第02 讲 直线方程综合大题归类
目录
思维导
图...........................................................................................................................................................2
高考分析................................................................................................................................................2
学习目标................................................................................................................................................3
知识要点................................................................................................................................................3
解题策略................................................................................................................................................9
题型归纳..............................................................................................................................................10
题型01： 求直线方程.................................................................................................................10
题型02：三角形中线所在直线问题..............................................................................................13
题型03：三角形高所对应直线方程..............................................................................................15
题型04：解三角形角平分线对应直线..........................................................................................16
题型05：距离问题.......................................................................................................................20
题型06：求三角形边对应的直线方程..........................................................................................22
题型07：截距与长度...................................................................................................................22
题型08：面积最值.......................................................................................................................24
题型09：折叠问题.......................................................................................................................27
题型10：三条直线问题................................................................................................................28
题型11： 直线与曲线方程..........................................................................................................29
题型12： 直线方程的应用题.......................................................................................................30
巩固提升..............................................................................................................................................31
直线方程相关内容在高考中较少以独立综合大题的形式出现，更多是作为解析几何的基础内容，融入到
其他综合大题中进行考查。
考查形式与分值：直线方程相关考点单独出解答题的频率较低，一般会与圆、圆锥曲线等结合，作为综
合大题中的某一问，如在求圆锥曲线的弦长、直线与圆锥曲线交点坐标等问题中，先设出直线方程再联立求
解。若在综合题中涉及，分值大概占4-8 分。
• 常见考点
1.直线方程的建立与求解：根据已知条件（如两点坐标、一点和斜率、直线所过定点及其他约束条件）
选择合适的直线方程形式准确求出直线方程，这是解决后续问题的基础。
2.直线与其他图形的位置关系：与圆结合时，常考直线与圆的相交、相切问题，涉及弦长计算、切线方
程求解等，需利用点到直线距离公式等；与圆锥曲线结合时，主要考查直线与圆锥曲线的交点情况，通过
联立方程，利用韦达定理解决弦长、中点、定点、定值、最值等问题。
3.距离与对称问题：包括点到直线的距离、两平行直线间的距离等的计算，以及点关于直线对称、直线
关于直线对称等问题，常作为解题的关键环节出现。
• 命题特点与趋势
1.注重基础与综合：对直线方程的基本概念、公式等基础内容要求熟练掌握，同时强调其与其他知识板
块的融合，突出知识的综合性和交汇性，考查学生综合运用知识解决问题的能力。
2.难度与计算量趋于稳定：整体难度适中，一般不会出现特别复杂的直线方程推导或计算。随着高考命
题对数学思维和核心素养考查的加强，更注重通性通法的应用，减少繁琐计算，强调思维的灵活性和逻辑性。
3. 数学思想渗透明显：重点渗透数形结合思想，要求学生能将直线方程的代数形式与几何图形相互转化，
通过图形直观分析问题，再利用代数运算求解，同时也会涉及函数与方程、分类讨论等思想。
备考时，应熟练掌握直线方程的各类基础知识和基本方法，加强直线与圆、圆锥曲线等综合题的训练，
提升分析问题和解决问题的能力，尤其要注重对数学思想方法的理解与运用。
1. 概念理解：掌握直线的倾斜角、斜率的定义及计算方法，理解直线方程与直线上点的坐标关系。
2. 方程形式：熟练掌握点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等直线方程的推导过程、适用条件及
相互转化。
3. 应用能力：能根据已知条件（如两点、一点和斜率、截距等）准确求出直线方程；能利用直线方程解
决两直线的位置关系（平行、垂直）判断、交点坐标求解等问题。
4. 思想运用：体会数形结合思想，能将几何问题转化为代数问题求解，反之能用代数运算解释几何意义。
一．直线的方程五种形式的选择
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l 经过一点
，斜率为k，则方程
叫作直线l 的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角
，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式
表示，但因为l 上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角
，则直线的
斜率
，直线的方程为
.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l 的斜率为k，在y 轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l 的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y 轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
3．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l 经过两点
(
)，则方程
叫作直线l 的两点
式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点
，且
时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当
时，直线方程为
(或
).
③当
时，直线方程为
(或
).
4．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l 在x 轴上的截距为a，在y 轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程
叫作直线l 的
截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l 在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能
表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x 轴上的截距、y 轴上的截距，且都不为0 时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x 轴上的截距、y 轴上的截距，且都为0 时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.、
5．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y 的二元一
次方程Ax+By+C=0(其中A,B 不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B 不全为0)：
当B≠0 时，方程Ax+By+C=0 可以写成y=
x
，它表示斜率为
，在y 轴上的截距为
的直线.特别地，当A=0 时，它表示垂直于y 轴的直线.
