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3.6 三角函数的专题综合运用（精练）（基础版）
题组一 正余弦定理的实际应用
1．（2022·全国·模拟预测）如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练，已知点
到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面上的射线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点
观察点 的仰角 的大小，若 ，则 的最大值是（ ）.（仰角 为
直线 与平面 所成的角）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
由勾股定理知， ，
过点 作 交 于 ，连结 ，则 ，
设 ，
若 在线段 上，则 ，
由 ，得 ，
在直角 中， ，
，令 ，则函数在 ， 单调递减，
时，取得最大值为 ；
若 在 的延长线上， ，
在直角 中， ，
，
令 ，则 可得 时，函数取得最大值 .
故答案为： ．
2．（2022·河南驻马店）如图，已知两座灯塔 和 与海洋观察站 的距离都等于 ，灯塔 在观察站
的北偏东 ，灯塔 在观察站 的南偏东 ，则灯塔 与灯塔 的距离为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】解：依题意知 ，
在 中，由余弦定理知 ．
即灯塔 与灯塔 的距离为 ．故选： ．
3．（2022·北京·101中学模拟预测）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，
是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，
下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)
重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古
有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线 ，如图，测得
， ， 米，则岳阳楼的高度 约为( ， )（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【解析】Rt△ADC中， ，则 ，Rt△BDC中， ，则 ，
由AC-BC=AB得 ， 约为 米.故选：B
4．（2022·青海西宁·一模（理））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的
两边长分别为32m和68m，它们的夹角是 .已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费
用为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C【解析】由题意，三角形空地的面积为 ，
改造费用为50元 ， 这块三角形空地的改造费用为： 元.故选：C.
5．（2022·河南·模拟预测（理））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），
为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已
被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的
A，B两点，测得 米， ， ， ，则蜚英塔的高度 是
（ ）
A．30米 B． 米 C．35米 D． 米
【答案】C
【解析】设 ，在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
因为 ，所以由余弦定理得：
整理得： ，解得 .故选：C
6．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与
工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如
图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度 （ 与地面垂直），在赛道一侧
找到一座建筑物 ，测得 的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物 之间的地
面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得 约为60米，则 的高h约为（ ）米
（参考数据： ， ， ）
A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8
【答案】C
【解析】由题意可得 ，则 ，
在 中， ，在 中，因为 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 （米）.故选：C.
7．（2022·全国·高三开学考试（理））如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人
先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60 到达点D处，在
D处测得塔项的仰角为 ，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50 B．30 C．25 D．15
【答案】B【解析】设塔高 的高度为 ，在 中，因为 ，所以 ；
在 中，因为 ，所以 ；
在 中， ， ， ，
根据余弦定理可得， ，
即 ，解得 或 （舍去）.
故选：B.
8．（2022·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），
为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已
被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的
A，B两点，测得 米， ， ， ，则蜚英塔的高度 是
_______米．
【答案】35
【解析】设 米，因为 ， ， ，所以 ，
在 中， ， ，则由余弦定理得 ,
，解得 ，
所以蜚英塔的高度 是35米，故答案为：35
9．（2022·广西南宁·一模（理））2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱
成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻地面上点 观测点观测到点D的仰角分别为 ，若 间距离为10千米（其中向量 与 同
向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离 约为___________千米（结果保留整数，参考数据：
）.
【答案】
【解析】在三角形 中， ，
由正弦定理得 ，
，
所以 千米.故答案为：
10．（2022·四川省叙永第一中学校模拟预测（文））海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球
留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径
A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得 ， ， ，
，则 两点的距离为______ .
【答案】【解析】因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
由正弦定理得： ，即 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，解得 .故答案为：
11．（2022·广西广西）从某建筑物的正南方向的 处测得该建筑物的顶部 的仰角是 ，从该建筑物的
北偏东 的 处测得该建筑物的顶部 的仰角是 ， ， 之间的距离是35米，则该建筑物的高为
______米.
【答案】
【解析】设该建筑物的高 （ 为该建筑物的底部），由题意可得 ， ， ，
，则 ，即 ，解得
.
