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第20 题 三次函数的零点问题（解透一题）
（2025 届重庆南开中学高三第一次质量检测多选题T11）
若函数
有三个零点
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若
成等差数列，则
D．若
成等比数列，则
试题问题背景是人教版教科书a 版必修2P81 页探究代数基本定理基础上，深入考察一元多
项式方程根与系数之间的关系. 代数基本定理是处理多项式函数的零点问题的重要方法，
注重知识的数学价值及应用功能，注重综合问题的分析及解决，体现了知识应用的融会贯
通.
【方法一】 代数基本定理+韦达定理
根据零点的性质，结合二次函数的两根式类比推理可得
，进
而得出三次方程的韦达定理进行研究.
因为函数
有三个零点
，
所以
，
变形为
，
比较可得
.
对于A:
因为
(等号不成立)
所以
，即
错误. 故A 错
对于B：
则
，
所以
，同理可求
，
，
那么
故B 对．
对于C：由
成等差数列可得
， 结合（1），则
代入（2），（3）有
故C 对．
对于D：
， 结合（1），（2）（3）消
有
，
故D 错．
答案选BC.
【方法二】导数法定零点个数
三次函数有三个零点的条件如下：
1.导函数的判别式：设关于x 的三次函数为
（这里取
），其定
义域为R，)f(x)的导函数为
，该导函数是一个二次函数，其判别式为
，三次函数有三个零点时，导函数的判别式必须大于零，即
.
2.极值点的函数值异号：如果一元三次函数有三个不同的零点，那么它的极大值和极小值
必须异号，也就是说，极大值为正，极小值为负.
以上两个条件是三次函数有三个零点的基本条件.需要注意的是，这些条件是在实数范围内
讨论的.
对于A：当
时，
，
在
上单调递增，
仅一
个零点．
本题貌似考察导数的问题，实质结合代数基本定理主要考查三次方程零点式及三次方程韦
达定理．
要求我们深挖教材.
设实系数一元二次方程
①，有两根
，
则方程可变形为
，展开得
②，
比较①②可以得到
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次
项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二
次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程
有三个根
，则有
③
1．若二次函数
有两个零点
、
，则
，类比此，
若三次函数
有三个零点
、
、
，则
．
【答案】
【分析】根据零点的性质，结合类比推理可得答案.
【详解】若二次函数
有两个零点
，
则
，
类比此，若三次函数
有三个零点
，
则
，
故答案为：
.
2．若实数系一元二次方程
在复数集
内的根为
，
，则有
，所以
，
(韦达定理)，类
比此方法求解如下问题：设实数系一元三次方程
在复数集
内的根为
，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件
，在类比一元二次方程，
求出常数项和一次项系数即可求解.
【详解】因为实数系一元三次方程
在复数集
内的根为
，
，
，
所以
，
由对应系数相等，得
，
，所以
，
，
所以
.
故选：A.
3．已知三次函数
有三个不同的零点
，函数
也有三个零点
，则（ ）
A．
B．若
成等差数列，则
C．
D．
【答案】ABD
【分析】求导根据两个极值点即可求解A，根据
关于
对称，结合等
差中项即可求解B，根据图象即可求解C，利用因式分解可得
，即可利用三元平方关系求解D.
【详解】由
可得
，
要使
有三个不同的零点
，
则
有两个不相等的实数根，故
，
即
，A 正确，
由于
为二次函数，关于
对称，因此
，
故
关于
对称，
因此
成等差数列，故
是
的对称中心，则
，故B 正确，
当
时，作出
的图象，则
的图象与
的图象交点如图所示，
由于
，故
，故C 错误，
对于D，根据
，
展开可得
，
故
，
同理可得
的三个实数根为
，
则
，
故
，
因此
，
故
，
即得
，故D 正确，
故选：ABD
关键点点睛：根据因式分解可得
，进而
根据
求解.
4．若
，
是函数
（
，
）的导函数的两个不同零点，
且
，
，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【分析】求出
，利用韦达定理、等差中项、等比中项可得答案.
【详解】∵
∴
，
，
所以
为两个不等的负数，不妨设
，则必有
，2 成等差数列，
，2，
成等比数列，故有
，
，解得
，
，
可得
，
，
.
故选：A.
5．函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条
件是函数
为奇函数．已知函数
．
(1)若函数
的对称中心为
，求函数
的解析式．
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元
次复系数多项式
在复数集中可以分
解为n 个一次因式的乘积．进而，一元n 次多项式方程有n 个复数根（重根按重数计）．
如设实系数一元二次方程
，在复数集内的根为
，
，则方程
可变形为
，展开得：
则有
，即
，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系
数的关系．
①若
，方程
在复数集内的根为
，当
时，求
的最大
值；
②若
，函数
的零点分别为
，求
的值.
【答案】(1)
.
(2)
.
【分析】（1）确定
为奇函数，根据
得到
，解得答案；
（2）①根据根与系数的关系确定
，代入计算得到
，根据
范围得到最值；②取
变换得到
，得到根与系数的关系，确定
，计算得到答案.
【详解】（1）由
为奇函数，则
恒成立.
即
，
整理得：
恒成立，故
，解得
，
故
.
（2）①若
，则
，由题有
的三个实根为
.
设
，
展开得
，
故
，
则
，
又
，故
，
综上：当
时，
的最大值为
；
②
时，
，由
有
，
同时除以
得
，令
，
，
，
由题知
是方程
的三个根，
则
，
展开得
，
，
则
.
【点睛】方法点睛：整体换元法可以简化分式的大部分运算，也体现了数学中转化思想.
6．阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程
，则
，展
开得:
，比较系数得:
，于是
.
(1)已知一元三次方程
的三个根为
，类
比于上述推导过程，求
;
(2)已知
，若存在三个不相等的实数
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把式子展开再应用待定系数法即可求值；
（2）根据函数求出导函数，根据导数正负得出函数单调性，再画出图像数形结合
与
有三个交点，即可求参数范围.
【详解】（1）由题意知
，
展开得:
，
比较系数得
即
.
（2）令
是
的三个根，
即为
的三个不等根，由上知
.
，
于是
单调递减，
单调递增，
单调递增，
且
函数
的大致图象如下:
为使得
与
有三个交点，
则
故
