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考点 20 椭圆（核心考点讲与练）
1.椭圆的定义
平面内与两定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭
1 2 1 2
圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|FF|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
1 2 1 2
(1)若 a ＞ c ，则集合P为椭圆；
(2)若 a ＝ c ，则集合P为线段；
(3)若 a ＜ c ，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
性质范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A(－a，0)，A(a，0)， A(0，－a)，A(0，a)，
1 2 1 2
顶点
B(0，－b)，B(0，b) B(－b，0)，B(b，0)
1 2 1 2
轴 长轴AA 的长为 2 a ；短轴BB 的长为 2 b
1 2 1 2
焦距 |FF|＝ 2 c
1 2
离心率 e＝∈ (0 ， 1)
a，b，c的关系 c2＝ a 2 － b 2
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|FF|，避免
1 2
了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定
量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的
标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解
参数、计算弦长、表达函数.
4.求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一
元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
椭圆的定义
一、单选题
1．（2022·内蒙古通辽·二模（理））椭圆 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，
若 的周长为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程可得 ，再结合三角形周长，得 ，进而可得离心率.
【详解】因为 ，所以 .
因为 的周长为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的离心率为 ，故选：B.
2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知 分别是椭圆 和双曲线 的公共的左右焦点，
是 的离心率，若 在第一象限内的交点为 ，且满足 ，则 的关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定 ，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
3.（2021广东省深圳市高级中学等九校联考）已知椭圆 的左、右焦点分别是 、
，离心率为 ，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】依题意可得 ，根据椭圆的定义可得 ，即可得到 为等边三角形，从而得到 ，即可得到直线 的斜率；
【详解】解：依题意 ，即 ，又 ， ， ，所以
，所以 为等边三角形，即 为椭圆的上顶点，所以 ，所以
故选：B
二、多选题
4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，左右顶点分别为 ，
．P是椭圆上异于 ， 的点，则下列说法正确的是（ ）
A． 周长为4 B． 面积的最大值为
C． 的最小值为 D．若 面积为2，则点P横坐标为
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得 面积最大值判断B，由
可判断C，由三角形面积求得 点坐标后可判断D．
【详解】由题意 ， ， ，短轴一个端点 ，对于A，由题知 ，故 周长为 ，故A错误；
对于B，利用椭圆的性质可知 面积最大值为 ，故B正确；
对于C， ，设 ，从而 ,所以
，故C正确；
对于D，因为 ， ，
则 ， ，故D错误．
故选：BC．
5．（2022·山东济宁·二模）设椭圆C： 的左､右焦点分别为 ､ ，上､下顶点分别为
､ ，点P是C上异于 ､ 的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若C的离心率为 ，则直线 与 的斜率之积为
B．若 ，则 的面积为C．若C上存在四个点P使得 ，则C的离心率的范围是
D．若 恒成立，则C的离心率的范围是
【答案】BD
【分析】A. 设 ， ，所以该选项错误；
B. 求出 的面积为 所以该选项正确；
C. 求出 ，所以该选项错误；
D. 若 恒成立，所以 ，所以该选项正确.
【详解】解：A. 设 ，所以 ，因为 ，
所以 .所以 ，所以该
选项错误；
B. 若 ，则 所以 则 的面积为
所以该选项正确；
C. 若C上存在四个点P使得 ，即C上存在四个点P使得 的面积为 ，所以
，所以该选项错误；
D. 若 恒成立，所以 ，所以 ，所
以该选项正确.
故选：BD三、填空题
6．（2022·宁夏·银川一中二模（文））已知椭圆C： 的左焦点为 ， 为椭圆C上任意一点，
则 的最小值为______．
【答案】1
【分析】由题知 ，故 ，进而得 的最小值为 .
【详解】解：由椭圆C： 知： ，故 ，
所以 ，
所以， 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题
7．（2022·江西景德镇·三模（文）） 是椭圆 的右焦点，其中 .点 、
分别为椭圆 的左、右顶点，圆 过点 与坐标原点 ， 是椭圆上异于 、 的动点，且 的周
长小于 .
(1)求 的标准方程；
(2)连接 与圆 交于点 ，若 与 交于点 ，求 的取值范围.【答案】(1) (2)
【分析】（1）由已知可得出 ，由椭圆的定义结合三点共线可得出 的周长小于 ，可得出关
于 的不等式，结合 可求得 ，即可求得 、 的值，由此可得出椭圆 的标准方程；
（2）设 ，可得出 ，求出点 、 的横坐标，利用三角形的面积公式可得出 关
于 的表达式，结合 可求得结果.