当B=0 时，A≠0，方程Ax+By+C=0 可以写成x=
，它表示垂直于x 轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
直线方程的五种形式
方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x 轴垂直
的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x 轴垂直
的直线
①已知在y 轴上的截距；
②已知斜率
两点式
不能表示与x 轴、
y 轴垂直的直线
①已知两个定点；②已知
两个截距
截距式
不能表示与x 轴垂
直、与y 轴垂直、过
原点的直线
①已知两个截距；②已知
直线与两条坐标轴围成的
三角形的面积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B 不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结果均
可以化为一般式方程
二．中点坐标及重心坐标公式
中点坐标公式
1
1, y
x
A
，
2
2, y
x
B
，
0
0, y
x
M
为AB 的中点，则：
2
2
2
1
0
2
1
0
y
y
y
x
x
x
三角形重心坐标公式
3
3
3
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
0
0
3
3
2
2
1
1
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
ABC
y
x
M
y
x
C
y
x
B
y
x
A
重心
为
三．两条直线的位置关系
1．两直线的平行关系
(1) 对于两条不重合的直线1
2
,
l l ，其斜率为
1
2
,
k k ，有1
2
1
2
/ /
l
l
k
k
.
(2)对于两条直线1
1
1
1
2
2
2
2
:
0,
:
0
l
A x
B y
C
l
A x
B y
C
，
有1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
/ /
0,
0
l
l
A B
A B
AC
A C
.
两条直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
2．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线1
2
,
l l ，其斜率为
1
2
,
k k ，有1
2
1
2
1
l
l
k k
.
(2)对于两条直线1
1
1
1
2
2
2
2
:
0,
:
0
l
A x
B y
C
l
A x
B y
C
，有1
2
1
1
2
2
0
l
l
A B
A B
.
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3.两条直线的交点
（1）.两条直线相交：对于两条直线1
1
1
1
2
2
2
2
:
0,
:
0
l
A x
B y
C
l
A x
B y
C
，若
1
2
2
1
0
A B
A B
，则方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐
标.
（2）.两条直线1
1
1
1
2
2
2
2
:
0,
:
0
l
A x
B y
C
l
A x
B y
C
，联立方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
，
若方程组有无数组解，则1
2
,
l l 重合．
或者．若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C
，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C
，则方程组无解，此时两直线平行；
若有
1
1
2
2
A
B
A
B
，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．
四．距离公式
1．两点间的距离公式
设两点
1
1
1
2
2
2
( ,
),
(
,
)
P x y
P x
y
，则
2
2
1
2
2
1
2
1
(
)
(
)
PP
x
x
y
y
.
2．点到直线的距离公式
设点
0
0
0
(
,
)
P x
y
，直线:
0
l Ax
By
C
，则点
0
0
0
(
,
)
P x
y
到直线:
0
l Ax
By
C
的距离
0
0
2
2
Ax
By
C
d
A
B
.
3．两平行线间的距离公式
设两条平行直线1
1
2
2
:
0,
:
0
l
Ax
By
C
l
Ax
By
C
，则这两条平行线之间的距离
1
2
2
2
C
C
d
A
B
.
五．对称问题
1.中点坐标公式：
2
2
2
1
0
2
1
0
y
y
y
x
x
x
2.中心对称：点A(x0，y0)关于点P(m，n)的对称点坐标为(2m－x0,2n－y0)；曲线(直线)f(x，y)＝0 关于点
P(m，n)对称的曲线(直线)方程为f(2m－x,2n－y)＝0；特别地，点P(x0，y0)关于原点的对称点为(- x0，- y0)．
3.轴对称：（1）点P(x，y)关于直线Ax＋By＋C＝0 的对称点P0(x0，y0)，满足如下关系：
4.特殊的轴对称：（i）点P(x0，y0)关于x 轴、y 轴，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n 的
对称点的坐标依次为(x0，－y0)、(－x0，y0)、(2m－x0，y0)、(x0,2n－y0)、(y0，x0)、(－y0，－x0)、(y0
－m，x0＋m)、(－y0＋n，－x0＋n)
5.曲线(直线)f(x，y)＝0 关于x 轴，y 轴，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n 对称的曲线(直
线)方程依次为：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、
f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0．
（一）点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点
1
1
(
)
P x
y
，
关于点
0
0
(
)
Q x
y
，
的对称点为
2
2
(
)
P x
y
，
，则根据
中点坐标公式，有
1
2
0
1
2
0
2
2
x
x
x
y
y
y
可得对称点
2
2
(
)
P x
y
，
的坐标为
0
1
0
1
(2
2
)
x
x
y
y
，
（二）点关于直线对称
点
1
1
(
)
P x
y
，
关于直线:
0
l Ax
By
C
对称的点为
2
2
(
)
P x
y
，
，连接PP，交l 于M 点，则l 垂直平分
PP
，所以
PP
l
，且
M
为
PP
中点，又因为
M
在直线
l
上，故可得
1
2
1
2
1
0
2
2
l
PP
k
k
x
x
y
y
A
B
C
，解出
2
2
(
)
x
y
，
即可．
（三）直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出
直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
（四）直线关于直线对称
求直线1 :
0
l
ax
by
c
，关于直线2 :
0
l
dx
ey
f
（两直线不平行）的对称直线3l
第一步：联立1
2
l
l
，算出交点
0
0
(
)
P x
y
，
第二步：在1l 上任找一点（非交点）
1
1
(
)
Q x
y
，
，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
2
2
(
)
Q x
y
，
第三步：利用两点式写出3l 方程
（五）常见的一些特殊的对称
点(
)
x
y
，
关于x 轴的对称点为(
)
x
y
，
，关于y 轴的对称点为(
)
x
y
，
．
点(
)
x
y
，
关于直线y
x
的对称点为(
)
y
x
，
，关于直线y
x
的对称点为(
)
y
x
，
．
点(
)
x
y
，
关于直线x
a
的对称点为(2
)
a
x
y
，
，关于直线y
b
的对称点为(
2
)
x
b
y
，
．
点(
)
x
y
，
关于点(
)
a
b
，
的对称点为(2
2
)
a
x
b
y
，
．
点(
)
x
y
，
关于直线x
y
k
的对称点为(
)
k
y
k
x
，
，关于直线x
y = k
的对称点为(
)
k
y
x
k
，
．
六.直线系方程的应用
(1)与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R 且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)
＝0(λ∈R)，但不包括l2.
