专题8.3 圆的方程（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 求圆的标准方程和一般方程】..................................................................................................................3
【题型2 由圆的方程确定圆心和半径】..................................................................................................................5
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】..................................................................................................................7
【题型4 圆过定点问题】..........................................................................................................................................8
【题型5 判断点与圆的位置关系】........................................................................................................................10
【题型6 与圆有关的轨迹问题】............................................................................................................................11
【题型7 圆系方程】................................................................................................................................................13
【题型8 定点到圆上点的最值（范围）】...........................................................................................................15
1、圆的方程
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解确定圆的几何要素，在
平面直角坐标系中，掌握圆的
标准方程与一般方程
(2)能根据圆的方程解决一些简
单的数学问题与实际问题
2023 年全国乙卷（文数）：
第11 题，5 分
2023 年上海卷：第7 题，5 分
2024 年北京卷：第3 题，4 分
2024 年天津卷：第12 题，5
分
2025 年全国一卷：第7 题，5
分
从近几年的高考情况来看，高考对
圆的方程的考查比较稳定，多以选择
题、填空题的形式考查，难度不大；有
时也会与距离公式、圆锥曲线等结合考
查，复习时应熟练掌握圆的标准方程与
一般方程的求法，学会灵活求解.
知识点
1 圆的定义和圆的方程
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程
(r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r 为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在
一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程
叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在
一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心
代入圆心所在的直线方
程，求待定系数D，E，F.
4．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程
，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆
的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程
表示圆的条件是
.
5．圆的参数方程
圆
(r>0)的参数方程为
，其中为参数.
6．求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r 的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F 的方程组，进而求出D，E，F 的值.
知识点
2 点与圆的位置关系
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M 与圆A 有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A 的标准方程为
，圆心为
，半径为
；圆A 的一般方程为
.平面内一点
.
位置关系
判断方法
几何法
代数法(标准方程)
代数法(一般方程)
点在圆上
|MA|=r
(x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内
|MA|<r
(x0-a)2 +(y0-b) 2<r2
点在圆外
|MA|>r
(x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
知识点
3 轨迹方程
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于
变量x,y 之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义
(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2．求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M 的坐标；
(2)列出关于x,y 的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【方法技巧与总结】
1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为
.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
3．圆心在任一弦的垂直平分线上.
【题型1 求圆的标准方程和一般方程】
【例1】（2025·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 y = x上，半径为 ❑√2，且过原点的圆的是
（ ）
A．( x −1)
2+( y −1)
2= ❑√2
B．( x −1)
2+( y +1)
2= ❑√2
C．( x −1)
2+( y +1)
2=2
D．( x −1)
2+( y −1)
2=2
【答案】D
【解题思路】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可.
【解答过程】因为圆心在y = x上，所以设圆心为(a,a),
因为圆的半径为❑√2，
所以设圆的标准方程为( x−a)
2+( y −a)
2=2,
因为该圆过原点，
所以(−a)
2+(−a)
2=2，
解得a=±1,
所以圆心为(1,1)或(−1,−1),
当圆心为(1,1)时，圆的标准方程为( x−1)
2+( y −1)
2=2，D 对;
当圆心为(−1,−1)时，圆的标准方程为( x +1)
2+( y +1)
2=2.
故选：D.
【变式1-1】（24-25 高二上·河南洛阳·期中）已知O(0,0)，A (4,3)，B (1,−3)，则△OAB的外接圆方程为
（ ）
A．x
2+ y
2−4 x−3 y =0
B．x
2+ y
2−x +3 y =0
C．x
2+ y
2−5 x−5 y =0
D．x
2+ y
2−7 x + y =0
【答案】D
【解题思路】设△OAB的外接圆方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，代入三点坐标求出系数即可.
【解答过程】设△OAB的外接圆方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，
因为O(0,0)，A (4,3)，B (1,−3)，
所以{
F =0
4
2+3
2+ 4 D+3 E+ F =0
1
2+(−3)
2+ D−3 E+ F =0)
，解得D =−7 , E =1, F =0，
所以△OAB的外接圆方程为x
2+ y
2−7 x + y =0.
故选：D.
【变式1-2】（2025·吉林长春·三模）经过A (1,1)，B (−1,1)，C (0,2)三个点的圆的方程为（ ）
A．(x +1)
2+( y −1)
2=2
B．(x −1)
2+( y −1)
2=2
C．x
2+( y −1)
2=1
D．x
2+( y +1)
2=1
【答案】C
【解题思路】设经过A，B，C三个点的圆的方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0(D
2+ E
2−4 F >0)，代入三点
坐标可得答案.
【解答过程】设经过A，B，C三个点的圆的方程为
x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0(D
2+ E
2−4 F >0)，
由题意可得{
1+1+ D+ E+ F =0
1+1−D+ E+ F =0
0+ 4+2 E+ F =0 )，解得{
D =0
E =−2
F =0 )，
且满足D
2+ E
2−4 F = 4>0，
所以经过A，B，C三个点的圆的方程为x
2+ y
2−2 y =0，
即为x
2+( y −1)
2=1.
故选：C.
【变式1-3】（2025·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高
点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的
直线为x轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A．x
2+( y −3
2)
2
= 25
4
B．x
2+( y + 3
2)
2
= 25
4
C．x
2+( y −5
2)
2
= 9
4
D．x
2+( y + 5
2)
2
= 9
4
【答案】A
【解题思路】利用勾股定理可构造方程求得半径r，进而得到圆心坐标，由此可得圆的方程.
【解答过程】设该圆的半径为r，如图，
由题意知：|OD)= 4−r，|BD)=r，|OB)=2，
由勾股定理得：|BD)
2=|OD)
2+|OB)
2，即r
2=(4−r)
2+ 4，解得：r = 5
2，
∴|OD)= 4−r = 3
2，即圆的圆心为(0, 3
2)，则圆的方程为x
2+( y −3
2)
2
= 25
4 .
故选：A.
【题型2 由圆的方程确定圆心和半径】
【例2】（2025·浙江·一模）圆C : x
2+ y
2−2 x + 4 y =0的圆心C坐标和半径r分别为（ ）
A．C (1,−2),r = ❑√5
B．C (1,−2),r =5
C．C (−1,2),r = ❑√5
D．C (−1,2),r =5
【答案】A
【解题思路】将一般方程化为标准方程即可求解.
【解答过程】圆C : x
2+ y
2−2 x + 4 y =0，即C :(x−1)
2+( y +2)
2=5，
它的圆心C坐标和半径r分别为C (1,−2),r = ❑√5.
故选：A.
