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6.3 空间几何中的空间角与空间距离考点一 线线角
【例1-1】（2024辽宁省）如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等， 分别是棱
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，因为在直三棱柱 中， 分别是棱 的中点，
故 ，即四边形 为平行四边形，所以 ，
则 即为异面直线 与 所成角或其补角；
直三棱柱 中，所有棱长都相等，设其棱长为 ，连接 ，
则 平面 ，故 平面 平面 ，
故 ， 是棱 的中点，故 ，
则 ,而，又 ，故在 中， ,
由于异面直线所成角的范围 ，故异面直线 与 所成角的余弦值是 ，
故选：D.
【例1-2】（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中， ， ，
，点D，E，F满足 ， ， ，则直线CE与DF所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ， ，则 ， ，
，
，
所以 ，
故直线CE与DF所成的角为 .
故选：D
【例1-3】（24-25 上海·单元测试）如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， 为等腰直角三
角形， ，平面 平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ．【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，所以 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．又 ，所以 ，
可得 ， ， 两两垂直，所以以 为坐标原点，
， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，不妨设 ，则 ， ， ， ，所以
， ，
所以 ，
又异面直线所成角的取值范围为 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为： .
【一隅三反】
1．（23-24安徽芜湖·期末）在三棱锥 中， ， ，E，F分别是 ， 的中点，
，则直线 与 所成的角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为E，F分别是 ， 的中点，
所以 ，故 或其补角为直线 与 所成的角，
，
又 ，
故 ，
故直线 与 所成的角的余弦值为 .
故选：A
2（23-24 ·福建厦门·期末）在四面体 中， ， ， ， ，则
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知， ，令 为 与 所成夹角，
则.
故选：A
3．（24-25 上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中， 分别是 的中点，G在棱CD上，且
，H是 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证： ；
(2)求异面直线EF与 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、 分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间
直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ，
， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故 ．
（2）因为 ，所以 ．
因为 ，且 ，
所以 ．
考点二 线面角
【例2-1】（23-24 黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥 中， 平面
， 是 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取 中点 ，连接 ，令 .
因为 面 ， 面 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，因为 面 ， ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 ，
因为 面 ， 所以 面 ，所以 是 与平面 所成角，
因为 ，. .，所以 ,
由已证知， 面 ，因为 面 ，所以 ，所以 ，
因为 面 ， 面 ，所以 ，所以 ，所以
，
由已证知， 面 ，又因为 面 ，所以 所以 ，
即 与平面 所成角的正弦值是 .
故选：B．
【例2-2】（23-24 江苏徐州·期中）已知平行四边形 中， 是线段 的中点.沿直线 将 翻折成 ，使得平面 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】（1）在 中， ，
翻折后， ，则 ，
于是 ，而平面 ⊥平面 ，平面 平面 = ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）知 平面 ，且 ，显然直线 两两垂直，
如图，以D为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
由E是线段 的中点，得 ， ，
在平面 中， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【一隅三反】
1．（22-23 云南昭通·期末）如图所示， 平面 ， ， ， 为
的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，如图5所示：
因为 分别为 的中点，所以 且 .
又 ，且 ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面（2）如图6，取 的中点 ，连接 ，
∵ ，∴ ,
∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 .
则直线 与平面 所成角为 ，
在 中，∵ ，
∴ ，
在等边 中，∵ ，∴ ，
∴ ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
2．（2024贵州贵阳 ）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 为 的中点.(1)设平面 与直线 相交于点 ，求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为底面 为菱形，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ；
因为 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ；
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 .
（2）过 作 交 于 ，连接 ，
平面 平面 ，
，
又 平面 ，
平面 ，
是直线 与平面 所成的角，
底面 为菱形，且 ，
为等边三角形，且 ，
，
平面 平面 ，
，且 是 的中位线，
在 中， ，在 中， ，
，即直线 与平面 所成的角为 .