直线方程综合性大题解题策略
1. 定方向：明确问题核心
快速拆解题目，确定核心任务，如求直线方程、判断位置关系、计算距离或与圆/圆锥曲线结合的综合
问题。
识别关键条件，如定点、斜率、截距、位置关系（平行/垂直）等，关联对应的直线方程形式或公式。
2. 选形式：巧设直线方程
根据已知条件选择最优方程形式，避免漏解或复杂计算。
已知一点和斜率/倾斜角：用点斜式。
已知斜率和y 轴截距：用斜截式。
已知两点坐标：用两点式或先求斜率再用点斜式。
已知x、y 轴截距：用截距式（注意截距为0 时不适用）。
含参数或需统一形式时：用一般式（Ax + By + C = 0）。
处理斜率不确定的情况（如直线过定点），优先设点斜式，并补充讨论斜率不存在的情形（即垂直于x
轴的直线），避免丢解。
3. 联方程：解决交汇问题
当直线与圆、椭圆、抛物线等结合时，按“联立方程→消元化简→利用韦达定理/判别式”的流程解题。
1. 设出直线方程（含参数时需标注参数范围）。
2. 联立直线方程与曲线方程，消去x 或y，得到一元二次方程（ax² + bx + c = 0）。
3. 计算判别式Δ = b² - 4ac，判断交点个数（Δ>0 相交，Δ=0 相切，Δ<0 无交点）。
4. 若有交点，用韦达定理得x₁+x₂ = -b/a、x₁x₂ = c/a，为后续求弦长、中点、定点等铺垫。
4. 用公式：突破关键计算
5. 重思想：优化解题逻辑
数形结合：通过画图直观分析直线与曲线的位置关系、定点位置等，辅助确定解题思路。
分类讨论：当直线斜率是否存在、参数取值范围不确定时，需分情况讨论，确保答案全面。
函数与方程思想：将几何问题转化为代数方程问题，通过解方程或分析函数性质（如最值）求解。
6. 验结果：规避常见错误
检查直线方程形式的适用条件，如斜截式是否遗漏斜率不存在的直线。
验证联立方程消元是否正确，韦达定理应用时确保一元二次方程二次项系数不为0。
计算距离、弦长时，注意公式中符号和根号内表达式的正确性，避免计算失误。
题型01： 求直线方程
【典型例题1】.如图，射线
与
轴正半轴的夹角分别为
和
，过点
的直线分别交
，
于点
．
(1)当线段
的中点为
时，求的方程；
(2)当线段
的中点在直线
上时，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据题意可得
的方程，再设
，根据中点的坐标公式求解
坐标，进而求得的斜率，再根据点斜式可得的方程；
（2）同（1）将
的中点坐标代入
得到
，进而求得
的斜率，再根据点斜式求得
的方程即可.
（1）由于射线
与
轴正半轴的夹角分别为
和
，
射线
：
．
：
．
设
，
的中点为点
，由中点坐标公式求得
，
．
点坐标
，
点坐标
．故的斜率为
，又
，
：
．
（2）
的中点
在直线
上，
，即
，
，
：
．
【典型例题2】直线l 经过点
，
（1）直线l 与两个坐标轴围成的三角形的面积是4 的直线方程.
（2）直线l 与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】设直线方程为
，由直线l 经过点
可得
，
（1）由题可得
，解得
，
，
，
则直线方程为
；
（2）
，
，∴
，
当且仅当
，
时面积取最小值，
则直线方程为
.
【变式训练1-1】.在平面直角坐标系中，已知菱形
的顶点
和
所在直线的方程为
.(1)求对角线
所在直线方程；
(2)已知直线过点
，与直线
的夹角余弦值为
，求直线的方程.
（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）
【变式训练1-2】.已知直线
的方程为
，直线
的方程为
.
(1)设直线
与
的交点为
，求过点
且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
(2)设直线
的方程为
，若直线
与
，
不能构成三角形，求实数
的取值的集合.
【变式训练1-3】已知函数
与直线均过定点
，且直线在
轴上的截距依次为
和
.
（1）若直线在
轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与
轴正半轴、
轴正半轴交于
两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形⧍
面积最小时直线的方程.
【变式训练1-4】过点
作直线，直线与
，
轴的正半轴分别交于
，
两点，
为原点．
（1）若⧍ABO 的面积为9，求直线的方程；
（2）若⧍ABO 的面积为
，求
的最小值，并求出此时直线的方程．
【变式训练1-5】设直线的方程为
.
