文档文本内容
第02 讲 排列与排列数
目录
思维导图..................................................................................................................................................2
高考分析..................................................................................................................................................2
学习目标..................................................................................................................................................2
知识要点..................................................................................................................................................3
解题策略..................................................................................................................................................5
题型归纳..................................................................................................................................................6
题型01：排列的概念及判断............................................................................................................6
题型02: 简单的排列问题.................................................................................................................8
题型03：排列数..............................................................................................................................8
（一）排列数的化简计算..........................................................................................................8
（二）排列数的排列数方程....................................................................................................10
（三）排列数的不等式...........................................................................................................11
（四）排列数证明题...............................................................................................................12
题型04：全排列或无限制的排列...................................................................................................14
题型05：特殊元素(特殊位置)有限的排列（优先策略）.................................................................15
题型06：相邻问题的排列——捆绑法............................................................................................18
题型07：不相邻问题的排列——插空法........................................................................................19
题型08：定序问题........................................................................................................................22
题型09：其他排列问题.................................................................................................................26
题型10：排列的综合应用..............................................................................................................27
巩固提升................................................................................................................................................30
排列与排列数是高考高
基
频
础+
合
用考点，多以
综
应
5 分小
（
题选择/填空）出
，偶在解答
与概率、
现
题
统
等
合，重点考有限制条件的排列与公式
用，
度中低档
主，新高考卷略灵活。
计
结
应
难
为
一、考情定位（高考分析）
1.
型与分
：全国卷、新高考卷中，排列与排列数多
题
值
为5 分小
；解答
多与概率
合，占
题
题
综
6-12 分，
整体
定。
稳
2. 高
考点：①排列数公式（
乘
频
连
/
乘）与性
；②有限制排列（特殊元素
阶
质
/位置
先、相
“捆
”、不相
优
邻
绑
“插空”、定序
邻
/分
等）；③与
合、概率、二
式定理等
合。
组
组
项
综
3.
度与
：小
中低档，重基
与方法；新高考卷更
情境
化与
推理，
合化、
用
难
趋势
题
础
强调实际
转
逻辑
综
应
化明
，核心考点不
。
显
变
4. 典型考法：2023 新高考I 卷第13
（排列数
算）；
题
计
2024 新高考II 卷、全国甲卷涉及限制条件排列；全
国乙卷多与
合
合考基
用。
组
结
础应
1. 概念理解：明确排列的有序性，区分排列与
合；掌握排列数定
与符号
组
义
An
m
2. 公式与性
：熟
掌握
质
练
=n!牢记0!=1．①
；②
；③
．性
。
质
3. 方法掌握：熟
运用特殊
先法、捆
法、插空法、
接法、定序倍
法解决限制排列
。
练
优
绑
间
缩
问题
4.
合
用：能将
化
排列模型，与概率、
等知
合解
，提升运算与
推理素养
综
应
实际问题转
为
统计
识综
题
逻辑
。
知识点一：排列定义
1.排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的
序排成一列，叫做从
顺
n个不
同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的
象叫做元素）
对
注意:(1)排列定义的两个要素：一是“取出元素”，
二是“将元素按一定顺序排列”
(2)相同排列：两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同。
2.排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号An
m表示．
排列数公式：
，m，n∈N +，并且m≤n．
特
的：
别
（
且
）；
定：
规
3.全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．
=n!
n
的阶乘：正整数由1
到n
的
乘
，叫作
连
积
n
的
乘，用
阶
n!
表示．
定：
规
0!=1
．
=1.
4.排列数的性质：
①
；②
；③
．
知识点二：解排列应用题的基本思路
通
，找出
中的元素是什么，是否与
序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）
过审题
问题
顺
．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本
是一
的，但作用略有不同，
质
样
常用于
具体数字
算；而在
行含字母算式化
或
明
，多用
计
进
简
证
时
．
知识点三：与排列数有关的计算
(1)拆
技巧：
项
n·n!=(n+1)!-n!；
=
-
.
(2)化
技巧：
简
=n
，
+m
=
.
知识点四：解与排列数有关的方程或不等式的步骤
(1)
化：将有关排列数的方程或不等式
化
普通方程或不等式；
转
转
为
(2)求解：解
化后的普通方程或不等式；
转
(3)
：将所求
果代入原方程或原不等式中
检验
结
检验.
知识点五:有限制条件排列问题常见类型
1. “在”与“不在”问题
解决此
，常用的方法是特殊位置
类问题
(
象
对
)分析法，遵循的原
是
先排特殊位置
则
优
(
象
对
)，即需先
足特殊位置
满
(
象
对
)的要求，再
理其他位置
处
(
象
对
). 如果有两个及以上的
束条件，那么在考
一个
约
虑
束条件的同
要兼
其他条件；当直接求解困
，可考
用
接法解
约
时
顾
难时
虑
间
题.
2、解有“相
元素”的排列
的方法
邻
问题
于某些元素必
相
的排列，通常采用“捆
法”，即把相
元素看作一个整体和其他元素一起
对
须
邻
绑
邻
参与排列，再考
个整体内部各元素
的
序。
虑这
间
顺
3、解有“不相
元素”的排列
的方法
邻
问题
于某些元素不相
的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之
形成
对
邻
间
“空”，然后将不相
的元素
行“插空”。【注意】根据具体
判断两端元素外是否
有“空”。
邻
进
问题
还
4. “定序”问题
在排列
中，某些
象已排定了
序，
些
象
行排列
，不再考
其
序
问题
对
顺
对这
对
进
时
虑
顺
. 在具体的
算
计
程中，可采用“除
乘法”解决，即
过
阶
n 个
象的全排列中有
对
m(m≤n)个
象的
序固定，
足
意的
对
顺
则满
题
排法有
种.
5.正面考
比
复
的
虑
较
杂
问题,“
接法”，反面入手
间
问题
方法
“在”与“不在”的有限制条件的排列问题
既可以从元素入手，也可以从位置入手，原
是
“特殊”
则
谁
先
谁优
.
相邻问题
“捆
法”：把相
元素看作一个整体和其他元素一起排
绑
邻
列，同
要注意捆
元素的内部排列
时
绑
不相邻问题
“插空法”：先考
不受限制的元素的排列，再将不相
的
虑
邻
元素插在前面元素排列的空
中
挡
定序问题
先不考
序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
虑顺
正面考
比
复
的
虑
较
杂
问题
“
接法”，反面入手
间
1. 基
型（公式
用）：先判断“有序”，再代入公式
算；避免
乘
算
。
础题
应
计
阶
计
错误
2. 有限制排列（核心）：
◦ 特殊元素/位置：先排特殊，再排其余（例：甲必
在首位，先定甲，再排剩余）。
须
◦ 相
：捆
整体，先排整体再内部排列（捆
邻
绑为
绑+内部排列）。
◦ 不相
：先排无限制元素，再在空隙中插入不相
元素（插空法）。
邻
邻
◦ 定序/分
：定序
用“
排列数
组
问题
总
÷定序元素全排列数”，分
先分堆再排列。
组
◦
接法：正面复
，用“
排列数
间
杂时
总
-不符合条件排列数”求解。
3.
