则 ，使 ，即 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，使 ，即 ，
故“ "是“ ”的充要条件，
故选：C.
2．（22-23高三·河北衡水·阶段练习）设向量 与 的夹角为 ，定义 .已知向量 为单位
向量， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，
解得 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：C
3 ．（2024·广东江门·三模）（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算 ，其中 表
示 的夹角，则对于两个非零平面向量 ，下列结论一定成立的有（ ）A． 在 上的投影向量为
B．
C．
D．若 ，则
【答案】BD
【解析】对于选项A， 在 上的投影向量为 ，故选项A错误，
对于选项B， ，故选项B正确，
对于选项C， ，
显然 时， 不成立，故选项C错误，
对于选项D，由 ，所以 ，则 ，即 ，故选项D正确，
故选：BD．
一．单选题
1．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意 可得 ，
所以 ，则
所以 ，则 在 方向上的投影向量为 .
故选：B
2．（2023·河北·统考模拟预测）在平行四边形 中，已知 ，且 ，则向量 与
的夹角的余弦值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，在平行四边形 中， ， ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
故 ，则 ，
所以向量 与 的夹角的余弦值为 0 .
故选：B.
3．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）在三角形 中， ， ，
， 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A．-12 B．-6 C．12 D．18
【答案】A
【解析】由题意， ， 为 中点，由 在 上的投影向量为 ，
即 ，又 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
4．（2024·北京）已知平面向量 ， 满足 ， ，点D满足 ，E为
的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， ，
∵ ，解得： ，
∴两向量夹角 ，
∵ ，
以 为坐标原点, ,垂直于 所在直线为 , 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,
则 , 设 , 由 , 知 ,
解得 ,
∴
又E为 的外心，
∴ ，
∴ 为等边三角形,∴ ，
∴ ,
∴ .
故选：B.
5．（2024·江西九江 ）已知 、 为单位向量，则向量 与 夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
，
则 ，
令 ，因为 ，所以 ，
，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，
所以向量 与 夹角的最大值为 ．
故选：A．
6．（2024·山东烟台·三模）已知向量 ， 满足 ， 在 方向上的投影向量为 ，且 ，则
的值为（ ）
A．4 B． C．16 D．48
【答案】B【解析】由题意可知： ，即 ，
因为 在 方向上的投影向量为 ，可得 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
则 ，所以 .
故选：B.
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ， ， 是 边的中点，过点
作 于点 ，延长 交 于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结
论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 是
内一点， 的面积分别为 ，且 ．以下命题
错误的是（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则C．若 ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】C
【解析】对于A：取 的中点D，连接 ，
由 ，则 ，
所以 ，
所以A，M，D三点共线，且 ，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，所以 为 的重心，故A正确；
对于B：由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，
则有 ，
所以 ，
即 ，故B正确；
对于C：由 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
又 ，
则有 ，
所以 ，，
，
所以 ，故C错误；
对于D：如图，延长 交 于点D，延长 交 于点F，延长 交 于点E，
由 为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D正确．
故选：C．
二．多选题
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量 ，则下列命题为真命题的是（ ）A．若 ，则
B．若 ，则
C． 的最大值为6
D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 ， ，
则 ，解得 ，故A正确；
对于B，因为 ，则 ，解得 ，
所以 ，解得 ，故B错误；
对于C，因为 ，
而 ，当且仅当 反向时，等号成立，
此时 ，解得 或 ，
当 ， 同向，舍去；
当 ，满足 反向；故C正确；
对于D，若 ，则 ，
即 ，所以 ，
则
，故D正确.故选：ACD
10．（23-24 重庆渝中·阶段练习）在等腰 中，已知 ，若 分别为 的垂
心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】A选项： 为垂心，为高线的交点，则 ，选项A正确．
B选项： ，选项B正确；
C选项： ，选项C正确；
D选项： ，选项D错误；
故选：ABC
3．（23-24 浙江·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．
奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 是 内
一点， 的面积分别为 ，且 ．以下命题正确的有
（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 为 的外心，则D．若 为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【解析】对于A，若 ，由 ，知 ，故 为
的重心，A正确；
对于B，若 为 的内心，设 的内切圆半径为 ，由 ，知
，故 ，B正确；
对于C，若 为 的外心，设 的外接圆半径为 ，则
，C错误；
对于D，若 为 的垂心，由 ，
故 ，
从而 ，而 和 都是正数且相加小于 ，故 在 内部，所以
是锐角三角形.
