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7.5 空间向量求空间角（精练）（基础版）
题组一 线线角
1．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥 中， 平面ABC， ， 是正三角形，
M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设
则
，则直线MN，PB所成角的余弦值为
故选：D．
2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，点P是底面
ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，连接 交于点 ，连接 ，
因为四棱锥 为正四棱锥，可得 底面 ，
由底面边长为 ，可得 ，所以 ，
在直角 中， ，可得 ，
又由 ，在直角 中，可得 ，
即点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，
所以当圆与 的交点时，此时 两点间距离最小，最小值为 ，
以 分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得 ，
则 ，可得 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .
故选：A.
3．（2022·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成
是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示， ， ，
P，Q，M，N分别是棱AB， ， ， 的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
【答案】
【解析】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
因为 ， ，
所以可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是 .
故答案为： .4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示， 是棱长为 的正方体， 、 分别是下底面
的棱 、 的中点， 是上底面的棱 上的一点， ，过 、 、 的平面交上底面于 ，
在 上，则异面直线 与 所成角的余弦值为___________．
【答案】
【解析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角
坐标系，则 、 、 、 、 、 ，
A B C D
因为平面 平面 1 1 1 1，平面 平面 ，平面 平面 ，所以，
，
设点 ， ， ，
因为 ，所以， ，即点 ，
， ，
所以， .
因此，异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
题组二 线面角1．（2022·上海市七宝中学高三阶段练习）如图所示，在长方体 中， ，
， 是棱 上的点，且 ．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由 ， ．
(2)以点 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，则
，
， ．
设平面 的一个法向量为 ，则
， ，即 ，
令 ，则
设直线 与平面 所成角的为 ，则
，
所以设直线 与平面 所成角的正弦值为
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， 底面 ， 的中点为 ，
四面体 的体积为 ，四边形 的面积为 .(1)求 到平面 的距离；
(2)设 与 交于点O， 是以 为直角的等腰直角三角形且 .求直线 与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：因为 为 的中点， ，所以 ，
设 到平面 的距离为h，则 到平面 的距离为 ，
因为 ，
即 ，
即 ，得 ，即 到平面 的距离.
(2)因为 是以 为直角的等腰直角三角形，由（1）知 ，所以 ，
如图，以 ， ， 所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 .则点 ， ， ， ， .
则 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则由 解得 .
令 ，则 ，于是平面 的一个法向量为 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
.
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且平面 底面
， ， ＝ ＝ ．
(1)证明： ；(2)点 在棱 上，且 ＝ ，求直线 与平面 的夹角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取 的中点 ，连 ， ，
∵ 为等边三角形，且 是边 的中点，
∴ ，
∵平面 底面 ，且它们的交线为 ，
∴ 平面 ，则 ，
∵ ，且
∴ 平面 ，
∴ ；
(2)由（1）知， 面 ，
，
故以 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
易求
各点坐标如下，则
设平面 的一个法向量为
则
令 ，得平面 的一个法向量为
4．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，四面体 中， ，E
为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2) 与平面 所成的角的正弦值为
【解析】(1)因为 ，E为 的中点，所以 ；在 和 中，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为E为 的中点，所以 ；
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
(2)连接 ，由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 最小，即 的面积最小.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 是等边三角形，
因为E为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ,
在 中， ，所以 .
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设 与平面 所成的角的正弦值为 ，所以 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
E分别是 ，AB的中点，且 .
(1)证明： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）法一：（1） ，D为BC中点， 在直三棱柱 中, 平面ABC，又AD 平面ABC， .又 ， 平面 ， 平面
,又 平面 ， .法二:如图建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2a，则 ，
， ， ， ， ，
， ，
（2）法一：由（1）得， 平面 ，设AB=a，由 得
, .如图建立空间直角坐标系A-xyz,
则 ， ， ， ， ，
， 设 为平面 的一个法向量， 即令 ， 设 与平面 所成角为 ，则
法二： ，D为BC中点， 在直三棱柱
中， 平面ABC，又AD 平面ABC， 又 ， 平面
， 平面 ,设AB=a，由 得 ，
.则 ， ， ， ， ， ， ，
设 为平面 的一个法向量， ，即 令
， ，设 与平面 所成角为 ，则
.