(1)解：因为圆 过点 与坐标原点 ， .
设 的左焦点为 ，则 的周长
，
所以， ，则 ，且 ，故 ，所以， ， .
因此，椭圆 的坐标方程为 .
(2)解：设 ，其中 ，其中 ，且 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
同理可知直线 的方程为 ，
又 ，所以，直线 的方程为 .
联立直线 、 的方程 ，
可得 ，解得 ，联立直线 、 的方程 ，
可得 ，解得 .
所以，
.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
椭圆的标准方程
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆C： 的右焦点为 ，右顶点为A，O
为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则
C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】待定系数法去求椭圆C的方程【详解】由椭圆方程可知 ，由四边形OMAN是正方形可知 ，
又点M在椭圆C上，则有 ，解得 ，
又椭圆C的右焦点为 ，则 ，
结合椭圆中 ，解得 ， ，则椭圆C的方程为 .
故选：A
2.（2021福建省莆田市第十五中学二模）阿基米德(公元前 年—公元前 年)不仅是著名的物理学家，
也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若
椭圆 的对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 则椭圆 的方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为 ，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积
列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案．
【详解】解：由题意，设椭圆C的方程为 ，
因为椭圆 的离心率为 ，面积为 ，
所以 ，解得 ，所以椭圆C的方程为 ，
故选：A.
二、多选题
3．（2022·辽宁·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， （如图），离心
率为 ，过 的直线 垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线 交E于点B（异于点A），则
下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为
B． 的周长为4a
C．若 的面积为12，则椭圆E的方程为
D． 与 的面积的比值为
【答案】BCD
【分析】根据椭圆方程的求解以及椭圆的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对 ：若椭圆E的焦距为2，则 ，由离心率 ，则 ，
所以 ，则短轴长为 ，故A错误；
对B：根据椭圆的定义， 的周长为4a，故B正确；对 ：由 ，故可得 ， ，所以椭圆的方程可写为 ，
易知 ，则 ，则 ，
所以 ， ， ，则椭圆E的方程为 ，故C正确；
对 ：因为 ，所以 ，过点B作 ，
则 ， ，即 ，
设 ， ， ，则 ，
代入椭圆方程 ，整理得 ，
解得 或 （舍），
所以 ，故 正确.
故选：BCD．
4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，用一个与圆柱底面成 角的平面截圆柱，截面是一个
椭圆.若圆柱的底面圆半径为2， ，则（ ）A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长 ， ，再逐项计算、判断作答.
【详解】设椭圆的长半轴长为 ，短半轴长为 ，半焦距为 ，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆
直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角 得： ，解得 ，A不正确；
显然 ，则 ，离心率 ，B正确；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程 ，
C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 ，D正确.
故选：BCD
5．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆E的方程为 ，离心率为 ，为E上一点，过点A作两条直线分别与E交于B，C两点，且直线AB与直线AC的倾斜角互补，则
下列结论正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为
B．直线BC的斜率为定值
C．点O到直线BC的距离为定值
D．若 ，则直线BC的方程为
【答案】BD
【分析】对于选项A，利用点在曲线上和椭圆离心率公式及椭圆中 的关系即可求解.
对于选项B，设出直线AB的方程与椭圆联立，消去 ，得关于 的一元二次方程，利用韦达定理写出横坐
标的关系，进而得到点B的横坐标，代入直线AB求出点B纵坐标，利用已知条件写出点C的坐标，利用
两点求斜率公式即可求解.
对于选项C，设出直线BC的方程，利用点到直线的距离公式即可求解.
对于选项D，联立直线BC与椭圆的方程, 消去 ，得关于 的一元二次方程，利用韦达定理写出横坐标的
关系，由 ，利用两直线垂直的充要条件即可求解.
【详解】对于选项A，由题意得 ， ，结合 ，得 ， ，所以椭圆E
的长周长为 ，故A错误.
对于选项B，由A得椭圆E的方程为 ，设 ， ，由题意知直线AB的斜率存在
且不为0，设直线AB的方程为 ，与椭圆的方程联立，
得 ，
则 ，得 ， ，即 .因为直线AB与直线AC的倾斜角互补，所以直线AC的斜率为﹣k，同理可得 ，
故直线BC的斜率 ，为定值，故B正确.
