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7.2 二项式定理考点一 二项式指定项的系数
【例1-1】（2024·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的二项展开式为 ，
令 ，解得 ，故所求即为 .故选：A.
【例1-2】（2024·浙江·三模） 的展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】通项 为常数项，令 可得 ，所以 ，
故选：B．
【例1-3】（23-24高三下·吉林通化·期中）在 的展开式中，有理项的个数为 ．
【答案】7
【解析】展开式中的第 项为 ，
当 时为有理项，共7项．故答案为：7.
【一隅三反】
1．（2024·青海·模拟预测） 展开式中， 项的系数为（ ）
A． B．720 C． D．1440
【答案】B
【解析】因 展开式的通项为则由 得 ，故 项的系数为 .
故选：B.
2．（2024·河南·模拟预测）已知 （其中 ）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有
（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
【答案】D
【解析】展开式的第7项为 ，
由题意，得 ， ，（ ），所以 ， ，
则展开式的通项为 ， ，
令 ，则 ，所以展开式中的有理项共有3项.
故选：D.
3．（2024·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【解析】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，所以常数项为 .故答案为：20.
4．（2024·黑龙江·模拟预测）若 的展开式中 的系数为144，则 .
【答案】
【解析】 的展开式的通项公式: .令 ，解得 ，所以由题意得
，解得 .故答案为： .
考点二 三项式指定项系数【例2-1】（2024·新疆喀什·三模） 展开式中， 的系数为（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【答案】B
【解析】 展开式中， 的项为 ，则 的系数为30．故选： ．
【例2-2】（2024·四川德阳·二模）在 的展开式中， 的系数是（ ）
A． B． C．20 D．40
【答案】A
【解析】可以理解为5个 相乘，要想得到 ，需要5个因式中有3个取 项，1个取 项，还剩1
个取常数项，由题意 的系数为： .故选：A
【一隅三反】
1．（2024·河北张家口·三模） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】A
【解析】 的展开式通项为 ，
则 的展开式中 项为 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A．6 B．8 C．27 D．33
【答案】D
【解析】解法一：
因为 ，即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积.
展开式的通项为 ，
则，展开式中含 的项为 ，含 的项为 ，含 的项为 ；展开式的通项为 ，
则，展开式中含 的项为 ，含 的项为 ，含 的项为 .
综上所述， 的展开式中 的项为 ，系数为 .
解法二：
因为 ，展开式的通项为 .
要使展开式中含 ，则 可取 或 .
当 时， ，展开式的通项为 ，
显然 时，展开式含 ，该项为 ；
当 时， ，展开式的通项为 ，
显然 时，展开式含 ，该项为 .
综上所述， 的展开式中 的项为 ，系数为 .
故选：D．
3．（2024·安徽·三模） 的展开式中 的系数为 .
【答案】-30
【解析】因为 是由5个 相乘得到，
使用要想产生 ，则 出1个， 出2个，y出2个，
故所求系数为 .
故答案为：-30
4．（2024·河南·三模） 的展开式中， 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】6
【解析】 ，的展开式通项为 ， 的展开式通项为 ，
，
令 ，得 ，
所以 的系数为 ．
故答案为：6
5（23-24高三下·天津·阶段练习）已知 的展开式中的常数项为 ，则 .
【答案】
【解析】二项式 的展开式中的常数项 ，
则 ，解得 或 （舍去），所以 .答案为：
考点三 两个二项式乘积指定项系数
【例3-1】（2024·西藏·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【解析】在 的展开式中，通项公式为 ，故 ， 的系数分别为 ， ，
所以在 的展开式中， 的系数为 ．故选：D．
【例3-2】（2024·福建南平·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】240
【解析】 ，
二项式 的通项公式为 ，其中 的展开式中不含 的项，
含 的项为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，故 的系数为240．
故答案为：
【一隅三反】
1．（2024·江苏泰州·模拟预测） 的展开式中 的系数是（ ）
A． B． C．5 D．15
【答案】B
【解析】 展开式的通项公式为 ，故 的系数为 ， 的系数为 ，
故 展开式中 系数为 .故选：B.