【变式2-1】（2025·浙江台州·二模）已知圆M：(x−1)
2+( y +2)
2= 4，则圆心坐标和半径分别为（ ）
A．(1,−2)，4
B．(−1,2)，4
C．(−1,2)，2
D．(1,−2)，2
【答案】D
【解题思路】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【解答过程】圆(x−1)
2+( y +2)
2= 4的圆心坐标为(1,−2)，半径为2.
故选：D.
【变式2-2】（2025·山西晋中·三模）已知圆C 的一般方程为x
2+ y
2−6 x + 4 y +12=0，则圆C 的圆心坐标
为（ ）
A．(3,2)
B．(−3,2)
C．(3,−2)
D．(−3,−2)
【答案】C
【解题思路】由一般方程得到标准方程即可求解.
【解答过程】由x
2+ y
2−6 x + 4 y +12=0，
得(x −3)
2+( y +2)
2=1，
可知圆C 的圆心坐标为(3,−2)．
故选：C.
【变式2-3】（24-25 高二下·云南昆明·期中）已知圆C的方程为x
2+ y
2−2 x−4 =0，则圆C的圆心和半径
分别是（ ）
A．C (1,0)，r =5
B．C (1,0)，r = ❑√5
C．C (2,0)，r =5
D．C (2,0)，r = ❑√5
【答案】B
【解题思路】化圆C的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径.
【解答过程】圆C： x
2+ y
2−2 x−4 =0的标准方程为( x −1)
2+ y
2=5，
所以圆C的圆心和半径分别是C (1,0)，r = ❑√5.
故选：B.
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】
【例3】（2025·贵州黔南·三模）“关于x，y的方程：x
2+ y
2+ax +2 y +2=0表示圆”是“a>2”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】若关于x，y的方程：x
2+ y
2+ax +2 y +2=0表示圆，则a
2+2
2−4×2>0，解得a>2或
a<−2，
因为(2,+∞)真包含于(−∞,−2)∪(2,+ ∞)，
所以“关于x，y的方程：x
2+ y
2+ax +2 y +2=0表示圆”是“a>2”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式3-1】（2025·吉林·三模）已知曲线C：x
2+ y
2+2mx−2 y +2=0表示圆，则m 的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1)
B．(1,+∞)
C．(−1,1)
D．(−∞,−1)∪(1,+ ∞)
【答案】D
【解题思路】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围.
【解答过程】圆的标准方程为：(x +m)
2+( y −1)
2=m
2−1，
故m
2>1即m<−1或m>1，
故选：D.
【变式3-2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）“a≠0”是“方程x
2+ y
2−2ax−b
2=0表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据题意，化为圆的方程为标准方程( x−a)
2+ y
2=a
2+b
2，结合圆的方程，以及充分条件、
必要条件的判定方法，即可求解.
【解答过程】由方程x
2+ y
2−2ax−b
2=0，可得( x −a)
2+ y
2=a
2+b
2，
若a≠0时，可得a
2+b
2>0，此时方程( x −a)
2+ y
2=a
2+b
2表示圆，即充分性成立；
反之：方程( x −a)
2+ y
2=a
2+b
2表示圆时，
例如：当a=0,b≠0时，方程可化为x
2+ y
2=b
2也可以表示圆，所以必要性不成立，
所以“a≠0”是“方程x
2+ y
2−2ax−b
2=0表示圆”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式3-3】（24-25 高一下·重庆·期末）若方程C : x
2+ y
2−2ax +2 y +2a
2−1=0表示圆，且圆心位于第
四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．[−❑√2,❑√2)
B．(❑√2,+∞)
C．(0,❑√2)
D．(0,❑√2)
【答案】C
【解题思路】将方程化成(x−a)
2+( y +1)
2=2−a
2，再利用条件列不等式求解即可.
【解答过程】因为方程C : x
2+ y
2−2ax +2 y +2a
2−1=0可变形为(x−a)
2+( y +1)
2=2−a
2，
由题知{
2−a
2>0
a>0 )，解得0<a<❑√2，实数a的取值范围是(0,❑√2).
故选：C.
【题型4 圆过定点问题】
【例4】（24-25 高二上·湖北荆州·期末）圆C : x ²+ y ²+ax−2ay −5=0恒过的定点为（ ）
A．(−2,1),(2,−1)
B．(−1,−2),(2,1)
C．(−1,−2),(1,2)
D．(−2,−1),(2,1)
【答案】D
【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【解答过程】圆C : x
2+ y
2+ax−2ay −5=0的方程化为a(x−2 y)+(x
2+ y
2−5)=0，
由¿得{
x =2
y =1)或{
x =−2
y =−1)，
故圆C恒过定点(−2,−1),(2,1)．
故选：D．
【变式4-1】（24-25 高二上·浙江温州·期中）点P(x , y)是直线2 x + y −5=0上任意一点，O是坐标原点，
则以OP为直径的圆经过定点（ ）
A．(0,0)和(1,1)
B．(0,0)和(2,2)
C．(0,0)和(1,2)
D．(0,0)和(2,1)
【答案】D
【解题思路】设点P(t ,5−2t )，求出以OP为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【解答过程】设点P(t ,5−2t )，则线段OP的中点为M(
t
2 , 5−2t
2 )，
圆M的半径为|OM )=
❑√
t
2+(5−2t )
2
4
=
❑√5t
2−20t +25
2
，
所以，以OP为直径为圆的方程为(x−t
2)
2
+( y −5−2t
2 )
2
= 5t
2−20t +25
4
，
即x
2+ y
2−tx +(2t −5) y =0，即(x
2+ y
2−5 y)+t (2 y −x)=0，
由{
2 y −x =0
x
2+ y
2−5 y =0)，解得{
x =0
y =0)或{
x =2
y =1)，
因此，以OP为直径的圆经过定点坐标为(0,0)、(2,1).
故选：D.
【变式4-2】（24-25 高二下·上海徐汇·期中）对任意实数m，圆x
2+ y
2−3mx−6my +9m−2=0恒过定
点，则定点坐标为
．
【答案】(1,1)或(
1
5 , 7
5)
【解题思路】由已知得x
2+ y
2−2−(3 x +6 y −9)m=0，从而{
x
2+ y
2−2=0
3 x +6 y −9=0)，由此能求出定点的坐
标．
【解答过程】解：x
2+ y
2−3mx −6my +9m−2=0，即x
2+ y
2−2−(3 x +6 y −9)m=0，
令{
x
2+ y
2−2=0
3 x +6 y −9=0)，解得x =1，y =1，或x = 1
5，y = 7
5，
所以定点的坐标是(1,1)或(
1
5 , 7
5)．
故答案为：(1,1)或(
1
5 , 7
5).
【变式4-3】（24-25 高三下·上海闵行·期中）若抛物线y = x
2+ax +b与坐标轴分别交于三个不同的点A、B
、C，则△ABC的外接圆恒过的定点坐标为
.