3 ．（23-24 ·广东·期末）如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ，底面 是正三角形，
，点 、 分别在 、 上，且 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ⋅
【解析】（1）在线段 上取一点 ，使 ，连结 、 ，
在 中，因为 ， ，所以 ，
所以 且 ，
因为 ， ，且 ，
所以 ，且 ，所以 且 ，
故四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ．
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图空间直角坐标系，
因为底面 是正三角形， ，所以点 ，点 ，
点 ，点 ，点 ，
因为 ，所以点 ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ．
由 ，令 ，得平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
则 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 ⋅
4．（23-24 安徽宣城·期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，且
， 分别为棱 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1） 平面 平面 ，则 ，
由 ，则 ；
又 平面 ，
平面 平面 ，
，
，且 为 的中点，
，
平面 ，
平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）解法一：如图，连结 ，由（1）知 平面 ，
所以， 为直线 在平面 内的射影，且 ，
所以， 即为直线 与平面 所成的角.
在直角梯形 内，过 作 于 ，则四边形 为矩形，
，在 中， ，
所以， ，
而 ，在 中， ，
所以 ，
综上，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
解法二：在直角梯形 内，过 作 于 ，则四边形 为矩形，
，在 中， ，
所以， ，
以 点为原点， 分别为 轴，建系如图，则 .
由（1）知， 平面 ，平面 法向量可取为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
综上，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
考点三 二面角
【例3-1】（23-24 吉林白山 ）如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又四边形 为正方形，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）如图，连接 ，取 的中点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
设 交 于点 ，连接 ， ，因为 为 的中点，所以 ，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 ，所以平面 即为平面 ，且 为 中点，
由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， 为 的中点，所以 ，
所以 为平面 与平面 的夹角，
由 为直角三角形，可得 ，
，则 ，
即 为等腰三角形，所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【例3-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，
， ，点 为线段 的中点，点 在线段 上.
(1)若 ，求证： ；(2)若 是 上靠近点 的三等分点，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【解析】（1）在正方形 中， ，又
在 中，点 为线段 的中点， 平分 ，
在 中， ，
过 作 交 于 ，连接 ，则 ，
在正方形 中， 四边形 是矩形，
，又 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 .
（2） ，
在正方形 中， ，
而 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 平面 平面 ，
过 作 交 于点 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
得， 平面 ，
故 两两互相垂直，以 为原点，以 所在直线分别为 轴，
建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，
由（1）知： ，是 上靠近点 的三等分点， ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
故 ，取 ，故
所以平面 的一个法向量 ，
同理：设平面 的法向量 ，
，取 ，故 ，
平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，
则
故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
【一隅三反】
1．（23-24·河北邢台）已知正方体 ．
(1)证明： ．
(2)求二面角 的余弦值．【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【解析】（1）连接 ．
在正方体 中， 平面 ，
平面 ，所以 ．
在正方形 中， ．
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ；
（2）取 的中点M，连接 ， ，则 ．
在正方体 中，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则 ．
又因为 ，所以 为二面角 的平面角．
连接 ，设正方体的棱长为4．在 中，
， ，
．
由余弦定理得 ．故二面角 的余弦值为 ．
2．（2024四川凉山 ）如图，四棱锥 的底面是边长为3的菱形， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）设 ，连接 ，因为底面 为菱形，
所以 为 的中点， ，
又 ，所以 ，
平面 ， ，
所以 平面 .又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）在平面 中过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 即为二面角 的平面角，
在 中，
因为 ，所以 ，
因为 所以 ，
在 中， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
所以二面角 的正切值为 .
3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在 上，
且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取 的中点为 ，接 ，则 ，
而 ，故 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）
因为 ，故 ，故 ，
故四边形 为平行四边形，故 ，所以 平面 ，
而 平面 ，故 ，而 ，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则
设平面 的法向量为 ，
则由 可得 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则由 可得 ，取 ，
故 ，故平面 与平面 夹角的余弦值为
4 ．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【解析】（1）因为 为 的中点，所以 ，
四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 平面 ；
（2）如图所示，作 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为等腰梯形， ，所以 ，
结合（1） 为平行四边形，可得 ，又 ，
所以 为等边三角形， 为 中点，所以 ，
又因为四边形 为等腰梯形， 为 中点，所以 ，
四边形 为平行四边形， ，
所以 为等腰三角形， 与 底边上中点 重合， ， ，
因为 ，所以 ，所以 互相垂直，
以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立 空间直角坐标系，
， ， ，
，设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，即 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
即 ， ，则 ，
故二面角 的正弦值为 .
