9.3 抛物线考点一 抛物线定义及应用
【例1-1】（2024·广东佛山·模拟预测）设 为抛物线 的焦点，点 在 上，且在第一象限，若直线
的倾斜角为 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点 作 垂直准线于点 ，
过焦点 作 垂直于 于点 ，由题意可知 ，
根据抛物线的定义
在 中， ，又 ，
所以 ，
解得 .
故选：C.
【例1-2】（2024·四川·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点， 为坐标原点，
，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，设 ，则 ，解得 或 （舍去），
则 ．
故选：B．
【例1-3】（2024高三·全国·专题练习）已知 是抛物线 上的点， 是圆 上的点，则
的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图，抛物线上点P(x,y)到圆心 的距离为 ，
因此 ，当 最小时， 最小，
而 ，
当 时， ，因此|PQ)的最小值是 ．
故选：A.
【例1-4】（2024·河北沧州·一模）已知点 为抛物线 上一点，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为M，N，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，设 ，则
当 时， ，此时 最大， 最小，
且 .
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·山东潍坊·一模）已知抛物线 上点 的纵坐标为1，则 到 的焦点的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】抛物线 的准线方程为 ，
又点 在抛物线上且纵坐标为 ，所以点 到 的焦点的距离为 .
故选：B
2．（2023·四川德阳·一模）已知点 在曲线 上，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 可看作P(x,y)到直线 的距离，可看作P(x,y)到点A(0,−1)的距离，
如图所示，
联立 与 得， ，
则 ，此时 ，解得 ，故 ，
故 与 相切于点B(−2,1)，
此时 取得最小值，最小值为0，
当 不与 重合时，过点 作 ⊥ 于点 ，
则 ，
数形结合可知，当 运动至(2,1)时， ，
此时 取得最大值，最大值为 ，
故 的取值范围是 .
故选：D
3（2024四川泸州·期末）已知抛物线 的焦点为F，点P在C上，若点 ，则 周长的最小
值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解析】 ，故 ,记抛物线 的准线为 ，则 ： ，
记点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
则 .
故选：A.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，圆
，点 ，若点 分别在 上运动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为焦点 到准线的距离为2，所以 ，所以抛物线 ，
所以圆 的圆心 恰好在焦点 处，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以，
当 ，即 时， 取得最小值，最小值为 .
故选：D.
考点二 弦长、中点弦及焦点弦
【例2-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，直线 过
其焦点 且与 交于 两点，若直线 的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图作 垂直于准线，垂足为 ，可知设 ，
直线 的斜率为 得， ，
则 ，由勾股定理得： ，即 ，化简得： ，解得 ，
再设过焦点 的直线 为y=k(x−1)与抛物线 联立消元得：
，设交点A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ，
而 ，
当 时，解得 ，此时 ，
当 时，解得 ，此时 ，
故选：D.
【例2-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线与抛物线 相交于 ，
两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ， ，
由题意可知直线 的斜率存在，故设其方程为 ，
联立 与 可得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，故 ，
1 1 2 2
因此 ，当且仅当 时取等号，故选：C
【一隅三反】
1．（2024·河北沧州·三模）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 经过点 与抛物线
交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】设直线 的方程为 ，设 的坐标分别为
联立直线 与抛物线 的方程，得 ，消去 ，得 .
则 .
， .
故选：C.
2．（2024·陕西·模拟预测）设O为坐标原点，直线 过抛物线 （ ）的焦点，且与
交于 两点， 为 的准线，则（ ）
A． B．
C． 的面积为 D．以 为直径的圆与l有两个交点【答案】C
【解析】对于A，当 时， ，所以抛物线的焦点为 ，所以 ，得 ，所以A错误，
对于B，由选项A可知 ，设 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，所以B错误，
对于C，点 到直线 的距离为 ，由选项B可知 ，
所以 的面积为 ，所以C正确，
对于D，抛物线的准线为 ，设线段 的中点为 ，则 ，
则点 到准线 的距离为 ，
所以以 为直径的圆与准线 相切，所以以 为直径的圆与准线 只有一个交点，所以D错误，
故选：C
3．（2024·陕西·三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 且斜率为 的直线与 交
于 两点， 为 的中点，且 于点 的垂直平分线交 轴于点 ，四边形 的面积为
， （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知， ，直线 的方程为 ．
设 ，由 ．得 ．
所以 ，所以 ．由 ，得 ．
如图所示，作 轴于点 ，则 ．
因为 ，故 ，
，又 ，
故 ．又 ，得四边形 为平行四边形．
所以其面积为 ，解得 ．
故答案为： ．
4．（2024·天津·模拟预测）双曲线 和抛物线 （ ）的公共焦点为 ，过点 的直线交抛
物线于 ， 两点，若 中点的横坐标为6，则 （ ）
A．16 B．12 C．10 D．8【答案】A
【解析】由题意可得双曲线的交点为 ，
所以 ，即 ，
设 的横坐标分别为 ，
中点的横坐标为6，即
由抛物线的焦点弦公式可得 ，
故选：A.