【答案】(0,1)
【解题思路】设抛物线y = x
2+ax +b交y轴于点B (0,b)，交x轴于点A(x1,0)、C (x2,0)，根据题意设圆心
为P(−a
2 ,t)，求出t = b+1
2
，写出圆P的方程，可得出关于x、y的方程组，即可得出圆P所过定点的坐标.
【解答过程】设抛物线y = x
2+ax +b交y轴于点B (0,b)，交x轴于点A(x1,0)、C (x2,0)，
由题意可知Δ=a
2−4 b>0，由韦达定理可得x1+ x2=−a，x1 x2=b，
所以，线段AC的中点为(−a
2 ,0)，设圆心为P(−a
2 ,t)，
由|PA)
2=|PB)
2可得(x1+ a
2)
2
+t
2= a
2
4 +(t −b)
2，解得t = x1
2+a x1−b
2
−2b
，
∵x1
2+a x1+b=0，则t = −b−b
2
−2b = b+1
2
，则t −b= 1−b
2
，
所以，圆P的方程为(x + a
2)
2
+( y −b+1
2 )
2
= a
2+(1−b)
2
4
，
整理可得(x
2+ y
2−y)+ax +b(1−y)=0，
方程组{
x
2+ y
2−y =0
x =0
1−y =0 )
的解为{
x =0
y =1).
因此，△ABC的外接圆恒过的定点坐标为(0,1).
故答案为：(0,1).
【题型5 判断点与圆的位置关系】
【例5】（24-25 高二上·安徽·期中）若点(−2,1)在圆x
2+ y
2+ x−y +a=0的外部，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(−2,+ ∞)
B．(−∞,−2)
C．(−2, 1
2)
D．(−∞,−2)∪(
1
2 ,+∞)
【答案】C
【解题思路】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解.
【解答过程】由于点(−2,1)在圆x
2+ y
2+ x−y +a=0的外部，故
{
(−2)
2+1
2−2−1+a>0
1+(−1)
2−4 a>0 )，解得−2<a< 1
2，
故选：C.
【变式5-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）“k >2或k <−3”是“定点A (1,2)在圆
x
2+ y
2+kx +2 y +k
2−15=0的外部”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】由定点A (1,2)在圆的外部得{
k
2+ 4−4(k
2−15)>0
1+ 4+k + 4+k
2−15>0)，求得k 的取值范围，结合充分,必要
条件的意义可得结论.
【解答过程】∵定点A (1,2)在圆x
2+ y
2+ kx +2 y + k
2−15=0的外部，
∴{
k
2+ 4−4(k
2−15)>0
1+ 4+k + 4+k
2−15>0)，化简得{
k
2< 64
3
k
2+k −6>0)
，∴{
−8 ❑√3
3
<k < 8 ❑√3
3
k >2或k <−3 )
∴k 的取值范围：−8 ❑√3
3
<k <−3或2<k < 8 ❑√3
3
，
所以k >2或k <−3”是“定点A (1,2)在圆x
2+ y
2+ kx +2 y + k
2−15=0的外部”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式5-2】（24-25 高二上·山东青岛·阶段练习）已知点P(0,−1)关于直线x−y +1=0对称的点Q在圆
C : x
2+ y
2+mx +5=0上，则m=（ ）
A．4
B．5
C．-4
D．-5
【答案】B
【解题思路】先求出点P的对称点，代入圆的方程求解即可.
【解答过程】设Q (a,b)，则{
b+1
a
=−1
a
2 −b−1
2
+1=0)
⇒{
a=−2
b=1 )
所以Q (−2,1)
由题可知，(−2)
2+1
2−2m+5=0⇒m=5
故选：B.
【变式5-3】（2025·贵州黔南·二模）已知直线y = x +2k与直线y =−x的交点在圆x
2+ y
2= 4的内部，则实
数k的取值范围是（ ）
A．−1<k <1
B．−2<k <2
C．−3<k <3
D．−❑√2<k <❑√2
【答案】D
【解题思路】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得.
【解答过程】联立{
y = x +2k
y =−x )，解得{
y =k
x =−k)，即点(−k ,k )在圆x
2+ y
2= 4的内部，
即有(−k )
2+ k
2<4，解得−❑√2<k <❑√2.
故选：D.
【题型6 与圆有关的轨迹问题】
【例6】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段AB的端点B的坐标是(5,3)，端点A在圆x
2+ y
2= 4上运
动，则线段AB的中点M的轨迹方程为（ ）
A．(x−3
2)
2
+( y −3
2)
2
=1
B．(x−1
2)
2
+( y −3
2)
2
=1
C．(x−5
2)
2
+( y + 3
2)
2
=1
D．(x−5
2)
2
+( y −3
2)
2
=1
【答案】D
【解题思路】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.
【解答过程】设A (a,b)，M (x , y)，由M为AB的中点，则{
x = 5+a
2
y = 3+b
2 )
，即{
a=2 x−5
b=2 y −3)，
由点A在圆x
2+ y
2= 4上，则a
2+b
2= 4，即(2 x−5)
2+(2 y −3)
2= 4，
化简可得(x−5
2)
2
+( y −3
2)
2
=1.
故选：D.
【变式6-1】（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点A、B之间的距离为4，动点M满足
|MA)=3|MB)，则点M轨迹的长度为（ ）
A．3π
B．6π
C．9π
D．12π
【答案】A
【解题思路】建立平面直角坐标系，设点M (x , y)，根据|MA)=3|MB)求出点M的轨迹方程，结合圆的周
长公式可求得结果.
【解答过程】以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则点A (−2,0)、B (2,0)，
设点M (x , y)，由|MA)=3|MB)可得❑√(x +2)
2+ y
2=3
❑√(x−2)
2+ y
2，
整理可得x
2+ y
2−5 x + 4 =0，化为标准方程得(x−5
2)
2
+ y
2= 9
4 ，如下图所示：
所以，点M的轨迹是以点C(
5
2 ,0)为圆心，半径为3
2的圆，
因此，点M轨迹的长度为2π× 3
2 =3π.
故选：A.
【变式6-2】（25-26 高二上·重庆·开学考试）点P在圆x
2+ y
2=36上运动，它与点Q(4,0)所连线段中点为
M，则点M轨迹方程为（ ）
A．( x −2)
2+ y
2=9
B．( x +2)
2+ y
2=9
C．x
2+( y −2)
2=9
D．x
2+( y +2)
2=9
【答案】A
【解题思路】设点M (x , y)，结合中点坐标公式可得P(2 x−4,2 y)，进而代入x
2+ y
2=36即可求解.