考点四 点面距
【例4-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形，
.
(1)证明： ；
(2)若三棱柱 的体积为3，且直线 与平面ABC所成角为60°，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）如图，取 的中点 ，连接 ， ，因为 是等边三角形，所以 ，
又 ，所以 ，且 ， 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）在平面 中，作 ，垂足为D，
由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 ，
而 ， 平面ABC， 平面ABC，
所以 平面ABC，由 为 中点，所以 ，
所以可过点O作Oz轴平行于 ，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
因为三棱柱 的体积为3，所以 ，故 ，
则 ， ， ，设 ， ，
所以
平面ABC的一个法向量为 ，
所以 ，解得 ，
此时 ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，解得 ， ，所以 ，
又 ，
故点 到平面 的距离为 .
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；(2)若二面角 的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)点 到平面 的距离为 .
【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质可知 ， ，四边形 为平行四边形，
又因为 ，所以四边形 为正方形，所以 ，
因为 ， ， ，
所以 平面 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 平面
所以 平面 .
（2）以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ， ，
所以 ，
设二面角 的大小为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，平面 的一个法向量 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以点 到平面 的距离为 .
2．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，
，点G是线段BF的中点．
(1)证明： 平面DAF；(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，如图所示：
为 中点，则 ，又 ，得 ，
由 ， ，得 ，
所以四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 ， ， ，所以 .
因为 平面 ，且直线 与圆柱底面所成角为 ，
所以 ，则有 .
如图，以 为原点， 分别为 轴，过 垂直于底面的直线 为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则有 ， ，
，设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，有 ，得 ，
，
设点 到平面 的距离为 ，
.
故点 到平面 的距离 .
考点五 点线距和线线距
【例5-1】（23-24 浙江·期中）空间点 ，则点 到直线 的距离 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，
所以 ，
所以 ，
所以点A到直线BC的距离 .
故选：D.
【例5-2】．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点，直线 与 所成角的余弦值为 ．求：(1)点 到直线 的距离；
(2)二面角 的余弦值．
【答案】(1)
(2) ．
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，
又 ，
故 ⊥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
于是 ．
设 所成的角为 ，则 ，
故 ，解得 ，
设点 到直线 的距离为 ，
则 ，
所以 ．
所以点 到直线 的距离为 ．
（2）依题意， ．
设平面 的一个法向量 ，
则 ，
解得 ，令 ，得 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
解得 ，令 ，得 ，则 ．
设二面角 的平面角为 ，由图知 为锐角，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
【一隅三反】
1（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体 中，点E，F满足 ， ，则点E到直线 的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得 ， ， ，
， ，设向量 与 的夹角为 ，
，
所以点 到直线 的距离为 .
故选：A.
2．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ∥ ，
， ， 为棱 的中点.
(1)证明： ∥平面 ；(2)求平面 和平面 夹角的余弦值；
(3)求A点到直线 的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ．
在 中， ， 分别为 ， 的中点，则 ， ，
因为 ∥ ， ，则 ， ，
可知四边形 为平行四边形，则 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面PAD．
（2）因为 平面 ， ， 平面ABCD，
则 ， ，且 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示，
取CD的中点 ，连接BE，
因为 ∥ ， ，则 ， ，
又因为 ，所以四边形ABED为矩形，
且 ，可知四边形ABED是以边长为2的正方形，
则 ， ， ， ， ， ，可得 ， ， ，
设平面BDM的法向量为 ，所以 ，
令 ，则 ， ．所以平面BDM的一个法向量为 ，
易知 为平面PDM的一个法向量，
所以 ，
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 .