由 在 内部，知 ，
与刚才同理，可由 得到 .由 不共线，知 是一组基底，
故 ， ，从而 .
设 到对边的投影分别是 ， 的面积为 ，且我们约定 分别简记为角
，
由于 ， ，
故 相似于 ，从而 ，
故可得到 ，
从而 ，同理 ， .
由于 ， ， ，
故
，
设 ， ， ，其中 ，
则 ，解得 ，故 .
而 ，
故 ，D正确.
故选：ABD.三．填空题
12．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在平面四边形 中， ，则
.
【答案】
【解析】由题意知， 全等 ,且 ，
可知 ，
根据余弦定理可知
代入可解得 或
根据正弦定理得 ，可得 ，
如图可知 ，所以 ，
根据大边对大角，所以 (舍)， ，
所以 .
故答案为：
13．（24-25 全国·课后作业）如图，在平行四边形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 与 交
于点 ，且 ，则 ；若 ， ， ，则 ．【答案】 96
【解析】设 ， ，因为 ， 分别是边 ， 的中点，所以 ，则
，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ．又 ，
所以 ．
故答案为： ，96
14．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知 ， 为圆 上的两个动点， ，若点 为直线
上一动点，则 的最小值为 .
【答案】6
【解析】如图：取 中点 ，因为 ，圆 的半径为2，所以 ，点 的轨迹是以原点为圆
心，以1为半径的圆， .
，由点到直线距离公式，得： ，所以 ，
所以 .
故答案为：6
四．解答题
15．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在 中，已知 ， ， ， ，
点 为 边的中点， ， 相交于点 ．
(1)求 ；
(2)求 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，且 为 中点，
所以 .
由余弦定理得： ，
即 ，
所以 ，
即 ．
（2）如图，以 为原点，直线 为 轴，过 点作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
设点M(x,y)，
由 可得： ，
即
解得： ，
所以 ， ，
则 ，
所以 ．
16．（2024·广东茂名·模拟预测）在 中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足
．
(1)求 的大小；
(2) 的角平分线 交 边于D，向量 在 上的投影向量为 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解： ， ，
，，由正弦定理得 ，
，
，
，B∈(0,π)， ， ， ；
（2） ， ，
，
延长 ，过点B作 ，
， ，
， ， ，
．
设 ，则 ，
在 中， ，
，
即 ，
解得 ， （舍），
．17．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，角A为△ABC的内角，且
．
(1)求角A的大小；
(2)如图，若角A为锐角， ，且△ABC的面积S为 ，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的
中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．
【答案】(1) 或
(2)
【解析】（1）
，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ；
（2）若角A为锐角，则 ，
设角 的对边分别为 ，则 ，所以 ，
如图，连接 ，
因为点E、F为边AB上的三等分点，所以 为 的中点，
因为点D为边AC的中点，所以点 为 的重心，
则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即线段AM的长为 ．
18．（2023·陕西·模拟预测）等边 外接圆圆心为 ，半径为 上有点 ．
(1)若 为弧 中点，求 ；
(2)求 最大值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】（1）设 是 的中点，则 ，且 三点共线，
若 为弧 中点，则 四点共线，
由于 ，
所以三角形 和三角形 是等边三角形，所以 ，
所以四边形 是菱形， ，
所以 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ， ，
，
所以当 同向时， 取得最大值为 .
19．（2024·全国·模拟预测）设有 维向量 ， ，称 为向量 和 的
内积，当 ，称向量 和 正交．设 为全体由 和1构成的 元数组对应的向量的集合．
(1)若 ，写出一个向量 ，使得 ．
(2)令 ．若 ，证明： 为偶数．(3)若 ， 是从 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 ，猜测 的值，并给
出一个实例．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)证明见解析
(3) ，答案见解析.
【解析】（1）由定义，只需满足 ，不妨取 （答案不唯一）．
（2）对于 ， ，2， ， ，存在 ， ， ， ，使得 ．
当 时， ；当 时， ．令 ， ．
所以 ．
所以 为偶数．
（3）当 时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即 ．
不妨取 ， ， ， ，
则有 ， ， ， ， ， ．
若存在 ，使 ，则 或 或 ．当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．
