文档内容
二项式定理的相关计算
1．已知 展开式的二项式系数之和为128，则 __________.
【解答】根据展开式的二项式系数之和为 ，所以 ，解得 ，故答案为： .
2．若 的展开式中 的系数为 ，则 __________.
【解答】二项式 展开式的通项为
所以 的展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中 的系数为 ，所以 .故答案为：
3． 的展开式中 的系数为______（用数字表示）.
【解答】 的通项为 ,
令 ，所以展开式中 的系数为 ,
故答案为：210
4． 的展开式中 的系数是______.
【解答】二项式 中， ，
当 中取x时，这一项为 ，所以 ， ，
当 中取y时，这一项为 ，所以 ， ，
所以展开式中 的系数为 故答案为：
5．若 的展开式中所有项的系数和为 ，则展开式中 的系数为__________．【解答】令 ，得 ，解得 ，进而可得 的展开式为 ，令 ，
得 ，令 ，得 ，
故 的系数为 ．故答案为：
6． 的展开式中， 项的系数为__________．
【解答】由二项式展开式通项为 ，
令 ，则 ，则 ，故 项的系数为 .故答案为：
7．已知 ，则 __________．
【解答】依题意 ，令 ，得 ，
令 ，得 .因为 可以得出 ,
，故 .故答案为： .
8．已知二项式 的常数项为 ，则 ______________.
【解答】由题意可知 ，则其通项为 ，
而 的通项为 ，令 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，不合题意，
由二项式 的常数项为 ，可得 ，
即 ，解得 ，故答案为：9．在 的展开式中x的系数为______．
【解答】 的展开式中x的项为
，所以展开式中 的系数为 ．故答案为： .
10． 的展开式中 的系数为______
【解答】 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，所以展开式中 的系数为 .故答案为： .
11．已知常数 ， 的二项展开式中 项的系数是 ，则 的值为_____________．
【解答】由已知 ，则其展开式的通项为 ，
又其二项展开式中 项的系数是 ，则令 ，即 ， ，
又 ，所以 ，故答案为： .
12．若 的展开式中 的系数为60，则实数 ________．
【解答】∵ 的展开式中含 的项为 ，
由已知 的系数为 ，∴ ．故答案为： .
13． 的展开式中 的系数是______.（用数字作答）
【解答】 ，而 的通项为 ， ，
故展开式中 的系数是 ,故答案为： .14．在 的展开式中， 的系数为____________．（结果填数字）
【解答】设 的展开式通项为 ，
当 时， ， 的系数为 ；当 时， ， 的系数为 ；
所以 的系数为 .故答案为：32
15． 展开式中含 项的系数为______.
【解答】 展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，所以含 项为 ，所以 展开式中含 项的系数为14.
故答案为：14.
16． 展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）
【解答】 展开式通项公式
，
令 ，解得 ，则 ，
所以 展开式的常数项是 .故答案为：
17． 的展开式中含 的项与含 的项系数相等，则 ___________.
【解答】由 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
因为展开式中含 的项与含 的项系数相等，可得 ，又因为 ，所以 .故答案为： .
18．已知 ，则 的值等于______.【解答】令 ，则 ；令 ，则 ，上述两式相加得
，故 ；故答案为： .
19．已知 ，则 ___________．（用数
字作答）
【解答】因为 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
又 ，二项式 的通项公式为 ，
则 ， ，所以 ．故答案为：
20． 展开式中 项的系数为________.
【解答】因为 的二项展开式为 ，
所以 项为 ，即展开式中 项的系数为12.故答案为：12.
21．已知 a>0，若 ，且 ，则a=______.
【解答】因为 ，
又 ，展开式通项为 ，
对应 的系数，故得到 ，解得 ，其系数为 或 .
又a>0，故实数a的值为2.故答案为：2.
22．若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为______.【解答】因为 的展开式中各项系数之和为 ,令 ,得 ,所以 6.
因为 展开式的通顶公式为 ,
令 ,得 ;令 ,得 ,所以展开式中 的系数为 .
故答案为：
23． 的展开式中含 项的系数为_________．
【解答】解： 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，所以展开式中常数项为 ．故答案为：
24． 的展开式中，含 的项的系数是__________．
【解答】由题意可知 中 的系数为 , 的系数为 ,
故 的展开式中，含 的项的系数是 ，故答案为：14
25． 展开式的常数项是__________．（用数字作答）
【解答】 展开式的通项公式是 ，
由 ，得 ，所以 展开式的常数项为 .故答案为：24
26．若 展开式中 的系数为 ，则 ______．
【解答】 的通项为： ，令 ，则 ，解得： .