对于选项C，由B知可设直线BC的方程为 ，则原点O到直线BC的距离 ，不是定值，
故C错误.
对于选项D，联立直线BC与椭圆的方程，得 ，
整理得 ， ，即 ，则 ， ，
由 ，得 ，整理得 ，得
， ，此时直线BC的方程为 ，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
6．（2022·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)， ，
，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数 ，使得 ，
则顶点C的轨迹方程为________．
【答案】
【分析】设 ，先说明 是 的重心，点 为 的内心，求出 ，得到
即得解.【详解】解：设 ，因为 ，所以 是 的重心，
因为 ，所以 ，
所以 , 所以点 在 的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点 为 的内心.
所以点 ，即 ，
又 ，所以 与 轴平行，又 ，
所以 ,
所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，，
当 是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当 是椭圆的短轴的端点时， 与已知存在非零实数 ，使得 矛盾，所以不能取到椭圆的
短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为 .
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：
四、解答题
7．（2022·山东泰安·二模）已知椭圆C： 过点 ，过其右焦点 且垂直于x轴
的直线交椭圆C于A，B两点，且 ．
(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l： 与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得
∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)存在定点 ，
【分析】（1）直接由椭圆C过点 和 解方程即可；
（2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出 ，
由 解出点P的坐标即可.
(1)由题知，椭圆C过点 和 ，
所以 ，解得
所以椭圆C的方程为 ．
(2)假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设 ， ，
由 ，得 ，∴ ，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF
，
∴
∴ 恒成立
∴ ，解得
∴
∴存在定点 ，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到 ，表
示出 ， ，联立直线和椭圆后，由韦达定理及 建立方程解出点P的坐标即可.8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知椭圆 的离心率 ，且
点 ， 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆 上，且在椭圆位于x轴上方的部分，直线 与
轴交于点 ，点 是 轴上一点， ，直线 与椭圆 交于点 ，若 的面积为 ，求直线
的方程．
【答案】(1) (2) 或
【分析】（1）由题意列方程组 ，求出 ，即可得椭圆C的方程；
（2）先设直线 的方程为 ( )，求出 的坐标，再由题设得到直线 的方程为 ，
求出 的坐标，由面积 求出
的值，即可得到直线 的方程
（1）由已知，有 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 ；
(2)由（1）知， ， .设直线 的方程为 ( )，则 ，
直线 与椭圆C的交点 满足方程组 ，
消去y得到 ，
解得 .
设 ，由题意，
有 ，解得 .
进而得到直线 的方程为 ，
其与椭圆C的交点 满足方程组
消去x得到： ，
解得 ，进而 .
，
点G到直线 的距离为 .
因此， ，
化简得 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或椭圆的几何性质
1.（2021天津市第二中学高三上学期期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
过 的直线与椭圆交于A，B两点，若 ，则椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题设易知 ，设 有 ，应用勾股定理得到关于 的方程，利用方
程有解，结合判别式构造不等式求椭圆离心率e的取值范围.
【详解】由题设，知： ，若 ，则 ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，可得 ，又 ，
∴ .
故选：D
直线与椭圆的位置关系
1.（2022北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆 的左､右顶点分别为A，B，右焦点
为F，直线 .（1）若椭圆W的左顶点A关于直线 的对称点在直线 上，求m的值；
（2）过F的直线 与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线 与直线 相交于点
M，求证：A，D，M三点共线.
【答案】（1） （2）证明见解析.
【分析】(1)设点A关于直线对称的点为 ，根据题意可得 的中点 在直线上且 ，
列出方程组，解方程组即可；
(2)对直线斜率是否存在分类讨论，当直线CD斜率k不存在时，求出点A、M、C、D坐标，
利用 可证得A、D、M三点共线；当直线CD斜率存在时，设直线
： ， ，与椭圆方程联立方程组，消y得到关于x的一元二次方
程，将 表示为含有k的算式，得出 即可.