（3）由（2）可知： ，
则 ，
即 ，可知 为锐角，
则 ，
所以A点到直线 的距离为 .
考点六 动点问题
【例6-1】（2023·广东韶关·一模）已知矩形 中， ， ， 是 的中点，如图所示，沿
将 翻折至 ，使得平面 平面 .
(1)证明： ；(2)若 是否存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值是 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）依题意 矩形， ， ， 是 中点，
所以 ，
又 ，所以， ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则 ， ， ， ，
设 是 的中点，
因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ， ，
假设存在满足题意的 ，则由 .
可得， .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，可得 ， ，即 ，
设 与平面 所成的角为 ，所以
解得 （ 舍去），
综上，存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 .
【例6-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知 平面 ， ， 是等腰直角三角形，
其中 ，且 ．
(1)设线段 中点为 ，证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离等于 ，如果存在，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， 的长为
【解析】（1）取 的中点 ， 的中点 ，连结 、 、
则有 ， ，
因为 ， ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，则 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）存在.设 ，在 中， .
因为 面 ，所以 .
因为 面 ， 面 ， 面
所以 , ，
则 均为直角三角形.
在 中，
同理， .
取 的中点 ，因为 ，所以 ，
而 .
故 .
因为点 到面 的距离等于 ，
所以 .
而 ，所以 ，解得 .
所以在线段 上只存在唯一一点 ，当且仅当 时，点 到面 的距离等于 .【一隅三反】
1．（2023·天津·一模）已知底面 是正方形， 平面 ， ， ，点 、
分别为线段 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在求出 的值，若不
存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在； 或
【解析】（1）证明：法一：分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
由题意可知点 、 分别为线段 、 的中点．所以 ， ，因为 ，所以 ，所以点 、 、 、 四点共面，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
法二：因为 为正方形，且 平面 ，所以 、 、 两两互相垂直，
以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
所以 ，易知平面 的一个法向量 ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，所以平面 的一个法向量为 ，
易知平面 的一个法向量 ，设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 ；
（3）解：假设存在点 ，使得 ，其中 ，
则 ，
由（2）得平面 的一个法向量为 ，
由题意可得 ，
整理可得 ．即 ，
因为 ，解得 或 ，所以， 或 ．
2．（22-23高三下·湖南·阶段练习）如图1，在 中， ， ， 为 的中点， 为
上一点，且 .现将 沿 翻折到 ，如图2.
(1)证明： .
(2)已知二面角 为 ，在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？
若存在，确定 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，【解析】（1）证明：翻折前，在 中， ，翻折后，有 ， ，
又 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：因为二面角 为 ， ， ，
所以，二面角 的平面角为 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线为 、 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴建立如下图所示的
空间直角坐标系，
不妨设 ，则 、 、 、 、 .
， ， ， .
设 ， ，其中 ，
设平面 的法向量为 ，
由 得 ，
取 ，可得 ，
，解得 ，合乎题意，
故当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
3．（22-23高三上·山东济南·期末）如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形， ，平面平面 .
(1)证明： ；
(2)已知 ， ，平面 与平面 的交线为 .在 上是否存在点 ，使直线 与平面
所成角的正弦值为 ?若存在，求线段 的长度；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点 ，线段 的长为 ．
【解析】（1）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，
所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
因为四边形 是菱形，所以 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
（2）解：取 中点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形，则 ，
又因为 ，则 为等边三角形，
由菱形的几何性质可知 ， ，则 也为等边三角形，
因为 为 的中点，则 ， ， ，由（1）知， 平面 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图
所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ，由（1）知 平面 ，
设 ，则 ， ．
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，可得 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
则 ，解得 ，
因此，存在点 ，线段 的长为 ．
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面
直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以 为原点，在平面 内过 作 的垂线交 于 ，
以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱 中， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
所以 .
故选：C.