2．（2024·河北秦皇岛·三模） 的展开式中 的系数为 .
【答案】
【解析】由 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中 的系数为 .故答案为： .
3．（2024·江苏苏州·模拟预测） 的展开式中 的系数为 ．
【答案】14
【解析】因为 的展开式通项公式为 ，
其中 ，
故二项式 的展开式中 的系数为： ．
故答案为： .
4．（2024·山东·模拟预测）已知 的展开式中常数项为 ，则实数 的值为 .【答案】
【解析】依题意， ，因此 展开式中常数项为 ，
则 ，解得 ，所以实数 的值为0.故答案为：0
5．（2024·天津·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为 ，则实数 为 .
【答案】 /
【解析】二项式 展开式的通项 ，
显然 是偶数，由 ，解得 ，则有 的项为 ，
因此 ，所以 .故答案为：
考点四 （二项式）系数最值
【例4-1】（23-24 广东深圳·期中） 的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【答案】C
【解析】由 的展开式中， 项的二项式系数为 ，
根据二项式系数的性质得，当 时， ，即第四项的二项式系数最大．
故选：C.
【例4-2】（22-23 ·山东青岛·期中） 的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式
中有理项的项数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】∵ 的展开式通项为 ，（ ， ， ，…， ），
∵第四项和第五项的二项式系数相等，∴ ，∴ ，
∴ ，（ ， ， ，…， ），∴当 为整数，即 ， ， ， 时， 为有理项，
∴展开式中有理项的项数是 项.
故选：B.
【例4-3】．（23-24高三下·甘肃·开学考试）已知 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则
展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】展开式中的第 项为 ，所以前三项的系数依次为 ，
依题意，有 ，即 ，整理得 ，解得 （舍去）或 .
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即 .故选：C.
【例4-4】（2024·全国·高考真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【解析】由题展开式通项公式为 ， 且 ，
设展开式中第 项系数最大，则 ，
，即 ，又 ，故 ，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 .
故答案为：5.【例4-5】（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知 的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该
展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则
∴展开式的通项为
则该展开式中各项系数
若求系数的最小值，则 为奇数且 ，即 ，解得
∴系数的最小值为
故选：C.
【一隅三反】
1．（2024·江西·二模）已知 的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为
（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【答案】A
【解析】已知 的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则只能 ，
从而 的展开式为 ，令 ，解得 ，
所以展开式中的常数项为 .故选：A.
2．（23-2河北邢台·阶段练习） 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
【答案】C
【解析】因为 的展开通项公式为 ，又当 时， 取最大值，则系数最大的项是第13项 ．故选：C.
3．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的展开式的通项为 ，
由题可知 ，解得 ．
故选：A
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为 ，则
展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
【答案】280或560
【解析】由二项式 的展开式的通项公式 ，
由题知， ，解得 ，
所以，展开式中二项式系数最大的项为第4项或第5项，
则展开式中二项式系数最大的项的系数为 或 ，
即展开式中二项式系数最大的项的系数为280或560.
故答案为：280或560.
5．（23-24 ·山西大同·阶段练习）已知 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中
系数最大的项为 ．
【答案】【解析】由题意可知 ，解得n＝10，故展开式的通项为 ．
设第r＋1项的系数最大，则 即 ，解得 ， ，
∴展开式中的系数最大的项为 .故答案为： .
6．（23-24高三上·上海·期中）二项式 的展开式中，系数最大的项为 ．
【答案】
【解析】 展开式通项公式为 ， 且 为整数.
要想系数最大，则 为偶数，
其中 ， ， ，
，
显然系数最大项为 .