合
：先拆解
排列
综
问题
为
/
合模
，分步用乘法原理，分
用加法原理；
合概率
，先算基本事件
数
组
块
类
结
时
总
与目
事件数，再求概率。
标
4. 易
提醒：区分“有序
错
/无序”（排列vs
合）；注意“重复
数”（捆
组
计
绑/插空
避免多算）；核
时
对n,m 范
与公
围
式适用条件。
题型01：排列的概念及判断
【典型例题1】
出下列
：
给
问题
①从2、3、5、7、11 中任取两数相乘，可得多少个不同的
？
积
②从2、3、5、7、11 中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③从2、3、5、7、11 中任取两数相加，可得多少个不同的和？
以上
中，属于排列
的是
问题
问题
______．（写出所有
足要求的
序号）
满
问题
【答案】②
【解析】
于①，从
对
2、3、5、7、11 中任取两数相乘，且乘法
足交
律，故不是排列
满
换
问题;
于②，从
对
2、3、5、7、11 中任取两数相除，且除法不
足交
律，故是排列
满
换
问题;
于③，从
对
2、3、5、7、11 中任取两数相加，且加法
足交
律，故不是排列
满
换
问题;
故答案
：②
为
【典型例题2】下面
中，是排列
的是（ ）
问题
问题
A．由1，2，3 三个数字
成无重复数字的三位数
组
B．从40 人中选5 人
成
球
组
篮
队
C．从100 人中选2 人抽样调查
D．从1，2，3，4，5 中选2 个数
成集合
组
【答案】A
【解析】根据排列及排列数的定
，可得：
义
于
对
A 中，由1，2，3 三个数字
成无重复数字的三位数，
组
符合排列的定
，是排列
；
义
问题
于
对
B 中，从40 人中选5 人
成
球
，与
序无关的
，不是排列
；
组
篮
队
顺
问题
问题
于
对
C 中， 从100 人中选2 人抽
，与
序无关的
，不是排列
；
样调查
顺
问题
问题
于
对
D 中， 从1，2，3，4，5 中选2 个数
成集合，
组
与
序无关的
，不是排列
顺
问题
问题.故
：
选A.
【变式训练1-1】
出下列
：
给
问题
①有10 位同学，每两人互通一次
，共通了多少次
？
电话
电话
②有10 位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？
③有10 位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？
以上
中，属于排列
的是
问题
问题
______．（写出所有
足要求的
序号）
满
问题
【变式训练1-2】下列
是排列
的是（
问题
问题
）
A．从10 名同学中
取
选
2 名去参加知
，共有多少种不同的
取方法？
识竞赛
选
B．10 个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5 个点，任意三点不共
，
线这5 个点最多可确定多少条直
？
线
D．从1，2，3，4 四个数字中，任
两个相加，其
果共有多少种？
选
结
【变式训练1-3】下列
是排列
？
问题
问题吗
（1）北京、上海、天津三个民航站之
的直达航
的
机票的价格（假
来回的票价相同）；
间
线
飞
设
（2）某班40 名学生在假期相互写信；
（3）会
有
场
50 个座位，要求
出
选
3 个座位，有多少种方法？若
出
选
3 个座位安排三位客人，又有多少种方法？
（4）平面上有5 个点，其中任意3 个点不共
，
线这5 个点最多可确定多少条直
？可确定多少条射
？
线
线
【变式训练1-4】判断下列
是否
排列
：
问题
为
问题
(1)北京、上海、天津三个民航站之
的直达航
的
机票的价格
间
线
飞
(假
来回的票价相同
设
)；
(2)选2 个小
分
去植
和种菜；
组
别
树
(3)选2 个小
去种菜；
组
(4)选10 人
成一个学
小
；
组
习
组
(5)选3 个人分
担任班
、学
委
、生活委
；
别
长
习
员
员
(6)某班40 名学生在假期相互打
．
电话
【变式训练1-5】判断正
（正确的写正确，
的写
）
误
错误
错误
（1）
序是判断是否
排列
的关
点，也是唯一的判断依据．
顺
为
问题
键
( )
（2）在排列的
中，
体中的元素可以有重复．
问题
总
( )
（3）用1，2，3
三个数字
成无重复数字的三位数
这
组
.123 与321 是不相同的排列．( )
（4）
上的
圆
10 个不同点中任取两个点作弦是排列
．
问题( )
题型02:简单的排列问题
【典型例题】1．从本不同的
中
书
选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据排列数的定
即可求解
义
.根据排列数的定
，
义
可得从本不同的
中
书
选本送给个人，每人本，不同方法的种数是
.故
：
选B
【变式训练2-1】8 名同学排成2 排，每排4 人，共有多少种排法（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】写出从a、b、c、d、e
五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．
这
【变式训练2-3】多选题甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列
法正确的是（ ）
说
A．如果甲，乙必
相
且乙在甲的右
，那么不同的排法有
须
邻
边
24 种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，
不同的排法共有
则
42 种
C．甲乙不相
的排法种数
邻
为82 种
D．甲乙丙按从左到右的
序排列的排法有
顺
20 种
题型03：排列数
（一）排列数的化简计算
【典型例题1】
（
，
）可以表示
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据排列数和
合数
算公式
算
组
计
计
4 个
，得到正确答案
选项
.
，
，
，
，D 正确.故
：
选D
【典型例题2】（多选题）下列等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】利用排列数公式，逐
算判断作答
项计
.
于
对
A，
，A 正确；
于
对
B，
，当
，
时
，B
；
错误
于
对
C，
，C 正确；
于
对
D，
，D 正确.
故
：
选ACD
【变式训练3-1-1】
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1-2】
（ ）
A．6
B．24
C．360
D．720
【变式训练3-1-3】（多选）下列等式中，成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1-4】
乘是基斯
阶
顿·卡曼（Christian Kramp）于1808 年
明的一种运算，正整数
发
n 的
乘
阶
记
为n!，它的
所有小于或等于
值为
n 的正整数的
，即
积
．根据上述材料，以下
法
说
的是（
错误
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1-5】
_________．
【变式训练3-1-6】
算：
计
______．
【变式训练3-1-7】
算
计
．
【变式训练3-1-8】
算：
计
(1)
；(2)
．
【变式训练3-1-9】设n 是一个不小于17 的正整数，用排列数表示
．
【变式训练3-1-10】若
，则
的个位数字是（ ）
A．3 B．8 C．0 D．5
【变式训练3-1-11】（多选）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
！ D．
（二）排列数的排列数方程
【典型例题1】已知m，n，p 均
正整数，
足
为
则满
的一
解
组
为
【答案】
或
(写一个即可)
【解析】根据
乘的性
，用列
法
行求解即可
阶
质
举
进
.
因
不小于
为
5 的自然数的
乘的尾数
阶
为0，
尾数为5，
所以
，而
，
所以可得
或
．故答案
：
为
【典型例题2】已知
，则x 等于（ ）
A．6
B．13
C．6 或13
D．12
【答案】A
【解析】根据排列数公式，化
算，
合
简计
结
x 的范
，即可得答案
围
.
由
意得
题
，
化
可得
简
，解得
或6，
因为
，所以
且
，故
.故
：
选A.
【变式训练3-2-1】已知
，则
（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【变式训练3-2-2】已知
，则
.
【变式训练3-2-3】解关于正整数n 的方程：
．
【变式训练3-2-4】已知
，求x 的
．
值
（三）排列数的不等式
【典型例题1】19．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据排列数公式
算即可
计
.由
，
得
，解得
，
所以不等式
的解集是
.故
：
选D.