故答案为： .27．已知 的展开式中各项系数的和为243，则这个展开式中 项的系数是__________．
【解答】在 中令 得展开式中各项系数的和为 ，求出 ．
的展开式的通项 ，令 ，得
．故答案为：80．
28．在 的展开式中，含 的项的系数为__________.
【解答】在 展开式中，第 项为 ， ，
令 ，得含有 的项的系数为 ；故答案为：135.
29．二项式 的展开式中的 项的系数为___________.
【解答】 展开式的通项为 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以二项式 的展开式中含 项的系数为 .故答案为： .
30．在 的展开式中， 的系数为________．
【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，
即 ，所以由 ，得到 ，故 的系数为 .
故答案为： .
31． 的展开式中常数项为______.【解答】 的展开式中通项为 ,
所以要使 展开式中出现常数项，需 或 ，当 时， ；当
时， （舍去），所以常数项为 ，故答案为：280.
32．在二项式 的展开式中， 项的二项式系数为__________．
【解答】因为 ， ，1，2，…，6.
令 ，得 ，所以 项的二项式系数为 .故答案为：20
33． 的展开式中 的系数为__________.（用数字作答）
【解答】由题意得 ，
因为 的展开式的通项为 ，
令 ， ，令 ， ，
所以 的展开式中 的系数为 ，故答案为： .
34． 的展开式中x的系数为___________.
【解答】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，所以展开式中x的系数为 .故答案为: .35． 的二项展开式中的常数项为______．
【解答】二项式 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，所以 ，所以展开式中常数项为 .故答案为：
36．已知二项式 的展开式中 的系数为 ，则该二项展开式中的常数项为___________.
【解答】 的展开式的通项 ，
令 ，解得 ，∴ ，解得 ，令 ，解得 ，
∴该二项展开式中的常数项为 .故答案为： .
37． 的展开式中的常数项为______.
【解答】二项式 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ， 常数项为 .故答案为： ．
38．已知 的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．
【解答】展开式的通项为 ，令 解得 ，∴ ．
∴ ．故答案为：1
39． 的展开式中的常数项为______．【解答】 的展开式的通项公式为 .
令 ，令 .则 的展开式中的常数项为
.故答案为：
40．二项式 的展开式中，常数项为_______________（用数值表示）．
【解答】由二项式定理可得 ，
显然其常数项为第三项即 ，故答案为：24
41．在 的展开式中，常数项为______________.（结果用数字表示）
【解答】 展开式通项为： ，
令 ，解得： ， ，即常数项为 .故答案为： .
42．在 的展开式中， 项的系数是______．
【解答】 展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，所以含 项的系数为 ，故答案为： ．
43． 展开式中的常数项为__________．
【解答】 展开式通项为 ，令 ，得 ，所以常数项为 ．故答案为： .
44．二项式 的常数项为__________．
【解答】 的展开式的通项公式为 ，
而 ，令 ，得 ；令 ，得 （舍）.
所以 的展开式中的常数项为 ．故答案为：
45．若在 的展开式中， 的系数为__________．（用数字作答）
【解答】 的展开式通项为 ，
令 ，可得 ，因此，展开式中 的系数为 .故答案为： .
46．已知 的展开式中x的系数为2，则实数a的值为_________．
【解答】解： 展开式的通项公式为 ，
展开式的通项公式为 ，所以 的展开式中x的系数为
，解得 ，故答案为：2
47．在 的展开式中， 的系数为__________．（用数字作答）
【解答】 的展开式通项公式为 ，
令 ，得 ，故 的系数为24.故答案为：24.48． 的展开式中， 的系数为____．
【解答】因为 ，所以 的系数为26．故答案为：26
49．已知 的展开式中 的系数为 ，则实数a的值是________.
【解答】 的通项公式为 ，所以 ，
令 ，则 的展开式中 的系数为 ；令 ，则 的展开式中 的系数为
；故 的展开式中 的系数为 , .故答案为：2.
50． 展开式中 的系数为______.
【解答】 展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，
所以含 的项的系数为 .故答案为：135.
