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第 03 讲 二项式定理
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·云南大理·统考模拟预测）已知多项式 ，则
（ ）
A．0 B．4 C．8 D．32
【答案】A
【解析】依题意，令 ，得 .
故选：A
2．（2023·四川绵阳·统考二模） 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故 ，得 .
故选：C
3．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）设
，则 等于（ ）
A．45 B．84 C．120 D．165
【答案】D
【解析】依题意，
.
故选：D
4．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知 展开式中 的系数为48，则实数
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】二项式 的通项公式为：
的展开式中，
的系数为 ，解得 ．
故选：A
5．（2023·江西景德镇·统考三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数
列且记该数列前 项和为 ，设 ，将数列 中的整数项依次取出组成新的数列记为
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知：第 行数字之和构成的数列的通项为 ，
， ；
则数列 的整数项为： ，
数列 的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列；偶数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
， ， .
故选：B.
6．（2023·甘肃兰州·统考一模） 的展开式的常数项是（ ）
A．40 B．-40 C．20 D．-20
【答案】D
【解析】二项式 的通项公式为 ，
令
，所以 的展开式的常数项是 ，
故选：D
7．（2023·河南开封·统考三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，函数 定
义域为 ，对任意 都有 ，若 ，则 的值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，可得 ，
当 时， ， ，相减得 ，
所以数列 是以3为公比的等比数列，则 .
由 ，得 ，
所以 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，
因为 ，
所以 被 除的余数为 ，
由 得 ，得 ，得 .
所以 .
故选：B
8．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知 的展开式中常数项为20，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】 ，
其通项公式为： ，
当 时， ，解得： .
故选：A.
9．（2023·山东德州·三模）若 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ，故 ，A错误；
由 ，
令 ，可得 ，B错误；
令 ，则 ，
故 ，C错误；
令 ，则 ，
故 ，D正确，
故选：D
10．（2023·全国·模拟预测） 的展开式中系数最大的项为（ ）
A．70 B．56 C． 或 D．
【答案】D
【解析】 的展开式的通项公式为 ， ，由二项式系
数中， 最大，此时该二项展开式中第5项的系数 最大，∴ 的展开式中系数最大的项为
，
故选：D．
11．（多选题）（2023·福建宁德·校考模拟预测）若 ，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC【解析】令 得： ，所以选项A正确；
令 得： ，所以 ，所以选项B错误；
因为 ，
所以 选项C正确；
，
两边对 求导得： ，
令 得： ，选项D错误；
故选：AC.
12．（多选题）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知多项式
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为 ，
的展开式的通项公式为 ，
，得 ，
，所以 ，故A正确；
令 得 ，令 ，得 ，
所以 ，故B不正确；
，故C不正确；
由 两边对 求导得，
，
令 ，得 ，
所以 ，故D正确.
故选：AD
13．（多选题）（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知 展开式中的第三
项的系数为45，则（ ）
A． B．展开式中所有系数和为C．二项式系数最大的项为中间项 D．含 的项是第7项
【答案】BCD
【解析】 展开式的第三项为： ，
所以第三项的系数为： ，所以 ，故A错误；
所以 ，所以令 得展开式中所有系数和为 ，故B正确；
展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；
通项公式为 ，
令 ，解得 ，所以含 的项是第7项.故D正确；
故选：BCD.
14．（多选题）（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若 ，
则（ ）
A． 可以被 整除
B． 可以被 整除
C． 被27除的余数为6
D． 的个位数为6
【答案】AB
【解析】 ，
可以被 整除，故A正确；
，
可以被 整除，故B正确；
被27除的余数为5，故C错误；
，
个位数为 ，故D错误.故选：AB
15．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测） 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常
数项是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．各项的二项式系数之和为1024
C．
D．各项的系数之和为1024
【答案】ABC
【解析】因为 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以 ，选项A正确；
所以 的展开式中二项式系数之和为 ，故选项B正确；
根据二项式定理知 的通项式为 ，令 得 ，所以
的展开式中常数项为 ，所以 ，
解得： ，故选项C正确；
令 得 ，所以各项的系数之和为0，所以D选项错误.
