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4.5 正余弦定理的综合运用考点一 三角形的角平分线、中线与高
【例1-1】（2024·辽宁丹东·二模）在△ 中，点D在 边上， 平分 ， ， ，
，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ,
即 ，代入 ， ，
可得 ，则 ，
解得 ．
故选：B.
【例1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）在 中，已知 ，当边BC的中线 时，
的面积为 ．
【答案】
【解析】
因为边BC的中线 ， ，所以 ， ，
，
又 ，所以 ， ，
.
故答案为： .
【例1-3】（2024·广东广州·模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，
的平分线 的长为 ，则 边上的中线 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，设 ，则 ，如图所示，
由 可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，
由 是 边上的中线，得.
所以，中线长 .
故选：A
【例1-4】（2024·河北·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若 的平
分线 的长为 ，则 边上的高线 的长等于（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意知，设 ，则 ，如图所示，
由 可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，由 可得 ，解得 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ，
， 的平分线交边AC于点D，且 ，则 （ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【解析】因为 及 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
又由 ，所以 ，
因为 ，即 ，解得 ，
由余弦定理得 ，即 ．
故选：D．
2．（2024湖北·阶段练习）已知 分别为锐角三角形 三个内角 的对边，且 .
(1)求 ;
(2)若 ， 为 的中点，求中线 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 是锐角三角形 的三个内角，所以 ， ，
根据正弦定理可得 ，即 ，所以 ，则 ，
整理得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 .
（2）因为 为 的中点，所以 ，
两边平方得 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 且 ，解得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以中线 的取值范围是 .
3．（2024·吉林延边·一模）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
(1)求B；
(2)若点D在AC上，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)【解析】（1）因为 ，即 ，
由正弦定理可得： ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，所以 ．
（2）因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，即 ，
整理得 ，
由余弦定理可得 ，则 ，
即 ，所以 ．
4．（2024·江西宜春·三模）在 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ， 的周
长为15，面积为 ．
(1)求 的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是 的角平分线这两个条件中任选一个，求
线段CD的长．
【答案】(1)
(2)答案见解析【解析】（1）解：由 的面积为 ，可得 ，解得 ，
又由 的周长为 ，可得 ，即 ，
由余弦定理得
，解得 ，
设外接圆半径为R，由正弦定理得 ，所以 ，
所以 的外接圆面积为 ．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知， 及 ，
由 ，可得
，
所以 ，即 ．
法2：不妨设 ，由 及 ，解得 ，
在 和 中，可得 ，
由余弦定理得 ，解得 ．
若选择②，不妨设 ，由 及 ，解得 ，
法1：由 ，
可得 ，解得 ．
法2：由张角定理，得 ，
即 ，解得 ，
考点二 三角形的周长与面积的取值范围【例2-1】（2024·全国·二模）在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，且 ，则 ABC周长的△最大值为（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，由于 ，故 ，则 ，
由正弦定理得 ，
故 ，
又 ，则 ，所以 ，则 ，
故△ABC周长 的最大值为 .
故选：D.
【例2-2】．（2024·陕西西安·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
，则 面积的最大值为 .
【答案】 /
【解析】因为 ， ，所以 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
，因为 ，所以 ，故 ，
由余弦定理 得 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，
由 ， ，得 ，所以 .
故答案为： .
【例2-3】（2024·陕西·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则
面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．15.
【答案】C
【解析】由 ，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取得最大值 .
故选：C.
【例2-4】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
，则 的面积S的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意及正弦定理，得 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，由正弦定理 ，得 ，
所以 ，
因为 是锐角三角形，所以 解得 ，
所以 ，所以 ，从而 ．
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模） 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为三角形的面积为 ，
则 ，
所以 ，又 ，则 ；
（2）由于 ，所以 ，
即 ， 取等号，
故 ，
故
2．（2024·全国·模拟预测）在① ；② 两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在 中，内角 所对的边分别是 ，且
______．
(1)求角 的大小；
(2)若点 满足 ，且线段 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）选①， ，
所以 ．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．
选②．由 及正弦定理得 ，
所以 ．
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
（2）如图，
点 满足 ，则 ，故 ，又 ，
故 ，
即 ，即 ，当且仅当 时，取等号，故 ，即 面积的最大值为 ．
3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
， .