故答案为：
7．（2023·上海嘉定·一模）已知 的二项展开式中系数最大的项为 ．
【答案】
【解析】设系数最大的项为 ，则 ，解得 ，
因为 且 为整数，所以 ，此时最大的项为 .故答案为：
考点五 （二项式）系数和
【例5-1】（2024·北京·三模）已知 的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A． B．240 C．60 D．
【答案】B
【解析】由题意可知：二项式系数之和为 ，可得 ，
其展开式的通项为 ，令 ，解得 ，所以其展开式的常数项为 .故选：B.
【例5-2】（22-23 山东青岛·期末）（多选）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为
【答案】ABD
【解析】A选项，根据二项展开式的通项， ，A选项正确；
B选项，取 代入等式，得到 ，B选项正确；
C选项，取 代入等式，得到 ，
结合B选项 ，
两式相加得 ，故C选项错误；
D选项，根据二项展开式的通项， ，令 ，即 ，
解得 ，又 ，故 ，即 最大，D选项正确.
故选：ABD
【例5-3】（2024江苏常州·期中）（多选）设 ，则结论正确的
是（ ）
A． B．
C． D． ， ， ， ， ， ， 中最小的是
【答案】ABD
【解析】对于A，令 ，则 ①，故A正确；
对于B，令 ，则 ②，则②减①可得： ，则 ，故B正确；
对于C， 的通项为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，故C错误；
对于D， 的通项为 ，
所以当 时，即 ，而 ，
又 ，
故 ， ， ， ， ， ， 中最小的是 ，故D正确.
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024·安徽·二模）已知 的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】C
【解析】由已知 ，故 ，故通项为 （ ，1，…，8），故奇
数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
故 最大，因此第七项的系数最大，
故选：C．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AD
【解析】对A：对 有 ，
则 ，故A正确；
对B：令 ，有 ，令 ，则有 ，
故 ，故B错误；
对C：令 ，则有 ，
故 ，
故C错误；
对D：令 ，
则 ，
则 ，故D正确.
故选：AD.
3．（23-24 广东深圳·期中）（多选）若 ，其中 为实数，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由 ，
令 ，则原式转化为 ，
对于A中，令 ，可得 ，所以A正确；
对于B中，由二项式定理的展开式，可得 ，所以B不正确；对于C和D中，令 ，可得 ，
令 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以C、D 正确．
故选：ACD.
4．（2023·福建宁德·模拟预测）（多选）若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】令 ，则 ，即 ，故A正确；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则 ，故B正确；
，则 ，令 ，则 ，故C错误；
由 两边求导，
得 ，
令 ，则 ，故D正确.
故选：ABD.
考点六 二项式定理应用
【例6-1】（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设
均为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ，如 和被 除得的余数都是 ，则记 .若 ，且 ，则 的值可
以是（ ）
A．4021 B．4022 C．4023 D．4024
【答案】A
【解析】
，
即 被 除得的余数为 ，结合选项可知只有 被 除得的余数为 .
故选：A.
【例6-2】．（2024·湖北荆州·三模）已知 ，则 被3除
的余数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】令 ，得 ，令 ，得 ，
两式相减， ，
因为 ，
其中 被3整除，所以 被3除的余数为1，
综上， 能被3整除．
故选：D.
【例6-3】（2024北京） 的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【解析】 .
故选：C【一隅三反】
1．（2024·江西·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 ， ，
为整数，若 和 同时除以 所得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ．若
， ，则 的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】
，
所以 除以 的余数为 ，
选项中除以 余数为 的数只有 .
故选：C.
2．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物
按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的 年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
【答案】B
【解析】由
，
故 除以 的余数为 ，故 除以 的余数为 ，
故 年后是马年.
故选：B.
3．（2024上海）用二项式定理估算 .（精确到0.001）
【答案】1.105【解析】
.