（1）求证：不论
为何值，直线必过一定点
；
（2）若直线分别与
轴正半轴，
轴正半轴交于点
，
，当⧍AOB 面积最小时，求
⧍AOB 的周长及此时的直线方程；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a 也为正整数时，求直线的方程.
【变式训练1-6】已知直线
（1）证明：直线 过定点；
（2）若直线交
轴负半轴于点
，交
轴正半轴于点
，
为坐标原点，设⧍AOB 的面积为
，求
的
最小值及此时直线的方程．
题型02：三角形中线所在直线问题
【典型例题1】.已知直线
，
，
，记
．
（1）当
时，求原点关于直线
的对称点坐标；
（2）在⧍ABC 中，求
边上中线长的最小值．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）根据对称的性质，结合互相垂直的两条直线的斜率的性质，通过解方程组、中点坐标公式进
行求解即可；
（2）根据两条直线的斜率关系可以判断出⧍ABC 是直角三角形，最后利用直角三角形的性质，结合两点间距
离公式进行求解即可.
（1）当
时，直线
的方程为
，所以直线
的斜率为2，设过原点与直线
垂
直的直线斜率为
，所以
，因此直线的方程为：
，设直线与直线
的交点为
，所以点
的坐标是方程组
的解，解得：
，所
以点
的坐标为
，设原点关于直线
的对称点坐标为
，
所以有：
，即原点关于直线
的对称点坐标为
；
（2）因为
，
所以直线
与直线
互相垂直，
故⧍ABC 是直角三角形，因此
边上中线长为
，
解方程组：
，即
，
解方程组：
，即
，
因此
，当
时，
有最小值
，所以
边上中线长的最小值
.
【典型例题2】已知⧍ABC 的顶点
，边
上的中线
所在的直线方程为
，边
上的
高
所在的直线方程为
．求：
(1)直线
的一般式方程；
(2)求⧍ABC 的边
的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据垂直确定
，再计算直线方程得到答案.
（2）设
，根据
的中点在直线
上，结合
在
上，得到答案.
（1）边
上的高
所在的直线方程为
，斜率
，故
，
直线
方程为
，即
；
（2）设
，则
的中点坐标为
，
则
，解得
，即
，
.
【变式训练2-1】在⧍ABC 中，顶点A 在直线
上，顶点B 的坐标为
边的中线
所在的直线
方程为
边的垂直平分线的斜率为
．
(1)求直线
的方程；
(2)若直线l 过点B，且点A、点C 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．
【变式训练2-2】.在平面直角坐标系
中，已知⧍ABC 的三个顶点
，
，
.
（1）求
边所在直线的一般方程；
（2）
边上中线
的方程为
，且⧍ABC 的面积为4，求点
的坐标.
【变式训练2-3】.已知⧍ABC 的顶点
，
，边
上的中线
的方程为
，边
所
在直线的方程为
(1)求边
所在直线的方程，化为一般式；
(2)求顶点
的坐标.
【变式训练2-4】已知⧍ABC 的顶点
，顶点
在
轴上，
边上的高所在的直线方程为
.
(1)求直线
的方程；
(2)若
边上的中线所在的直线方程为
，求
的值.
题型03：三角形高所对应直线方程
【典型例题1】.在⧍ABC 中，
，边
上的高
所在的直线方程为
，边
上中线
所在的直线方程为
.
(1)求点
坐标：
(2)求直线
的方程.
【答案】(1)C(－4，－2)(2)5x－7y＋6＝0
【解析】（1）先求出AC 所在的直线的方程，再求两直线的交点即可；
（2）设出B 点坐标，表示出M 点坐标，利用
和CM 所在的直线方程解出B 点坐标，进而求得直线
的
方程.
(1)边AC 上的高BE 所在的直线方程为
，
故边AC 所在的直线的斜率为1，
所以边AC 所在的直线的方程为
，即
，
因为CM 所在的直线方程为4x－5y＋6＝0，
由
解得
，所以C(－4，－2)
(2)设B(x0，y0)，M 为AB 中点，则M 的坐标为
，由
，解得
，
所以B（3，3），又因为C(－4，－2)，
所以直线BC 的方程为
，化简得5x－7y＋6＝0.
【典型例题2】.已知⧍ABC 的顶点
，
边上的高BH 所在直线为
，边
上的中线AD
所在直线方程为
．
(1)求顶点A 的坐标；
(2)求直线
的方程.（结果用一般式方程表示）．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，求所在直线方程，与AD 所在直线方程联立方程组求顶点A 的坐标；
（2）设
，则
，分别代入BH 所在直线和AD 所在直线方程，求出
，可
求直线
的方程.
（1）
，
所在直线方程为
，即
，
由
，得：
，所以
（2）设
，则
，分别代入BH 所在直线和AD 所在直线方程，
即
，解得：
，即
，
所以
，即直线
的方程
.
【变式训练3-1】.已知⧍ABC 的顶点
，AB 边上的中线CM 所在直线方程为
，AC 的边上
的高BH 所在直线方程为
．
(1)求顶点C 的坐标；
(2)求直线BC 的方程．
【变式训练3-2】.已知⧍ABC 的顶点
，
边上的中线所在的直线方程为
，
边上的高所在
直线的方程为
.分别求
，
边所在直线的方程.
