文档文本内容
第02 讲 导数的运算
目
录
思维导图...................................................................................................................................................2
高考分析...................................................................................................................................................2
学习目标...................................................................................................................................................2
知识要点...................................................................................................................................................3
解题策略...................................................................................................................................................8
题型归纳...................................................................................................................................................8
题型01：求基本初等函数的导数...............................................................................................................8
题型02：求函数的四则运算的导数.........................................................................................................10
题型03：特殊函数的导函数....................................................................................................................14
题型04：求某点处的导数值....................................................................................................................14
题型05：求复合函数的导数....................................................................................................................16
题型06：利用导数求函数式中的参数......................................................................................................19
题型07：解析式中含f '( x0)的导数问题.................................................................................................20
题型07：求切线方程..............................................................................................................................21
（一）利用导数求在某点处的切线方程.............................................................................................21
（二）利用导数求过点处的切线方程................................................................................................21
（三）利用导数公式求切点坐标.......................................................................................................22
（四）切线的平行、垂直问题...........................................................................................................24
（五）曲线切线的斜率、倾斜角问题................................................................................................26
（六）公切线问题............................................................................................................................27
（七）切线条数问题.........................................................................................................................29
（八）已知切线求参数范围..............................................................................................................30
题型08：根据导数的几何意义求参数的值...............................................................................................30
题型09：导数及其几何意义的综合应用..................................................................................................31
题型10：利用切线求距离最值................................................................................................................31
巩固提升................................................................................................................................................. 32
1. 考
率：
数的运算是
数板
的基
，在高考中每年必考，既会
独以
、填空
形式出
（分
查频
导
导
块
础
单
选择题
题
现
值
5 分），也会融合在
数的几何意
、
性、极
最
等解答
中
行
合考
。
导
义单调
值
值
题
进
综
查
2. 考
重点：
查
①基本初等函数的
数公式（
函数、指数函数、
数函数、三角函数、常数函数）的直接
用。
导
幂
对
应
②
数的四
运算法
（和差
商），尤其是
、商法
的
形
用。
导
则
则
积
积
则
变
应
①复合函数的求
法
（“
式法
”），
是高考的核心
点，常
合指数、
数、三角函数的复合形式考
导
则
链
则
这
难
结
对
。
查
④与
数的几何意
（求切
斜率、切
方程）
合的
合
型，是高
考点。
导
义
线
线
结
综
题
频
3. 命
：近年来高考
数运算的考
更注重“
性
合”，不再局限于
的求
算，而是要求在复
题趋势
对导
查
隐
综
单纯
导计
函数（如含参数、分段函数、抽象函数）求
的基
上，
合
性、极
等
行分析，
运算的准确性
杂
导
础
结
单调
值
问题进
对
和
范性要求
高。
规
较
1. 基
目
础
标
①熟
并能准确默写基本初等函数的
数公式，无混淆、无
漏。
记
导
遗
②掌握
数的四
运算法
，能熟
和、差、
、商形式的函数求
。
导
则
则
练对
积
导
③理解复合函数的
构特征，会用“
式法
”
复合函数（一次复合）求
。
结
链
则对简单
导
2.
目
进阶
标
①能
复
复合函数（多次复合，如
对
杂
y=\ln(\sin x^2)）分步求
，明确每一步的内
、外
函数。
导
层
层
② 掌握分段函数在分段点
的
数求法（利用
数定
），以及非分段点
的常
求
方法。
处
导
导
义
处
规
导
③能
合
数的几何意
，通
求
解决切
斜率、切
方程相关
。
结
导
义
过
导
线
线
问题
3. 核心目标
①形成“先分析函数
构 →
合适求
法
→
范运算 →
果”的求
思
流程，确保运算
结
选择
导
则
规
检验结
导
维
零失
。
误
②能在含参数函数的求
中，准确区分“参数”与“
量”，避免运算
。
导
变
错误
知识点一：基本初等函数的导数
基本初等函数
导数
特别地
常数函数
（
为常数）
，
幂函数
（
为有理数）
，
指数函数
对数函数
正弦函数
余弦函数
要点诠释：
1.