【解答过程】设点M (x , y)，P(x0, y0)，
因为M为PQ的中点，
所以{
x = x0+ 4
2
y = y0
2 )
，则{
x0=2 x−4
y0=2 y )，即P(2 x−4,2 y)，
又因为动点P在圆上，所以(2 x−4)
2+(2 y)
2=36，
则x
2−4 x + y
2−5=0，即( x−2)
2+ y
2=9，
则点M轨迹方程为( x−2)
2+ y
2=9.
故选：A.
【变式6-3】（24-25 高一下·浙江·期中）已知点A (1,0)、B (4,0)，点P满足|BP)=2|AP)，记P的轨迹为C
，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的方程为x
2+ y
2=1
B．曲线C的方程为x
2+ y
2= 4
C．点P的轨迹所围成的面积为2π
D．点P的轨迹所围成的面积为8π
【答案】B
【解题思路】设点P(x , y)，由|BP)=2|AP)结合平面内两点间的距离公式化简可得曲线C的方程，确定曲
线C的形状，结合圆的相关知识求解即可.
【解答过程】设点P(x , y)，由|BP)=2|AP)可得❑√(x−4)
2+ y
2=2
❑√(x−1)
2+ y
2，
整理可得x
2+ y
2= 4，故曲线C的方程为x
2+ y
2= 4，
所以，曲线C是圆心为原点，半径为2的圆，故点P的轨迹所围成的面积为π×2
2= 4π，
B 对，ACD 错.
故选：B.
【题型7 圆系方程】
【例7】（24-25 高二上·江苏淮安·阶段练习）已知两直线x−2 y =0和x + y −6=0的交点为M，则以点M
为圆心，半径长为1 的圆的方程是（ ）
A．(x + 4)
2+( y +2)
2=1
B．(x−4)
2+( y −2)
2=1
C．(x + 4)
2+( y +1)
2=1
D．(x−2)
2+( y −1)
2=1
【答案】B
【解题思路】由题可得两直线交点，即可根据圆的标准方程性质求解圆的方程.
【解答过程】{
x−2 y =0
x + y −6=0)⇒{
x = 4
y =2)，则M (4,2)，又半径长为1，
则圆M 的方程为：(x−4)
2+( y −2)
2=1.
故选：B.
【变式7-1】（24-25 高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆x
2+ y
2−x + y −2=0和x
2+ y
2=5的交点，且圆心在
直线3 x + 4 y −1=0上的圆的方程为（ ）
A．x
2+ y
2+2 x−2 y −11=0
B．x
2+ y
2−2 x +2 y −11=0．
C．x
2+ y
2−2 x−2 y −11=0
D．x
2+ y
2+2 x +2 y −11=0
【答案】A
【解题思路】设所求圆的方程为x
2+ y
2−x + y −2+ λ(x
2+ y
2−5)=0,( λ≠−1)，求出圆心坐标代入直线
3 x + 4 y −1=0，求得λ，即可求得答案.
【解答过程】由题意设所求圆的方程为x
2+ y
2−x + y −2+ λ(x
2+ y
2−5)=0,( λ≠−1)，
即x
2+ y
2−
1
1+ λ x +
1
1+ λ y −2+5 λ
1+ λ =0，
圆心坐标为(
1
2(1+ λ) ,−
1
2(1+ λ))，代入3 x + 4 y −1=0中，
即
3
2(1+ λ) −
4
2(1+ λ) −1=0，解得λ=−3
2，
将λ=−3
2代入x
2+ y
2−
1
1+ λ x +
1
1+ λ y −2+5 λ
1+ λ =0中，即x
2+ y
2+2 x−2 y −11=0，
满足2
2+(−2)
2−4(−11)>0，
故所求圆的方程为x
2+ y
2+2 x−2 y −11=0，
故选：A.
【变式7-2】（2025 高二·辽宁·学业考试）过圆x
2+ y
2−2 y −4 =0与x
2+ y
2−4 x +2 y =0的交点，且圆心
在直线l:2 x + 4 y −1=0上的圆的方程是
．
【答案】x
2+ y
2−3 x + y −1=0
【解题思路】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线l的方
程，从而求出圆的方程.
【解答过程】设圆的方程为x
2+ y
2−4 x +2 y + λ( x
2+ y
2−2 y −4)=0(λ≠−1)，
则(1+ λ) x
2−4 x +(1+ λ) y
2+(2−2 λ) y −4 λ =0，
即x
2+ y
2−
4
1+ λ x + 2−2 λ
1+ λ y −4 λ
1+ λ =0，所以圆心坐标为(
2
1+ λ , λ−1
1+ λ)，
把圆心坐标(
2
1+ λ , λ−1
1+ λ)代入2 x + 4 y −1=0，可得λ= 1
3，
所以所求圆的方程为x
2+ y
2−3 x + y −1=0．
故答案为：x
2+ y
2−3 x + y −1=0.
【变式7-3】（24-25 高二上·安徽铜陵·期中）经过直线x−2 y =0与圆x
2+ y
2−4 x +2 y −4 =0的交点，且
过点(1,0)的圆的方程为
.
【答案】x
2+ y
2+3 x−12 y −4 =0
【解题思路】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所
求圆的方程.
【解答过程】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：x
2+ y
2−4 x +2 y −4 + λ(x−2 y)=0，
∵所求圆过点(1,0)，
∴−7+ λ =0，
解得λ =7，
所以圆的方程为x
2+ y
2−4 x +2 y −4 +7(x−2 y)=0，化简得x
2+ y
2+3 x−12 y −4 =0.
故答案为：x
2+ y
2+3 x−12 y −4 =0.
【题型8 定点到圆上点的最值（范围）】
【例8】（2025·陕西铜川·三模）已知圆C :( x−a)
2+( y −b)
2=1经过点A (3,4)，则其圆心到原点的距离的
最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解题思路】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可.
【解答过程】由圆C :( x−a)
2+( x−b)
2=1经过点(3,4)，可得(3−a)
2+(4−b)
2=1，
即(a−3)
2+(b−4)
2=1，故圆心(a,b)的轨迹是以A (3,4)为圆心，1 为半径的圆，
又|AO)=
❑√3
2+ 4
2=5，所以圆心到原点的距离的最大值为5+1=6.
故选：C.
【变式8-1】（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆C过点M 1(−3,−2), M 2(−2,−1), M 3(−2,−3)，点A在圆
C上，过点N 1(2,0)的直线l1与过点N 2(0,2)的直线l2互相垂直，且垂足为B，则|AB)的最大值为（ ）
A．3 ❑√2+1
B．3 ❑√2+2
C．4 ❑√2+1
D．4 ❑√2+2
【答案】C
【解题思路】根据圆的性质求出圆C的方程，再确定点B的轨迹方程，最后根据圆的性质求出| AB|的最
大值.