5．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线 焦点的直线 交抛物线于 两点，已知 ，线段
的垂直平分线交 轴于点 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点 的坐标为 ，
由题意可知：直线 的斜率不为 ，但可以不存在，且直线 与抛物线必相交，
可设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ，可得 ，即 ，
设 的中点为P(x ,y )，则 ， ，
0 0
可知线段 的垂直平分线方程为 ，
因为 在线段 的垂直平分线上，
则 ，可得 ，
联立方程 ，解得 ，
故选：B.
考点三 抛物线的实际应用
【例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物
线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．
用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点
与原点重合，如图，若抛物线C的方程为 ，平行于x轴的光线从点 射出，经过C上的点A反射
后，再从C上的另一点B射出，则 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】由抛物线C的方程为 ，可得其焦点为 ，
由于 ，故 点纵坐标为4，代入 中，即 ，
即 ，由题意知反射光线 经过点 ，则 的方程为 ，联立 ，得 ，即得 ，
故 ，
故选：C
【一隅三反】
1．（23-24高三下·广东·开学考试）跃鲤桥，为单孔石拱桥，该石拱桥内侧曲线呈抛物线型，如图．当水面宽
度为24米时，该石拱桥的拱顶离水面的高度为12米，若以该石拱桥的拱顶为坐标原点，桥面为 轴（不考虑
拱部顶端的厚度），竖直向上为 轴正方向建立直角坐标系，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图， 为水面宽， 为拱顶离水面的高度，
故 ，故 .
设抛物线的方程为： ，则 即 ，
故焦点坐标为： .
故选：A.
2．（2023·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”
的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为 ，碗盖口直径为 ，碗体口直径
为 ，碗体深 ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以碗体的最低点为原点，向上方向为 轴，建立直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为 （ ），将点 代入，得 ，
解得 ，则 ，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ，
则两抛物线在第一象限的交点为 ，代入到 ，解得 ，解得 ．
故选：C
3．（2023·辽宁锦州·模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所
示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为 ，则该杯盏的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得 ，设抛物线的标准方程为 ，
则 ，解得 ，所以抛物线的标准方程为 ，
可设 ，代入抛物线方程 ，可得 ，
所以该杯盏的高度为 cm.
故选：C.
一．单选题
1．（2023·江西九江·二模）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主
流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为 ，瓷碗的轴截面
可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为 的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内
壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为 ，则该抛物线的通径长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为 ，焦点 ， ， ，∵ ， ，∴ ，
设线段AB中点为M，则 ，
由题意知， 的最小值为6，即 ，得 ，
∴该抛物线的通径长为 .
故选：C
2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，代入抛物线 ，可得 ，
两式相减得 ，
所以直线 的斜率为 ，
又因为 的中点为 ，可得 ，
所以 ，即直线 的斜率为 .
故选：C.
3．（2024·贵州遵义）已知抛物线 的焦点为 ，点 ，若点 为抛物线上任意一点，当
取最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
设点 在准线上的射影为 ，如图，则根据抛物线的定义可知 ，
求 的最小值，即求 的最小值，
显然当 ， ， 三点共线时 取得最小值，
此时 点的横坐标为 ，则 ，解得 ，即 .
故选：D.