故选:ABC.
16．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）二项式 的展开式中，所有项的
系数和为1，则 的展开式中常数项为 .
【答案】
【解析】令 ，得 的展开式中所有项的系数和为 ，解得 ，
则 ，
其中 展开式的通项为 （ 且 ），
令 ，解得 ， 展开式中的 项的系数为 ，展开式中常数项为 .
故答案为：
17．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比
值为 ，则二项展开式中的常数项为 .
【答案】240
【解析】 的展开式中，二项式系数和为 ，
令 ，得 的展开式中，各项系数和为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，故展开式的常数项为 ，
故答案为：240
18．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）若 ，则
．
【答案】
【解析】由题意， 中含 的项为 ；
含 的项为 ；
含 的项为 ；
含 的项为 ；
含 的项为 ；
故 .
故答案为：
19．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）若 的二项展开式中 的系数是 ，则实数 的值是
．【答案】2
【解析】题设二项式展开式通项为 ， ，
所以 ，即 ，故 ，则 .
故答案为：2
20．（2023·福建·校联考模拟预测） 展开式中的常数项为 .（用数字做答）
【答案】49
【解析】
展开式中得到常数项的方法分类如下：
（1）4个因式中都不取 ，则不取 ，全取 ，相乘得到常数项.
常数项为 ；
（2）4个因式中有1个取 ，则再取1个 ，其余因式取 ，相乘得到常数项.
常数项为 ；
（3）4个因式中有2个取 ，则再取2个 ，相乘得到常数项.
常数项为 .
合并同类项，所以展开式中常数项为 .
故答案为： .
21．（2023·福建泉州·统考模拟预测） 的展开式中的常数项为 .
【答案】
【解析】 ，
其中 的展开式中 的项为:
.
故答案为： .
22．（2023·河南·校联考模拟预测）在 的展开式中，按 的升幂排列的第三项为 .
【答案】【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为 项．
整个式子中 项可由 ， 的展开式中的常数项与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项
相乘得到，
其中 展开式的通项为 （ ），
展开式的通项为 （ ）；
故所求为 ．
故答案为： ．
1．（2023•天津）在 的展开式中， 项的系数为 ．
【答案】60．
【解析】二项式 的展开式的通项为 ，
令 得， ，
项的系数为 ．
故答案为：60．
2．（2023•上海）已知 ，若存在 ，
1，2， ， 使得 ，则 的最大值为 ．
【答案】49．
【解析】二项式 的通项为 ， ，1，2， ， ，
二项式 的通项为 ， ，1，2， ， ，
， ，1，2， ， ，
若 ，则 为奇数，
此时 ，
，
，
，
又 为奇数，
的最大值为49．
故答案为：49．3．（2022•新高考Ⅰ） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【答案】 ．
【解析】 的通项公式为 ，
当 时， ，当 时， ，
的展开式中 的系数为 ．
故答案为： ．
4．（2022•天津） 的展开式中的常数项为 ．
【答案】15
【解析】 的展开式的通项是
要求展开式中的常数项只要使得 ，即
常数项是 ，
故答案为：15
5．（2022•上海）二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的5倍，则 ．
【答案】10．
【解析】 二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的5倍，
即 ，即 ，
，
故答案为：10．
6．（2021•天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】160．
【解析】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 ．
故答案为：160．
7．（2021•上海）已知二项式 展开式中， 的系数为80，则 ．
【答案】2
【解析】 的展开式的通项公式为 ，所以 的系数为 ，解得 ．
故答案为：2．
8．（2021•北京）在 的展开式中，常数项是 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】设 展开式的通项为 ，则
令 得 ．
展开式中常数项为： ．
故答案为： ．