【解答过程】设圆C的方程为( x−a)
2+( y −b)
2=r
2.
因为圆C过点M 1(−3,−2)，M 2(−2,−1)，M 3(−2,−3)，将这三个点代入圆的方程可得：
{
(−3−a)
2+(−2−b)
2=r
2
(−2−a)
2+(−1−b)
2=r
2
(−2−a)
2+(−3−b)
2=r
2)
由(−2−a)
2+(−1−b)
2=(−2−a)
2+(−3−b)
2可得：(−1−b)
2=(−3−b)
2
1+2b+b
2=9+6b+b
2，即4 b=−8，解得b=−2.
将b=−2代入(−3−a)
2+(−2−b)
2=(−2−a)
2+(−1−b)
2可得：(−3−a)
2=(−2−a)
2+1
解得a=−2.把a=−2，b=−2代入(−3−a)
2+(−2−b)
2=r
2可得：r
2=(−3+2)
2+(−2+2)
2=1.
所以圆C的方程为( x +2)
2+( y +2)
2=1，圆心C(−2,−2)，半径r =1.
因为直线l1过点N 1(2,0)，直线l2过点N 2(0,2)，且l1⊥l2，所以点B的轨迹是以N 1 N 2为直径的圆.
N 1 N 2的中点坐标为( 2+0
2
, 0+2
2
)=(1,1)，| N 1 N 2|=
❑√(2−0)
2+(0−2)
2=2❑√2，则半径为2❑√2
2
= ❑√2.
所以点B的轨迹方程为( x−1)
2+( y −1)
2=2，圆心D(1,1)，半径R = ❑√2.
根据圆的性质，| AB|的最大值为圆心C与圆心D的距离加上两个圆的半径.
圆心C(−2,−2)与圆心D(1,1)的距离为|CD|=
❑√(−2−1)
2+(−2−1)
2= ❑√9+9=3 ❑√2.
所以| AB|的最大值为|CD|+ R+r =3 ❑√2+ ❑√2+1= 4 ❑√2+1.
则| AB|的最大值为4 ❑√2+1.
故选：C.
【变式8-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知点M (0,2)，N(
4
3 ,0)，过点M作直线交圆O：x
2+ y
2=9于A，
B两点，AB的中点为Q，则|NQ)的最小值为（ ）
A．1
3
B．2
3
C．1
D．4
3
【答案】B
【解题思路】依题意可得MQ⊥OQ，则点Q的轨迹是以O
′ (0,1)为圆心，1为半径的圆，从而求出|NQ)的
最小值.
【解答过程】因为Q为AB的中点，所以OQ⊥AB，设Q (x , y)，因为MQ⊥OQ，
所以点Q的轨迹是以O
′ (0,1)为圆心，1为半径的圆，
故|NQ)的最小值为|O
' N )−1= ❑√(
4
3)
2
+1
2−1= 5
3 −1= 2
3
.
故选：B.
【变式8-3】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B 的距离的比
值为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆．若平面内两定点A，B 间的距离为2，动点P 满足|PA)
|PB) = ❑√3，则|PA)
2+|PB)
2的最大值为（ ）
A．16+8 ❑√3
B．8+ 4 ❑√3
C．7+ 4 ❑√3
D．3+ ❑√3
【答案】A
【解题思路】以AB的中点为原点，AB所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设P(x , y)，A (−1,0)，
B (1,0)，由|PA)
|PB) = ❑√3，可得点P的轨迹方程为( x−2)
2+ y
2=3，数形结合得解.
【解答过程】以AB的中点为原点，AB所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，不妨取A (−1,0)，B (1,0)．
设P(x , y)，则
❑√( x +1)
2+ y
2
❑√( x−1)
2+ y
2 = ❑√3，整理得( x −2)
2+ y
2=3，
所以点P的轨迹方程为( x−2)
2+ y
2=3．
则|PA)
2+|PB)
2=(x +1)
2+ y
2+(x−1)
2+ y
2=2(x
2+ y
2+1)
x
2+ y
2可看作圆(x−2)
2+ y
2=3上的点(x , y)到原点(0,0)的距离的平方，
所以(x
2+ y
2)max=(2+ ❑√3)
2=7+ 4 ❑√3，所以[2(x
2+ y
2+1))max=16+8 ❑√3，
即|PA)
2+|PB)
2的最大值为16+8 ❑√3，
故选：A.
一、单选题
1．（2025·北京海淀·二模）圆心为(−1,2)且与x轴相切的圆的方程是（ ）
A．( x−1)
2+( y +2)
2=2
B．( x +1)
2+( y −2)
2=2
C．( x−1)
2+( y +2)
2= 4
D．( x +1)
2+( y −2)
2= 4
【答案】D
【解题思路】首先得到半径，即可得到圆的方程.
【解答过程】因为圆心为(−1,2)且与x轴相切，所以半径r =2，
则圆的方程为( x +1)
2+( y −2)
2= 4.
故选：D.
2．（2025·四川眉山·三模）方程x
2+ y
2−2 x +2 y =a表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2,+ ∞)
B．(2,+∞)
C．[−2,+∞)
D．(−2,+ ∞)
【答案】D
【解题思路】根据圆的一般方程可得出关于实数a的不等式，解之即可.
【解答过程】若方程x
2+ y
2−2 x +2 y −a=0表示圆，则(−2)
2+2
2+ 4 a=8+ 4 a>0，解得a>−2，
因此，实数a的取值范围是(−2,+∞).
故选：D.
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知圆O：x
2+ y
2=2，点A(m ,n)和点B(p,q)在圆O上，满足
mp+nq=−1，则m +n+ p+q最大值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．4 ❑√2
【答案】B
【解题思路】将点A ,B代入圆O中得m
2+n
2=2, p
2+q
2=2并结合mp+nq =−1，可得
(m+ p)
2+(n+q)
2
2
=1，再使用重要不等式求解即可.
【解答过程】由题意可知，点A(m,n),B( p,q)在圆O: x
2+ y
2=2上，
所以m
2+n
2=2, p
2+q
2=2，
因为mp+nq =−1，
所以m
2+n
2+ p
2+q
2+2(mp+nq)=2，
所以(m+ p)
2+(n+q)
2
2
=1，
又因为(m+ p)
2+(n+q)
2
2
≥( m+ p+n+q
2
)
2
，
所以m+n+ p+q≤2，当且仅当m+ p=n+q取等号.
故选：B.
4．（2025·河北邯郸·一模）“a∈(−∞, −3)∪(2, + ∞)”是“点(−1, −2)在圆
x
2+ y
2−ax−2 y +a
2−15=0外部”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点(−1, −2)在圆x
2+ y
2−ax−2 y +a
2−15=0
外部”化为a∈(−8 ❑√3
3
,−3)∪(2, 8 ❑√3
3 )，据此可得答案.