（1）由题意知，
直线 的斜率存在，且斜率为 ，
设点A关于直线 对称的点为 ，则 ，
所以线段 的中点 在直线 上，又 ， ，
有 ，解得 或 ，
所以 ；
（2）已知 ，
当直线 的斜率不存在时， ：x=1，此时 ，有 ，所以直线 ，当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即A、D、M三点共线；
当直线 的斜率存在时，设直线 ： ，
则 ，得 ，
，
设 ，则 ，
直线BC 的方程为 ，令 ，得 ，
所以直线AD、AM的斜率分别为 ，
，
上式的分子
，
所以 ，即A、D、M三点共线.综上，A、D、M三点共线.
【规律方法技巧】直线与椭圆的位置关系问题，一般需要联立方程组、用判别式、韦达定理.证明三点共线
可以利用直线的斜率相等或向量共线处理.
2.（2021四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三上学期期中）已知椭圆C： (a>b>0)的左顶点
为A，右焦点为F，过点A作斜率为 的直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB⊥OB，O为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，
①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；
②点M满足2 ＝ ，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求 的值.
【答案】（1） ； （2）①－ ；②
【分析】（1）根据题意可得 点坐标，代入椭圆方程，结合 ，进而可得离心率 ；
（2）①由（1）可得椭圆的方程，写出直线 方程，设 ， ， ， ，联立直线 与椭圆 的方
程，可得关于 的一元二次方程，由韦达定理可得 ， ， ，再计算 ，即可
得答案；
②设点 ， ，由 ，可得 ，再由 ，推出点 坐标，
再用坐标表示 ， ，求出 点坐标，把点 ， ， 代入椭圆方程，化简即可得答案．
【小问1详解】
解：已知 ， ， ，则 ， ，代入椭圆 的方程有 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
【小问2详解】
解：①由（1）可得 ， ，所以椭圆的方程为 ，
设直线 ， ， ， ， ，
联立直线 与椭圆 的方程 ，得 ，
所以△ ， ， ，
所以 ，
所以 ．
②设点 ， ， ，则 ，
又因为 ，所以点 ， ，
所以 ， ， ， ，
则 ，所以 ，即 ，
因为点 ， ， 在椭圆上，所以 ， ， ， ，
所以 ，
由①可知 ，
所以 ，则 ，
所以 ．
1.（2021年全国高考乙卷）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（
）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【分析】设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，
然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数
的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的
长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量
的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
2.（2021年全国高考乙卷）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，
再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由
可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，
显然该不等式不成立．
故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论
函数的单调性从而确定最值．
3.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
【 分 析 】 本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到 ， 借 助 基 本 不 等 式
即可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，
或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
4.（2021年全国高考甲卷）已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点
对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．
【答案】
【分析】根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四
边形 面积等于 ，即可求解.【详解】因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
一、单选题
1．（2022·安徽·模拟预测（理）） ､ 是椭圆 的左､右焦点，点 为椭圆 上一
点，点 在 轴上，满足 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由 可解得 ，然后利用角平分线的性质可求得
；在 中利用余弦定理 即可求出离心率
的值.【详解】由题意可设 ， ， ， （ ）；
则： ，
，
由 可得： ，解得 ，即 ；
由 可知 是 的角平分线，
可得： ，
又 ，则 ；
在 中： ，解得 ；
故选：A
2．（2022·湖北武汉·二模）若椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】分 和 ，利用离心率的定义求解.
【详解】解：当 ，即 时，则 ，解得 ；
当 ，即 时，则 ，解得 ，综上： 的值为 或 ，
故选：C
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆 焦点相同的椭圆是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的简单几何性质：“焦点跟着大的走”，椭圆 的焦点在 轴上，且 ，
得出椭圆 的焦点坐标为： ，依次判断各个选项即可.
【详解】由题意得，椭圆C中 ， ， 即焦点坐标为 和 ；
对于A选项，椭圆焦点在 轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在 轴上， ， ， ，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在 轴上， ， ， 不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在 轴上， ， ， ，满足题意；
故答案为：D.
4．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为 ， ，直线AB过 与该椭圆交于A，B两
点，当 为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】设正三角形 的边长为 ，设椭圆的标准方程为： ，设左、右焦点分别为 ，
设 ，则有 ，
由椭圆的定义可知： ，
，解得： ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
故选：B
5．（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继
星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆
轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则
“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 ，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四
号”到月球表面最远的距离.