【变式训练3-3】已知⧍ABC 的顶点
，边
上的高线
所在的直线方程为
，边
上的
中线
所在的直线方程为
．
(1)求点
的坐标；
(2)求直线
的方程．
题型04：解三角形角平分线对应直线
【典型例题1】已知⧍ABC 的顶点
边上的高所在的直线方程为
.
(1)求直线
的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
①角
的平分线所在直线方程为
；
②
边上的中线所在的直线方程为
.
若__________.求直线
的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案.
（2）联立直线方程，求得点
的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解
即得答案.
（1）由
边上的高所在的直线方程为
，得直线
的斜率
，而
的顶点
，
所以直线
的方程为：
，即
.
（2）选①，角
的平分线所在直线方程为
，令该直线与边
交于点
，
由
，解得
，即点A 坐标为
，
设点B 关于
的对称点为
，
则
，解得
，即
坐标为
，
显然点
在直线
上，则直线
的斜率
，
所以直线
的方程为
，即
.
选②，
边上的中线所在的直线方程为
，
由
，解得
，即点A 坐标为
，
设点
，则
的中点
在直线
上，即
，
整理得
，又点
在直线
上，即
，
由
，解得
，即点
，直线
的斜率
，
所以直线
的方程为
，即
.
【典型例题2】已知⧍ABC 的顶点
的坐标为
，
边上的中线
所在的直线方程为
，
的平分线
所在的直线方程为
．
(1)求点
的坐标；
(2)求直线
的方程
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
，由
中点在
上，点
在直线
上，联立方程求出
的坐标；
（2）求出
关于
的对称点
的坐标，即可求出直线
的方程.
（1）设
，顶点
的坐标为
，
由
中点在
上，
可得：
，即
，
又由于点
在直线
上，得
，
联立解得
，即
；
（2）顶点
的坐标为
，
设A 点关于
的对称点为
，
则有
，解得
，即
，
显然点
在BC 边所在的直线上，且
，
得直线
的方程为：
，
所以直线
的方程为：
.
【典型例题3】.已知⧍ABC 的一个顶点
，且，∠B.
的角平分线所在直线的方程依次是
，
，求
的三边所在直线的方程.
【答案】
所在直线的方程是
，
所在直线的方程
，
所在直线的方程是
.
【分析】先求得
关于直线
，
的对称点
，
，由此求得直线
的方程，再求得点B、C 的坐标，
从而求得直线AB、AC 的方程.
【详解】解：记∠B 的角平分线交
于点
，
的角平分线交
于点
.由角平分线的性质，知点
关于
直线
，
的对称点
，
均在直线
上.
∵直线
的方程为
，
，则
，解得
，∴
.
∵直线
的方程为
，∴同理求得
，
∴直线
的方程是
，即
，这也是
所在直线的方程.
由
，得
，由
，得
，
∴
所在直线的方程是
，
所在直线的方程是
.
【变式训练4-1】.在
中，已知
，
.
(1)若直线过点
，且点A，
到的距离相等，求直线的方程；
(2)若直线
为角
的内角平分线，求直线
的方程.
【变式训练4-2】在平面直角坐标系
中，
的顶点
的坐标为
，
边上的高线
所在的
直线方程为
,
的角平分线所在直线方程为
.
(1)求点
的坐标；
(2)求直线
的方程.
【变式训练4-3】已知
的边
上的高所在的直线方程为
，角
的平分线所在的直线方程
为
为边
的中点.
(1)求边
所在的直线方程；
(2)求点
的坐标.
【变式训练4-4】.已知：
的顶点
和
的角平分线所在直线方程为
，
求边
所在直线方程．
【变式训练4-5】在
中，BC 边上的高所在直线的方程为
，
的平分线所在直线方程为
，若点B 的坐标为（1，2）.
(1)求点A 和点C 的坐标；
(2)求AC 边上的高所在的直线l 的斜截式方程.
【变式训练4-6】已知
的顶点
，边
上的高线
所在的方程为
，角
的角平分
线交
边于点
，
所在的直线方程为
.
(1)求点
的坐标；
(2)求直线
的方程.
题型05：距离问题
【典型例题1】已知三条直线
，
，
，且
与
间的
距离是
．
（1）求
的值．
（2）能否找到一点
，使
同时满足下列三个条件？若能，求点
的坐标；若不能，说明理由．
①点
在第一象限；
②点
到
的距离是点
到
的距离的
；
③点
到
的距离与点
到
的距离之比是
．
【解析】解：（1）将直线
的方程化为
，
两条平行线
与
间的距离
，
由
，解得
．
（2 ）假设存在点
，设点
，
．若
点满足条件②，则
点在与
，
平行的直线
上，
且
，解得
或
，
所以
或
．
若
点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有
，
即
，
所以
或
．
由于点
在第一象限，所以排除
．
联立方程
和
，
解得
（舍去）；
联立方程
和
，
解得
，所以存在点
，
同时满足三个条件．
【典型例题2】.两平行直线
，
分别过
，
.
(1)
，
之间的距离为5，求两直线方程；
(2)若
，
之间的距离为d，求d 的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【解析】（1）斜率不存在时，不合题意，斜率存在时，设斜率为
，表示出直线
，
，利用平行线间的距
离公式解出
即可；
（2）结合图像可知当
，
旋转到和
垂直时，
，
之间的距离d 最大，求出
，即可求得d 的取值
范围.