【解答过程】因点(−1, −2)在圆x
2+ y
2−ax−2 y +a
2−15=0外部，
则{
(−1)
2+(−2)
2−a⋅(−1)−2×(−2)+a
2−15>0
(−a)
2+(−2)
2−4(a
2−15)>0
)，即{
a
2+a−6>0
−3a
2+64>0)，
解得：a∈(−8 ❑√3
3
,−3)∪(2, 8 ❑√3
3 ).
注意到(−8 ❑√3
3
,−3)∪(2, 8 ❑√3
3 )是(−∞, −3)∪(2, +∞)的真子集，
则由“a∈(−∞, −3)∪(2, +∞)”不能得到“点(−1, −2)在圆x
2+ y
2−ax−2 y +a
2−15=0外部”，
由“点(−1, −2)在圆x
2+ y
2−ax−2 y +a
2−15=0外部”可得到“a∈(−∞, −3)∪(2, +∞)”，
即“a∈(−∞, −3)∪(2, +∞)”是“点(−1, −2)在圆x
2+ y
2−ax−2 y +a
2−15=0外部”的必要不充分
条件.
故选：B.
5．（2025·广东惠州·模拟预测）已知圆x
2+ y
2= 4，直线l：y = x +b，若圆上恰有三个点到直线l的距离等
于1，则b 的值为（ ）
A．0
B．±1
C．± ❑√2
D．±3 ❑√2
【答案】C
【解题思路】先根据圆的方程得出圆心坐标和半径；再根据题意分析得出圆心O 到直线l：x−y +b=0的
距离d 为1；最后利用点到直线距离公式等式求解即可.
【解答过程】圆x
2+ y
2= 4的圆心坐标是O(0,0)，半径为2.
因为圆上恰有三个点到直线l距离等于1，
所以圆心O 到直线l：x−y +b=0的距离d 为1，即|b)
❑√2 =1，得b=± ❑√2.
故选：C.
6．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，若从点A (0,t )发出的光线经过点B (1,0)，且被x轴
反射后将圆C :(x−4)
2+( y −3)
2=1平分，则实数t =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解题思路】点A关于x轴的对称点为M (0,−t )，分析可知，点M、B、圆心C (4,3)三点共线，结合
k BM =k BC可求得t的值.
【解答过程】如下图所示：
点A关于x轴的对称点为M (0,−t )，
由对称性可知，点M、B、圆心C (4,3)三点共线，则k BM =k BC，即0+t
1−0 = 3−0
4−1，解得t =1.
故选：A.
7．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)上到直线y = ❑√3 x +2的距离为1 的点有且仅
有2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．(0,1)
B．(1,3)
C．(3,+∞)
D．(0,+∞)
【答案】B
【解题思路】先求出圆心E (0,−2)到直线y = ❑√3 x +2的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【解答过程】由题意，
在圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)中，圆心E (0,−2)，半径为r，
到直线y = ❑√3 x +2的距离为1的点有且仅有 2个，
∵圆心E (0,−2)到直线y = ❑√3 x +2的距离为：d =|0×❑√3−(−2)×1+2)
❑√(❑√3)
2+(−1)
2
=2，
故由图可知，
当r =1时，
圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)上有且仅有一个点（A点）到直线y = ❑√3 x +2的距离等于1；
当r =3时，
圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)上有且仅有三个点（B ,C , D点）到直线y = ❑√3 x +2的距离等于1；
当则r的取值范围为(1,3)时，
圆x
2+( y +2)
2=r
2(r >0)上有且仅有两个点到直线y = ❑√3 x +2的距离等于1.
故选：B.
8．（24-25 高二下·湖南·期中）曲线|y)=cos x +1(0≤x ≤π)和曲线x
2+(|y)−1)
2=1(x ≤0)组合围成“心
形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线C，曲线C所围成的“心形”区域的面积等于（ ）
A．π+6
B．π+8
C．3π
D．4π
【答案】C
【解题思路】首先分析在第一象限的图形，发现第一象限的面积等于曲线与x , y轴的交点及坐标原点所围
成的直角三角形的面积，
由对称性可求得第四象限的面积，再计算第二、三象限面积，为两个半圆，由此可算得“心形”区域的面
积.
【解答过程】如图所示，设F (π,0), E (0,2)，线段EF的中点为G(
π
2 ,1)，
因为曲线y =cos x +1(0≤x ≤π)关于点G对称，
所以可将曲线y =cos x +1(0≤x ≤π)与x轴，y轴围成的区域割补为直角三角形OEF的区域，
于是曲线y =cos x +1(0≤x ≤π)与x轴，y轴围成的区域面积就是直角三角形OEF的面积，
即S△OEF = 1
2|OE)⋅|OF)= 1
2 ×2×π=π；
根据对称性，可得曲线y =−cos x−1(0≤x ≤π)与x轴，y轴围成的区域面积为π，
又曲线C所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为1
2 ×π×1
2+ 1
2 ×π×1
2=π，
所以曲线C所围成的“心形”区域的面积等于π+π+π=3π.
故选：C.
二、多选题
9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知圆C : x
2+ y
2+ 4 y −5=0的圆心C到直线x +2 y +m=0与距离为2❑√5，
则实数m的值为（ ）
A．−6
B．−2❑√5
C．14
D．2❑√5
【答案】AC
【解题思路】根据圆心到直线的距离可以列出关于m方程，再解方程即可得到m的取值.
【解答过程】因为圆的方程为x
2+ y
2+ 4 y −5=0，所以圆心C为(0,−2)，
又因为点C到直线x +2 y +m=0的距离为|0+2×(−2)+m)
❑√1
2+2
2
=2❑√5，
所以|m−4)=10，解得m=−6或14.
故选：AC.