故答案为：1.105
4．（23-24高三下·全国 专题复习） 的小数点后第100位数字是 ．
【答案】9
【解析】设 ．则由特征方程可知其递推式为 ．
但注意到 ， 都是整数，由数学归纳法可知 是整数，
但显然有 ，因此所求小数点后第100位数字是9．
故答案为：9
考点七 二项式定理与数列求和
【例7】（2024江苏南京 ）设集合 是 的两个非空子集，且满足集合 中的
最大数小于集合 中的最小数，记满足条件的集合对 的个数为 .
（1）求 的值；
（2）求 的表达式.
【答案】（1） ， .（2） .
【解析】（1）当 时，即 ，此时 ， ，所以 ，
当 时，即 ，若 ，则 ，或 ，或 ；
若 或 ，则 ；所以 .
（2）当集合 中的最大元素为“ ”时，集合 的其余元素可在 中任取若干个（包含不取），所以
集合 共有 种情况，
此时，集合 的元素只能在 中任取若干个（至少取1个），所以集合 共有种情况，
所以，当集合 中的最大元素为“ ”时，
集合对 共有 对，
当 依次取 时，可分别得到集合对 的个数，
求和可得 .
【一隅三反】
1．（23-24 山东青岛·期中）某人在 次射击中击中目标的次数为 ，其中 ，击中
偶数次为事件A，则（ ）
A．若 ，则 取最大值时 B．当 时， 取得最小值
C．当 时， 随着 的增大而减小 D．当 的， 随着 的增大而减小
【答案】D
【解析】A：在10次射击中击中目标的次数 ，
当 时对应的概率 ，
因为 取最大值，所以 ，
即 ，
即 ，解得 ，
因为 且 ，所以 ，即 时概率 最大．故A错误；
B： ，当 时， 取得最大值，故B错误；
C、D： ，
，，
，
当 时， ， 为正负交替的摆动数列，所以 不会随着 的增大而减小，故C
错误；
当 时， 为正项且单调递减的数列，所以 随着 的增大而减小，故D正
确；
故选：D.
2．（2024·辽宁·三模）设数列 的通项公式为 ，该数列中个位数字为0的项按从小到大的
顺序排列构成数列 ，则 被7除所得的余数是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以当 的个位数字为 时，
的个位数为 ，则在数列 中，每连续10项中就有6项的个位数字为0，
而 ，由此推断数列 中的第2017项相当于数列 中的第3361项，
即 ，而 ，所以 除以7余数为1，
而 ， ，所以 除以7余数也为1，
而它们的差 一定能被7整除，所以 被7除所得余数为0.
故答案为：0.
3．（2023·江苏镇江·三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 .等差数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)将数列 满足__________（在①②中任选一个条件）的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数列，求 的前20项和 .① ，② ，其中 .
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）因为数列 满足 ①，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，②
②-①得 ，即
因 ，所以 ，从而 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .
因为等差数列 满足 .所以 .
设 公差为 ，则 ，解得 .
所以 .
所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ；
（2）若选① ，则有 .
所以 取出的项就是原数列的偶数项，
所以 是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以 ；
若选② ，则有 ，因为
所以当 时，对应的 ，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时 为整数，满足题意；
当 时，对应的 ，
由二项展开式可知
所以 除以3 的余数是1，不能整除，即此时 不是整数，不满足题意；
所以 取出的项就是原数列的偶数项，
所以 是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以 .
考点八 杨辉三角
【例8】（2024山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组
合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
【答案】D
【解析】因为第10行中第5个数是 ，又 ，故A错误；
因为第2023行中第1011个数和第1012个数分别为 ， ，因为 ，所以 ，
故B错误；
因为 ，故C错误；
因为 ，故D正确.
故选：D
【一隅三反】
1．（23-24 陕西 ）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第 行
从左至右的数字之和记为 ，如 的前 项和记为 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84
B．在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78
C．
D． 的前 项和为
【答案】ABD
【解析】对于选项A：在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是 ，故A正确；对于选项B：从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为
，故B正确；
对于选项CD：由题意可知： ，
则 ， ，可知数列 是以首项为2，公比为2的等比数列，
可得 ，则 ，故C错误；
因为 ，
所以 的前 项和为
，故D正确；
故选：ABD.
