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专题 8.2 二项式定理的应用
一、单选题
1、(2020届山东省滨州市高三上期末) 展开式中 项的系数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的展开式通项为：
当 ，即 时，
项的系数为：
本题正确选项：
2、(2020年高考北京)在 的展开式中， 的系数为( )
A． B．5
C． D．10
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
3、(2020届山东省临沂市高三上期末) 的展开式的中间项为( )
A．-40 B． C．40 D．
【答案】B【解析】 的展开式的通项为
则中间项为 .
故选：B.
4、(2020届山东省潍坊市高三上期中) 展开式中 的系数为( )
A．-112 B．28 C．56 D．112
【答案】D
【解析】由 ．
取 ，得 ．
展开式中 的系数为 ．
故选：D.
5、(2019年高考全国Ⅲ卷理数)(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】由题意得x3的系数为 ，故选A．
6、(2020年高考全国Ⅰ卷理数) 的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为 ( 且 )
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C.
7、(2020·吉林省吉大附中高二月考)若 的展开式中含有常数项，则 的最小值等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由题意 的展开式的 ，
令 ，得 ，当 时， 取到最小值5，故答案为C．
8、(2020届浙江省温州市高三4月二模)若 ，则
的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 展开式的通项为： ，故 ，
，
根据对称性知： .故选： .
9、(2020·河北衡水中学高三月考)已知二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系
数之比是2︰5，则 的系数为( )
A．14 B． C．240 D．
【答案】C
【解析】二项展开式的第 项的通项公式为
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得： .
解得： .
所以
令 ，解得： ，所以 的系数为 ，故选C
10、(2020·贵州省贵阳一中高三月考)在二项式 的展开式中,各项系数之和为 ,各项二项式系数
之和为 ,且 ,则展开式中常数项的值为( )
A．18 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】令 ,可得各项系数之和 ;各项二项式系数之和 ;而 =
,解得 ;所以 ,其通项 = ,令,可得展开式中常数项为 .故选C.
二、多选题
11、(2020·枣庄市第三中学高三月考)对任意实数x，有
.则下列结论成立的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对任意实数x，
有 [﹣1+2(x﹣1)]9，
∴a 22＝﹣144，故A正确；
2
故令x＝1，可得a＝﹣1，故B不正确；
0
令x＝2，可得a+a+a+…+a＝1，故C正确；
0 1 2 9
令x＝0，可得a﹣a+a+…﹣a＝﹣39，故D正确；故选：ACD.
0 1 2 9
12、(2020·山东省日照实验高级中学高三月考)对于二项式 ，以下判断正确的有( )
A．存在 ，展开式中有常数项； B．对任意 ，展开式中没有常数项；
C．对任意 ，展开式中没有 的一次项； D．存在 ，展开式中有 的一次项.
【答案】AD
【解析】设二项式 展开式的通项公式为 ，则 ，
不妨令 ，则 时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令 ，则 时，展开式中有 的一次项，故C答案错误，D答案正确。
故答案选AD
13、对于二项式 ，以下判断正确的有( )
A．对任意 ，展开式中有常数项 B．存在 ，展开式中有常数项
C．对任意 ，展开式中没有x的一次项D．存在 ，展开式中有x的一次项
【答案】BD
【解析】 展开式的通项为： ，
取 ，得到 ，故当 是 的倍数时，有常数项，故 错误 正确；
取 ，取 ， 时成立，故 错误 正确；
故选： .
14、(2021年徐州一中月考)对于 的展开式，下列说法正确的是( )
A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是-240
C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中的二项式系数之和为64
【答案】CD
【解析】
的展开式共有7项，故A错误；的通项为 ，
令 ，展开式中的常数项为 ，故B错误；
令 ，则展开式中各项系数之和为 ，故C正确；
的展开式中的二项式系数之和为 ，故D正确.
故选： .
15、已知 的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有( )
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若 为偶数，则展开式中 和 的系数相等
【答案】ACD
【解析】对于A，
令二项式中的 为1得到展开式的各项系数和为 ，
，故A正确；
对于B，
，展开式的通项为 ，
当 展开式是中常数项为：令 ,得
可得展开式中常数项为： ，
当 展开式是中常数项为：
令 ,得 (舍去)
故 的展开式中常数项为 .故B错误；
对于C，求其展开式系数的绝对值的和与 展开式系数的绝对值的和相等
，令 ，可得：
展开式系数的绝对值的和为： .故C正确；
对于D，
展开式的通项为 ，
当 为偶数，保证展开式中 和 的系数相等① 和 的系数相等，
展开式系数中 系数为：
展开式系数中 系数为：
此时 和 的系数相等，
② 和 的系数相等，
展开式系数中 系数为：
展开式系数中 系数为：
此时 和 的系数相等，
③ 和 的系数相等，
展开式系数中 系数为：
展开式系数中 系数为：
此时 和 的系数相等，
故D正确；
综上所在，正确的是：ACD
故选：ACD.