10．（2025·陕西咸阳·二模）已知圆C 的方程为x
2+ y
2−8 x +12=0，点M (x0, y0)是圆C 上任意一点，O
为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆C 的半径为2
B．满足|OM )=5.5的点M 有1 个
C．x0+2 y0的最大值为4 +2❑√5
D．若点P 在x 轴上，则满足|OM )=2|PM )的点P 有两个
【答案】AC
【解题思路】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的
最值可判断选项B；令x0+2 y0=t，然后根据点M在圆上，借助一元二次方程有解求解x0+2 y0的最值，
即可判断选项C；设出点P的坐标，利用待定系数法可判断选项D．
【解答过程】选项A：圆的方程可化为(x−4)
2+ y
2= 4，所以圆心C(4,0)，半径等于2，故A 正确；
选项B：由于|OC |= 4，所以圆C上任意一点到原点的最大距离是4 +2=6，
最小距离是4−2=2，因此满足|OM )=5.5的点有两个，故B 错误；
选项C：令x0+2 y0=t，则x0=t −2 y0，所以M (t −2 y0, y0)，
将点M (x0, y0)的坐标代入圆C的方程并整理，得5 y0
2+(16−4 t ) y0+(t
2−8t +12)=0，
依题意有Δ=(16−4 t )
2−20(t
2−8t +12)≥0，即t
2−8t −4≤0，
解得4−2❑√5≤t ≤4+2❑√5，因此x0+2 y0的最大值为4 +2❑√5，故C 正确．
选项D：不妨设P(a,0)，由于|OM )=2|PM )，所以❑√x0
2+ y0
2=2
❑√( x0−a)
2+ y0
2，
整理得x0
2+ y0
2−8a
3 x0+ 4 a
2
3 =0．
因为点M (x0, y0)在圆C上，所以x0
2+ y0
2−8 x0+12=0，则(
8a
3 −8)x0+(12−4 a
2
3 )=0，
因为x0为点M的横坐标，且点M为圆C上任意一点，
所以{
8a
3 −8=0
12−4 a
2
3 =0)
，得a=3，
所以符合要求的点P是唯一的，故D 错误．
故选：AC.
11．（2025·贵州黔南·三模）经过A (1,0)，B (0,1)两点的曲线C :a x
2+b y
2−|xy)=1如图所示，关于曲线
C，下列说法正确的是（ ）
A．a=b=1
B．曲线C经过的整数点个数为4 个
C．x , y的取值范围均为[−2❑√3
3
, 2❑√3
3 )
D．若点P在曲线C上，则以OP为半径的圆的面积的最大值为2π
【答案】ACD
【解题思路】对于A，将已知点代入方程，可得正误；对于B，利用赋值法，由一元二次方程，可得正
误；对于C，由一元二次方程根的存在性判别，可得正误；对于D，由基本不等式，结合圆的面积，可得
正误.
【解答过程】对于A，将A (1,0)与B (0,1)代入方程a x
2+b y
2−|xy)=1，可得{
a=1
b=1)，故A 正确；
对于B，由A 可知曲线C : x
2+ y
2−|xy)=1，当x =0时，y
2=1，解得y =±1；
当x =1时，1+ y
2−|y)=1，解得y =−1或0或1；同理可得当x =−1时，y =−1或0或1；
当x =m，|m)≥2，m∈Z时，m
2+ y
2−|my)=1，即y
2±my +m
2−1=0，
由Δ= m
2−4(m
2−1)= 4−3m
2<0，则方程无解，
综上可得曲线C经过的整数点有(0,1)，(0,−1)，(1,−1)，(1,0)，(1,1)，(−1,−1)，
(−1,0)，(−1,1)，共8个，故B 错误；
对于C，将曲线C的方程等价转化为关于y的一元二次方程y
2± xy + x
2−1=0，
则Δ= x
2−4(x
2−1)= 4−3 x
2≥0，解得−2❑√3
3
≤x ≤2❑√3
3
，
同理可得−2❑√3
3
≤y ≤2❑√3
3
，故C 正确；
对于D，x
2+ y
2=1+|xy)≤x
2+ y
2
2
+1，当且仅当|x)=|y)时，等号成立，
由x
2+ y
2≤x
2+ y
2
2
+1，则x
2+ y
2≤2，即OP的最大值为❑√2，所以圆的面积最大值为2π，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025·上海杨浦·模拟预测）设a∈R.已知方程x
2+ y
2−4 x +a=0表示的曲线是一个圆，则a的取值
范围为
.
【答案】(−∞,4)
【解题思路】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围.
【解答过程】因为(x −2)
2−4 + y
2+a=0，变形得(x −2)
2+ y
2= 4−a，
所以4−a＞0，解得a＜4.
故答案为：(−∞,4).
13．（2025·河南·模拟预测）已知圆C的圆心在直线x +3 y −8=0上，且圆C经过点(6,0)，(0,−2)，则圆
C的方程是
.
【答案】( x−2)
2+( y −2)
2=20
【解题思路】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方
程，再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程.
【解答过程】点(6,0)和点(0,−2)的中点为(3,−1)，
点(6,0)和点(0,−2)的斜率为0−(−2)
6−0
= 1
3，
则点(6,0)和点(0,−2)的垂直平分线的斜率为−3，
可得点(6,0)和点(0,−2)的垂直平分线的方程为3 x + y −8=0，
设圆心为(x , y)，由题意联立方程：
{
x +3 y =8
3 x + y =8)解得x =2，y =2，半径r =
❑√(6−2)
2+(0−2)
2=2❑√5，圆方程为( x −2)
2+( y −2)
2=20.
故答案为：( x −2)
2+( y −2)
2=20.
14．（2025·湖北十堰·三模）定义：min(P ,C)表示点P到曲线C上任意一点的距离的最小值．已知P是圆
(x −1)
2+ y
2=9上的动点，圆C : x
2+ y
2=1，则min(P ,C)的取值范围为
．
【答案】[1,3)
【解题思路】记O为坐标原点，作出图形，求出|OP)的取值范围，即可得出min(C , P)=|OP)−1的取值范
围.
【解答过程】记O为坐标原点，圆C的圆心为原点，圆C的半径为1，
由圆的几何性质可知，min(C , P)=|OP)−1，
且|AP)−|OA)≤|OP)≤|AP)+|OA)，即3−1≤|OP)≤3+1，即2≤|OP)≤4，
当且仅当点P(−2,0)时，|OP)取最小值，当且仅当点P(4,0)时，|OP)取最大值，
故min(C , P)=|OP)−1∈[1,3).
故答案为：[1,3).
四、解答题
15．（24-25 高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：
(1)圆心为C (−3,4)，半径是❑√5；
(2)圆心为C (−8,3)，且经过点M (−5,−3).
【答案】(1)( x +3)
2+( y −4)
2=5
(2)(x +8)
2+( y −3)
2= 45
【解题思路】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程；
（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．
【解答过程】（1）∵圆心在C(−3,4)，半径长是❑√5，
故圆的标准方程为( x +3)
2+( y −4)
2=5．
（2）∵圆心在C(−8,3)，且经过点M (−5,−3)，
故半径为|MC)=
❑√(−5+8)
2+(−3−3)
2=3 ❑√5，
故圆的标准方程为(x +8)
2+( y −3)
2= 45．
16．（25-26 高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知△ABC的顶点A (−1,−1)，C (1,−1)，线段AB的垂直平分
线方程为x + y =0.