(1)求 .
(2)求 面积的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）方法一：由余弦定理，得 ，解得 .
又 ，所以由正弦定理，得 .
又 为锐角三角形，所以 .
方法二：由题意知， .
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，即 ；
又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 .
（2）由正弦定理，得 ；
因为 为锐角三角形，所以 ，
解得 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .故 面积的取值范围为 .
4．（2024·四川德阳·二模） 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 中， ，即 ，
而 ，故 ，
故 ，又 ，
则 ；
（2）由（1）以及题设可得 ；
由正弦定理得
，
因为 为锐角三角形， ， ，
则 ，
则 ，则 ，
即 ，则 ，
即 面积的取值范围为 .考点三 取值范围
【例 3-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，
，则边b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ， 得， ，
由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，所以 或 （舍去），所以 ，
由正弦定理得, ，
而 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 的取值范围为 .
故选：B
【例3-2】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角 的三个内角 的对边分别为 ，且 ，
则 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由 可得 ，
由正弦定理 得：
又 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
令 ，则 ，因为 在 时单调递增，
所以 ，则 .
故选：C
【例3-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在 中，
，
因为 ，
所以 ，
化简得 ，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）由正弦定理知，
由 为锐角三角形可知 ，而 ，
所以 得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
则 的取值范围为 .
【一隅三反】
1．（2024上海·期末）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ．若 是 、 的等比中项，则角
的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】因为 是 、 的等比中项，
所以 ，即 ，
由余弦定理 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，所以角 的最大值为 .
故答案为：
2．（2024·湖南衡阳·三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且 ．(1)求A；
(2)如图所示，D为平面上一点，与 构成一个四边形ABDC，且 ，若 ，求AD的最大值．
【答案】(1) .
(2)4
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）方法一：设 ，则：
在 中， ，①，在 中， ，②
： ，所以 ，所以 ，所以AD的最大值是4
解法二：在 中，由余弦定理得， = ，
因为 ，
所以四边形 存在一个外接圆 ，所以圆 的直径为
因为 ，即 ，当AD为圆O直径时取等号，故 的最大值为4.
3．（2024·全国·模拟预测）在① ，② ，③ 的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，______．
(1)求 ；
(2)已知 是 的平分线与 的交点，求 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2) ．
【解析】（1）方案一：选择条件①
，
，
，
，
．
， ．
方案二：选择条件②
， ，
， ， ．
， ，
．
方案三：选择条件③
由题， ，
， ．，
， ，
．
（2） 是 的平分线，
．
在 中， ，由正弦定理得 ，
，
是锐角三角形，
， ，
，
的取值范围为 ．
考点四 正余弦定理与三角函数的性质
【例4】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，将 的图象横坐标变为原来的 ，纵
坐标不变，再向左平移 个单位后得到 的图象，且 在区间 内的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）在锐角 中，若 ，求 的取值范围.【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）将函数 的图象横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位后
得到 的图象，
则 ，
， ，
当 ，即 时， 最大值 ，所以， ；
（2） ，
，则 ，所以， ，所以， ，
，
是锐角三角形，由 ，解得 ，
所以， ， ，则 .
【一隅三反】
1．（2024北京昌平·期末）已知 ， ，
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求 边上的高的最大值．【答案】（1）最小正周期为 ；单调递减区间为 ；（2） ．
【解析】（1）
．
的最小正周期为： ；
当 时，
即当 时，函数 单调递减，
所以函数 单调递减区间为： ；
（2）因为 ，所以
， ，
， ．
设 边上的高为 ，所以有 ，
由余弦定理可知： ，
， ，
（当用仅当 时，取等号），所以 ，因此 边上的高的最大值 .
2．（2024湖南常德·期中）已知向量 .
(1)求 的取值范围；
(2)记 ，在 中，角 的对边分别为 且满足 ，求函数 的值
域.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）（1）因为 ，
可得
，
因为 ，所以 .
（2）解：由题意得
，可得 ，
因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，则 ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，则 ，所以函数 的值域是 .