【典型例题2】不等式
的解集
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据排列数的性
和
算公式化
求其解即可
质
计
简
.
因为
，所以
，
所以
，所以
，又
，
，
所以
，所以不等式
的解集为
，故
：
选D.
【变式训练3-3-1】
足不等式
满
的
的
可能
（
值
为 ）
A．12
B．11
C．8
D．10
【变式训练3-3-2】（1）解不等式：
；
（2）解方程：
．
【变式训练3-3-3】
（1）解关于x 的不等式
．
（2）求等式
中的n
．
值
（四）排列数证明题
【典型例题1】求
：
证
（
、
大于
为
1 的自然数）．
【答案】
明
解析
证
见
【解析】由排列数的
算公式
明即可
计
证
【典型例题2】（1）求
：
证
；
（2）求
：
证
；
（3）求和：
．
【答案】（1）
明
解析；（
证
见
2）
明
解析；（
证
见
3）
.
【解析】按照
乘的定
即可求解
阶
义
.
（1）
明：
证
．
（2）
明：
证
．
（3）由（2）知
，
所以
；
上，
综
.
【变式训练3-4-1】求解下列
：
问题
(1)
算：
计
(2)解方程：
【变式训练3-4-2】求
：
证
.
【变式训练3-4-3】
明：
证
．
【变式训练3-4-4】求
：
证
【变式训练3-4-5】
明
证
，并利用
一
果化
：
这
结
简
(1)
；
(2)
．
【变式训练3-4-6】
明
证
，并用它来化简
．
题型04：全排列或无限制的排列
【典型例题1】若把英
“
语单词word”的字母
序写
了，
可能出
的
共有（
顺
错
则
现
错误
）
A．24 种
B．23 种
C．12 种
D．11 种
【答案】B
【解析】根据
立事件以及排列
合的知
求得正确答案
对
组
识
.“word”一共有
个不同的字母，
这
个字母全排列有
种方法，其中正确的有种，所以
的有
错误
种.故
：
选B
【典型例题2】将4 位司机、4 位售票
分配到
员
4
不同班次的公共汽
上，每
汽
分
有
辆
车
辆
车
别
1 位司机和1
位售票
，
共有
员则
种不同的分配方案．
【答案】576
【解析】先分配4 位司机，再分配4 位售票
，相乘后得到答案
员
.
个
可以分
两步：
这
问题
为
第1 步，把4 位司机分配到4
不同班次的公共汽
上，即从
辆
车
4 个不同元素中取出4 个元素排成一列，有
种方法；
第2 步，把4 位售票
分配到
员
4
不同班次的公共汽
上，也有
辆
车
种方法．
由分步乘法
数原理知，分配方案共有
计
种．
故答案
：
为576
【变式训练4-1】．将不同的8 封信随意放入8 个写好地址的信封，共有多少种不同的放法？
【变式训练4-2】5 名
球
甲、乙、丙、丁、戍，排成一排．
篮
队员
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若甲必
站在排
，有多少种不同的排法？
须
头
(3)若甲不能站排
，也不能站排尾，有多少种不同的排法？
头
题型05： 特殊元素(特殊位置)有限的排列（优先策略）
【典型例题1】2 名
教
与
辅导
师
3 名
学生站成一排照相，要求
获奖
2 名教
分
站在两
，
不同的站法共
师
别
侧则
有（ ）
A．
种 B．
种 C．
种 D．
种
【答案】B
【解析】2 名教
排在两
有
师
边
种排法，3 名学生排在中
有
间
种排法，
所以共有
种排法；故
：
选B.
【典型例题2】如果自然数
是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的
均不超
绝对值
过1，我
就把自
们
然数
叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个．
A．65 B．70 C．75 D．80
【答案】C
【解析】自然数
是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的
均不超
绝对值
过1，
我
就把自然数
们
叫做“集中数”．则3 个数，相等或相
，
邻
十位数为0
，有
时
100，或101，共2 个；
十位数为1
，有
时
110，111，112，210，211，212 共6 个；
十位数为2
，有
时
121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9 个；
十位数为3，4，5，6，7，8
，与十位数是
时
2
，相同各有
时
9 个；
十位数为9
，有，
时
899，898，998，999 共4 个．
上共有：
综
个．故
：
选
．
【典型例题3】
要从
现
A，B，C，D，E 这5 人中
出
选
4 人，安排在甲、乙、丙、丁4 个
位上，每个
位安排一
岗
岗
个人，每个人只安排在一个
位上，如果
岗
A 不能安排在甲
位上，
安排的方法有（
岗
则
）
A．56 种
B．64 种
C．72 种
D．96 种
【答案】D
【解析】根据A 是否入
行分
求解即可
选进
类
.
由
意可知：根据
题
A 是否入
行分
：
选进
类
若A 入
：
先
选则
给A 从乙、丙、丁3 个
位上安排一个
位有
岗
岗
种，
再
剩下三个
位安排人有
给
岗
种，共有
种方法；
若A 不入
：
选则4 个人4 个
位全排有
岗
种方法，
所以共有
种．
故
：
选D
【典型例题4】甲、乙、丙、丁、戊、己6 人站成一排拍合照，要求甲必
站在中
两个位置之一，且乙、丙
须
间
2
人相
，
不同的排
方法共有（
邻则
队
）
A．24 种
B．48 种
C．72 种
D．96 种
【答案】C
【解析】先安排甲，可从中
两个位置中任
一个，再安排乙丙
间
选
2 人，可分
两
：安排在甲有
为
类
2 个位置的一
；安排在甲有
侧
3 个位置的一
，最后安排其余
侧
3 人，
上可得答案
综
.
先安排甲，可从中
两个位置中任
一个安排有
间
选
种方法，而甲站好后一
有
边
2 个位置，另一
有
边
3 个位
置，再安排乙丙2 人，因乙、丙2 人相
，可分
两
：安排在甲有
邻
为
类
2 个位置的一
有
侧
种方法；安排在甲有
3 个位置的一
有
侧
种方法，最后安排其余3 人有
种方法，
上，不同的排
方法有：
综
队
种.故
：
选C.
【典型例题5】某一天的
程要排入政治、
文、数学、物理、体育、生物共六
，若数学不排第一
，
课
语
门课
节则
排法
数
（
总
为 ）
A．720
B．600
C．120
D．240
【答案】B
【解析】根据特殊元素
限法排列即可
优
.
若数学不排第一
，
数学
的排法有
节则
课
种，其他五
没有要求全排列的排法有
门课
种，
所以排法
数
总
为
（种）.故
：
选B.
