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6.5 外接球与内切球（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图是一个直径为12cm 的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm 的圆柱形
水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ）
A．3 杯
B．4 杯
C．5 杯
D．6 杯
【答案】B
【解析】球的体积
，圆柱的体积
，
所以
，则球形容器装满时，约可以倒满水杯4 杯.故选：B
2．（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC 中，D，E 分别为PC，AB 的中点，且
，
，
，则该四面体的外接球体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
，因
为线段
的中点，
，则
，
又
为线段
的中点，
，
，则
，则
，
则该四面体的外接球球心为
，半径为，体积为
.故选：C
3．（2025·湖南长沙·二模）球面上有三点
，若
，且球心到
所在平面的距离
等于球的半径的一半，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，即
为直角三角形，
因此
外接圆的半径
，设球的半径为
，
由球心到
所在平面的距离等于球的半径的一半，得
，解得
，
所以球的表面积为
．故选：C
4．（2025·福建泉州·模拟预测）四棱锥
中，
，
，
，
，
，若
、
、
、
、
均在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，所以四边形
为平行四边形，
分别取
、
的中点
、
，连接
、
、
，
因为
、
分别为
、
的中点，则
且
，
故四边形
为平行四边形，所以
，
因为
，故
，同理可知
，从而
，
又
、
平面
，
，所以
平面
，
又
平面
，故
，从而
，所以四边形
为矩形，
从而
，又
，所以
，
取
的中点
，则
，故
为球心，
从而所求的球的表面积为
，
故选：C.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知四面体
的各顶点均在同一球面上，该球的表面积为
，若
是边长为3 的正三角形，
，则该四面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，球心O 在线段
垂直平分线上，
∵球的表面积为
，∴ 四面体
的外接球半径
，
∵
，∴
为直径，即球心O 为线段
的中点，如下图，
设底面
外接圆圆心为
，半径为r，
∵
是边长为3 的正三角形，由重心性质可得
，
底面ABC，∴
，
又
，∴
，
∵O 为线段
的中点，∴点D 到底面的距离为2，
∴
，
故选：C.
6．（2025·辽宁·模拟预测）现将一个表面积为
的实心铜球熔铸成一个圆锥形状的实心铜锭（熔铸过程中
不计损耗），若圆锥形状的实心铜锭的底面半径为8cm，则该铜锭的高为（ ）
A．
B．
C．3cm
D．4cm
【答案】D
【解析】设实心铜球的半径为
，体积为
，则
，
解得
，
，设圆锥形状的实心铜锭的高为
，
由
，得
.
故选：D.
7．（2025·江西·模拟预测）已知正三棱锥
的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球
的表面上，
若该三棱锥的体积与球
的表面积在数值上相等，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由三棱锥
为正三棱锥，且其侧面均为直角三角形，
则其各侧面均为等腰直角三角形，设
，
则
，故该三棱锥的体积
，
又该三棱锥的外接球等价于棱长为
的正方体的外接球，
故外接球
的半径
，
则球
的表面积
，则有
，
解得
，
则点
到平面
的距离即为
.
故选：D.