4．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线 ，过点 的直线 与 相交于A，B两点，且 为弦
AB的中点，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．−2
【答案】D
【解析】：设 ，
因为直线 与 相交于A，B两点，所以 ，
由题意得 ，
故选：D
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知抛物线 ，过动点 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线 相
切于点 ，则 面积的最小值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B【解析】设 ，
因为点 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线 相切于点 ，
所以直线 , 斜率均存在，
故设直线 ，
则 ，
所以 ，因为 ，代入化简得 ，得 ，
所以直线 ，整理得 ，
设直线 ，同理可得 ，
所以 ，即 ，
设直线 ，
，
所以 ， ，得 ，
因为抛物线 的焦点为 ，
所以设直线 恒过抛物线焦点 ，
而P(x ,y )在直线 , 上，
0 0
所以 ，即 是方程 是方程的两实数根，
所以 ， 解得 ，即
所以 ，设 到直线 的距离为 ，则 ，
所以 ，当 时， 面积的最小为 .
故选：B
6．（2024·湖南 ）2022年12月4日20点10分，神舟十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十
四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机
位 和一个移动拍摄机位 .根据当时气候与地理特征，点 在拋物线 （直线 与地平线重合，
轴垂直于水平面.单位：十米，下同. 的横坐标 ）上， 的坐标为 .设 ，线段 ，
分别交 于点 ， ， 在线段 上.则两固定机位 ， 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， ， ， ，
根据条件有 ， ， ,
， .
∴ ， .
由题意 互不相等，把 ， ， 分别代入上两式化简得 ，
，消去 得 .的方程是 ，即 ，
∴ 的方程为 ，则 ，
∴ 经过定点 .
所以点 的坐标为 . ，
即两固定机位 的距离为 .
故选：B.
7．（2024·安徽阜阳·模拟预测）抛物线 的焦点为 ，准线为直线 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两
点，分别过 ， 作抛物线的切线交于点 ， 于点 ， 于点 ，则说法错误的是（ ）
A．点 在直线 上 B．点 在直线 上的投影是定点
C．以 为直径的圆与直线 相切 D． 的最小值为
【答案】A
【解析】对于 ，依题意焦点 的坐标为(0,2)，准线为直线 ： ，
不妨设A(x ,y )，B(x ,y )，直线 的方程为 ，
1 1 2 2
联立 与 ，得 ，
从而 ， ，
， ，
由题意 ，所以 ，
故抛物线过点 ， 的切线方程分别为
， ，
解得点 的坐标为 ，故 错误；对于 ，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
即点 在直线 上的投影是点 （定点），故选项 正确；
对于 ，可证 ， ，
因此 ，
即以 为直径的圆与直线 相切，选项 正确；
对于选项 ，因为 ，
，
从而 ，
令 ，由函数 在 上单调递增，
所以当 ，即 时，函数取最小值 ，故 正确.
故选：A.
8（23-24 重庆·期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 与抛物线 交于 两
点，则说法不正确（ ）
A．线段 长度的最小值为
B．当直线 斜率为 时， 中点坐标为
C．以线段 为直径的圆与直线 相切D．存在点 ，使得∠AMF=∠BMF
【答案】B
1
【解析】对于A： 的焦点坐标为 ，直线 的斜率不为 ，设l:x=my+ ， ，
2
{ x=my+ 1 )
联立 2 可得y2−2my−1=0，且Δ=4m2+1>0，
y2=x
y2 y2 (y y ) 2 1
所以 ，所以x x = 1 ⋅ 2= 1 2 = ，且 ，
1 2 2 2 4 4
所以|AB)=x +x +p≥2❑√x x +1=2，当且仅当 时取等号，故A正确；
1 2 1 2
{y2 =2x ) y −y 2
对于B：因为 A A ，所以y2 −y2=2(x −x )，所以 A B= ，
y2=2x A B A B x −x y + y
B B A B A B
2 y + y
所以−1= ，所以 A B=−1，即中点纵坐标为 ，故B错误；
y + y 2
A B
对于C：抛物线的准线方程 ，设 中点为 ，过点A,B,T向准线作垂线，垂足分别为A′,B′,T′，如下
图：
|AB) |AF)+|BF) |A A′)+|BB′) 2|TT′)
由抛物线的定义可知：|AT)= = = = =|TT′)，
2 2 2 2