12．（2022·内蒙古赤峰）如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟
楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60 到达点D处，在
D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________ .【答案】30
【解析】由题意知： ，设 ，则
，
，即 ，解得 或 （舍去）.
故答案为：30.
题组二 正余弦定理的几何应用
1．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）如图，在梯形ABCD中， ，点E在边CD上， ，
， ．
(1)求BE，CE；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)因为 ， ， ，所以 ．在 中，由正弦定理可得 ，
可得 ， ．
(2)因为 ，所以 ．
在 中，由余弦定理可得
，所以 ．
因为 ，所以 ．
2．（2022·湖北·模拟预测）如图，在平面四边形 中，对角线 平分 ， 的内角A，B，
C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求B；
(2)若 ， 的面积为2，求
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 所以 所以(2)解：因为 的面积 ，所以 ，即 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①O为 的内心；②O为 的外心．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求A；
(2)若 ，________，求 的面积．
【答案】(1) (2)选①， ；选②， ．
【解析】(1)因为 ，
由正弦定理得 ，
，
，
三角形中， ，所以 ，，则 ，所以 ， ；
(2)
选①O为 的内心，如图， 分别是内切圆在各边上的切点，
，
，
设内切圆半径为 ，则 ， ，
所以 ；
选②O为 的外心， 在 外部，如图， 外接圆 上，
由（1） ，所以 ，
又 ，
， ，
．4．（2022·安徽合肥·二模）在 中，内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，满足______．
从① 是 ， 的等差中项，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中
并作答．
(1)求 的大小；
(2)若 是 的角平分线，且 ， ，求 的面积．
【答案】(1)条件选择见解析， (2)
【解析】(1)
若选①：
是 ， 的等差中项， ，即 ．
由正弦定理得 ，
即
，
，
注意到 ，所以 ，即 ．， ， ，即 ．
若选②；
由题设及正弦定理得 ．
， ， ①．
， ，∴①可化为 ．
， ， ， ， ．
(2)
是 的角平分线， ．
，即 ，
即 ， ， ，
．
5．（2022·陕西渭南·二模（理））如图，在 中，角 ，D为边AC上一点，且 ，
，
求：
(1) 的值；
(2)边 的长.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)在 中, 由余弦定理的推论得 ,, ,
,
(2) , ,
,
,
在 中, 由正弦定理得 ,
6．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））已知 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、
c，且 ． △
(1)求B；
(2)若 ABC的面积为 ，角B的平分线交AC于D，且 ，求b．
△
【答案】(1) ；(2) ﹒
【解析】(1)由正弦定理及 ，得 ，∴ ，
∵ ，∴ ；
(2)∵ ，∴ ，即 ．
又 ，∴ ．由余弦定理得： ，∴ ．
7．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积为
．(1)求 ；
(2)若 ， 的角平分线 与边 相交于点 ，延长 至点 ，使得 ，求 ．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：由题可知 ，所以 ，
由余弦定理 ，所以 ，可得 ，
因为 ，所以 .
(2)解：不妨令 ，因为 ，可得 ， ，
又因为 为 的角平分线，所以 ， ，得 ，
所以在 中，由余弦定理可得 ，即 ，
在 中，可得 ， ，所以， 为等边三角形，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，得 ．
8．（2022·江西·二模（理））如图，在四边形 中， ， ， ，
．(1)求 ；
(2)求 ．
【答案】(1) (2)
【解析】(1) 中， ；
(2) ， ，
所以 ，所以 ．
9．（2022·安徽滁州·二模（理））已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
．
在① ；② ；③ ．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的
横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求 的面积S；
(2)求角A的平分线 的长．
【答案】(1)条件选择见解析， (2)条件选择见解析，
【解析】(1)选①：因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ．选②：因为 ， ，所以由正弦定理可得 ，
所以 ， ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
由余弦定理可得， ，
由 ，所以 ，所以 ．
选③：因为 ，所以 ，
由 ， ，所以 ， ．
由余弦定理可得， ，所以 ．
所以 ．
(2)
选①：
由余弦定理可得， ，所以 ．
所以 ，由 ，所以 ．
因为 ，所以可解得 ．
选②：
因为 ，
所以可解得 ．
选③：
因为 ，
所以可解得 ．
10．（2022·重庆·二模）已知 的外心为 ， 为线段 上的两点，且 恰为 中点.(1)证明：
(2)若 ， ，求 的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：设 ，
由余弦定理知： ， ，
由 是 外心知 ，
而 ，
所以 ，
即 ，
而 ，因此 ，
同理可知 ，
因此 ，
所以 ；
(2)
解：由（1）知 ，
由余弦定理知： ， ，
代入 得 ，
设 ，则 ，
因此 ，
当且仅当 时取到等号，因此 的最大值为 .