题组三 二面角
1．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在五面体 中， 为边长为2的等边三角形，
平面 ， ， .(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，故 ，
而 为等边三角形， ，所以 ，
又M、N分别为BE、AB所在棱的中点，所以 ，
又 ， ，所以 ， ，故四边形 为平行四边形，
所以 ，
则 ， ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 .
(2)
由（1）可知， 为直线 与平面 所成角，
设 ，则 ， ，
则 ，解得
法一：向量法（通性通法）如图建立空间直角坐标系 ，则 、 、
∴ 、
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，解得 ， ，则
∵ 平面 ，∴ 是平面 的一个法向量
∴
所以平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为 .
法二：几何法：延长ED交AC的延长线于S，连接BS，则平面 平面
由（1）易知 ， ，则 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ， ，
故 为平面 与平面 所成的锐二面角，又 ，则 ，故
所以平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为 .
2．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形，
，平面 平面 .
(1)证明： .
(2)若四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)因为在 中 ， ，故 ，所
以 ，解得 ，故 ，故 .又平面 平面 且交于
，故 平面 ，又 平面 ，故
(2)由（1）结合锥体的体积公式可得 ，故 ，
解得 .又 故以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系.则 ， ， ，故 ， ，设平面 的一个法向
量为 ，则 ，即 ，令 有 ，故 ，又平面
的一个法向量为 ，设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，则
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，
AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.
(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 ；
①求三棱锥P-ACE的体积；②求二面角P-AC-E的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②
【解析】（1）证明：∵ 平面 ， 平面 ，∴ .∵ ，有 ，
且ABCD是直角梯形，∴ ，即 ，∴ .∵ ，
平面 ， 平面 ，∴ 平面 .∵ 平面 ，∴平面 平面
（2）①由（1）易知 平面 ，∴ 即为直线 与平面 所成角.∴
，∴ ，则 ∴ .②取 的
中点G，连接 ，以点C为坐标原点，分别以 、 、 为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系， 则 ， ， ， ，
，∴ ， ， 设 为平面 的法向量，则
， ，得 ，取 ， ，得 设 平面的法向量，则 ， ，取 ， ， ，得
.∴ .所求二面角为锐角，二面角 的余弦
值为 .
4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在等边 中，点D，E分别为边AB，AC上的动点
且满足 ，记 .将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接
MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角BMDE的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求
出二面角 的正弦值大小．
【答案】(1)
(2)不改变，
【解析】(1)取 的中点为 ，连接 ， ，因为 ， ，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面BMD，EN 平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD⊂＝DP，
所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝ BC，即λ＝ .
(2)
取 的中点 ，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如图建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则
，即 ，
令 ，即 .
又平面 的法向量 ，
所以 ，
即随着 值的变化，二面角 的大小不变．
且 .
所以二面角 的正弦值为 .
5．（2023·山西大同·高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
是等腰直角三角形， 是底角.
(1)求证：平面 平面 .
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【解析】(1)证明：因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面
∴ 平面
又 平面 ，所以
又 ，且
∴ 平面
又 平面 ，所以平面 平面
(2)
取 的中点O，连接
如图：以O为坐标原点， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则点
， ， ，
设平面 的法向量
则有 取 ,
设平面 的法向量即 ，取 ，可得
即平面 的一个法向量
设二面角 大小为 ，由图知 为锐角
6．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC=BP，
CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)若 ，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取 的中点 ，连接 ， ，因为 是等边 的中线，所以
因为 是棱 的中点， 为 的中点，
所以 ，且
因为 ， ，所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 ， 为 的中点，所以 ，从而 .
又 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
(2)
由（1）知 ，又 ， ，且 ､ 平面 ，
所以 面 ，从而 平面 .
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 得令 ，则 ， ，所以 .
又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