【详解】椭圆的离心率 ，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为
则
故选：B二、多选题
6．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线 ： ，焦点为 ､ ， ，过 的直线
与 交于 两点，则下列说法正确的有（ ）
A． 是 的一条对称轴
B． 的离心率为
C．对C上任意一点P皆有
D． 最大值为
【答案】ABD
【分析】根据点点 关于直线 对称的点的坐标为在曲线 判断A；根据点
关于直线 对称点 在曲线 得该曲线为椭圆，对称轴为直线 和直线 ，进而
求顶点坐标，进而求离心率判断B；结合C选项求焦点坐标，验证 判断C；设直线 方程为
，与椭圆方程联立，结合韦达定理，二次函数最值求解 判断D.
【详解】解：对于A选项，设点 是曲线 上的任意一点，其关于直线 对称的点的坐标为
，代入曲线 方程 满足，故 是 的一条对称轴，正确；
对于B选项，由于点 是曲线 上的任意一点，其关于直线 对称点 亦在曲线 上，且该曲线是封闭的曲线，
故该曲线为椭圆，其对称轴为直线 和直线 ，且椭圆中心为坐标原点，
故其顶点坐标为： ， ， ，
由于点 到椭圆中心的距离为 ， 到椭圆中心的距离 ，
所以椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，
所以椭圆的焦距为 ，故其离心率为 ，故正确；
对于C选项，由B知，半焦距为 ，且焦点 ､ 在直线 上，故焦点坐标为
，
故 ，故错误；
对于D选项，由题知直线 斜率存在，故设方程为 ，
则联立方程得 得 ，
故 ，即 或 ，
设 ，则 ，
所以 ，
到直线 的距离为 ，所以
令 ，由于 得 ，故 ，
所以 ，
所以，当 时， 取得最大值， ，故正确.
故选：ABD
7．（2022·重庆·模拟预测）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫
尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系 内，对于任
意两点 、 ，定义它们之间的“欧几里得距离” ，“曼哈顿距
离”为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 为线段 上任意一点，则 为定值
B．对于平面上任意一点 ，若 ，则动点 的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点 、 、 ，都有
D．若 、 为椭圆 上的两个动点，则 最大值为
【答案】AC
【分析】利用题中定理可判断A选项；作出点 的轨迹图形，求其周长可判断B选项；利用绝对值三角不
等式可判断C选项；设点 、 ，不妨设 ， ，利用辅
助角公式结合正弦型函数的有界性可判断D选项.
【详解】对于A选项，设点 为线段 上任意一点，则 ，A对；
对于B选项，设点 ，则 ，
当 ， 时，则 ；当 ， 时，则 ；
当 ， 时，则 ；当 ， 时，则 .
作出点 的轨迹如下图所示：
由图可知，点 的轨迹是边长为 的正方形，故动点 的轨迹长度为 ，B错；
对于C选项，设点 、 、 ，
由绝对值三角不等式可得 ，
同理可得 ，
所以， ，即 ，C对；
对于D选项，设点 、 ，
不妨设 ， ，
则
，其中 为锐角，且 ，
取 ， ，等号成立，D错.
故选：AC.8．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为 ，短轴长为 ，两个焦点为 ，点 为椭圆上一点，
记 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的周长与点 的位置无关
B．当 时， 的面积取到最大值
C． 的外接圆半径最小为
D． 的内切圆半径最大为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的定义、椭圆离心率的意义，结合正弦定理和内切圆的性质逐一判断即可.
【详解】由椭圆定义知， 的周长为 ，故A正确；显然当 位于短轴端点时 的面积最
大，由 知此时 ，故B错误；由正弦定理知外接圆直径 ，由 知 最大为钝角，故
时 取最小值 ，故 的最小值为 ，故C正确；设内切圆半径为 ，由
知， 越大则 越大， ，故
，
故选：ACD
9．（2022·全国·模拟预测）双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C上.若 是直
角三角形，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】AC【分析】根据双曲线方程求出 ，再根据对称性只需考虑 或 .当 时，将
代入双曲线方程，求出 ，即可求出三角形面积，当 时，由双曲线的定义可知 ，
再由勾股定理求出 ，即可得解；
【详解】解：由双曲线 可得 .根据双曲线的对称性只需考虑
或 .
当 时，将 代入 可得 ，所以 的面积为 .
当 时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得 .
因为 ，
所以 ，此时 的面积为
综上所述， 的面积为4或 .
故选： .