3．（2024重庆沙坪坝·阶段练习）设函数 ，其中向量 ， .
(1)求 的最小值；
(2)在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，△ 的面积为 ，求
的值.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）由题设， ，
所以，当 时 的最小值为 .
（2）由 ，得： ，则 ，又 ，
所以 ，故 ，则 .
由 ，可得： .
在△ 中，由余弦定理得： ，
所以 .
由 ，则 .
考点五 正余弦定理在几何中运用
【例5-1】（2024福建三明·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
.（1）若 ，求 ；
（2）记 ，当 为何值时， 的面积有最小值？求出最小值.
【答案】（1） ；（2） ， 取最小值 .
【解析】（1）在四边形 中，因为 ，
， ，所以 ，
在 中，可得 ，
又 ， ，
由正弦定理得: ，即 ，
解得： ，.
（2）因为 ， 可得 ，
因为四边形内角和 ，所以 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
，
当 时， 取最小值 .
【一隅三反】1．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形 中， ， ， .
(1)当四边形 内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形 面积最大时，求对角线 的长.
【答案】(1)
(2) .
【解析】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以 .
又四边形 内接于圆 ，
所以 ，
所以 ，
化简可得 ，又 ，
所以 .
（2）设四边形 的面积为S，
则 ，
又 ，
所以 ，即
平方后相加得 ，即 ，
又 ，所以 时， 有最大值，即S有最大值.
此时， ，代入 得 .
又 ，所以
在 中，可得：
，即 .
所以，对角线 的长为 .
2．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，且 的外接圆半径为4.
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)4；
(2) .
【解析】（1）因为 ， 的外接圆半径为4，所以 ，解得 .
在 中， ，则 ，解得 .
又 ，所以 ；
在 中， ， ， ，
所以 .
（2）设 ， .又 ，所以 .
因为 ，所以 .
在 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，解得
.
在 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 .
又 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值1，
所以 的最大值为 .
3．（2024·浙江·开学考试）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ． 的内角A，
B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在 中， ，
所以 ，由正弦定理， ，可得 ，
再由余弦定理， ，又 ，所以 .因为 ，
所以 ，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于 外接圆的半径.
又 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，则 . ，
则 .
在 中，由正弦定理，
，所以 ， ，则
，
又 ，所以 ，所以 ， ，所以 .
考点六 证明题与存在性
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知 的外心为 ，点 分别在线段 上，且 恰为的中点．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：由正弦定理，得 ，
所以 ，
又 ，所以 或 ，
当 时，
由余弦定理，得
，
所以 ， 的面积 ，
当且仅当 时，取等号；
当 时，
同理可得 ， 的面积 ，
当且仅当 时，取等号．
综上， 面积的最大值为 ；
（2）证明：设 ，
由余弦定理知 ， ，
因为 ，所以 ，
化简整理得 ，
而 ，因此 ，
又因为 是 外心，故 ，
同理可知 ，
因为 恰为 的中点，
因此 ，所以 ．
【例6-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在 中，角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 存在且唯一确定，求 的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： 的周长为9.
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【解析】（1）解：因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，可得 .
（2）解：由（1）得 ，由正弦定理得 ，若选条件①：由余弦定理得 ，即 ，
又由 ，解得 ，则 ，此时 存在且唯一确定，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ；
若选条件②：由 ，因为 ，即 ，
若 为锐角，则 ，
由余弦定理 ，即 ，
整理得 ，且 ，解得 ，则 ；
若 为钝角，则 ，
由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，且 ，解得 ，则 ；
综上所述，此时 存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为 ，即 ，解得 ，则 ，
所以此时 存在且唯一确定，
由余弦定理得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ．
【一隅三反】
1.（2024山西运城） 中，内角 的对边分别为 的外接圆半径为 ，已知.
(1)求 ；
(2)已知 的平分线交 于点 ，从以下三个条件中选择两个，使 唯一确定，并求 和 的长
度.
条件①： ；条件②： ；条件③： .
【答案】(1)
(2)选择条件②和③； ，
【解析】（1）由已知得 ，
得 ，
即 ，即 ，
又因为 ，故 ；
（2）由（1）得 中，
由余弦定理得 ，
所以 ，
而条件①中 ，所以 ，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件② ，条件③ ，解得 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
在 中，因为 为 的平分线，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 .