(1)
当
，
斜率不存在时，易知
，
，
之间的距离为1，不合题意；
当
，
斜率存在时，设斜率为
，则
，化为一般式得
，
，由
，
之间的距离为5，可得
，
解得
或
，当
时，
；当
时，
.
故两直线方程为
或
.
(2)
如图：当
，
旋转到和
垂直时，
，
之间的距离d 最大为
，当
，
旋转到
和
重合时，距离为0，又两平行直线
，
不重合，故
.
【变式训练5-1】.已知直线过点
，且被平行直线
：
与
：
所截取的线
段长为
，求直线的方程．
【变式训练5-2】.已知直线
与
的方程分别为
，
，直线平行于
，直线与
的距离为
，与
的距离为
，且
，求直线的方程．
题型06：求三角形边对应的直线方程
【典型例题】.在等腰
中，
，顶点
的坐标为
，直角边
所在的直线方程为
，求边
和
所在的直线方程．
【答案】直线
为
或
，直线
为
．
【解析】利用点斜式写出直线
，根据等腰直角三角形性质，应用到角公式求
的斜率为
，最后由点斜
式写出直线
.
由题设
，则
，故直线
为
，整理得
；
由
为等腰三角形，若
的斜率为
，则
，解得
或
，
所以直线
为
或
，即
或
.
综上，直线
为
，直线
为
或
.
【变式训练6-1】.已知过点
且斜率为
的直线l 与x，y 轴分别交于P，Q 两点，分别过点
P，Q 作直线
的垂线，垂足分别为R，S，求四边形PQSR 的面积的最小值．
【变式训练6-2】.已知在第一象限的
中，
，
，
，
，求：
(1)AB 边所在直线的方程；
(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．
题型07：截距与长度
【典型例题1】.在平面直角坐标系中，点
，
，直线
.
(1)在直线上找一点
使得
最小，并求这个最小值和点
的坐标；
(2)在直线上找一点
使得
最大，并求这个最大值和点
的坐标.
【答案】(1)最小值为
，
(2)最大值为
，
【解析】（1）首先求出点
关于的对称点为
的坐标，从而得到直线
的方程，再求出两直线的交点坐
标，即可所求点
的坐标，则
的最小值为
；
（2）首先求出直线
的方程，求出直线
与直线的交点坐标，即为
，而
的最大值为
，
即可得解.
（1）解：设点
关于的对称点为
，则
，解得
，即
，所以直
线
的方程为
，即
.当
为直线
与直线
的交点时，
最小.
由
，解得
，所以
，从而
的最小值为
.
（2）解：由题意知直线
的方程为
，即
.
当
为直线
与直线
的交点时，
最大.
由
，解得
，所以
，
从而
的最大值为
.
【典型例题2】.已知
．
(1)若直线l 过点P，且原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．
(2)是否存在直线l，使得直线l 过点P，且原点到直线l 的距离为6？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
或
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直线方程；
（2）方法一：求出直线l 过点P，且原点到直线l 的最大距离，进行判断；
方法二：先求出当直线的斜率不存在时，原点到直线l 的距离，再求出当直线l 的斜率存在时，得到相应的
方程，由根的判别式进行判断.
（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，符合题意；
②当直线的方程为
，即
．，根据题意，得
，解得：
，
所以直线的方程为
．故直线的方程为
或
．
（2）方法一：不存在．理由如下：
若直线过点
，则当原点
到直线的距离最大时，直线与
垂直，
此时最大距离为
，
而
，故不存在这样的直线．
方法二：若直线的斜率不存在，则直线的方程为
，易知原点到直线的距离为2，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为
，即
，
则原点到直线的距离为
，令
，整理得
，则
，方
程无解，
所以没有符合题意的直线．综上，不存在符合题意的直线．
【变式训练7-1】.一条直线经过点
．分别求出满足下列条件的直线方程．
(1)与直线
垂直；
(2)交
轴、
轴的正半轴于
，
两点，且
取得最小值．
【变式训练7-2】．已知直线l过两直线l1: x -2 y =0，l2:2 x + y -5=0的交点P，且分别交x轴、y轴的正
半轴于A ,B两点．
(1)若直线l与3 x + 4 y +5=0垂直，求直线l的方程；
(2)当|PA|⋅|PB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程．
【变式训练7-3】直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A、B．点O 是坐标原点．
(1)当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程；
(2)当| MA | | MB|最小时，求直线l 的方程．
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，
(1)已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC 边上高线所在的直线的方程．
(2)若直线l的方程为ax +2 y -a-2=0（a∈R），且直线l在x轴上截距是y轴上截距的1
2，求该直线的方程．
(3)过点P(3,1)作直线l分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A，B．求当⃗AP⋅⃗PB取得最小值时直线l的方程．
题型08：面积最值
【典型例题1】在平面直角坐标系
中，直线过定点
，且与
轴的正半轴交于点
，与
轴的
正半轴交于点
.
（1）当
取得最小值时，求直线的方程；
（2）求
面积的最小值.
【答案】（1）
（2）12
【解析】（1）设直线的倾斜角为
（
为锐角），
由P 点做x 轴，y 轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,
，
则
，
所以当
时，
取得最小值，
此时直线的方程为
；
（2）矩形OFPE 面积为3×2=6，
，
，当且仅当
时取等号，
所以
面积的最小值为12.