(1)求直线BC的方程；
(2)求△ABC外接圆的标准方程.
【答案】(1)x =1
(2)x
2+ y
2=2
【解题思路】（1）由题可得点A ,B关于直线x + y =0对称，可得B (1,1)，可得直线方程；
（2）由（1）设△ABC外接圆方程一般式为：x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，代入A，B，C 三点坐标可得答案.
【解答过程】（1）∵线段AB的垂直平分线为x + y =0，
∴可知点A ,B关于直线x + y =0对称.
∵A (−1,−1)，∴B (1,1)，BC ⊥x轴，直线BC : x =1.
（2）由（1），A (−1,−1)，B (1,1)，C (1,−1).
设△ABC外接圆方程一般式为：x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，
则{
2−D−E+ F =0
2+ D+ E+ F =0
2+ D−E+ F =0)
⇒{
D =0
E =0
F =−2)，则x
2+ y
2−2=0.
即圆的标准方程为：x
2+ y
2=2.
17．（2025 高二·全国·专题练习）已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3)，B(3,3)两点．
(1)求圆C的方程；
(2)若P为圆C上任意一点，定点M (8,0)，点Q满足⃗PM =3⃗QM，求点Q的轨迹．
【答案】(1)( x −2)
2+ y
2=10
(2)以(6,0)为圆心，
❑√10
3
为半径的圆
【解题思路】（1）从A，B两点坐标可看出线段AB平行于x轴，则它的垂直平分线垂直于x轴，所以线段
的垂直平分线与x轴的交点为圆心,圆心到点A ,B的距离为半径，从而得到求圆C 的方程．
（2）设Q (x , y),P(x0, y0),将向量式⃗PM =3⃗QM进行坐标表示，得到x与x0，y与y0的关系，因为点P为
圆C上任意一点，所以利用圆C的方程(即x与x0关系)，进而得到y与y0的关系(即点Q 的轨迹方程)，从而
得到点Q 的轨迹.
【解答过程】（1）因为圆C过A,B 两点,所以圆心C 在线段AB的垂直平分线上.
因为A (1,3),B (3,3),所以线段AB的中点为(2,3),直线AB 的斜率k AB=0，
所以线段AB的垂直平分线斜率不存在,方程为:x =2.
因为圆C 的圆心在x轴上,所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点为圆心,所以圆心为C (2,0).
又半径r =| AC |= ❑√10，所以圆C的方程为:( x−2)
2+ y
2=10．
（2）设Q( x , y)，P(x0, y0)．由⃗PM =3⃗QM，得(8−x0,−y0)=3(8−x ,−y),
所以{
8−x0=24−3 x ,
−y0=−3 y , )即{
x0=3 x−16,
y0=3 y . )
因为点P(x0, y0)在圆C上，所以(x0−2)
2+ y0
2=10，所以(3 x−18)
2+(3 y)
2=10，
化简整理得Q的轨迹方程为:( x−6)
2+ y
2= 10
9 ，
所以点Q的轨迹是:以(6,0)为圆心，
❑√10
3
为半径的圆．
18．（24-25 高二上·重庆·期末）已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2,−2)，且圆心C 在直线
l: x−y +1=0上．
(1)求圆心为C 的圆的一般方程；
(2)已知P(2,1)，Q 为圆C 上的点，求|PQ)的最大值和最小值．
【答案】(1)x
2+ y
2+6 x + 4 y −12=0
(2)最大值为❑√34+5，最小值为❑√34−5
【解题思路】（1）直接设圆心坐标并建立|CA)=|CB)方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程；
（2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可.
【解答过程】（1）∵圆心C 在直线l: x−y +1=0上，不妨设C (a,a+1)，半径r，
则|CA)
2=(a−1)
2+a
2=|CB)
2=(a−2)
2+(a+3)
2=r
2⇒a=−3,r =5，
∴圆心C 坐标为C (−3,−2)，则圆C 的方程为(x +3)
2+( y +2)
2=25；
其一般方程为x
2+ y
2+6 x + 4 y −12=0.
（2）由（1）知圆C 的方程为(x +3)
2+( y +2)
2=25，
∴|PC)
2=(2+3)
2+(1+2)
2=34>25，∴P 在圆C 外，
∴|PQ)的最大值为|PC)+r = ❑√34 +5，最小值为|PC)−r = ❑√34−5．
19．（24-25 高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ : y = x
2−mx +2m(m∈R)与x 轴
交于不同的两点A，B，曲线Γ与y 轴交于点C.
(1)是否存在以线段AB 为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)试确定：过A，B，C 三点的圆是否过定点.
【答案】(1)存在，(x + 1
4)
2
+ y
2= 17
16
(2)过定点(0,1)或(
2
5 , 4
5)
【解题思路】（1）令y =0，得x
2−mx +2m=0，根据⃗AC ⋅⃗BC =0结合韦达定理得到m=−1
2，得到半径
和圆心，得到圆方程.
（2）设过A，B，C 的圆P 的方程为( x −a)
2+( y −b)
2=r
2列出方程组利用圆系方程，推出圆P 方程恒过定
点即可.
【解答过程】（1）由曲线Γ : y = x
2−mx +2m(m∈R)，令y =0，得x
2−mx +2m=0，
设A(x1,0),B(x2,0)，则可得Δ=m
2−8m>0，x1+ x2=m，x1 x2=2m．
令x =0，得y =2m，即C (0,2m)．若存在以AB 为直径的圆过点C，
则⃗AC ⋅⃗BC =0，得x1 x2+ 4 m
2=0，即2m+ 4 m
2=0，
所以m=0或m=−1
2．由Δ=m
2−8m>0，得m<0或m>8，所以m=−1
2，
此时C (0,−1)，AB 的中点M(−1
4 ,0)即圆心，半径r =|CM )=
❑√17
4
，
故所求圆的方程为( x + 1
4 )
2
+ y
2= 17
16 ．
（2）设过A，B，C 的圆P 的方程为( x−a)
2+( y −b)
2=r
2，
满足{
( x1−a)
2+b
2=r
2
( x2−a)
2+b
2=r
2
a
2+(2m−b)
2=r
2
x1 x2=2m，x1+ x2=m)
⇒{
a= m
2
r
2= 5m
2
4 −m
b=m+ 1
2 )
+ 1
4 ，
代入P 得( x−m
2 )
2
+( y −m−1
2 )
2
= 5m
2
4 −m+ 1
4
，
展开得(−x−2 y +2)m+ x
2+ y
2−y =0，
当{
−x−2 y +2=0
x
2+ y
2−y =0 )，即{
x =0
y =1)或{
x = 2
5
y = 4
5)
时方程恒成立，
所以圆P 方程恒过定点(0,1)或(
2
5 , 4
5)．
