文档内容
§8.12 圆锥曲线中定点与定值问题
题型一 定点问题
例1 (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－
2)，B两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点
T，点H满足MT＝TH.证明：直线HN过定点．
(1)解 设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
由椭圆E过A(0，－2)，B两点，
得解得
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明 当直线MN的斜率不存在时，l ：x＝1，
MN
由得y2＝，
∴y＝±.
结合题意可知M，N，
∴过M且平行于x轴的直线的方程为y＝－.
易知点T的横坐标x ∈，
T
直线AB的方程为y－(－2)＝×(x－0)，即y＝x－2，
由得x ＝3－，
T
∴T.
∵MT＝TH，∴H，
l ：y－＝(x－1)，
HN
即y＝x－2.
此时直线HN过定点(0，－2)．
当直线MN的斜率存在时，如图，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2l ：y＝kx＋m(由直线MN过点P(1，－2)可得k＋m＝－2)．
MN
由
得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ>0，
∴x＋x＝－，xx＝.
1 2 1 2
过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y，
1
与直线AB的方程联立，得
得x ＝，
T
∴T.
∵MT＝TH，∴H(3y＋6－x，y)，
1 1 1
l ：y－y＝(x－x)，
HN 2 2
即y＝x＋y－·x.
2 2
令x＝0，得y＝y－
2
＝
＝.
∵yy＝(kx＋m)(kx＋m)＝k2xx＋mk(x＋x)＋m2＝，
1 2 1 2 1 2 1 2
y＋y＝(kx＋m)＋(kx＋m)
1 2 1 2
＝k(x＋x)＋2m＝，
1 2
xy＋xy＝x(kx＋m)＋x(kx＋m)＝2kxx＋m(x＋x)＝，
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
∴－(xy＋xy)＋3yy＝＋＝＝，
1 2 2 1 1 2
－(x＋x)＋6＋3(y＋y)＝＋6＋＝＝，
1 2 1 2
∴y＝＝－2，
∴直线HN过定点(0，－2)．
综上，直线HN过定点(0，－2)．
思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那
么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于
x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y ＝k(x－x)，则直线必过定
0 0
点(x，y)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
0 0
跟踪训练1 (2023·郑州质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为
等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过
点M?解 (1)由题意知解得b＝c＝，
又a2－b2＝c2，则a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知M(2,0)，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－20，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲
线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M
在第一象限)，记直线MA的斜率为k，直线NB的斜率为k，求证：为定值．
1 2
解 (1)∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2，
∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，
∴＝2，∴a＝1，
故双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，
由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x＝ny＋2，设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
联立得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，
∴y＋y＝－，yy＝，
1 2 1 2
∴nyy＝－(y＋y)，
1 2 1 2
∵直线MA的斜率k＝，
1
直线NB的斜率k＝，
2
∴＝＝＝＝＝－，为定值．
思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可
得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条
件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形
即可求得．
跟踪训练2 (2022·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|
PF|是P到l的距离的.
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y
轴于点H，求证：为定值．
(1)解 设P(x，y)，由已知得＝|y－4|，整理得＋＝1，即为曲线C的方程．
(2)证明 设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得消
去y整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0，Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立，
设M(x，y)，N(x，y)，则|MN|＝|x－x|＝×＝，
1 1 2 2 1 2
x＋x＝－，
1 2
设线段MN的中点为T(x，y)，则x＝＝－，y＝kx＋1＝，
0 0 0 0 0
线段MN的垂直平分线的斜率为－，方程为y－＝－，
令x＝0，解得y＝，即为点H的纵坐标，
∴|FH|＝1－＝，
∴＝＝，
即为定值.课时精练
1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为
2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M，N作抛物线C的切线l，l，P(x，y)是l，l 的交点，求证：点P在定直线上．
1 2 0 0 1 2
(1)解 点A的横坐标为2，代入圆O得y＝2，
所以A(2，2)，
代入解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)证明 抛物线C：y＝，
则y′＝，设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
所以切线PM的方程为y－y＝(x－x)，
1 1
即y＝x－，
同理切线PN的方程为y＝x－，
联立解得点P，
设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，
得x2－4kx－4＝0，所以xx＝－4，
1 2
所以点P在y＝－1上，结论得证．
2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，)．
(1)求C的方程；
(2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另
一点D，证明：直线AD过定点M.
解 (1)因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
则可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，
将点P(3，)代入得－＝λ，
解得λ＝，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)显然直线BQ的斜率不为零，
设直线BQ：x＝my＋1，B(x，y)，D(x，y)，A(x，－y)，
1 1 2 2 1 1
联立消去x，整理得(m2－3)y2＋2my－2＝0，
依题意得m2－3≠0，且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，
即m2>2且m2≠3，y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
直线AD的方程为y＋y＝(x－x)，
1 1
令y＝0，
得x＝＋x
1
＝
＝
＝
＝＝＝3.
所以直线AD过定点M(3,0)．
3．(2023·吉林模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－，0)，B(，0)，动点E(x，y)满足
直线AE与BE的斜率之积为－，记E的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过点O作
OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值．
(1)解 由A(－，0)，B(，0)，E(x，y)可得k ＝，k ＝，
AE BE
由题意得×＝－，
化简得＋＝1(|x|≠)，
所以曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点)．
(2)证明 由(1)知直线l与x轴不重合，可设l：x＝my＋2，P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
联立得(m2＋3)y2＋4my－2＝0.
Δ＝24m2＋24>0，
则y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
故有m＝.
因为G(3，y)，Q(my＋2，y)，所以直线QG的斜率为＝＝2y，
1 2 2 1
则直线QG的方程为y－y＝2y(x－3)，
1 1
即y＝2y，
1
故直线QG过定点H.
因为OM⊥QG，所以△OHM为直角三角形，
取OH的中点N，则|MN|＝|OH|＝，
即|MN|为定值．
综上，存在定点N，使得|MN|为定值．4.(2022·杭州质检)如图，已知椭圆C ：＋＝1，椭圆C ：＋＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P为椭圆
1 2
C 上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C 于E，F两点，连接EF交x轴于Q
2 1
点，过B点作BH交椭圆C ，C 于G，H点，且BH∥PA.
1 2
(1)证明：k ·k 为定值；
BF BG
(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；
(3)若记P，Q两点的横坐标分别为x ，x ，证明：x x 为定值．
P Q P Q
(1)证明 设P(x，y)，则＋＝1，可得y＝9－，
0 0
则k ＝，k ＝，则k ·k ＝＝＝－，
PA PB PA PB
因为BG∥PA，所以k ·k ＝k ·k ＝－.
BF BG PA PB
(2)解 当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
则联立消去y得(4k2＋3)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0.
则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，
设G(x，y)，F(x，y)，则x＋x＝，xx＝，
1 1 2 2 1 2 1 2
由k ·k ＝·＝＝－，
BF BG
得＝－，
约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点
(1,0)；
当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为x＝m，其中m≠2，
联立解得y＝±，
则F，G，
所以k ·k ＝－＝－，解得m＝1.
BF BG
综上，直线GF过定点(1,0)．
(3)证明 设PA的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，
1 1
则解得E点的坐标为.
由(1)知P(x，y)，y＝9－，
0 0
由k＝，则E点的坐标为.
1
同理，记PB的斜率为k，则F点的坐标为，
2
由k＝，则F点的坐标为，
2则EF的斜率k ＝＝，
EF
所以直线EF的方程为y＋＝·.
令y＝0，得x ＝，又x ＝x，故x x ＝x·＝4.
Q P 0 P Q 0