2．（2024·浙江金华）记 的内角 的对边分别为 .已知 .
(1)求 ；
(2)证明： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由 ，得 ，由题意可知， 存在，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
（2）由 ，
得 ，
故 ，
令 ，则 ，
，
当 时， ；当 时， ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，所以 ，
进而 ， ，
可得 ，所以 .而 ，故 .
所以 .
3（2024广东）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【答案】(1) ；
(2)证明见解析．
【解析】（1）由 ， 可得， ，而 ，
所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所以， ，
而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
考点七 三角形的四心
【例7】（2023春·浙江温州 ）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，角
B为钝角．
(1)求 ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若 ， ， 为 的___________，求 的面积．
【答案】(1) ；(2)若选①， ；若选②， ；若选③，
【解析】（1）由正弦定理可得 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）若选①，连接 并延长交 边于点 ，
因为 为 的重心，所以 为 的中点，且 ，
所以点 到 的距离等于点 到 的距离的 ，
所以， ；
若选②，由余弦定理可得 ，
若 为 的内心，设 的内切圆的半径为 ，
则 ，则 ，
因此， ；
若选③，若 为 的外心，设 的外接圆半径为 ，
由余弦定理可得 ，则 ，
在优弧 上任取一点 ，则 ，则 ，
因此， ．【一隅三反】
1．（2024·安徽）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求 的值；
(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）由已知得， ，即sinAcosC=2sinC-cosAsinC得sin(A+C)=2sinC即sinB=2sinC
由正弦定理得 ，所以 ；
（2）由(1)知 ，因为 ，所以
设 ABC的内切圆半径为r，则内心N到BC边的距离为r，
因△为MN∥BC，所以重心M到BC边的距离为r，根据重心的性质，顶点A到BC边的距离为3r，
根据面积关系得
即 ，
所以
2．（2024四川内江） 的内角A，B，C所对的边分别为 ．
(1)求A的大小；
(2)M为 内一点， 的延长线交 于点D，___________，求 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题．
①M为 的重心， ；
②M为 的内心， ；
③M为 的外心， ．【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）∵ ，∴ ，即
由正弦定理得， ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴
（2）设 外接圆半径为 ，则根据正弦定理得， ，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段 的中点且 ，
又 ，∴ ，
即 ， 又由余弦定理得 ，即 ，解得 ，∴
；
若选②：∵M为 的内心，∴ ，由 得
，∵ ，∴ ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，∴ ，
即 ，∵ ，∴ ， ∴ ．
若选③：M为 的外心，则 为外接圆半径， ，与所给条件矛盾，故不能选③.
3．（2024·广东广州）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
(1)求 ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若 ， ， 为 的___________，求 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）解： ，
，
则 ，即 ，
，则 ， ，即有 ，
可得 ，
，则 ， ，解得 .
（2）解：若选①，连接 并延长交 边于点 ，
因为 为 的重心，所以， 为 的中点，且 ，
所以点 到 的距离等于点 到 的距离的 ，
所以， ；
若选②，由余弦定理可得 ，
若 为 的内心，设 的内切圆的半径为 ，
则 ，则 ，
因此， ；若选③，若 为 的外心，设 的外接圆半径为 ，
由余弦定理可得 ，则 ，
在优弧 上任取一点 ，则 ，则 ，
因此， .
一．单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）在 中， 边上的高等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图， 边上的高为 ， ，且 ，
所以 ，则 ，
则 ， ，
所以 ，则 .故选：B
2．（2024江苏宿迁·期中）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 的
形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】 ，
故 ，
由正弦定理得 ，
其中 ，
即 ，
故 ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，
的形状为直角三角形.