2．（2024重庆沙坪坝 ）（多选）如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别
是一个公差为 的等差数列和一个公差为 的等差数列，每一行是一个公差为 的等差数列．我们把这个数阵的
所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列 ： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，其前 项和
为 ，则下列说法正确的有（ ）（参考公式： ）
A． B． 第一次出现是
C． 在 中出现了 次 D．
【答案】ACD【解析】对于A， ，且 ，
故 在第 行第 个，则 ，A对；
对于B，因为第 行最后一个数为 ，该数为奇数，由 ，可得 ，
所以， 第一次是出现在第 行倒数第 个，
因为 ，即 第一次出现是 ，B错；
对于C，因为 第一次是出现在第 行倒数第 个，在第 行至第 行， 在每行中各出现一次，
故 在 中出现了 次，C对；
对于D选项，设第 行的数字之和为 ，则 ，
故
，D对.
故选：ACD.
一．单选题
1．（2024·甘肃兰州·三模）在 的展开式中，含 的项的系数为（ ）
A． B．280 C．560 D．
【答案】B
【解析】 的二项式展开式的通项公式为 ， ,
令 ，可得 ，所以 ，故含 的项的系数为 .选：B.
2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为 B．各项的系数和为64
C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为
【答案】A【解析】对于A， 的展开式通项为 ，
当 时，常数项为 ，选项A正确；
对于B，令 ，得各项的系数和为 ，选项B错误；
对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；
对于D，依题意奇数项二项式系数和为 ，选项D错误.
故选：A.
3．（2024·浙江绍兴·三模）在 的展开式中，含 项的系数是10，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】根据二项展开式可知含 项即从5个因式中取4个 ，1个常数项即可写出含 的项；
所以含 的项是 ，可得 ；
即可得 .
故选：C
4．（2023·湖南永州·三模）在二项式 的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则
不同的排列方案为（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】A
【解析】因为二项展开式的通项为 ，
又因为 ，
所以当 或 时，为有理项，所以有理项共有2项，其余5项为无理项，
先排5项为无理项，共有 种排法，再排2项有理项，共有 种排法，
所以有理项互不相邻的排法总数为： 种.
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．3 D．27
【答案】C
【解析】 的展开式的通项公式为 ．
当 时， ；
当 时， ．
因此 的展开式中 的系数为 ，
故选：C．
6．（2024·河北廊坊·模拟预测） 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常
数项为（ ）
A． B． C．20 D．160
【答案】A
【解析】因为 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，
则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则 ，
则 展开式的通项为 ，
展开式中常数项，必有 ，即 ，
所以展开式中常数项为 .故选：A
7．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会
标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制
是 ，正是会议计划召开的年份，那么八进制数 换算成十进制数，则换
算后这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】由进位制的换算方法可知，八进制 换算成十进制得：
，
因为 是10的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为 的末尾数字，
由 可得，末尾数字为5.
故选：C
8．（23-24高三下·海南·阶段练习）若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因 （*）对于A项，当 时，代入（*）可得 ，故A项错误；
对于B项，当 时，代入（*）可得 ，故B项错误；
对于C项，当 时，代入（*）可得 ，
则 ，故C项错误；
对于D项，当 时，代入（*）可得 ，
则 ，故D项正确.
故选：D.