2．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体 中，已知 ，
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线 与BD所成的角为90°B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为90°
D．直线 与平面ABCD所成角的正弦值为
【答案】D
【解析】在平行六面体 中，令 ， ， ，
由 ， ，
得 ， ，
对于 ，显然 ， ，
则 ，即 ，
因此直线 与 所成的角为 ，A正确；
对于B， ，即 ，B正确；
对于C， ，即 ，
因此直线 与 所成的角为 ，C正确；
对于D，在平行六面体 中，四边形 是菱形，即 ，
又 ， ， 平面 ，于是 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 ，
连接 交 于点 ，在平面 内过点 作 于点 ，如图，由平面 平面 ，因此 平面 ，即直线 与平面 所成角为 ，
，则 ，即 ，
由 及选项C知， ，则 ，D错误.
故选：D
3．（2024·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱 中， ， ， 为线段 的中
点，点 在线段 上，且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ，
则 ，故 ，
因为 轴 平面 ，则可取平面 的法向量为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：B.
4．（2024·河北沧州·二模）已知四面体 满足，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为四面体 满足 ，
可得 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，
令 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 .
故选：D.
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面 是边长为2的正方形，半圆面 底面 ，点 为圆弧
上的动点．当三棱锥 的体积最大时，二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三棱锥 的体积与 到平面 的距离成正比，
故当三棱锥 的体积最大时,此时点 处于半圆弧的正中间位置.
点 处于半圆弧的正中间位置时，记 的中点为 ，以其为原点， 分别作为 轴正方向，建立空间直角坐标系.
平面 显然有法向量 ，
，
设 为平面 的法向量，
则该向量与 和 均垂直，
所以 ，从而 .
令 ，解得 ，
故 符合条件，
显然二面角 为锐角，
因此所求余弦值为 .
故选：D.
6．（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段
的中点.直线 到平面 的距离为（ ）.
A． B． C． D．【答案】C
【解析】∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
因此直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
如图，以 点为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，
所在的直线为 轴，建立直角坐标系.
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
故直线 到平面 的距离为 .
故选：C.
7．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，
彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知 和 是圆 的两条互相垂直的直径，将平面 沿
翻折至平面 ，使得平面 平面 （如图2）此时直线 与平面 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ，而平面 平面 ，平面 平面 ，
又 平面 平面 ，则 平面 ， ，
因此直线 两两垂直，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
令圆半径 ，则 ，
，设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：B
8．（2024·山东临沂·二模）已知正方体 中，M，N分别为 ， 的中点，则（ ）A．直线MN与 所成角的余弦值为 B．平面 与平面 夹角的余弦值为
C．在 上存在点Q，使得 D．在 上存在点P，使得 平面
【答案】C
【解析】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，
所以 ， ，
，
对于A， ， ，
直线MN与 所成角的余弦值为 ，故A错误；
对于B， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为：
，故B错误；
对于C，因为Q在 上，设 ，所以 ， ，则 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，解得： .
故 上存在点 ，使得 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 四点共面，
而 平面 ，所以 上不存在点P，使得 平面 ，故D错误.
故选：C.
.
二、多选题
9．（2024高三上·湖北·开学考试）如图， 平面 ， ， ， ， ，
， ，则（ ）
A．
B． 平面
C．平面 与平面 的夹角的余弦值为D．直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】BC
【解析】因为 平面 ， ，
由题意，以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
所以 ，所以 ， 不垂直，故A错误；
依题意， 是平面 的法向量，
又 ，可得 ，则 ，
又因为直线 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
设 为平面 的一个法向量，则 ，
即 ，令 ，可得 ，
依题意， ， ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，不妨令 ，可得 ，所以 ，
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，故C正确；
设直线 与平面 所成角为 ， ，
则 ，故D错误.
故选：BC.