【变式训练5-1】用0，1，2，3，4 这5 个数字
成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（
组
）
A．24 个
B．30 个
C．36 个
D．42 个
【变式训练5-2】某停
行两排空
位，每排
车场
车
4 个，
有甲、乙、丙、丁
现
4
需要泊
，若每排都有
辆车
车
车辆
停泊，且甲、乙两
停泊在同一排，
不同的停
方案有（
车
则
车
）
A．288 种 B．336 种 C．384 种 D．672 种
【变式训练5-3】源于探索外太空的渴望，航天事
在
业
21 世
得了
足的
展．太空中的
境
某些科
纪获
长
发
环
为
学
提供了有利条件，宇航
常常在太空旅行中
行科学
．在某次太空旅行中，宇航
的科学
实验
员
进
实验
员们负责
要
实验
经过5 道程序，其中
两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，
不同程序的
序安排
则该实验
顺
共有（ ）
A．18 种 B．36 种 C．72 种 D．108 种
【变式训练5-4】用数字0、1、2、3、4、5
成没有重复数字的四位数，若将
成的不重复的四位数按从小
组
组
到大的
序排成一个数列，
第
顺
则
85 个数字
（ ）
为
A．2301
B．2304
C．2305
D．2310
【变式训练5-5】
州省首届“美
村”
球
决
在黔
南苗族侗族自治州台江
台
村开
贵
丽乡
篮
联赛总
赛
东
县
盘
赛.该联
由台
村“六月六”吃新
球
展演
而来，被网友称
“村
赛
盘
节篮
赛发
变
为
BA”.村BA
全国人民展
的不
是
州
给
现
仅
贵
人
生活的精神，更展
了如今欣欣向荣的
州山水人文，同
州的旅游
来巨大的收益
热爱
现
贵
时给贵
带
.2023 年8
月20 日晚上村BA 西南大区
决
落下帷幕，
祝比
利
束，主
方
置一
扣
表演，分
由
赛总
赛
为庆
赛顺
结
办
设
场
篮
别
重
、
州、四川、云南代表
每
各
出
庆贵
队
队
选
2 名球
参加扣
表演，
州
作
道主，扣
表演必
在第
员
篮
贵
队
为东
篮
须
一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演
序
顺
.
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-6】“
”是西大附中的一个特色，学生
可以尽情地
自己的才能，某班的五个
缤纷艺术节
们
发挥
目（甲､乙､丙､丁､戊）
入了初
，
五个
目的出
序
行排序，其中甲不能第一个出
，乙
节
进
试环节现对这
节
场顺
进
场
不能第三个出
，
一共有（
场则
）种不同的出
序
场顺
.
A．72
B．78
C．96
D．120
【变式训练5-7】将
五个字母排成一排，若A 不在左端且A 在
的左
，
不同的排法有
侧则
种．（用数字作答）
【变式训练5-8】某班开展“学党史，感党恩”演
活
，安排
讲
动
ABCD 四个演
小
在班会上按次序演
，
讲
组
讲则
A
不是第一个演
的方法数
组
讲
为_____
【变式训练5-9】用
、、
、、
、
六个数字：
这
（1）能
成多少个无重复数字的四位数？
组
（2）能
成多少个无重复数字的四位奇数？
组
（3）能
成多少个无重复数字且比
组
大的四位数？
【变式训练5-10】（1）
有
现
4 男2 女共6 个人排成一排照相，其中两个女生相
的排法种数
多少？
邻
为
（2）8 个体育生名
，分配
额
给5 个班
，每班至少
级
1 个名
，有多少种分法？
额
（3）要排一份有4 个不同的朗
目和
诵节
3 个不同的
唱
目的
目
，如果
唱
目不排在开
，并且任意
说
节
节
单
说
节
头
两个
唱
目不排在一起，
不同的排法种数
多少？
说
节
则
为
（4）某医院有内科医生7 名，其中3 名女医生，有外科医生5 名，其中只有1 名女医生．
派
现选
6 名去甲、乙
两地参加
灾医
，要求每
必
赈
疗队
队
须2 名男医生1 名女医生，且每
由
队
2 名外科医生1 名内科医生
成，有
组
多少种派法？（最后
果都用数字作答）
结
【变式训练5-11】某
文化学
小
有
传统
习
组
7 名同学，其中男生4 名，女生3 名．
要从中
出
现
选
4 名同学参
加学校
行的
展示活
．
举
汇报
动
(1)如果要求
出的
选
4 名同学中，男生、女生各有2 名，那么有多少种不同的
法？
选
(2)如果要求
出的
选
4 名同学分
参加国学、
法、
画、茶
别
书
绘
艺4 种不同的
目，且参加茶
的同学必
是女
项
艺
须
生，那么有多少种不同的
法？
选
【变式训练5-12】．用
可以
成多少个无重复数字的五位数？其中能被
组
5 整除的五位数有多
少个？
题型06：相邻问题的排列——捆绑法
【典型例题1】由3 个2,1 个0,2 个3
成的六位数中
组
,
足有相
满
邻4 位恰好是2023 的六位数个数
（
为 ）
A．3 B．6 C．9 D．24
【答案】B
【解析】由
得
题
3 个2,1 个0,2 个3 中,除去2023 四个数,
剩一个
还
2,一个3,
将2023
行捆
，
进
绑对2,2023,3
行全排有
进
种.故选:B
【典型例题2】在某个
位迎新晚会上有
单
A、B、C、D、E、F6 个
目，
位
了考
整体效果，
目演出
节
单
为
虑
对节
顺
序有如下具体要求，
目
节
C 必
安排在第三位，
目
须
节
D、F 必
安排
在一起，
位迎新晚会
目演出
须
连
则该单
节
序的
排方案共有（
顺
编
）种
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】A
【解析】由
意
题
D、F 在一二位或四五位、五六位，C 是固定的，其他三个
目任意排列，
节
因此方法数为
．故
：
选A．
【变式训练6-1】2022 年2 月4 日北京冬奥会
利开幕
顺
.在开幕式当晚，周明
李亮一家一起
看
约
观
.周明一
家四口相
而坐，李亮一家四口也相
而坐，已知他
两家人的
邻
邻
们
8 个座位
在一起（在同一排且一人一座），
连
且周明与李亮也相
而坐，
他
不同的坐法有（
邻
则
们
）
A．432 种 B．72 种 C．1152 种 D．144 种
【变式训练6-2】某学校筹
元旦晚会
目
，准
在前五个
目排三个歌唱
目，一个小品
目以及
备
节
单时
备
节
节
节
一个相声
目，若三个歌唱
目最多有两个相
，
不同的排法
数
（
节
节
邻则
总
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3】六名同学暑期相
去都江堰采
景，
束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相
约
风观
结
，丙与丁不相
，
不同的排法共有（
邻
邻则
）
A．48 种
B．72 种
C．120 种
D．144 种
【变式训练6-4】五声音
是中国古
基本音
，故有成
“五音不全”．中国古
中的五声音
依次
：
阶
乐
阶
语
乐
阶
为宫、
商、角、徵、羽，若把
五个音
全用上，排成一个五个音
的音序，且要求
、角、羽三音
不全相
，
可
这
阶
阶
宫
阶
邻则
排成不同的音序种数是 ．
【变式训练6-5】将A，B，C，D，E 这5 名同学从左至右排成一排，则A 与B 相
且
邻
A 与C 之
恰好有
间
1 名
同学的排法有 种．
题型07：不相邻问题的排列——插空法
【典型例题1】排成一排的8 个座位，甲、乙、丙3 人随机就座，要求甲乙必
在相
两座位就座，但都与丙
须
邻
不相
（即之
有空座位），
不同坐法种数
（
邻
间
则
为 ）
A．30
B．60
C．120
D．336
【答案】B
【解析】将甲、乙（
同座位）看成一个整体，和丙去插
连
5 个座位形成6 个空隙，即可得出答案.