即|TT′)等于以 为直径的圆的半径长，故C正确；y y 2y 2y 2y (y2+1)+2y (y2+1)
k +k = 1 + 2 = 1 + 2 = 1 2 2 1
对于D：当 时， AM BM 1 1 y2+1 y2+1 (y2+1)(y2+1) 。
x + x + 1 2 1 2
1 2 2 2
(y + y )(2y y +2)
所以k +k = 1 2 1 2 ，
AM BM (y2+1)(y2+1)
1 2
由选项A可知： ，所以2y y +2=0，所以此时 ，
1 2
所以 的倾斜角互补，所以∠AMF=∠BMF，故D正确；
故选：B
二．多选题
9．（2024·重庆·模拟预测）设点 为抛物线 的焦点，过点 斜率为 的直线 与拋物线 交
于 两点（点 在第一象限），直线 交抛物线 的准线于点 ，若 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D． 的面积为 （ 为坐标原点）
E． 的面积为 （ 为坐标原点）
【答案】BC【解析】如图：
设 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 ，故选项A不正确；
从而 ，F(1,0)，所以 ，故故选项C正确；
所以直线 的方程为 ，又抛物线的准线为 ，所以 ，
则 ，所以 ，故选项B正确；
的面积为 ，
故选项DE不正确；
故选：BC
10．（2024·河南洛阳·模拟预测）过点 向抛物线 作两条切线，切点分别为
为抛物线的焦点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】设点 为点 ，抛物线的方程为 ，即 ，则 ,设A(x ,y ),B(x ,y )，则切线PA，PB的斜率分别为 ，
1 1 2 2
切线方程分别为 ，
将 的坐标及 代入，并整理得 ，
可得 为方程 的两个实数根，
由韦达定理得 ，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
11．（2024·全国·模拟预测）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，点 为 上一点，
， 为 上不同的两点，且 ，则（ ）
A． B．
C．若 为 的中点，则点 的轨迹为圆 D． 面积的最小值为12
【答案】ABD
【解析】如图，
对于A，点 为抛物线 上一点，则 ， ，故A正确．对于B， ， ，易知 ， ，故B正确．
对于C， ，直线 的方程为 ，即 ，即
，则直线 过定点 ．
设 ，则 ， ，
又 ， ，即 ，
点 的轨迹方程为 ，即点 的轨迹为抛物线，故C错误．
对于D， ， ，
当且仅当 时等号成立， ，故D正确．
故选：ABD.
三．填空题
12．（2023·江苏无锡·三模）已如 ， 是抛物线 上的动点（异于顶点），过 作圆
的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
【答案】3
【解析】依题意，设 ，有 ，圆 的圆心 ，半径 ，
于是 ，因此 ，表示抛物线 上的点 到y轴距离与到定点 的距离的和，
而点 在抛物线 内，当且仅当 是过点 垂直于y轴的直线与抛物线 的交点时， 取得最小值3，
所以 的最小值为3.
故答案为：3.
13．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线 的焦点为F，点 为该抛物线上的动点，点 ，则
的最大值是 ．
【答案】4
【解析】根据抛物线方程 ，可得 ，准线方程为 ，
作 准线l，M为垂足，又知 ，
由抛物线的定义可得 ，
故当P，A，M三点共线时， 取最大值，
最大值为 ．
故答案为：4.
14．（2024·辽宁·模拟预测）过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点， ， 是 的准线 上两
点，以 为直径的圆与 切于点 ，且以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积为64，则直线 的斜率为 .
【答案】
【解析】
设抛物线的准线 与 轴交于一点 ，过 作 于一点 ，
过 作 于一点 ，连接 ， ，
由抛物线的定义知， ， ，
， ，
又 ， ， ，
因此， ， ，
又 ，
则 ，
设 的中点为 ，则 ，因此 ，
，即 ，
因此以 为直径的圆与 切于点 ，且 为圆的半径，
而过 直线与 垂直时，在准线 只有唯一的交点，这个交点即为与 切于点 的圆的圆心，
因此在准线 只有一个圆与 切于点 ，
故要使以 的准线 上两点 为直径的圆与 切于点 ，
则 与 重合， 与 重合，
因此四边形 为直角梯形，
由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，
则 ，联立可得 ，
整理得 ，则 ， ，
因此 ，
又 的符号相反，因此， ，
则 ，
又 ，
又梯形 的面积为64，则 ，
即 ，整理得， ，
解得 ，
因此，直线 的斜率为 .
故答案为： .
四．解答题
15．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，过焦点 作直线 交抛物线 于
两点， 为抛物线 上的动点，且 的最小值为1.