常数函数的导数为0，即
（
为常数）
，其几何意义是曲线
（
为常数）在任意点
处的切线平行于x 轴.
2.
有理数幂函数的导数等于幂指数
与自变量的（
－1）次幂的乘积，即
.
3.
在数学中，“
”表示以（=2.71828
）为底数的对数；“
”表示以10 为底数的常用对数.
常
函数的
数
见幂
导
原函数
函数
导
f(x)＝c(c
常数
为
)
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
f(x)＝
f′(x)＝
f(x)＝
f′(x)＝
知识点二：和、差、积、商的导数
函数和差
商的求
法
：
积
导
则
（1）和差
的求
法
积
导
则:
[cf(x)]′＝cf′(x)；
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（2）商的倒数与商的求
法
导
则:
(f (x)≠0)；
2
( )
'( )
( )
'( )
( )
'
( )
( )
f x
f
x
g x
g x
f x
g x
g
x
(g(x)≠0)．
(3)其它
：
结论[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
要点诠释：
1. 上述法则
也可以
：
简记为
（ⅰ）和（或差）的
数：
导
，
推广：
．
（ⅱ）
的
数：
积
导
，
特
地：
别
（c
常数）．
为
（ⅲ）商的
数：
导
，
两函数商的求
法
的特例
导
则
，
当
，
时
．
是一个函数倒数的求
法
．
这
导
则
2．两函数
与商求
公式的
明
积
导
说
（1）
比：
类
，
（v≠0），注意差异，加以区分．
（2）注意：
且
（v≠0）．
3．求
运算的技巧
导
在求
数中，有些函数
然表面形式上
函数的商或
，但在求
前利用代数或三角恒等
形可将函数
导
虽
为
积
导
变
先化
（可能化去了商或
），然后
行求
，可避免使用
、商的求
法
，减少运算量．
简
积
进
导
积
导
则
4 .f
'(a)
是一个数
实际
f
'(a)代表函数
在
的
数
；
处
导
值[f (a)]
'
是函数值
的
数，且
导
[f (a)]' =0.
5.(| x|)' =
x
| x| =| x|
x
多用乘法求
运算
导
连乘积形式
先展开化为多项式的形式，再求导
导数的加法法则
导数的减法法则
导数的乘法法则
导数的除法法则
公式形式
观察函数的结构特征，先化为整式函数或
较为简单的分式函数，再求导
对数形式
先化为和、差的形式，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形
式，再求导
含待定系数
如含f'（a），a，b 等的形式，先将待定系
数看成常数，再求导
知识点三：复合函数的导数
1.复合函数的概念
于函数
对
，令
，则
是中
量
间变
的函数，
是自
量
变
的函数，
函数
则
是自
量
变
的复合函数.
例如：函数
是由
和
复合而成的.
2.复合函数的导数
函数
设
在点
可
，
处
导
，函数
在点
的
点
处
对应
也可
，
处
导
，
复
则
合函数
在点
可
，并且
处
导
，或写作
3.复合函数求导一般步骤
S1：分
：将复合函数
层
分出内
、外
层
层.
S2：各
求
：
内
层
导对
层
，外层
分
求
，得到
别
导
，
.
S3：求
并回代：求出两
数的
积
导
积
，然后将
用
替
，即可得到
换
的
数
导
.
要点诠释： 1. 整个
程可
分
——求
——回代，熟
以后，可以省略中
程。若遇多重复合，可以相
过
简记为
层
导
练
间过
应
地多次用中
量。
间变
2.
中
量是复合函数求
的关
。求
需要
住中
量，逐
求
，不
漏。求
后，要
选择
间变
导
键
导时
记
间变
层
导
遗
导
把中
量
成自
量的函数。
间变
转换
变
同一个
可有多种不同的求
方法，若能化
的式子，
先化
，再求
。
问题
导
简
则
简
导
注意:
函数
设
在点
有
数
处
导
，函数
在点
点
处对应
有
数
处
导
，则
复合函数
在点
有
数，且
处
导
，或些写作
.