题组三 三角函数与正余弦定理
1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知向量 ， ， .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，求 的面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解： ， ，
则其最小正周期 ；
(2)由 ，且 ，所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的面积 ，
所以该三角形面积的最大值为 .
2．（2022·北京石景山·一模）已知函数 只能同时满足下列三个条件中的
两个：
①函数 的最大值为2；②函数 的图象可由 的图象平移得到；
③函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
(1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出 的解析式；
(2)在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，求 面积的最大值．
【答案】(1)满足①③， (2)
【解析】(1)分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③，
由③知 ，则 故
(2) ，由 ，由余弦定理得 ，当且仅当 时等号成立
又 ，故面积最大值为
3．（2022·四川雅安·二模）已知向量 ， ，设函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且______，求 的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．
① ；② ；③ ， ， 成等比数列．注：如果选择多个条
件分别解答，按第一解答计分．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因为 ， ，所以
由 ，得 ，
即函数 的单调递增区间 .
(2)若选① ，
由正弦定理可得 ，
即 ，即 ，
由于 ，所以 ，解得 ，
由于 ，得 ，所以 ，
所以 ，得 ，
即 的取值范围是 .
若选② ，
由正弦定理可得 ，即 ，
由于 ，所以 ，由于 ，得 ，所以 ，
所以 ，得 ，
即 的取值范围是 .
若选③ ， ， 成等比数列，即 ，由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
即 的取值范围是 .
4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））函数 图像过点 ，且相邻对称
轴间的距离为 ．
(1)求 的值；
(2)已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，且 ，求 面积的最大值．
【答案】(1) ， ；(2)
【解析】(1)
由题意得： 的最小正周期 ，由于 ，故 ，解得： ，又 ，所以
，即 ，又 ，所以 ，解得： ， ，
故 ，此时 ，综上： ， ；
(2) ，所以 ，因为 ，所以 ，则 ，
解得： ，又 ，所以由余弦定理得：，则 ，由基本不等式得： ，即 ，解得：
，当且仅当 时等号成立，故 面积最大值为 .
题组四 最值问题
1．（2022·河南·模拟预测（理））在 ABC中，角 所对的边分别为 ，已知
△
.
(1)求 的大小；
(2) 的面积等于 ，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
【答案】(1) ；
【解析】(1) 可得 ，
即 ，因为
从而 ，而 ，
所以 .
(2) ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 ，
故 .2．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））已知 .
(1)求 的最小正周期和单调减区间；
(2)在△ 中， ，D为BC中点， ，求△ 面积的最大值.
【答案】(1)最小正周期为 ，单调减区间为 ， ；(2) .
【解析】(1)由 ，则 ，
令 且 ，可得 且 ，
所以 单调减区间为 ， .
综上， 最小正周期为 ，单调减区间为 ， .
(2)由题设， ，即 ，
又 ，则 ，故 ，可得 ，
而 ，故 ，
令 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，则△ 面积 ，
综上，△ 面积的最大值为 .
3．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求△ABC周长的最大值．
【答案】(1) ;(2)【解析】(1)因为 所以由正弦定理可得 ，
即 ，由余弦定理知， ，因为 ， 所以 .
(2)由 和（1）可知 ，
则 ，
得 ，即 ，
所以 （当且仅当 时，取得等号），
所以 周长的最大值为 .
4．（2022·甘肃·二模（文））如图，在圆内接四边形ABCD中， ，且
依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
【答案】(1) (2)10
【解析】(1)因为 依次成等差数列，
所以 ，又 ，所以 ,
又 ，则由余弦定理得:，所以 .