10．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图， 是矩形 所在平面外一点， ，二
面角 为 ， 为 中点， 为 中点， 为 中点．则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是二面角 的平面角
C． D． 与 所成的角的余弦值
【答案】BD
【解析】
连接 ，过 向平面 引垂线，垂足为 ，连接 ；
因为 ， 为 中点，所以 ；
因为 垂直于平面 ， 平面 ，所以 ；
平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，所以二面角 的平面角为 ；
在 中， ， ，所以 ，
在 中， ， ，所以 ， ；
因为 为矩形，所以 ，又 ， ，
过点 作 交 于 ， ，所以四边形 为正方形；
如图所示，建立以 为坐标原点， 为 轴，过 且与 垂直的方向为 轴，
为 轴的空间直角坐标系；
， ， ， ， ，
， 为 中点，所以 ；
，所以 ，
故 ，A错误；
为 中点， 为 中点， 为 中位线， ，
又 ，所以 ，又因为 ，
所以 是二面角 的平面角，B正确；
因为 为锐角，且 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，C错误；
设 与 所成的角为 ， ， ，
，D正确.
故选：BD11．（2023·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，E为线段 的中点， ，
其中 ， ，点Q在底面ABCD内（包括边界），且点Q到点A的距离与到平面 的距离相等，
则下列选项中正确的是（ ）
A．当 时， 的最小值为
B．当 时， 与 不垂直
C．当 时，存在点P，使得EP与平面 所成的角为
D．当 时，PQ的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A中，在AB上取点H，使 ，在 上取点 ，使 ，
因为 ， ， ，所以 点在线段 上，
将平面 与平面AHKD沿着 展开到同一平面内，
如图1所述，连接 ，交于 于点P，
此时 三点共线， 取得最小值，
由勾股定理得 ，则 ， ，
所以A正确．
对于B中，如图2所示，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，因为 ， ， ，所以点 在线段 上，
在正方形 中， 分别为 的中点，可得 ，
又由 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，所以B错误．
对于C中，当 时，点P在线段 上，
以 为原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 与平面 的夹角为θ，可得 ，
因为 ，所以 ，存在点P使得EP与平面 所成的角为 ，
所以C正确．对于D中，当 时， ，因为 ，
令 ，则 ， ，
设 与 相交于点 ，则点 在线段 上运动，在平面 内，以线段 的中点为原点，建立平面直
角坐标系，如图3所示，
点Q在底面ABCD内，且点Q到点A的距离与到平面 的距离相等，
即点Q到点A的距离与到直线 的距离相等，
根据抛物线的定义，可得点 的轨迹方程为 ，
线段NB的方程为 ．
设直线 与抛物线 相切，联立两方程，根据 ，解得 ，
此时切点横坐标为 ，符合题意，
又由平行线 与 间的距离为 ，即为 的最小值，
所以D正确．
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·浙江金华·三模）四棱锥 的底面 为正方形， 平面 ，且 ，
．四棱锥 的各个顶点均在球O的表面上， ， ，则直线l与平面 所成夹角的范
围为 ．
【答案】 ．【解析】依题意，四棱锥 的外接球的球心O为 的中点，连接 ，
交点为Q，因为底面 为正方形，所以 ，
又 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 为平面 的一个法向量，
如图建立坐标系，并设直线l上异于B的一点 ，所求线面角为 ，
，
则 ， ， ，
由 可得 ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
综上， ，∴ ．
故答案为： .另解：依题意，四棱锥 的外接球的球心O为 的中点，连接 ，
交点为Q，因为底面 为正方形，所以 ，
又 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
即 面 ，
若 平面 ，则 与平面 所成的角为 .
若过B的直线l与平面 相交于点R，
在平面 中，过B作直线 ，与平面 相交于点为S，
因为 面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
故过 且与 垂直的直线与平面 的交点的轨迹为直线 ，
又 平面 ，所以 ，又 ，且 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 面 ，所以 为 在面 内的射影，
即 为直线l与平面 所成的角，且 ，
又 ，而 ，
当且仅当 重合等号成立，故 ，
综上， ，∴ ．
故答案为： .13．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点 是圆台 的上底面圆 上的动点， 在下底面圆 上，
，则直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为 ．
【答案】
【解析】连接 ，过 作 垂直于 的延长线于点 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形 中，因为 ，
故 ，则 ，
则 ， ，故点 ；
又 ，设点 ，由 ，则可得 ；
，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
故平面 的法向量 ，又 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则
因为 ，且 ，故令 ，
则
又 ，故 ， ，也即 ，
故 的最大值为 ，又 ，故 的最小值为 .