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
.
知识点四：导数的几何意义
1.
平均变化率的几何意义——曲线的割线
函数
的平均
化率
变
的几何意
是表示
接函数
义
连
像上两点割
图
线
的斜率。
如
所示，函数
图
的平均
化率
变
的几何意
是：直
义
线AB 的斜率。
事
上，
实
。
一种表述：
换
曲
上一点
线
及其附近一点
，
点
经过
、
作曲
的割
线
线
，
有
则
。
要点诠释：根据平均
化率的几何意
，可求解有关曲
割
的斜率。
变
义
线
线
2.导数的几何意义——曲线的切线
定
：如右
，当点
义
图
沿曲
无限接近于点
线
，
即
，割
时
线
的极限位置直线
叫做曲
在点
线
的切
。
处
线
T
也就是：当
，割
时
线
斜率的极限，就是切
的斜率。
线
即：
。
要点诠释：（1）曲
上一点切
的斜率
只与
点的位置有关。
线
线
值
该
（2）切
斜率的本
———函数在
线
质
的
数。
处
导
（3）曲
的切
的斜率的符号可以刻画函数的增减性。
线
线
①若曲线
在点
的
数不存在，但有切
，
切
与
处
导
线则
线
垂直。
轴
②
，切
与
线
正向
角
角，
轴
夹
为锐
瞬
增；
时递
，切
与
线
正向
角
角，
轴
夹
为钝
瞬
减；
时递
，切
与
线
零度角，瞬
无增减。
轴
时
（4）曲
的切
可能和曲
有多个公共点；
线
线
线
什么要用割
的极限位置来定
切
，而不
“与曲
只有一个公共点的直
为
线
义
线
说
线
线
叫做切
？”
线
去我
定
的切
就是“与
有且只有一个公共点的直
”，
个定
符合
过
们
义圆
线
圆
线
这
义
、
等一
曲
，那么，能否
任何曲
圆椭圆
类
线
对
线C 都用“与C 有且只有一个公共点”来定
义C 的切
呢？如
线
图1-1-2-1 的曲线C 是我
熟知的正弦曲
们
线y=sin x 的一部分，直
线
2
然与曲
显
线C 有唯一公共点M，但我
不能
直
们
说
线
2与曲线C 相切；而直线
1尽
管与曲线C 有不止一个公共点，但我
可以
直
们
说
线
1是曲线C 在点N
的切
。
处
线
曲线的切线
（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：
①求出切点(x0,f (x0))的坐标;
②求出函数y=f ( x)在点x0
的
数
处
导
f
'( x0)
③得切
方程
线
y−f ( x0)=f
'( x)( x−x0)
（2）在点
处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。
在点
的切
是
明点
处
线
说
此切
的切点；而
点（
为
线
过
x0，y0）的切
，
切
是
点
线则强调
线
过
（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求
点（
过
x0，y0）的切
方程
，先
判断点（
线
时
应
x0，y0）是否
曲
为
线
上的点，若是
第一
解法，若不同
必
先在曲
上取一切点
则为
类
则
须
线
，求
此切点的切
方程
过
线
，再将点（x0，y0）代入，求得切点
的坐
，
而求
点（
标进
过
x0，y0）的切
方程。
线
求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲
“在”某点
的切
方程步
线
处
线
骤
第一步（求斜率）：求出曲
在点
线
切
的斜率
处
线
f '( x0)
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（
形式）：将点斜式
成一般式。
变
变
2、求曲
“
”某点
的切
方程步
线过
处
线
骤
第一步：
切点
设
为
；
第二步：求出函数
在点
的
数
处
导
；
第三步：利用Q 在曲
上和
线
，解出
及
；
第四步：根据直
的点斜式方程，得切
方程
线
线
为
．
1. 公式与法
用策略
则应
①
法：求
前先判断函数
型（基本初等函数、四
运算
合函数、复合函数），再
公式或法
归类
导
类
则
组
对应选择
。
则
②分步拆解法：
于复合函数，遵循“由外到内”的原
分步求
。
对
则
导
③化
先法：
于含分式、根式的函数，先化
（如将分式拆分
整式和分式的和、根式化
函数形
简优
对
简
为
为幂
式）再求
，减少运算量。
导
2. 易
点
避策略
错
规
①警惕商法
的符号
：
则
错误
②复合函数求
不
漏中
量：多次复合
，每一
都要求
并相乘。
导
遗
间变
时
层
导
③区分参数与
量：
变
题型01：求基本初等函数的导数
【典型例题1】若函数
的
函数
偶函数，
导
为
则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数奇偶性的定
与判断、基本初等函数的
数公式
义
导
根据
意，求出每个函数的
函数，
而判断答案
题
导
进
.