故选：B
3．（2024·山东日照·三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 中 ，
由余弦定理可得：
，整理可得 ，
又 ，则 ，， ，则 ，
可得 ，则 ，即 ，
故选：C
4．（2024·青海·一模）在梯形ABCD中， ， ， ， ， ，E，F分别为AD，BC
的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
过点 作 ，交 于 ， ，交 于 ，
又因为 ，
所以四边形 和四边形 为平行四边形，
所以 ， ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
因为E，F分别为AD，BC的中点，
所以 ， ，
所以 ，
所以在 中， ，
所以在 中， ，
所以 ，
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测）已知 是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若
，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，得 ．
由余弦定理得 ，
所以 ，即 ．
由正弦定理得 ，
因为 ，则 ，
所以 ，即 ．
因为 是锐角三角形，所以 ， ，所以 ．
又 在 上单调递增，所以 ，则 ．
因为 是锐角三角形，所以 ， ， ，
所以 ，
由正弦定理得
，
令 ，因为 ，所以 ．
在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
故
故选：C．6．（2023·安徽·校联考模拟预测）在 中， ， ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 边上的中线长为2 B． 为锐角三角形
C． D． 的周长为12
【答案】A
【解析】如图，在边AB上取一点D，使 .
设 ，则 ，∴ .
，解得 ，∴ .
在 中， ，
∴ ，解得 ，∴ ，∴ 为直角三角形，B错误.
CD为斜边AB上的中线，所以A正确； ，C错误； 的周长为 ，D错误.
故选A.
7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知 三个内角 、 、 的对应边分别为 、
、 ，且 ， .则下列结论不正确的是（ ）
A． 面积的最大值为
B．
C． 的最大值为D． 的取值范围为
【答案】B
【解析】对于A选项，因为 ， ，由余弦定理和基本不等式可得
，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，
所以， 的面积的最大值为 ，A对；
对于B选项， ，B错；
对于C选项，由正弦定理可得 ，则 ，
因为 ，则 ，所以， ，
由平面向量数量积的定义可得
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最大值为 ，C对；
对于D选项，因为 ，则 ，由题意可知， ，所以， ，
，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
综上所述， 的取值范围为 ，D对.
故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）已知 外接圆的半径为 ， 为边 的中点， ， 为钝角，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一：
根据正弦定理得 ，所以 ，
因为 为钝角，所以 ；
延长 到 ，使得 ，连接 ，如下图所示：
易知四边形 为平行四边形，且 ．
设 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
可得 的取值范围是 ．
解法二：
根据正弦定理得 ，
所以 ，因为 为钝角，所以
因为 为边 的中点，所以 ，可得 ，
设 ，则 ①．
设 ，则 ，
将其代入①得 ②，
所以关于 的方程 至少有1个正根；
当 ，即 ，
经检验，当 时，方程②即 ，解得 ，则 ，不合题意；
当 时，方程②即 ，解得 ，不符合题意；
所以 或 ，解得 ，
故 的取值范围是 ．
解法三：
根据正弦定理得 ，所以 ，因为 为钝角，所以 ；
设 ，根据余弦定理得 ，
在 中易知 ，
又在 中可得 ，
所以可得 ，即 ，
将 代入，得 ①，
设 ，则 ，
将其代入①得 ②，
所以关于 的方程 至少有1个正根；
当 ，即 ，
经检验，当 时，方程②即 ，解得 ，则 ，不合题意；
当 时，方程②即 ，解得 ，不符合题意；
所以 或 ，解得 ，
故 的取值范围是 ．
故选：C
二．多选题
9．（2024·江苏·阶段练习）如图， 的角 所对的边分别为 ， ，且
，若点 在 外， ，则下列说法中正确的有（ ）A．
B．
C．四边形 面积的最大值为
D．四边形 面积的最大值为
【答案】ABC
【解析】因为 ，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，所以 为等边三角形，
可得 ， ，所以A、B正确；
设 ，
在 中，由余弦定理得 ，
且 ，
可得 ，
所以四边形的面积为 ，
当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ，所以C正确，D错误.
故选：ABC.10．（2024黑龙江佳木斯·期中）已知 ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 ，c=2．
△
则下列结论正确（ ）
A． ABC面积的最大值为 B． 的最大值为
△
C． D． 的取值范围为
【答案】AB
【解析】由余弦定理得： ，解得： ，
由基本不等式得： ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，故 ， 正确；
A
，
其中由正弦定理得： ，
所以
，
因为 ，所以 ，
故 最大值为 ， 的最大值
为 ，B正确；
，
故C错误；
，
因为 ，所以 ，
所以 ，D错误.