16、对于二项式 ，以下判断正确的有( )
A．存在 ，展开式中有常数项；
B．对任意 ，展开式中没有常数项；C．对任意 ，展开式中没有 的一次项；
D．存在 ，展开式中有 的一次项.
【答案】AD
【解析】设二项式 展开式的通项公式为 ，
则 ，
不妨令 ，则 时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令 ，则 时，展开式中有 的一次项，故C答案错误，D答案正确。
故答案选AD
17、已知 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为
1024，则下列说法正确的是( )
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含 项的系数为45
【答案】 BCD
【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,
又展开式的各项系数之和为1024,即当 时, ,所以 ,
所以二项式为 ,
则二项式系数和为 ,则奇数项的二项式系数和为 ,故A错误；由 可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为 与 的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项 可得 ,解得 ,故C正确；
由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,故D正确,
故选: BCD
三、填空题
18、(2020年高考全国III卷理数) 的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
【解析】
其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
19、(2020届山东省日照市高三上期末联考)二项式 的展开式中的常数项是_______.(用数字作答)
【答案】60
【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：
令 可得 ，此时 .
20、(2020·全国高三专题练习(理))在 的展开式中,含 项的系数是_______.
【答案】280
【解析】
的展开式中： ，
取 得到 项的系数为
故答案为：
21、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)在 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则
展开式中的常数项是 ．
【答案】7
【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得 ，
，令 ，可得常数项为7.
22、(2019年高考浙江卷理数)在二项式 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的
个数是__________．
【答案】
【解析】由题意， 的通项为 ，当 时，可得常数项为
；若展开式的系数为有理数，则 ，有 共5个项．故答案为： ， ．
23、(2020届山东省德州市高三上期末) 的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.
【答案】
【解析】
的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，所以，展开式中的常数项为 ；
令 ，令 ，即 ，
解得 ， ， ，因此，展开式中系数最大的项为 .
故答案为： ； .
24 、 (2020 年 高 考 浙 江 ) 二 项 展 开 式 ， 则 _______ ，
________．
【答案】80；122
【解析】 的通项为 ，令 ，则 ，故 ；
.
故答案为：80；122.
1
(x3 )4
25、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)二项式 x 的展开式中，常数项为______，所有项的系数之
和为______．【答案】4 16
【解析】
r
(x3 1
x
)4
的展开式的通项
T
r1
C
4
r x34r
1
x
C
4
rx124r
，
令124r 0，解得r 3，
C3 4
则常数项为 4 ；
1
(x3 )4
114
16
二项式 x 中，令x1，得到 ，
则所有项的系数之和为16.
故答案为：4；16.
25、(2020届浙江省绍兴市高三4月一模)已知 ，
则 _____， _______.
【答案】0 665
【解析】
因为 ，
令 可得： .
所以： ；
；
；
；
……
；；
故 .
故答案为：0，665.
27、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)已知多项式
，则 _________， _________.
【答案】4 16.
【解析】令 ，得 ，
设 ，则 ，
则多项式等价为 ，
则 为一次项 的系数，则 ，
故答案为：4，16.
28、(2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学)若二项式 的展开式中各项系数之和
为108，则 ________，有理项的个数为________．
【答案】2 4
【解析】
中令 可得 ，可得 ．
中只有一项为有理项，因此展开式中
有理项是4个．
故答案为：2；4.
29、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)已知多项式 满足，则 _________， __________．
【答案】
【解析】∵多项式 满足
∴令 ，得 ，则
∴
∴该多项式的一次项系数为
∴
∴
∴
令 ，得
故答案为5，72
四、解答题
30、(2020·湖北省江夏一中高二月考)已知二项式 的展开式中第2项与第3项的二项
式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：
(1)求 的值；
(2)求展开式中常数项；
(3)计算式子 的值.
【解析】(1)依题意， ，即 ，解得 ；
(2)由(1)知 ，∴ ，
，由 ，得 ， 展开式中常数项 ．
(3)令 得 ．
31、(2019年高考江苏卷理数)设 ．已知 ．
(1)求n的值；
(2)设 ，其中 ，求 的值．
【解析】(1)因为 ，
所以 ，
．
因为 ，
所以 ，
解得 ．
(2)由(1)知， ．
．
解法一：
因为 ，所以 ，
从而 ．解法二：
．
因为 ，所以 ．
因此 ．
32、(2020·江苏省南京师大附中高二)已知 ， ．记
．
(1)求 的值；
(2)化简 的表达式，并证明：对任意 的， 都能被 整除．
【解析】由二项式定理，得 ；
(1) ；
(2)因为 ，
所以
，
，因为 ，所以 能被 整除.