对A，
，
奇函数；
为
对B，
，
奇函数；
为
对C，
，
偶函数；
为
对D，
，既不是奇函数也不是偶函数.
故
：
选C.
【典型例题2】（多选）下列
正确的是（
选项
）
A．
，则
B．
，则
C．
，则
D．
，则
【答案】ABD
【解析】基本初等函数的
数公式、求某点
的
数
导
处
导
值
利用基本初等函数的
数公式逐
判断，可得出合适的
导
项
选项.
于
对
A
，若
选项
，则
，A
；
对
于
对
B
，若
选项
，则
，故
，B
；
对
于
对
C
，若
选项
，则
，C
；
错
于
对
D
，若
选项
，则
，D 对.
故
：
选ABD.
【变式训练1-1】
函数
设
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【变式训练1-2】下列
数运算正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】（多
）下列求
运算
选
导
错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-4】(多选)下列
正确的是（
结论
）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式训练1-5】（多选）下列求
运算正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-6】已知函数
及其
数
导
，若存在
使得
称
则
是
的一个“巧
点”，
值
出下列四个函数：（
给
1）
；（2）
；（3）
；（4）
；
其中没有“巧
点”的函数是（
值
）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
【变式训练1-7】函数
的
数
导
.
【变式训练1-8】函数
在
的切
方程
处
线
为
【变式训练1-9】求下列函数的
数
导
.
(1)
； (2)
； (3)
； (4)
； (5)
.
题型02：求函数的四则运算的导数
【典型例题1】函数
的
函数
导
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.
故
：
选B
【典型例题2】已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
则
，
故
：
选C.
【典型例题3】多
）下列求
运算正确的有（
选
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
于
对
A，
；
于
对
B，
，故A 错B
，
对
于
对
C，
，故C
；
对
于
对
D，
，故D
，
对
故
：
选BCD.
【典型例题4】无
我
函数
论
们对
求多少次
数，
果仍然是它本身；
就像我
在生活中无
遇到多少
导
结
这
们
论
艰难
阻，都要不忘初心，
持自我，按照自己制定的目
，
勇前行！已知函数
险
坚
标奋
，
它的
函数
则
导
【答案】
【解析】根据
数的乘法法
，
算即可得出答案
导
则计
.
根据
数的乘法运算法
，
导
则
可知
，
所以，
.
故答案
：
为
.
【典型例题5】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）
（2）
（3）
【变式训练2-1】若函数
足
满
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【变式训练2-2】函数
的
函数
（
导
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】函数
的
函数
（
导
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-4】若曲线
在点
的切
与直
处
线
线
垂直，
数
则实
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练2-5】若曲线
在点
的切
与直
处
线
线
垂直，
数
则实
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练2-6】已知
，则
．
【变式训练2-7】函数
的
数
导
．
【变式训练2-8】已知一罐汽水放入冰箱后的温度
（
位：
单
）与时间（
位：
单
h）
足函数关系
满
，则
大约经过 分
，温度的瞬
化率
钟
时变
为
（精确到1 分
）
钟
【变式训练2-9】某
启
的位移
赛车
动时
（米）和时间（秒）的关系
足
满
，则
的
时赛车
瞬
速度是
时
（米/秒）．
【变式训练2-10】已知函数
，则
.