【典型例题2】.已知直线
.
(1)若直线不经过第四象限，求
的取值范围；
(2)若直线交
轴负半轴于
，交
轴正半轴于
，
的面积为
（O 为坐标原点），求
的最小值和此
时直线的方程.
【答案】(1)
；(2)
，直线的方程为
.
【解析】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k 的取值范围.
(2)先求直线在
轴和
轴上的截距，表示
的面积，利用基本不等式求其最小值.
（1）方程
可化为
，要使直线不经过第四象限，则
，
解得
，所以k 的取值范围为
.
（2）由题意可得
，由
取
得
，取
得
，
所以
，
当且仅当
时，即
时取等号，此时
，直线的方程为
.
【变式训练8-1】.在直角坐标系中，已知射线
，过点
作直线分别交射线OA、x 轴正
半轴于点A、B．
(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的两点式方程；
(2)求△OAB 面积的最小值．
【变式训练8-2】已知直线过点
．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)设
为坐标原点，若与
轴正半轴交于点
与
轴正半轴交于点
，求
面积的最小值．
【变式训练8-3】过点
的直线
（1）求在两个坐标轴上截距相等的方程；
（2）求与x,y 正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB 面积最小时的直线方程.
【变式训练8-4】.已知直线l 的方程为
.
(1)若直线l 与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l 的方程；
(2)若
，直线l 与x，y 轴分别交于M，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取得最小值时直线l 的方
程.
题型09：折叠问题
【典型例题】.如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形
的长为2，宽为1，边
､
分别在
轴､
轴的正半轴上，点
与坐标原点重合，将矩形折叠，使点
落在线段
上，若折痕所在直线的斜率为
，
则折痕所在的直线方程为__________.
【答案】
【解析】因为折叠的过程中，点
落在线段
上，特别的如果折叠后
重合，这时折痕所在的直线斜率
为0，然后根据
点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程.
当
时，此时
点和
点重合，折痕所在的直线的方程
，
当
时，将矩形折叠后点
落在线段
上的点为
，
，
所以
与
关于折痕所在的直线对称，由
，即
，解得：
，
故折痕所在的直线的方程.
，从而折痕所在的直线与
的交点坐标为
，
折痕所在的直线方程为
，
即
，
综上所述：折痕所在的直线的方程为：
.
故答案为：
.
【变式训练9-1】.如图，OAB 是一张三角形纸片，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，设直线l 与边OA，AB 分
别交于点M，N，将△AOB 沿直线l 折叠后，点A 落在边OB 上的点
处．
(1)设
，试用m 表示点N 到OB 的距离；
(2)求点N 到OB 距离的最大值．
【变式训练9-2】.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB，AD 边分别在x 轴，y 轴的
正半轴上，点A 与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若
时，求折痕长的取值范围．
题型10：三条直线问题
【典型例题】.已知三条直线
和
，且
与
的距离是
．
(1)求
的值；
(2)能否找到一点
，使同时满足下列三个条件：①点
是第一象限的点；②点
到
的距离是点
到
的距离
的
；③点
到
的距离与点
到
的距离之比是
，若能，求点
的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，
【解析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案；
（2）设存在点
满足，由平行间的距离公式可求得
或
．得出满足条件②的点满足
或
．再由点到直线的距离公式可得
或
，联立方程，
求解可得结论.
（1）
解：因为
可化为
，所以
与
的距离为
．因为
，所以
．
（2）
解：设存在点
满足，则点
在与
，
平行直线
上．
且
，即
或
．
所以满足条件②的点满足
或
．
若点
满足条件，由点到直线的距离公式，有
，即
，
所以
或
，因为点
在第一象限，所以
不成立．
联立方程
和
，解得
（舍去），联立方程
和
，解得
，所以
即为同时满足条件的点.
【变式训练10-1】.平面上三条直线
，
，
，如果这三条直线将平面划分为
六个部分，求实数
的所有可能的取值．
题型11： 直线与曲线方程
【典型例题】.已知动点P 与两个顶点
，
的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的轨迹方程;
(2)过点
且斜率为k 的直线l，交曲线C 于、N 两点，若
，求斜率k
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】（1）设出动点P 的坐标，借助两点间距离公式列式，化简计算作答.
（2）根据给定条件写出l 的方程，联立l 与C 的方程，借助韦达定理计算判断作答.
(1)设点
，依题意，
，则
，化简整理得：
，
所以曲线C 的轨迹方程是：
.
(2)依题意，设直线l 的方程为：
，由
消去y 并整理得：
，由
得
，
设
，
，则有
，
，
即
，整理得
，解得
或
（舍去），
所以斜率
.