三、填空题
10．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆 的左焦点为F，A为C上一
点，AF与x轴垂直．若 的面积为 ，则C的离心率为__________．
【答案】 ##0.5【分析】根据 求解即可.
【详解】由题知： ，解得 ，即 .
故答案为：
11．（2022·湖南衡阳·二模）已知椭圆 与双曲线 有相
同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的
交点，且 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设 ，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得 ，设
，则可得 ，然后根据正弦函数的性质可得其范围
【详解】解：设 ，
由椭圆的定义得 ①，
由双曲线的定义得 ②，
① ② 得， ，
① ② 得， ，
由余弦定理可得 ，所以 ③，
设 ，则 ，解得
所以 ，
当 时， 最大值为 时， 的值为2，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
12．（2022·江苏·南京市第一中学三模）椭圆 ： 的左、下顶点分别为 ， ，右焦
点为 ， 中点为 ， 为坐标原点， 交 于点 ，且 ， ， 三点共线，则 的离心率为
____________．
【答案】 ##
【分析】由题得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，进而联立方程得 ，
再结合 在曲线 上得 ，即 ，再解方程即可得答案.
【详解】解：由题知 ， ， ，
所以，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
因为 交 于点 ，且 ， ， 三点共线，所以，联立方程 解得 ，即 ，
由于点 在曲线 上，
所以， ，整理得 ，
所以 ，解得 ，即 的离心率为 .
故答案为：
13．（2022·江苏·海安高级中学二模）如图，F，F 是平面上两点，|FF|＝10，图中的一系列圆是圆心分
1 2 1 2
别为F，F 的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．
1 2
请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F，F 为焦点；
1 2
②恰经过A，B，C中的两点．
【答案】5（或 ）（答案不唯一）
【分析】根据已知条件结合圆锥曲线的定义，分过A，C两点和过B，C两点两种情况求解即可
【详解】因为 ，若过A，C两点，则由题意得 ，
此时离心率 ．
若过B，C两点，则由题意得 ，
此时离心率 ．
故答案为：5（或 ）（答案不唯一）
14．（2022·天津市第四中学模拟预测）设椭圆 的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为
B， 是等边三角形.
（1）椭圆的离心率为___________；
（2）设直线 ： ，过点 且斜率为 的直线与椭圆交于点 （ 异于点 ），线段 的垂直
平分线与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，若 .
（i） ___________；
（ii）已知点 ，点 在椭圆上，若四边形 为平行四边形，则椭圆的方程___________.
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质和离心率公式，即可求出，设椭圆方程为 ，联立方程组，求出
点 ， ，即可求出点 的坐标，根据弦长公式，结合 ．即可求出 的值，根据四边形
为平行四边形，可得 ，即可求出椭圆方程．
【详解】解：由题意可知， ，
，．
．
，
设椭圆方程为 ，
联立 得 解得： ，则 ，
为 中点，
，
所以 ，
则 所在的直线方程为 ，
令 ，
解得 ，
，
，
解得 或 （舍 ．
直线 的斜率为1．
，
设 ， ，
四边形 为平行四边形，
，
， ， ，即 ，
又 点 ， 在椭圆上， ，
解得 ，
，
该椭圆方程为： ．
故答案为： ； ；
15．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知曲线 的焦距为8，则 ___________.
【答案】25或
【分析】由题意知半焦距 ，再分 ， 讨论求解.
【详解】解：由题意知半焦距 ，
当 时，则曲线C为椭圆，又 ，
所以 ；
当 时，曲线C为双曲线，
所以 ，
所以 .
故a的值为25或 .
故答案为：25或
四、解答题
16．（2022·湖南衡阳·二模）设椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 .已知椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程；(2)设 为椭圆 上异于点 的两动点，若直线 的斜率之积为 .
①证明直线 恒过定点，并求出该点坐标；
②求 面积的最大值.
【答案】(1) (2)①证明见解析，定点 ；②
【分析】（1）由题意可得 ， ，再结合 ，可求出 ，从而可求得椭圆的方
程，
（2） ①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程中消去 ，利用根与系数
的关系，再结合 化简可得 ，从而可得 或 进而可
求出定点，当直线 的斜率不存在时，若直线 过定点 ，求出 两点坐标，求解 即可，
②设直线 过定点 为 ，则 的面积 ，直线 的方程为
，代入椭圆方程中，消去 ，利用根与系数的关系，从而可表示出 ，化简换元后利用基本不等
式可求得结果
(1)由于 ，①
又 ，②
由①②解得 ，
椭圆的方程为 .