将甲、乙
同两个座位捆
在一起看成一个元素，丙
同一个座位捆
在一起看成一个元素，
连
绑
连
绑
剩余5 个座位形成6 个空隙，从中
出
选
2 个空隙安排
两个元素，然后甲、乙可以交
序
这
换顺
.
所以
种不同坐法.故
：
选B
【典型例题2】3 男4 女排成一排，3 男不能相
有（
邻
）种排法．
A．50
B．25
C．825
D．1440
【答案】D
【解析】根据插空法直接求解即可
首先将4 名女生排成一排，共有
；
4 名女生形成5 个空，将3 名男生插入5 个空中的3 个共有
；
上所述共有
综
种情况.故
：
选D
【典型例题3】
了响
国家号召，
防新冠病毒的
播，
为
应
预
传
7 位高
老人排
注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙
龄
队
相
，且乙在甲与丙的中
，
共有
邻
间则
______种不同的排
方法．
队
【答案】240
【解析】利用捆
法，
合排列的定
行求解即可
绑
结
义进
.不同的排
方法有
队
种．
故答案
：
为240
【典型例题4】六名同学排成一排照相，
其中甲､乙､丙三人两两不相
，且甲和丁相
的情况有
则
邻
邻
__________种．（用数字作答）
【答案】72
【解析】
另外两人
戊己，甲丁捆
后和戊己排序，再将乙丙插空即可
设
为
绑
.
另外两人
戊己．可以分步完成，
设
为
①甲丁捆
后排序有
绑
方法，
②捆
后的甲丁戊己排序，有
绑
种方法，
③将乙丙插空，四个空位中与甲相
的空位不能
，故有
邻
选择
种方法，
根据分步乘法原理，共有
种方法．故答案
：
为72.
【典型例题5】从6 名运
中
动员
选4 人参加
米接力
，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？
赛
（写出
算
程，并用数字作答）
计
过
(1)甲､乙两人必
跑中
两棒；
须
间
(2)若甲､乙两人都被
且必
跑相
两棒．
选
须
邻
【答案】(1)24(2)72
【解析】（1）由甲､乙两人必
跑中
两棒，甲乙之
会有一个排列
须
间
间
，余下的两个位置需要在剩余4 人中选
出共有
种，根据分步
数原理即可求解
计
.
（2）由
意可将甲乙两人捆
，并且有
题
绑
种
果，其余
结
4 人
出两人和甲乙
合成三个元素的排列共有
选
组
种
果，再根据分步
数原理即可求解
结
计
.
（1）甲､乙两人跑中
两棒，甲乙两人的排列有
间
种，剩余两棒从余下的4 个人中
两人的排列有
选
种，
故有
种；
（2）若甲､乙两人都被
且必
跑相
两棒，甲乙两人相
两人的排列有
选
须
邻
邻
种，其余4 人
两人和甲乙
合
选
组
成三个元素的排列有
种，故有
种．
【变式训练7-1】班会
上原定有
课
3 位同学依次
言，
加入甲，乙
发
现临时
2 位同学也
言，若保持原来
发
3 位
同学
言的相
序不
，且甲，乙的
言
序不能相
，
不同的
言
序种数
（
发
对顺
变
发
顺
邻则
发
顺
为 ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【变式训练7-2】5 个人排成一列，已知甲排在乙的前面，
甲、乙两人不相
的概率
（
则
邻
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3】2022 年11 月30 日,神舟十四号字航
冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航
俊
、
员陈
员费
龙
清明、
利“会
太空”
邓
张陆顺
师
,
一
史
刻
为记录这
历
时
,他
准
在天和核心
合影留念
们
备
舱
.假设6 人站成一排,要
求神舟十四号三名航天
互不相
员
邻,且神舟十五号三名航天
也互不相
员
邻,
他
的不同站法共有（
则
们
）种
A．72 B．144 C．36 D．108
【变式训练7-4】琵琶、二胡、
、
笛、瑟、琴、
、笙和鼓
十种民族
器被称
“中国古代十大
器”
编钟箫
埙
这
乐
为
乐
.
弘
中国
文化，某校以
十种
器
材，在周末学生
趣活
中开展了“中国古代
器”知
座，
为
扬
传统
这
乐
为题
兴
动
乐
识讲
共
安排八
，一
只
一种
器，一种
器最多安排一
，
琵琶、二胡、
一定安排，且
三
连续
节课
节课
讲
乐
乐
节课则
编钟
这
种
器互不相
的概率
（
乐
邻
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-5】5 名同学坐成一排照相，要求甲不在正中
，且甲、乙不相
，
间
邻则这5 名同学不同坐法的
种数
（
为 ）
A．24 B．36 C．60 D．72
【变式训练7-6】某公司
祝新中国成立
为庆
73 周年，
划
行
祝活
，共有
计
举
庆
动
5 个
目，要求
节
A
目不排
节
在第一个且C、D
目相
，
目安排的方法
数
（
节
邻则节
总
为 ）
A．18 B．24 C．36 D．60
【变式训练7-7】杭州第19 届
运会火炬
亚
9 月14 日在浙江台州
，火炬
路
以“和合台州活力城
传递
传递
线
市”
主
，全
为
题
长8 公里．从和合公园出
，途
台州市
、文化
、体育中心等地
建筑．假
某段
发
经
图书馆
馆
标
设
线
路由甲、乙等6 人
，每人
一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，
不同的
方案共有（
传递
传递
则
传递
）
A．288 种
B．360 种
C．480 种
D．504 种
【变式训练7-8】A，B，C，D，E，F 六人站成一排，
足
满
A，B 相
，
邻C，D 不相
的不同站法的种数
（
邻
为 ）
A．48
B．96
C．144
D．288
【变式训练7-9】某中学
祝建校
为庆
130 周年，高二年
派出甲､乙､丙､丁､戊
级
5 名老
参加“
师
130 周年
学
办
成果展”活
，活
束后
动
动结
5 名老
排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相
且丙、丁两人必
相
，
排
师
邻
须
邻则
法共有 种(用数字作答)．
【变式训练7-10】夏老
要
行年度体
，有抽血、腹部彩超、胸部
师
进
检
CT、心
、血
量等五个
目，
电图
压测
项
为
了体
数据的准确性，抽血必
作
第一个
目完成，而夏老
决定腹部彩超和胸部
检
须
为
项
师
CT 两
不
在一起
项
连
检
，
不同的
方案一共有
查则
检查
种.
【变式训练7-11】
影《
津湖》
述了在极寒
酷
境下，中国人民志愿
凭着
意志和英勇无畏的精
电
长
讲
严
环
军
钢铁
神
津湖
役
利做出重要
献的故事，
有
为长
战
胜
贡
现
4 名男生和3 名女生相
一起去
看
影片，他
的座位
约
观
该
们
在同一排且
在一起．（列出算式，并
算出
果）
连
计
结
(1)女生必
坐在一起的坐法有多少种？
须
(2)女生互不相
的坐法有多少种？
邻
(3)甲、乙两位同学相
且都不与丙同学相
的坐法有多少种？
邻
邻
【变式训练7-12】3 名男生､4 名女生排成一行.在下列要求下，分
求不同排列方法的种数：
别
(1)甲不在最左
，乙不在最右
；
边
边
(2)男生必
排在一起；
须
(3)男生和女生相
排列；
间
(4)在甲､乙两人中
必
有
间
须
3 人.