(1)抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 的准线于点 ，求线段 的中点的坐标.
【答案】(1)
(2)【解析】（1）由题意可知：抛物线 的焦点 ，准线为 ，
设 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由题意可知：直线 与抛物线 必相交（斜率不为0），
设A(x ,y ),B(x ,y )，线段 的中点 ，
1 1 2 2
且直线 过点 和F(1,0)，
则直线 的方程 ，即 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，可知 ，
将y =2代入 可得 ，
M
所以线段 的中点的坐标为 .
16．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，过 与
垂直的直线交 于 两点，其中 在 轴上方， 分别为 的中点．
(1)证明：直线 过定点；
(2)设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）设A(x ,y )，B(x ,y )，由抛物线的对称性，不妨设 ，则 ，
1 1 2 2
设 ，由 ，得 ， ，
故 ， ， ， ，
所以 ，同理可得 ，
若 ，则直线 ，MN过点 ，
若 ，则直线 ，MN过点 ，
综上，直线 过定点 ；
（2）设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点．
由M，H分别为AB，AD的中点知 ，所以 ，故 ，
设T为直线GN与AD的交点，同理可得 ，
所以 ，
由（1）可得 ，同理可得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
因此 的面积的最小值为8．
17．（2024·四川德阳·模拟预测）点M是直线x=−1上的动点，O为坐标原点，过点M作y轴的垂线l，过点O作直线OM的垂线交直线l于点P.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线 交椭圆 于A、B两点，求 面积的最大
值.
【答案】(1)
(2)❑√3
【解析】（1）设P(x,y)，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以P点到轨迹为 ；
（2）设A(x ,y ),B(x ,y )， ，
1 1 2 2
因为 为曲线的切线，联立 可得 ，
所以 ，
由 可得 ，
所以 ，
且 ， ，
所以 ，
又因为原点O到AB的距离为 ，所以
，
当且仅当 ，即 或 时等号成立（此时满足 ），
综上可知 面积的最大值为❑√3.
18．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面直角坐标系 所在平面上有一个动点 满足：点 到
点 的距离比到 轴的距离大2，动点 的轨迹为曲线 .过点 的动直线 交曲线 于 两点，直
线 分别交曲线 于点 .
(1)求曲线 的方程；
(2)当 的面积最小时，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由点 到点 的距离比到 轴的距离大2，
得 ，
化简，得曲线 的方程为 .
（2）设直线 与 轴的交点为 ，
由于过点 的动直线 与抛物线交于A，B两点，所以直线 斜率不为0，则可设过点 的动直线 ，联立 ，
消去 并整理，得 ，则 .
由根与系数的关系，得 .
当直线 的斜率不存在时，不妨令 ，则 .
当直线 的斜率存在时，直线 的方程为 .
联立 ，消去 并整理，得 ，且 .
由根与系数的关系，得 ，则 ，同理，得 ，
所以 .
因为 三点共线，所以 ，所以 ，
所以直线 恒过定点 .
设直线 ，联立 ，消去 并整理，得 ，易知 .
由根与系数的关系，得 .
又 ，
当 时， 最小，此时直线 的方程为 .19．（2024·广东佛山·二模）两条动直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的
A，B两点，当 的垂心恰是C的焦点时， .
(1)求p；
(2)若 ，弦 中点为P，点 关于直线 的对称点N在抛物线C上，求 的面积.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）由 的垂心恰是C的焦点，由抛物线对称性得 ， ，而 ，
不妨设 ，而焦点 ，则 ，解得 ，所以 .
（2）由（1）知， ，
由 ，解得 ，同理 ，则 ，
而 ，因此所以P的轨迹方程为y2=2x−2，
当 时，不妨设 ， ，此时 ，直线AB过点 ，
当 时，直线AB的斜率为 ，
AB的方程为 ，整理得 ，直线AB过点 ，
因此直线 AB过定点 ，
由 可得 ，解得 ，于是 或 ，
当 时，MN的中点为 ，直线MN的斜率为 ，
此时直线AB的方程为 ，由 解得 或 ，
当 时，直线AB为 ，不符合题意，舍去，则 ，
， 边 上的高 ，因此 的面积 ，
当 时，由对称性，同理可得 ，
所以 的面积为 .