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1 所示的五脊殿是中国传统建筑中的一
种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2 所示，在结构示意图中，已知四边形
为矩形，
，
与
都是边长为1 的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F 都在球O 的
球面上，则球O 的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，连接
，设
，
因为四边形
为矩形，所以
为矩形
外接圆的圆心．连接
，
则
平面
，分别取
的中点
，
根据几何体
的对称性可知，直线
交
于点
．
连接
，则
，且
为
的中点，因为
，所以
，
连接
，在
与
中，易知
，
所以梯形
为等腰梯形，所以
，且
．
设
，球
的半径为
，连接
，
当
在线段
上时，由球的性质可知
，
易得
，则
，此时无解．
当
在线段
的延长线上时，由球的性质可知，
，解得
，所以
，
所以球
的表面积
，
故选：D．
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2026 湖北）下列说法正确的有（ ）
A．若球O 的体积为
，则球O 表面积也为36π
B．若球O 的半径变为原来的3 倍，则球O 体积变为原来的9 倍
C．若圆台上下底面半径分别为1 和3，且球O 为圆台的内切球，则球O 的半径为
D．棱长为a 的正方体的外接球半径为
【答案】AC
【解析】对于A，由球的体积公式得
，
再由球的表面积公式得
，故A 正确；
对于B，由球的体积与半径
成正比，所以半径变为原来的3 倍，体积变为原来的27 倍，故B 错误；
对于C，由于球O 为圆台的内切球，设内切球半径为
，根据轴截面可知，
球O 中的最大圆为轴截面等腰梯形的内切圆，即等腰梯形的高为
，
根据圆台上下底面半径分别为1 和3，可知等腰梯形的上下底边长分别是2 和6，
即由勾股定理可得腰长为
，
再利用等面积法，则有
，
解得：
，故C 正确；
对于D，棱长为a 的正方体的外接球直径等于体对角线长，即
， 故半径为
，故D 错误；
故选：AC.
10（2025 上海）．已知球
的半径为
，则（ ）
A．球
的内接正方体的内切球表面积为
B．球
的内接正方体的内切球体积为
C．球
的内接正四面体的内切球半径为
D．球
的内接正四面体的内切球半径为
【答案】BC
【解析】对于A，B，设球
的内接正方体的棱长为
，球
的内接正方体的内切球的半径为
，
则球
的内接正方体的内切球半径
，球
的半径
，
所以
，所以表面积
，体积
，故A 不正确，B 正确；
对于C，D，设球
的内接正四面体的棱长为
，球
的内接正四面体的内切球半径为
，如图，
可知
，
，
，
由
可得
，解得
，
因为球
的内接正四面体的体积
，
球
的内接正四面体的表面积
，
又因为
，
所以球
的内接正四面体的内切球半径
，故C 正确，D 不正确．
故选：BC.
11．（24-25 山东济宁·阶段练习）已知正方体
的边长为2，体对角线的中点为
．
（ ）
A．若该正方体的棱与球
的球面有公共点，则球
的半径的最大值是
B．若该正方体的棱与球
的球面有公共点，则球
的半径的最小值是
C．若该正方体的棱与球
的球面有公共点，则球
的体积的最大值是
D．若该正方体的面与球
的球面没有公共点，则球
的表面积范围是
【答案】BC
【解析】若该正方体的棱与球
的球面有公共点，当球为正方体的外接球时，球的半径最大，
正方体体对角线是
，即外接球半径是
，
此时球的体积为
，故A 错误，C 正确；
当球
和每条棱相切时，球的半径最小，
如图，过
作
，垂足为
，
此时最短半径
，B 选项正确；
球
的半径满足
时，也可保证和正方体的面无交点，球的表面积可以无穷大，D 选项错误.
故选：BC
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知正四棱锥
的体积为
，若
这5 个顶点均在球
的
球面上，则球
体积的最小值为 .
【答案】
【解析】设正四棱锥的底面边长为
，高为，则
，可得
，
令球心到底面
的距离为
，则外接球的半径
，
又
，即
，
整理得
，当且仅当
时取等号，
则球体体积最小值为
.
故答案为：
13．（2025 高三·全国·专题练习）已知四棱锥
的底面是边长为的正方形，
底面
，若
，则该四棱锥的内切球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，因为四边形
为正方形，所以
，
因为
底面
，
底面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故
为直角三角形，
同理
为直角三角形．
因为
，
，所以
，
所以四棱锥的表面积
，
体积
．
设内切球半径为，则
，得
，
故四棱锥内切球的体积为
．
故答案为：
.