故选：AB
11．（2025·福建厦门·阶段练习）已知锐角 三个内角 的对应边分别为 ，且 ．则
下列结论正确的是（ ）
A． 的面积最大值为
B． 的取值范围为
C． 的值可能为3
D． 的最小值为
【答案】BC
【解析】因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
同理可得 ，
由正弦定理 得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
A选项， ，A错误；
B选项，由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，B正确；
C选项，因为 ，
而 ，所以 的值可能为3，C正确；
D选项，
，当且仅当 时取等号，
但 ，
而 ，所以 ，
故 ，等号取不到，D不正确.
故选：BC.三．填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，
，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】 中， ， ，
所以 ，所以 ，
根据正弦定理， ，
即 ，
因为 ，所以 ，
由 为三角形内角可知， ，
根据正弦定理， ，
所以
，
其中 ， ，
当 时取得最大值 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
13．（2025·海南海口·模拟预测）锐角 中， ，角A的角平分线交 于点 ， , 则
的取值范围为 .
【答案】【解析】由已知得， ,
在 中，由正弦定理得， ,
同理可得 ,
故 ,
而
，
因为锐角 中， ,
故 ，则 ， ，
故 ，
故答案为：
14．（2024·四川自贡·三模）如图，D为 的边AC上一点， ， ，
，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，
在 中， ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，当 时， 有最小值，此时 取最小值，
所以 .
故答案为： .
四．解答题
15．（2024·北京·三模）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①： ；条件②：
；条件③： 的面积为S，且 .注：如果选择多个条件分别
解答，按第一个条件计分.
【答案】(1)1
(2)
【解析】（1）由题意可知： ，
因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，因为 ，则 ，
可知当 ，即 时， 取到最大值3，即 .
若条件①：因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
可得 ，且 ，则 ，
可得 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若条件②；因为 ，
由正弦定理可得： ，
则 ，
因为 ，则 ，
可得 ，即 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若选③：因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得所以 的取值范围为 .
16．（2024·全国·模拟预测）在 中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，
．
(1)求证： ．
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）如图．在 中，由正弦定理，得 ．
在 中，由正弦定理，得 ．
在 中，由正弦定理，得 ．
所以 ，
所以 ．
（2）因为 ，
所 ，所以 ．
由 可知 ， 均为锐角．
由（1）知， ．
设 ，则 ， ．
由 ，得 ．
在 中，由正弦定理，得 ．
在 中，由正弦定理，得 ．所以 ．
17．（2024·山东青岛·期中）已知函数 ，若锐角 的内角 所对的边
分别为 ，且 ．
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围；
(3)在 中， ，其外接圆 直径为 （如图）， ，求 和 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：由函数 ，
因为 ，可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，可得 .
（2）解：由（1）知 ，可得 ,
因为 为锐角，所以 ，解得 ，
则 ，因为 ，可得 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
（3）解：因为 为圆 直径，所以 且
设 ，可得 ， ，
设圆 的半径为 ，在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
又因为 ，解得 ，
所以 ，
又由 ，
所以 ，
四边形 的面积为
.
18（2024湖南·阶段练习）已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且外接圆的半径为 ，求 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为 ，
可得 ，
则 ，
所以 ，
即 ，由正弦定理得 ，
显然 ， ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
（2）解：因为 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 为锐角三角形且 ，所以 ，所以 ，
即 ，
令 ， ，
根据对勾函数的性质可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中 百米，
百米， ， ，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、
BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．
(1)若 ，求排水沟BD的长；
(2)若 ，试用 表示4条人行道的总长度．
【答案】(1) 百米；
(2) 百米.
【解析】（1）因为 ， 百米， 百米，
所以 百米，所以 ，
又 ， ，所以 为等腰直角三角形，
所以 百米，
因为 ，
所以在 中，由余弦定理得 百米.（2）因为M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点，
所以 百米， 百米，
设 ，其中 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
连接 ，则 ，
在 中， ， ，
由余弦定理得
，
在 中， ， ，
由余弦定理得
，
所以4条人行道的总长度为 百米.