即直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为 .
故答案为： .
14．（2024·四川成都·模拟预测）已知三棱锥 中， ， ， ，二
面角 的余弦值是 ．则当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积是 ．
【答案】
【解析】如图：平面 即平面 ，平面 即平面 ，即二面角 的余弦值为 ，
过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，
则 ，
又 ， ，则 ，
设
则，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
过 作面 的垂线，垂足为 ，连接 ，
则 ，
即三棱锥 当以 为顶点时高为 ，要体积最大，则 最大，
,要 最大，则需 最大，
在 中，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
此时 为等边三角形，即 ，又 ，所以 重合，
图形如下：设 的中心为 ，连接
在 中， ， ， ，
所以 ，
过 作面 的垂线，则三棱锥 的外接球球心必在该垂线上，设为点 ，设球的半径为 ，
则 ，所以
即 ，解得 ，
所以外接球的表面积是 .
故答案为：
四．解答题
15．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥 中， 底面 ，且 ，四边形 是直角
梯形，且 ， ， ， ， 为 中点， 在线段 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线PB与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到PD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）如图，取 中点 ，连接
因为 为 中点， ， ， ，所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 为 中点， 为 中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面 ．
（2）
根据题意，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
取 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设直线PB与平面 所成角为 ，
则 .
所以直线PB与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（2）可知， ，所以点 到PD的距离为 .
16．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以 为轴的 圆柱与以 为轴截面的半圆柱
拼接而成，其中 为半圆柱的母线，点 为弧 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)当 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 时，求点 到直线 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）过 作 交弧 上一点，连结 ，如图所示：
则 为弧 的中点，则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 .
由题意可知， ， 为等腰直角三角形，则 ；
因为 为弧 的中点，所以 ,
则 为等腰直角三角形，则 ，所以 ，则 ,
因为 ，则 ，又 ，
又因为 、 面 ，
所以 平面 ，因为 面 ，
所以平面 平面 .
（2）由题意知， 两两垂直，所以 为坐标原点，
以 分别为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系，如图所示：
设 ，又 ，
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ， ，
设平面 与平面 的夹角为
，解得 （负舍），
所以 ， ， ，则 ，
所以点 到直线 的距离为 .
17．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
（2）连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
18．（2024·山西吕梁·三模）如图， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底面
圆 的内接正三角形，且 的边长为 ，点 在母线 上，且 ， .(1)求证： ，并求三棱锥 的体积；
(2)若点 为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面 的距
离.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）设 ，连接 ，
为底面圆 的内接正三角形，
为 中点，
又 ，
；
，
；
平面 平面 平面 平面 ，
平面 平面 平面 平面 ，
又 平面 ，又 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
又 平面 ，
平面 平面 平面 ；
为 中点， ，即 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
，
，
又 平面 ，
.
（2） 为 中点，又 ，
为 中点， ，
，
以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
，，
，
设 ，
；
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
令 ，则 ，
，
当 ，即 时， ，
，此时 ，
，
点 到平面 的距离 .19．（2023·福建龙岩·二模）三棱柱 中， ， ，侧面 为矩形，
，三棱锥 的体积为 ．
(1)求侧棱 的长；
(2)侧棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出线段 的长；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在平面 内过 作 ，垂足为 ，
因为侧面 为矩形，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
易得 ， 面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ；
（2）存在点 满足题意， ，理由如下：如图，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，则 ，
故 ， ，
设平面 的法向量为
则 即 ，令 ，则 ，
故平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，解得 ，
故存在点E满足题意，所以 .