二．多选题
9．（2024·辽宁·模拟预测）若 的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理
项（ 项中 是整数）可以是（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
【答案】ACD
【解析】由题意可知： 的展开式通项为 ，
因为中第4项的二项式系数 最大，
当 为偶数，则 ，即 ，此时 ，
令 为整数，可得 ，
即第1项，第4项，第7项为有理项，故C正确；
当 为奇数，则 或 ，即 或 ，
且 ，可得 ，此时 ，
令 为整数，可得 ，
即第2项，第5项，第8项为有理项，故AD正确；
故选：ACD.10．（2024·广东佛山·模拟预测）若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】将 代入 得 ，解得 ，A正确；
由二项式定理可知 展开式的通项为 ，
令 得 ，所以 ，B错误；
将 代入 得 ，
即 ，C正确；
将 代入 得 ，
即 ①，
将 代入 得 ，
即 ②，
①+②得 ，所以 ，
①-②得 ，所以 ，
所以 ，D正确；
故选：ACD
11．（2024·山西·三模）已知函数 ，则（ ）
A． B． 展开式中，二项式系数的最大值为C． D． 的个位数字是1
【答案】BD
【解析】对于选项A： 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，
所以 ，故A错误；
对于选项B：因为 为偶数，可知二项式系数的最大值为 ，故B正确；
对于选项C：令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
所以 ，故C错误；
对于选项D：因为 ，
且 的展开式的通项为 ，
可知当 ， 均为20的倍数，即个位数为0，
当 时， ，所以 的个位数字是1，故D正确；
故选：BD.
三．填空题
12．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在 的展开式中常数项为 .
【答案】81
【解析】 的展开式中通项公式： ．
的通项公式： ．
故 的通项为
令 ，则 ， ； ， ； ， ．因此常数项 ．故答案为： ．
13．（2024·福建泉州·模拟预测） 的展开式中含 项的系数为 .
【答案】
【解析】 展开式通项公式为 ，
所以 展开式中含 的项为 ，
故 的展开式中含 项的系数为 ，
故答案为： .
14．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试） 的展开式中x项系数为 ．
【答案】10
【解析】因为 的x项系数是 ，
所以 的展开式中x项系数为：
.
故答案为：10．
四．解答题
15（2024江苏徐州 ）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：
“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为
22”.
问题：已知二项式 ，若___________(填写条件前的序号)，
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求 中含 项的系数.
【答案】（1） （2）55
【解析】若选条件①时，令 ，可得展开式所有项的系数和为 ，而二项式系数和为 ，
所以 ，解得 ，若选条件②时，由前3项的二项式系数和为22可得 ，解得 .
（1）设展开式中系数最大的项为第 项，则满足 ，
即 ，解得 ，又 ,
所以 ，
即展开式中系数最大的项为 ，
（2）在 中，含 项的系数为
.
16．（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重
要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内
容，图2为杨辉三角的改写形式
(1)求图2中第10行的各数之和；
(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为 ？若存在，试求出这三个数；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)560
(3)存在，【解析】（1）第10行的各数之和为： .
（2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为：
.
（3）存在，理由如下：
设在第 行存在连续三项 ，其中 且 且 ，
有 且 ，化简得 且 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
故这三个数依次是 .
17．（2023·江苏无锡·三模）记 为数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 除以3的余数.
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）因为 ， ，
所以 是首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，即 ①，
所以 ②，
由②－①可得 ，
即 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
则 ，
所以 ，
所以
所以 除以3的余数为2.
18．（2024·江苏扬州 ）（1）已知 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为 ，求 的值.
（2）记 ， ，
①求 ；
②设 ，求和： .
【答案】（1） ；（2）① ；② .
【解析】（1）∵ 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，∴ ，即 ，解得 .
（2）①由题意 ，
令 ，得 ；
②由题意 ，又 ，
∴ ，
∴
，
∴
.
19（2024·江苏 ）已知 ， .
（1）当 时，求 展开式中的常数项；
（2）若二项式 的展开式中含有 的项，当 取最小值时，展开式中含 的正整数次幂的项的系数之和为
10，求实数 的值.
【答案】（1）90（2） 或 .
【解析】二项式 的展开式通项为
，（1）当 ， 时， 的展开式的常数项为 .
（2）令 ，则 ，所以 的最小值为6，
当 时，二项式 的展开式通项为
，
则展开式中含 的正整数次幂的项为 ， ， ，它们的系数之和为
，
即 ，解得 或 .