【变式训练2-11】无
我
函数
论
们对
求多少次
数，
果仍然是它本身；
就像我
在生活中无
遇到多少
导
结
这
们
论
阻，都要不忘初心，
持自我，按照自己制定的目
，
勇前行！已知函数
艰难险
坚
标奋
，
它的
函数
则
导
【变式训练2-12】设
，函数
在
的切
方程
处
线
为
，则
.
【变式训练2-13】设
表示
在
的
数
， 已知
处
导
值
，则
【变式训练2-14】
函数
设
的
函数
导
为
，且
，则
．
【变式训练2-15】已知
，则
=______________.
【变式训练2-16】已知
，则
=______________.
【变式训练2-17】已知
，则
．
【变式训练2-18】函数
的
数
导
．
【变式训练2-19】设
，函数
在
的切
方程
处
线
为
，则
.
【变式训练2-20】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【变式训练2-21】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
.
【变式训练2-22】求下列函数的
数
导
.
(1)
；
(2)
；
(3)
：
【变式训练2-23】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
.
【变式训练2-24】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【变式训练2-25】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
．
题型03：特殊函数的导函数
【典型例题】设
，则
等
于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【
解
析
】
因
为
，
所
以
所以
故选
.
【变式训练3-1】设
，
“
则
”是“
”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
题型04：求某点处的导数值
【典型例题1】
函数
设
足
满
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】
数定
中极限的
算
导
义
简单计
根据
数的定
及极限的运算性
算可得
导
义
质计
.
，
故
：
选B
【典型例题2】已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．
【答案】C
【解析】
数的运算法
、求某点
的
数
导
则
处
导
值
【分析】先求出
数
导
，再代入求
即可．
值
由
，则
，所以
．
故
：
选C．
【典型例题3】无
我
函数
论
们对
求多少次
数，
果仍然是它本身；
就像我
在生活中无
遇到多少
导
结
这
们
论
艰难
阻，都要不忘初心，
持自我，按照自己制定的目
，
勇前行！已知函数
险
坚
标奋
，则
.
【答案】
【解析】根据函数的求
公式
算，
入即可
导
计
带
.
函数
，
.
故答案
：
为
【变式训练4-1】已知函数
的
数
导
为
，若
，则
（ ）
A．26
B．12
C．8
D．2
【变式训练4-2】已知函数
的
函数
导
为
，且
足
满
，则
（ ）
【变式训练4-3】已知函数
及其
函数
导
定
域均
义
为
，
足
满
，且
奇函数，
为
记
，其
函数
导
为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【变式训练4-4】已知
，则
．
【变式训练4-5】若
，则
．
【变式训练4-6】已知函数
，则
.
【变式训练4-7】已知函数
，则
．
【变式训练4-8】已知函数
，则
.
【变式训练4-9】已知函数
的
数
导
为
，若
，则
．
【变式训练4-10】若函数
足
满
，则
.
【变式训练4-11】已知函数
的
函数
导
为
，且
，则
的
象在
图
的切
方程
处
线
为 ．
题型05：求复合函数的导数
【典型例题1】下列求
算正确的是（
导计
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
数的运算法
及复合函数的求
公式依次分析
，
合可得答案．
导
则
导
选项综
于
对
A，
，A
；
错误
于
对
B，
，B 正确；
于
对
C，
，C
；
错误
于
对
D，
，D
．
错误
故
：
选B．
【典型例题2】（多选）下列
数运算正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
复合函数的
数、
数的运算法
、基本初等函数的
数公式
简单
导
导
则
导
利用基本函数和复合函数的求
法
求解即可
导
则
.
选项A，
，故A 正确；
选项B，
，故B
；
错误
选项C，
，故C 正确；
选项D，
，故D 错误.
故
：
选AC.