【变式训练7-13】
有
现
7 位老
（含甲、乙）排成一排拍照留念．
师
（1）求甲、乙不相
且不在两端的概率；
邻
（2）如果甲、乙之
所隔人数
间
为3，那么共有多少种不同的排法？
题型08： 定序问题
【典型例题1】
有
现
3 位歌手和4 名粉
站成一排，要求任意两位歌手都不相
，
不同的排法种数可以表
丝
邻则
示
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】第一种排法：先排4 名粉
，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先
算
丝
计
3 位歌手和2 位歌手站
一起的排法，然后利用
排法去掉前面两种不
足
意的排法即可
总
满
题
【
解】第一种排法：分
详
2 步
行：①将
进
4 名粉
站成一排，有
丝
种排法；
②4 人排好后，有5 个空位可
，在其中任
选
选3 个，安排三名歌手，有
种情况．
有
则
种排法，
第二种排法：先
算
计
3 位歌手站一起，此时3 位歌手看做一个整体，有
种排法，
再
算恰好有
计
2 位歌手站一起，此时2 位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相
，有
邻
种排法，
歌手不相
有
则
邻
种排法．故
：
选CD
【典型例题2】某社区活
需要
六天有志愿者参加服
，每天只需要一名志愿者，
有甲、乙、丙、丁、
动
连续
务
现
戊、己6 名志愿者，
划依次安排到
社区参加服
，要求甲不安排第一天，乙和丙在相
两天参加服
，
计
该
务
邻
务
不同的安排方案共有（
则
）
A．72 种
B．81 种
C．144 种
D．192 种
【答案】D
【解析】先
算乙和丙在相
两天参加服
的排法，排除乙和丙在相
两天且甲安排在第一天参加服
的排
计
邻
务
邻
务
法，即可得出答案.
解：若乙和丙在相
两天参加服
，不同的排法种数
邻
务
为
，
若乙和丙在相
两天且甲安排在第一天参加服
，不同的排法种数
邻
务
为
，
由
接法可知，
足条件的排法种数
间
满
为
种.故
：
选D.
【典型例题3】如
，某城市的街区由
图
12 个全等的矩形
成（
表示
路），
组
实线
马
CD 段
路由于正在
修，
马
维
暂
不通，
从
时
则
A 到B 的最短路径有（ ）
A．23 条
B．24 条
C．25 条
D．26 条
【答案】D
【解析】先假设
是
，
算出所有的最短路径的条数，然后减去
实线计
经过
的最短路径的条数，从而求得
正确答案.
先假设
是
，
实线
从
则
到
，向上
次，向右
次，最短路径有
条，
其中经过
的，即先从
到
，然后
到
，最后
到
的最短路径有
条，
所以，当
不通
，最短路径有
时
条.故
：
选D
【典型例题4】花灯，又名“彩灯”“灯
”，是中国
代的文化
物，兼具生活功能与
特色
笼
传统农业时
产
艺术
.如图，
有
挂着的
现
悬
6
不同的花灯需要取下，每次取
盏
1
，
不同取法
数
盏则
总
为_________
【答案】
【解析】
合全排列的概念即可
结
.
由
意，
题
对6
不同的花灯
行取下，
盏
进
先对6
不同的花灯
行全排列，共有
盏
进
种方法，
因
取花灯每次只取一
，而且只能从下往上取，
为
盏
所以必
除去重复的排列
序，即先取上方的
序，
须
顺
顺
故共有取法
数
：
总
为
.故答案
：
为
【典型例题5】五声音
是中国古
基本音
，故有成
“五音不全”，中国古
中的五声音
依次
：
、
阶
乐
阶
语
乐
阶
为宫
商、角、徵、羽，把
五个音
排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音
相
且在
音
之后，
可排成
这
阶
阶
邻
宫
阶
则
不同的音序的种数为___________.（用数字作答）.
【答案】24
【解析】先将徵、羽两音
相
捆
在一起，然后与
、商、角
行全排，再
合定序
倍
法求解即
阶
邻
绑
宫
进
结
问题
缩
.
解：先将徵、羽两音
相
捆
在一起有
阶
邻
绑
，然后与
、商、角
行全排有
宫
进
，考
到
序
虑
顺
问题,
可排成不同的音序的种数
则
为
.故答案
：
为24．
【变式训练8-1】今有2 个
球、
红
3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这9 个球排成一列的排法
数
总
（
为 ）
A．1782 B．1720 C．2520 D．1260
【变式训练8-2】某公司
祝年利
目
，
划
行答
会，原定表演
为庆
润实现
标计
举
谢联欢
6 个
目，已排成
目
节
节
单，
开演前又
增加了
临时
2 个互
目
动节
.如果保持原
目的
序不
，那么不同排法的种数
（
节
顺
变
为 ）.
A．42 B．56 C．30 D．72
【变式训练8-3】用
成没有重复数字的七位数，若
组
的
序一定，
符合条件的七位数
顺
则
有（ ）个
A．840 B．210 C．640 D．410
【变式训练8-4】
架上某一
有
书
层
5 本不同的
，新
了
书
买
3 本不同的
插
去，要保持原来
书
进
5 本
的
序不
书
顺
，
不同的插法种数
（
变则
为 ）.
A．60 B．120 C．336 D．504
【变式训练8-5】某同学将英文
“
单词million”中字母的
序
了，那么他在
写
，写
的情况有
顺
记错
书
该单词时
错
种（用数字作答）．
【变式训练8-6】某中学
迎接新年到来，筹
“唱响
代
音，放
青春梦想”
主
的元旦文
晩会
为
备
时
强
飞
为
题
艺
.晩
会
委会
划在原定排好的
组
计
5 个学生
目中增加
节
2 个教
目，若保持原来
师节
5 个
目的出
序不
，
节
场顺
变则
有__________种不同排法.（用数字作答）
【变式训练8-7】（1）6 名同学（简记为
，
，
，
，
，
）到甲、乙、丙三个
做志愿者
场馆
.
（i）一天上午有16 个相同的口罩全部发给这6 名同学，每名同学至少
两个口罩，
不同的
放方法种数？
发
则
发
（ii）每名同学只去一个
，每个
至少要去一名，且
场馆
场馆
、
两人
定去同一个
，
约
场馆
、
不想去一个
，
足同学要求的不同的安排方法种数？
场馆则满
（2）某校
派
选
4 名干部到两个街道服
，每人只能去一个街道，每个街道至少
务
1 人，有多少种方法？（
果用
结
数字表示）
（3）如
，某水果店
前用
图
门
3 根
子挂了
绳
6 串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要
收
了，假
每次只取
摊
设
1 串（挂在一列的只能先收下面的），
将
些香蕉都取完的不同取法种数？（
果用
则
这
结
数字表示）
题型09：其他排列问题
【典型例题1】从甲､乙等5 人中任选3 人参加三个不同
目的比
，要求每个
目都有人参加，
甲､乙中
项
赛
项
则
至少有1 人入
的不同参
方案共有
选
赛
种.
【答案】54
【解析】根据排列数利用
接法，在
体中排除没有甲、乙的参
方案
间
总
赛
.