(2)①在（1）的条件下，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 ，消去 得： ，设 ，则 ，.
又 ，由题知 ，
则 ，且 ，
则 .
，
则 ，
或
当 时，直线 的方程为 ，
此时直线 过定点 ，显然不适合题意，
当 时，直线 的方程为 .
此时直线 过定点 .
当直线 的斜率不存在时，若直线 过定点 ，
点的坐标分别为 .
满足 .
综上，直线 过定点 .
②不妨设直线 过定点 为 .则 的面积 ，
设直线 的方程为 ，联立椭圆的方程 消去 得 ，
则所以 .
令 ，则
因为 ，所以 （当且仅当 即 ），
所以 ，即 面积的最大值为 .
17．（2022·广东韶关·二模）已知P是离心率为 的椭圆 上任意一点，且P到
两个焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP交y轴于点D，E为线段AP的中点，在x轴上是否存在定点M，使
得直线DM与OE交于Q，且点Q在一个定圆上，若存在，求点M的坐标与该圆的方程；若不存在，说明
理由．
【答案】(1) (2)存在，
【分析】（1）由椭圆定义和离心率可得答案；
（2）设存在定点 ，设出直线AP的方程为 ．联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理
可得直线OE的方程、直线DM方程，再联立两个方程可得答案.
(1)因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故椭圆方程为： ．
(2)设存在定点 ， 满足条件．由已知 ，
设直线AP的方程为 ，由 消去y整理得 ，
，
所以 ， ，
时， ，
所以直线OE的方程为 ，①
由 中，令 ，得 ，从而 ，
又 ，所以 ，
所以直线DM方程为 ，②
由①②消去参数k，得 ，即 ，③
方程③要表示圆，当且仅当 ，此时圆的方程为 ，
时， 在上述圆上，
所以存在定点 使直线DM与OE的交点Q在一个定圆上，
且定圆方程为： .
18．（2022·河北唐山·二模）已知椭圆 的右焦点为F，椭圆 ．(1)求 的离心率；
(2)如图：直线 交椭圆 于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证： ；
②若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1) (2)①证明过程见解析；② .
【分析】（1）直接将椭圆 转化成标准方程，然后代入离心率公式即可；
（2）分别求出 、 的中点坐标，得出中点重合即可证明①；对于②，分别求出 被椭圆截得的弦长
以及 到 的距离，得出面积表达式，通过变形式子求出最值.
(1)椭圆 的标准方程为： ，
则椭圆 的离心率为
(2)对于①，设 ， ， ， ，
直线 与 联立整理得
则
则 的中点坐标同理可知 的中点坐标 .
所以 与 中点重合，故 .
对于②，由①知，直线 被椭圆截得弦长为
把 代入得，
把 代入得，
到 的距离为 ，
则 面积为：
当 时， 的面积最大值是 .
【点睛】本题考查离心率的求法，考查弦长公式、中点坐标公式、面积公式等几何关系的应用，解析几何
解题时应注重几何关系的寻找，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题.
19．（2022·广东·二模）已知椭圆C： ，点 为椭圆的右焦点，过点F且斜率不
为0的直线 交椭圆于M，N两点，当 与x轴垂直时， ．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2) ， 分别为椭圆的左、右顶点，直线 ， 分别与直线 ： 交于P，Q两点，证明：四边形为菱形．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1） 与x轴垂直时M的坐标代入椭圆方程和 联立可得答案；
（2）设 的方程为 ， ， ，与椭圆方程联立，由韦达定理得直线 的方程、
直线 的方程，再由 求出 、 ，可证得 可得答案．
(1)由题可知 ．
当 与x轴垂直时，不妨设M的坐标为 ，
所以 ，
解得 ， ．
所以椭圆C的标准方程为 ．
(2)设 的方程为 ， ， ，
联立得 消去x，得 ，
易知 恒成立，由韦达定理得 ， ，
由直线 的斜率为 ，得直线 的方程为 ，
当 时， ，由直线 的斜率为 ，得直线 的方程为 ，
当 时， ，
若四边形 为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证 ，
因为 ，
代入韦达定理得
，
所以 ，即PQ与 相互垂直平分，所以四边形 为菱形．