【典型例题3】（多选）下列
数运算正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
复合函数的
数、
数的运算法
、基本初等函数的
数公式
简单
导
导
则
导
利用基本函数和复合函数的求
法
求解即可
导
则
.
选项A，
，故A 正确；
选项B，
，故B
；
错误
选项C，
，故C 正确；
选项D，
，故D 错误.
故
：
选AC.
【典型例题4】函数
的
数
导
为 ．
【答案】
【解析】因
：
为
．
故答案
：
为
【典型例题5】函数
的
函数
导
为 ．
【答案】
【解析】根据复合函数的
函数运算求解
导
.
由
意可知：
题
，
所以
.
故答案
：
为
.
【变式训练5-1】已知函数
的
函数是
导
，且
，
数
则实
a 的
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．1
【变式训练5-2】已知某函数的
数
导
为
，
个函数可能是（
则这
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3】已知直线
与曲线
相切，则
的
（
值为 ）
A．
B．
C．2
D．1
【变式训练5-4】（多选）下列求
正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-5】（多选）下列
数运算正确的有（ ）
导
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-6】（多选）下列求
正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-7】（多选）下列
数运算正确的有（ ）
导
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-8】已知函数
，则
.
【变式训练5-9】
于
对
，且
函数的求
，可以使用下面的方式
行：
这类
导
进
第一步：
；
第二步：
；
第三步：
；
第四步：
.
根据框内的信息，函数
的
数
导
．
【变式训练5-10】已知
，则
．
【变式训练5-11】已知函数
，
足
满
，
它的
函数
则
导
（
注明定
域）
请
义
.
【变式训练5-12】
函数
设
，则
.
【变式训练5-13】已知函数
，
函数
则
的
函数
导
.
【变式训练5-14】已知函数
，则
.
【变式训练5-15】已知函数
，
函数
像在点
则该
图
的切
的
斜角的大小是
处
线
倾
．
【变式训练5-16】求下列函数的
数：
导
(1)
(2)
【变式训练5-17】某个
簧振子在振
程中的位移
弹
动过
（
位：
单
）与时间（
位：
单
）
足关系
满
，其中
.
(1)求
的
数；
导
(2)
算
计
，并解
它的
意
释
实际
义.
题型06：利用导数求函数式中的参数
【典型例题】已知
，若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
数的乘除法
导
根据
数的运算求
函数，由
导
导
解方程，即可求得
的值.
，
因为
，所以
，
解得
.
故
：
选B.
【变式训练6-1】已知函数
在区间
上的平均
化率
变
为4，则m 的值为 ．
【变式训练6-2】已知
，
，且
，则
.
【变式训练6-3】已知函数
，若
，则
.
题型07：解析式中含 f ′ (x0)的导数问题
【典型例题1】已知函数
，则
（ ）
A．6
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，
故
：
选D
【典型例题2】已知函数
的
数
导
为
，且
，则
（ ）
A．
B．
1
C．1
D．e
【答案】B
【解析】由
，得
，
当
，
时
，解得
，
所以
，则
.
故
：
选B
【变式训练7-1】已知函数
，则
（ ）
A．6
B．3
C．
D．
【变式训练7-2】已知
是函数
的
函数，若
导
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【变式训练7-3】已知函数
，则
的
（
值为 ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练7-4】若f (x) = 2xf '(1) + x2 ，则f '(0)等于 ( )
A ．2 B ．0 C ．-2
D ．-4
【变式训练7-5】已知函数f(x) = x
x2 + x -1 ，f '( x)
是f (x ) 的
函数，
导
则f (1) + f, (2) =
．
【变式训练7-6】已知函数 f '( x) = x3 - f '(1)x2 + 2 ，则f (2) = ( )
10
A ． 一2 B ． C ．6
D ．14 3
【变式训练7-7】已知函数f (x) = f '(−1)x3 + x2 - x ，则 f '(−1) 的值为 ．
题型07：求切线方程
（一）利用导数求在某点处的切线方程
【典型例题1】曲线
在点
的切
方程
处
线
为 .