14．（24-25 四川成都·期末）如图1，在平面四边形
中，
是边长为2 的等边三角形，
，
将
沿
翻折，使得点
到点
的位置，如图2 所示．若平面
平面
，三棱锥
的外接
球的表面积为 ．若二面角
的余弦值为
，则三棱锥
的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】对第一种情况，如下图：
取
的中点
，连接
，
，在线段
上取点
，使得
，则
为正三角形
的重心.
因为
，所以
为
的外心，即
.
又
为等边三角形，所以
，又
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
.
所以
.
又
为正三角形
的重心，所以
也是正三角形
的外心，所以
.
所以
为
的外接球球心.
因为
，所以
，所以外接球半径
.
所以外接球表面积为：
.
对第二种情况：如图：
因为
为
的外接圆圆心，
为正
的外接圆圆心.
过
作平面
的垂线，过
作平面
的垂线，两垂线交于点
，则
为三棱锥
外接球的球心.
因为二面角
的余弦值为
，
所以
，所以
.
又
，所以
.
所以三棱锥
外接球
.
所以此时三棱锥
外接球的表面积为：
.
故答案为：
；
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
．
（i）证明：
在平面
上；
（ⅱ）求直线
与直线
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；
（ii）
.
【解析】（1）由题意证明如下，
在四棱锥
中，
⊥平面
，
，
平面
，
平面
，
∴
，
，
∵
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面
.
（2）（i）由题意及（1）证明如下，
法一：
在四棱锥
中，
，
，
，
∥
，
，
，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴
，
若
，
，
，
在同一个球面上，
则
，
在平面
中，
∴
，
∴线段
中点坐标
，
直线
的斜率：
，
直线
的垂直平分线
斜率：
，
∴直线
的方程：
，
即
，
当
时，
，解得：
，
∴
在立体几何中，
，
∵
解得：
，
∴点
在平面
上.
法二：
∵
，
，
，
在同一个球面上，
∴球心到四个点的距离相等
在
中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出
和
的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
，
，
，
∴
，
∴点
是
的外心，
在Rt
中，
，
，
由勾股定理得，
∴
，
∴点
即为点
，
，
，
所在球的球心
，
此时点
在线段
上，
平面
，
∴点
在平面
上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线
与直线
所成角为
，
∴
.
法2：
由几何知识得，
，
，
∥
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
，
过点
作
的平行线，交
的延长线为
，连接
，
，
则
，直线
与直线
所成角即为
中
或其补角.
∵
平面
，
平面
，
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
，
在Rt
中，
，由勾股定理得，
，
在
中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直线
与直线
所成角的余弦值为：
.
16．（24-25 安徽黄山·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求三棱锥
的外接球的体积；
(3)线段
上（不含端点）是否存在点
，使得
与平面
所成角为
？若存在，确定
点的位置；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)存在
为
靠近
的
处或中点，满足要求.
【解析】（1）若
是
的中点，连接
，又
为
中点，则
，
，
由
且
，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
平面
，
平面
，则
平面
；
（2）由
平面
，即
平面
，
平面
，则
由
，
，则
，
且都在平面
内，
所以
平面
，易知
是长宽高分别为
的长方体的一部分，
所以
为长方体的体对角线，且
与该长方体的外接球重合，故
，
所以外接球半径
，则外接球的体积为
；
（3）构建如上图示的空间直角坐标系
，则
且
，
所以
，
若
是平面
的一个法向量，则
，取
，则
，
由
与平面
所成角为
，则
，
所以
，可得
，可得
或
，
综上，存在
为
靠近
的
处或中点时，
与平面
所成角为
.