若甲､乙等5 人中任选3 人参加三个不同
目的比
，共有
项
赛
种不同参
方案，
赛
若没有甲､乙入
的不同参
方案共有
选
赛
种，
所以甲､乙中至少有1 人入
的不同参
方案共有
选
赛
种.
故答案
：
为54.
【典型例题2】回文
是我国
中的一种，用回文形式写成的
，既可
，也可倒
，不
意思不
联
对联
对联
顺读
读
仅
变，
而且
具趣味
颇
.相
，清代北京城里有一家酒楼叫“天然居”，一次乾隆路
家酒楼，称
楼名的高雅，遂以
传
过这
赞
楼名
作
，上
是：“客上天然居，居然天上客”
为题
对联
联
.
曰：“人
大佛寺，寺佛大
人”，乾隆微笑
纪晓岚对
过
过
颔
首，后“天然居”以此
，遂声名大噪
为门联
.在数学中也有
一
与倒
都是同一个数的自然数，称之
这样
类顺读
读
：“回文数”
为
.如66，787，4334 等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 可以
成
组
4 位“回文数”的个数
（
为
）
A．56 个
B．64 个
C．81 个
D．90 个
【答案】C
【解析】根据回文数的性
，
合排列的定
分
行求解即可
质结
义
类讨论进
.
根据
意，分
题
2 种情况
：
讨论
①4 位“回文数”中数字全部相同，有9 种情况，即此
有
时
9 个4 位“回文数”；
②4 位“回文数”中有2 个不同的数字，有
种情况，
即此
有
时
72 个4 位“回文数”，
一共有
则
个4 位“回文数”，故
：
选C
【变式训练9-1】某数学
趣小
用
板制作正方体教具，
中的正方体展开
的六个区域涂色，有
兴
组
纸
现给图
图
、橙、黄、
四种
色可
，要求制作出的正方体相
面所涂
色均不同，共有
红
绿
颜
选
邻
颜
种不同的涂
色方法.
【变式训练9-2】在方程
中，
系数
设
a、b 是集合
中两个不同的元素．求
些方程所
这
表示的不同直
的条数．
线
题型10：排列的综合应用
【典型例题1】有3 名男生、4 名女生，求
足下列不同条件的排
方法的种数
满
队
.
(1)
其中
选
5 人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3 人，后排4 人；
(3)全体排一排，甲不站排
也不站排尾；
头
(4)全体排一排，女生必
站在一起；
须
(5)全体排一排，男生互不相
；
邻
(6)全体排一排，甲、乙两人中
恰好有
间
3 人；
(7)全体排一排，甲必
排在乙的前面；
须
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.
【答案】(1)2520(2)5040(3)3600(4)576；(5)1440；(6)720；(7)2520；(8)3720
【解析】(1)
的排列
；
简单
问题(2)
个人全排列
；
问题(3)甲作
特殊元素，先排甲；
为
(4)将所有女生看作一个整体，与三名男生
行全排列，再将四个女生
行全排列；
进
进
(5)男生互不相
，
采用插空法，先排女生，再在空位中插入男生；
邻则
(6)把甲、乙及中
三人看作一个整体，先排甲乙两人，再排剩下的五人中挑
间
选
人，最后与最
的两个人排
终
列即可；
(7)算出所有的可能，排除掉乙在甲前面的情况即可；
(8)当甲、乙不在两端
，可
先排好甲、乙，然后排其他人
时
优
.
（1）从
人中选
人排列，有
（种）方法.
（2）分两步完成，先选
人站前排，有
种方法，余下
人站后排，有
种方法，
共有
则
（种）方
法.
（3）先排甲，有
种方法，其余六人有
种，
共有
则
（种）方法.
（4）（捆
法）：将女生看作一个整体与
绑
名男生全排列，有
种方法，再将女生全排列，有
种方法，
共有
则
（种）方法.
（5）（插空法）：先排女生，有
种方法，再在女生之
及首尾
间
个空位中任选
个空位安排男生，
有
种方法，
共有
则
（种）方法.
（6）把甲乙及中
三人看作一个整体，第一步先排甲乙两人有
间
种方法，
再从剩下的
人中选
人排到中
，有
间
种方法，最后把甲乙及中
三人看作一个整体，与剩下两人排列，
间
有
种，共有
（种）方法.
（7）（消序法）：
（种）方法.
（8）（
接法）：无限制排法有
间
种，其中甲或乙在最左端或在最右端有
种，
是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有
（种）方法.
【典型例题2】直线
的斜率大于零，
且互不相同，那么
的不重合直
这样
的条数是（
线
）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】A
【解析】由
意可得
题
，不妨设
，分
，
，
三种情况
，注意排除重合的情况
讨论
，
即可得解.
因
直
为
线
的斜率大于零，所以
且
，则
，不妨设
，
当
，
时
有
种
法，
选
有两种
法，
选
因
直
为
线
和直线
重合，所以
的直
有
这样
线
种，
当
，
时则
有
种
法，
选
有
种
法，且其中任意两条直
都不重合，
选
线
所以
的直
有
这样
线
种，
当
，
时则
有
种
法，
选
有
种
法，且其中任意两条直
都不重合，
选
线
所以
的直
有
这样
线
种，
上所述，符合
意的直
有
综
题
线
种.故
：
选A.
【变式训练10-1】如
一个开关
列，每个开关只有“开”和“关”两种状
，按其中一个开关
图为
阵
态
1 次，将导
致自身和所有相
（上、下相
或左、右相
）的开关改
状
邻
邻
邻
变
态.若从
十六个开关中随机
两个不同的开关
这
选
先后各按1 次（例如：先按
，再按
），则
和
的最
状
都未
生改
的概率
终
态
发
变
为______.