【变式训练11-1】.已知曲线
．
(1)说明曲线C 是什么图形，并画出该图形；
(2)直线经过点
，与曲线C 交于M，N 两点，且点A 是线段MN 的中点，求直线的方程；
(3)直线
与曲线C 交于M，N 两点，且
，求直线的方程．
题型12： 直线方程的应用题
【典型例题】.如图，为保护河上古桥
，规划建一座新桥
，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新
桥
与河岸
垂直；保护区的边界为圆心
在线段
上，并与
相切的圆，且古桥两端
和
到该圆
上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点
位于点
正北方向60m 处，点C 位于点
正东方向170m 处
（
为河岸），
．
(1)求新桥
的长；
(2)
长的范围是多少？
【答案】(1)
m(2)
【解析】（1）根据题意，以
为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系，进而
点坐标为
，
，再结合题意得直线
，
方程，并联立得交点
的坐标，最后结合距离公式求解即可；
（2）根据题意设
，进而根据题意列出不等式组
，再结合
代换求得的
范围，即
长的范围.
(1)解：如图，以
为
轴建立直角坐标系，则
，
，
由题意
，直线
方程为：
．又
，故直线
方程为
，
由
，解得
，即
，所以
；
(2)解：设
，即
，由（1）直线
的一般方程为
，
圆
的半径为
，由题意要求
，
由于
，因此
，∴
∴
，即
长的范围是
.
【变式训练12-1】.如图，在一段直的河岸同侧有A、B 两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为
3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25
万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5 元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30
万元，问A、B 两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100 元）
（参考数据：
，
，
，
）
巩固提升
1.已知直线l 经过两条直线
和
的交点，且________，若直线m 与直线l 关于点
对
称，求直线m 的方程．
试从①与直线
垂直，②在y 轴上的截距为
，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并
解答．
2.已知直线
与
平行，且直线
与直线
之间的距离为
，求m、n 的值．
3.在等腰直角三角形中，已知一条直角边所在直线的方程为
，斜边的中点为
，求其它两边
所在直线的方程.
4.已知三角形ABC 的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），
(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求AB 边的高所在直线方程.
5.三角形的三个顶点是
，
，
.
（1）求
边上的高所在直线的方程.
（2）求
边的垂直平分线的方程.
6.在
中，点
，
边上中线所在的直线方程为
，
的内角平分线所在的直
线方程为
.
（1）求点
的坐标；
（2）求
的边
所在直线的方程.
7.设直线的方程为
.
(1)若直线不经过第二象限，求实数
的取值范围；
(2)若直线与
轴､
轴分别交于点
，求
（
为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.
8.将一张纸沿直线对折一次后，点
与点
重叠，点
与点
重叠.
(1)求直线的方程；
(2)求
的值.
10.已知
，
，
．
(1)若点
满足
，
，求点
的坐标；
(2)若点
在
轴上，且
，求直线
的倾斜角．
11.已知平行四边形
的三个顶点的坐标为
、
、
．
(1)求边
的中垂线所在的直线方程和平行四边形
的顶点D 的坐标；
(2)求
的面积．
12.如图，在平行四边形
中，边
所在直线方程为
，点
.
(1)求直线
的方程；
(2)求
边上的高
所在直线的方程.
13.已知点A（2，3），B（4，1），△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l：x-2y+2=0 上.
(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；
(2)求△ABC 的面积.
15.已知△ABC，
，
，
，
轴为
边中线．
（1）求
边所在直线方程；
（2）求
内角角平分线所在直线方程．
16.已知直线
.
(1)若直线不能过第三象限，求
的取值范围；
(2)若直线交
轴负半轴于点
，交
轴正半轴于点
，
为坐标原点，设
的面积为
，求
的最小值
及此时直线的方程．
17.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A
与坐标原点重合如图所示
将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程
（2）当
时，求折痕长的最大值．
18.已知直线 ：
过定点
，若直线被直线
和
轴截得的线段恰好被定
点
平分，求
的值.
19.若点
和
到直线l 的距离都是
.
(1)根据m 的不同取值，讨论满足条件的直线l 有多少条？
(2)从以下三个条件中：①
；②
；③
；选择一个条件，求出直线l 的方程.
20.正方形
一条边
所在方程为
，另一边
所在直线方程为
，
(1)求正方形中心
所在的直线方程；
(2)设正方形中心
，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求
的取值范围．
21.已知△ABC 的顶点
，AB 边上的中线CM 所在直线方程为
，AC 的边上的高BH 所在直线
方程为
．
(1)求顶点C 的坐标；
(2)求直线BC 的方程．
22.已知△ABC 的顶点
，AB 边上的高所在的直线方程为
．
(1)求直线AB 的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A 的平分线所在直线方程为
②BC 边上的中线所在的直线方程为
______，求直线AC 的方程．
23.已知△ABC 的内角平分线CD 的方程为
，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．（1）求点A 到
直线CD 的距离；
（2）求点C 的坐标．
24.已知直线
均过点P(1，2).
(1)若直线
过点A(-1，3)，且
求直线
的方程；
(2)如图，O 为坐标原点，若直线
的斜率为k，其中
，且与y 轴交于点N，直线
过点
，
且与x 轴交于点M，求直线
与两坐标轴围成的四边形PNOM 面积的最小值.
25.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点
作直线l 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A，B．
(1)求⧍AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；
(2)求当
取得最小值时直线l 的方程．
26.将一张纸沿直线对折一次后，点
与点
重叠，点
与点
重叠.
（1）求直线的方程；
（2）求
的值；
（3）直线上是否存在一点
，使得
存在最大值，如果存在，请求出最大值，以及此时点
的
坐标；如果不存在，请说明理由.