(2)由圆内接四边形性质及 ，知 ，
在 中，由余弦定理得
，
又因为 （当且仅当 时“=”成立），
所以 ，即 ，
则四边形ABCD周长最大值 .
5．（2022·湖南益阳·一模）在① ；② ；③
，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在 中，角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 的中线 长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】(1)选择条件①：由 及正弦定理，得： ，
即 ，由余弦定理，得 ,
因为 ，所以 ；
选择条件②：由 及正弦定理，
得： ，即 .
即 .
在 中， ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ,
因为 ，所以 ；
选择条件③：由 及正弦定理，
得： ，
因为 , ，所以 .
在 中， ，则 ，
故 .
因为 ，所以 ，则 ，
故 ；
(2)
因为 ，所以 ，
整理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 .
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，即 长度的最小值为 .
6．（2022·江苏无锡·模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 外的一点，且 ， ，则当 为多少时，平面四边形 的面积
最大，并求 的最大值．
【答案】(1) (2) 时，S最大值为
【解析】（1） 在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ．
由正弦定理得： ，又 ，
，
， ，
， ， ．
(2) ， ， 是等边三角形，设 ， ，
， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
， ， 当 ，即 时，
平面四边形 的面积 取最大值 ．
7．（2022·山西·一模（理））如图，圆内接四边形 中， ， ， .(1)求 ；
(2)求 面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)在 中，由正弦定理得 ，即 .所以 .
(2)因为四边形 内接于圆，故 .
设 ， ，在 中，由余弦定理得：
.
因为 ，所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立.
所以
所以 面积的最大值是 .
8．（2022·江苏·金陵中学二模）已知四边形 ，A，B，C，D四点共圆， ， ，
．
(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
【答案】(1)5(2)【解析】(1)在 中，由余弦定理得
，得 .
因为 ，所以 .
因为 四点共圆，所以 与角 互补，
所以 ， ，
在 ，由正弦定理得： ，
所以 .
(2)
因为四边形 的周长为 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即
，
当且仅当 时， ，
所以四边形 周长的最大值为 .
9．（2022·全国·模拟预测（理））在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且
．
(1)求角B的大小；
(2)若 是锐角三角形，求 面积的取值范围．【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：由余弦定理可得 ，整理得 ，
又由 ，
因为 ，所以 ．
(2)解：由（1）可知： ，所以 ， ，
故 ，
，
因为 是锐角三角形， ，解得 ，
可得 ，所以 ，故 ，
又由 的面积 ，所以 ．
10．（2022·江西）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并作答．在 中，内角 所对的边分别为 ，且_．
(1)求B的大小；
(2)若 ，求 的最大值．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1) (2)8
【解析】(1)解：选①，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 ；
选②，因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ；
选③，因为 ，所以 ，
则 ，
则有 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ；
(2)解：由（1）得 ，即 ，
解得 ，当且仅当 时，取等号，所以 的最大值为8．
11．（2022·江苏南通·模拟预测）在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B； △
(2)若M是AC的中点，且 ，在下面两个问题中选择一个进行解答．
①求 ABM面积的最大值；
②求△BM的最大值．
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
【答案】(1) (2)① ；②【解析】(1)在△ABC中， ．
又因为 ，所以 ，
化简得 ，所以 ．又因为 ，所以 ．
(2)若选①．因为M是AC的中点，所以 ．
在△ABC中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以△ABM的面积的最大值是 ．
若选②．在△ABC中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
所以 ．
因为M是AC的中点，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以BM的最大值是 ．
12．（2022·辽宁·一模）在平面五边形ABCDE中，已知 ， ， ， ，
，(1)当 时，求DC；
(2)当五边形ABCDE的面积 时，求BC的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)连结EB，在 中， ，
由余弦定理可得，
，所以
同时可得 ， ,又由五边形内角和可求得
所以 ，进而四边形BCDE为等腰梯形
过点C作CM⊥BE于M，可求得
进而(2) ，
又 ，所以 ，
设 边长为x，则
化简整理得 ，解得 或
又 ，
所以BC的取值范围是 .