【变式训练10-2】中国新冠疫苗研究路径有两种技
路
：一个是
活疫苗，一个是腺病毒
体疫苗，其
术
线
灭
载
中在腺病毒
体疫苗研制
程中，科研者要依次完成七
不同的任
，并
任
的
序提出了如下要求：重
载
过
项
务
对
务
顺
点任务A 必
排在前三位，且任
须
务D、E 必
排在一起，
七
任
的安排方案共有
须
则这
项
务
______种（用数字作
答）
【变式训练10-3】
有
现
7 位老
（含甲、乙）排成一排拍照留念．
师
(1)求甲、乙不相
且不在两端的概率；
邻
(2)如果甲、乙之
所隔人数
间
为3，那么共有多少种不同的排法？
一、单选题
1．已知甲、乙两个家庭排成一列
核酸，甲家庭是一
夫妻
测
对
带1 个小孩，乙家庭是一
夫妻
对
带2 个小孩.现
要求2 位父
位于
伍的两端，
亲
队
3 个小孩要排在一起，
不同的排
方式的种数
（
则
队
为 ）
A．288
B．144
C．72
D．36
2．
祝中国共
党第二十次全国代表大会
利
幕，某高中
行“献礼二十大”活
，高三年
派出甲､
为庆
产
胜
闭
举
动
级
乙､丙､丁､戊5 名学生代表参加，活
束后
动结
5 名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相
且丙、丁两
邻
人必
相
，
不同的排法共有（
须
邻则
）种．
A．40
B．24
C．20
D．12
3．新高考数学中的不定
有
项选择题
4 个不同
，其
可能有
选项
错误选项
0 个、1 个或2 个，
种
型很好地凸
这
题
了“
在深刻理解基
之上的融会
通、灵活运用，促
学生掌握原理、内化方法、
一反三”的教考
显
强调
础
贯
进
举
衔
接要求．若某道数学不定
存在
，且
不能相
，
符合要求的
项选择题
错误选项
错误选项
邻则
4 个不同
的排列
选项
方式共有（ ）
A．24 种
B．36 种
C．48 种
D．60 种
4．某商
的展示台上有
场
6 件不同的商品，
放
要求
摆
时
两件商品必
在一起，
放的种数
（
须
则摆
为 ）
A．
B．
C．
D．
5．如
，
要
某公园的
图现
对
4 个区域
行
化，有
进
绿
4 种不同
色的花卉可供
，要求有公共
的两个区域
颜
选择
边
不能用同一种
色的花卉，
不同的
化方案有（
颜
则
绿
）
A．48 种
B．72 种
C．64 种
D．256 种
6．从0、1、2、3、4、5 六个数中，选3 个不同的数可以
成多少个不同的三位数？（
组
）
A．60
B．80
C．100
D．120
7．中国古代中的“礼、
、射、御、
、数”合称“六
”
乐
书
艺
“礼”主要指德育“
”主要指美育
乐
“射”和“御”就是
体育和劳动“
”指各种
史文化知
书
历
识“数”指数学.某校国学社
开展“六
”
座活
，每
安排一次
座
团
艺讲
动
艺
讲
，
共
六次，
座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相
，“射”和“御”不相
，
“六
”
座不同的次序共
讲
讲
邻
邻则
艺讲
有（ ）种
A．
B．
C．
D．
8．已知某N95 口罩厂的一条生
流水
上有
号依次
①至⑥的
产
线
编
为
6 个不同
站，
将甲､乙､丙等
质检
现
6 名质
安排到
检员
这6 个不同
站
行
品
，每个
站安排
质检
进
产
检测
质检
1 人，丙不在①和⑥
站，
甲､乙所在
质检
则
质
站的
号相
的概率
（
检
编
邻
为 ）
A．
B．
C．
D．
9．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我
人人，人人
我”等，数学上具有
特征的一
数称
为
为
这样
类
“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左
都一
的正整数，如
为
读
样
121，241142 等，在所有五位正整数
中，有且
有两位数字是奇数的“回文数”共有（
仅
）
A．100 个
B．125 个
C．225 个
D．250 个
10．某公司
祝新中国成立
为庆
73 周年，
划
行
祝活
，共有
计
举
庆
动
5 个
目，要求
节
A
目不排在第一个且
节
C、
D
目相
，
目安排的方法
数
（
节
邻则节
总
为 ）
A．18
B．24
C．36
D．60
11．某学校在校
口建造一个花圃，花圃分
门
为9 个区域（如
），
要在每个区域栽种一种不同
色的花，其
图
现
颜
中
色、白色两种花被随机地分
种植在不同的小三角形区域，
它
在不相
（没有公共
）区域的概率
红
别
则
们
邻
边
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
12.受新冠肺炎疫情影响，某学校按上
文件指示，要求
峰放学，
峰有序吃
级
错
错
饭.高三年
一
楼有甲、乙、
级
层
丙、丁、戊、己六个班排
吃
，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必
排在一起，
六个班排
吃
的
队
饭
须
则这
队
饭
不同安排方案共有（ ）
A．120 种
B．156 种
C．192 种
D．240 种
13.若a∈N＋，且a < 20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（ ）
A．
B．
C．
D．
14.在某校
行的秋季运
会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了
举
动
50 米短跑比赛.
将四位同学安排在
现
1，
2，3，4 这4 个跑道上，每个跑道安排一名同学，
甲不在
则
1 道，乙不在2 道的不同安排方法有（ ）种.
A．12
B．14
C．16
D．18
15.甲、乙、丙3 位志愿者安排在周一至周五的5 天中参加某
志愿者活
，要求每人参加一天且每天至多
项
动
安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）
A．20 种
B．30 种
C．40 种
D．60 种
二、多选题
1.
足不等式
满
的
的
（
值为 ）
A．5
B．4
C．3
D．2
2.从0，2，3，4，6 中任取若干数字
成新的数字，下列
法正确的有（
组
说
）
A．若数字可以重复，
可
成的三位数的个数
则
组
为100
B．若数字可以重复，
可
成的四位偶数的个数
则
组
为400
C．若数字不能重复，
可
成比
则
组
45000 大的整数的个数为40
D．若数字不能重复，
可
成数字
则
组
2，3 相
的五位数的个数
邻
为36
3.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10 个数字
成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ）
组
A．
B．
C．
D．
4.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列
法正确的是（ ）
说
A．如果甲，乙必
相
且乙在甲的右
，那么不同的排法有
须
邻
边
24 种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，
不同的排法共有
则
42 种
C．甲乙不相
的排法种数
邻
为72 种
D．甲乙丙按从左到右的
序排列的排法有
顺
20 种
三、填空题
1.用0，2，3，4，5 五个数
成无重复数字的四位数，
不同的四位数共有
组
则
______个，其中偶数共有______个．
2.
，则
______.
3.2020 年2 月
支援武
市抗
新型冠状病毒的疫情，
划从北京大
国
机
空运部分救援物
，
为
汉
击
计
兴
际
场
资该杋
有世界上最大的
一航站楼，并
有机器人自
泊
系
，解决了停
、找
的
，
有
场拥
单
拥
动
车
统
车满
车难
问题现
4 辆载
有救援物
的
可以停放在
资
车辆
8 个并排的泊
位上，要求停放的
相
，箭
表示
朝向，
不同的泊
车
车辆
邻
头
车头
则
方案有
车
__________种．（用数字作答）
4.从2，4，6，8，10
五个数中，每次取出两个不同的数分
这
别为
，共可得到
的不同
的个数是
值
_______个．
5.
弘
我国古代的“六
文化”，某学校欲利用每周的社
活
可
“礼”“
”“射”“御”“
”“数”
为
扬
艺
团
动课
设
乐
书
6 门课
程，每周开
一
，
开
六周．若
程“
”不排在第一周，
程“
”排在第三周或第四周，
所有可能
设
门连续
设
课
乐
课
书
则
的排法种数为__________．
6.一排
个座位，
安排
现
人就座，
定中
的
规
间
个座位不能坐，且
人不相
，
不同排法的种数是
邻则
_________.
四、解答题
1.已知一条
路有
铁
8 个
站，假
列
往返运行且每个
站均停靠上下客，
从
车
设
车
车
记
站上
到
车
车
站下
车
车
为1 种
票（
车
）．
(1)
路的客运
票有多少种？
该铁
车
(2)
足客运需要，在
路上新增了
为满
该铁
个
站，客运
票增加了
车
车
54 种，求
的
．
值
2.解不等式：
；
3.用0，1，2，3，4，5
六个数字可以
成多少个符合下列条件的无重复的数字？
这
组
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5 的六位数；
（3）不大于4 310 的四位偶数.
4.在班
活
中，
级
动
4 名男生和3 名女生站成一排表演
目：（写出必要的数学式，
果用数字作答）
节
结
（1）三名女生不能相
，有多少种不同的站法？
邻
（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）
（4）从中
出
选
2 名男生和2 名女生表演分四个不同角色朗
，有多少种
派方法？
诵
选