17．（2025·湖南邵阳·三模）如图，圆台
的下底面的内接正方形
的边长为4，
是上底面圆周上的一
点，且满足
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求三棱锥
的外接球的表面积；
(3)
是
的中点，
是上底面圆周上的一点，求异面直线
与
所成角的余弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）由题设
，
，则
，故
，
由四边形
为正方形，则
，而
都在平面
内，
所以
平面
；
（2）由
平面
，
为等边三角形，将三棱锥
补成正三棱柱
，
设
的中心为点
，
的中心为
，则
的中点
为外接球球心，
所以
的外接圆半径
，
，
所以外接球的半径
，
因此三棱锥
的外接球的表面积
；
（3）由
，以
为原点，
所在直线为
轴，建立如下图示的空间直角坐标系
，
则
，设
，连接
，
由
平面
，则平面
平面
，
则点
到
的距离等于
，而
，所以
且
，
由
，
，若异面直线
所成角为
，
则
，
所以
，
当且仅当
时取等号，则
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值的最大值
.
18．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正方体
的棱长为2．
(1)证明：
平面
；
(2)动点
满足
，且点
，
，
，
在同一球面上．设该球面的球心为
，半径为
．
①求的取值范围；
②当最大时，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②0
【解析】（1）解法一：如图所示：
在正方体
中，连结
，则
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
同理可得
，
又因为
，
，
平面
，所以
平面
．
解法二：以
为原点，
的正方向为
轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系
：
则
，
，
，
，
，
，
，
．
因为
，所以
．
又因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）解法一：①如图所示：
，
取
中点
，取
中点
，依题意得：球心
在直线
上．
因为
，所以
，
即
，
延长
至
，使得
，连结
．
因为
，
，所以四边形
是平行四边形，所以
，
．
同理得：
，
，所以
，
，故
，
所以点
在线段
上．
设
，则
，
则
．
易得
，则有
，所以
，故有
．
所以
，整理得：
，
由
，得：
．
所以
，所以的取值范围是
．
②当最大时，
，
，此时点
与点
重合．
因为
，
，
，
，
平面
，
所以
平面
．
因为
，
平面
，所以
，
，
所以
即为二面角
的平面角．
在
中，
，
，
，
，
所以
，所以二面角
的余弦值为0．
解法二：①以
为原点，
的正方向为
轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系
：
取
中点
，
中点
，依题意得：球心
在直线
上．
设
，
因为
，
，
则
，即
，
化简得：
．
因为
，所以
．
所以
，
故该球半径的取值范围是
．
②当最大时，点
坐标为
．
．
由（1）得平面
的一个法向量是
．
设平面
的一个法向量是
，
，
，
，取
得：
，
因为
，
所以二面角
的余弦值为0．
19．（23-24 广东广州·期末）如图1，在平行四边形
中，
，E 为
的中点．
将
沿
折起，连接
与
，如图2．
(1)当
为何值时，平面
平面
?
(2)设
，当
时，是否存在实数
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
(3)当三棱锥
的体积最大时，求三棱锥
的内切球的半径．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【解析】（1）连接
，由题意得，
，
则
为等边三角形，
，
在
中，
，
由余弦定理得
，
所以
，由
，
则
，故
.
若平面
平面
，
由平面
平面
，
平面
，
，
则
平面
，
平面
，则
，
所以
.
下面证明当
时，平面
平面
.
证明：由
，则
，
所以
，又
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
故当
时，平面
平面
；
（2）由（1）知，
，则平面
平面
.
在平面
内过
作
，
由平面
平面
，
平面
，
则
平面
，
平面
，则
.
如图，以点
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，过
垂直于平面
的直线为
轴，建立
如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
故
，
由
，
，
因为
轴垂直平面
，故可取平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成角为
，
所以
，
化简得
，解得
或
（舍去），
故当
时，存在
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
；
（3）设点
到平面
的距离为，
由
，其中
为定值，
则要使三棱锥
的体积最大时，则点
到平面
的距离取最大，
取
中点
，连接
，则
，
当
平面
时，点
到平面
的距离最大，
此时，由
平面
，则平面
平面
，
由（1）知，
，
为直角三角形，
.
则
，
，
，
在
中，
，取
中点
，
则
，且
，
所以
，
设内切球球心为
，内切球半径为，由等体积法知，
其中，
，
故
，
故当三棱锥
的体积最大时，三棱锥
的内切球的半径为
.