【答案】
【解析】由
求
得：
导
f '( x)=
1
3√(3 x−1)
2，
依
意，
题
，
故曲线
在点
的切
方程
处
线
为
，即
.
故答案
：
为
.
【典型例题2】曲线
在
的切
方程
处
线
为 .
【答案】
【解析】
，则
，
，
故所求切
方程
线
为
，即
.
故答案
：
为
【变式训练7-1-1】函数
的
象在点
图
的切
方程
处
线
为 ．
【变式训练7-1-2】函数
在点
的切
方程
处
线
为 ．
【变式训练7-1-3】已知函数
．
(1)求曲线
在点
的切
方程；
处
线
(2)求曲线
在点
的切
与两坐
成的三角形的面
．
处
线
标轴围
积
（二）利用导数求过点处的切线方程
【典型例题1】
点
过
且与曲线
相切的直
方程是（
线
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，点
不在曲
上，
线
切点
设
为
，则
，
解得：
，得切点
，则
切
方程
：
线
为
，
故
：
选
．
【典型例题2】
点
过
作两条直
与曲
线
线
（e 是自然
数的底数）相切，切点的横坐
分
对
标
别为
，
，
则
的
（
值为 ）
A．
e
B．e
C．
3
D．3
【答案】C
【解析】由
，得
，
切点坐
设
标为
，
切
斜率
则
线
为
，所以切
方程
线
为
.
因
点
为
在切
上，所以
线
，即
，
合
意，
结
题
则
，
是上述方程的根，所以根据
达定理得
韦
.
故
：
选
.
【变式训练7-2-1】
点
过
的直线l 与曲线
相切，
直
则
线l 的斜率
（
为 ）
A．不存在
B．-1
C．3
D．3 或-1
【变式训练7-2-2】
原点可以作曲
过
线
的两条切
，
两条切
方程
（
线则这
线
为 ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【变式训练7-2-3】（多
）
选设
，点
是直线
上的任意一点，
点
过
作函数
象的切
，可能作（
图
线
）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
（三）利用导数公式求切点坐标
【典型例题1】
曲
设
线
在点
的切
与
处
线
的交点的横坐
轴
标为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】基本初等函数的
数公式、求在曲
上一点
的切
方程（斜率）
导
线
处
线
根据
数几何意
可求得切
方程，
而得到
导
义
线
进
，累乘即可得到
果
结
.
，
，
在点
的切
方程
：
处
线
为
，
令
得：
，
.
故
：
选D.
【典型例题2】已知
点
过
的直
与曲
线
线
相切于点
，
切点
则
的坐
（
标为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】求在曲
上一点
的切
方程（斜率）、求
一点的切
方程、基本初等函数的
数公式
线
处
线
过
线
导
切点坐
设
标
，利用
数求出
切点的切
方程，代入已知点求出
导
过
线
，即可求出切点
的坐标.
切点坐
设
标为
，由
，得
，
切点的切
方程
则过
线
为
，
把点
代入切
方程得，
线
，即
，
又
，所以
，则
，
切点坐
则
标为
.
故
：
选A
【变式训练7-3-1】若
点
动
P 在直线
上，
点
动
Q 在曲线
上，则|PQ|的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3-3】在平面直角坐
系
标
中，点A 在曲线y=lnx 上，且
曲
在点
该
线
A
的切
点（
处
线经过
-e，-1)(e
自然
数的底数），
点
为
对
则
A 的坐
是
标
____.
【变式训练7-3-4】直线
和曲线
相切，则
的值为 ，切点坐标为
．
【变式训练7-3-5】曲线
在点A
的切
方程
处
线
为
，
切点
则
A 的坐标为 ．
【变式训练7-3-6】已知函数
，直线l
曲
为
线
的切
，且
原点，求直
线
经过
线l 的方程
及切点坐
．
标
【变式训练7-3-7】
点
过
能作曲线
的切线 条，切点坐标为
（四）切线的平行、垂直问题
【典型例题1】曲线
在点
的切
处
线平行于直线
.
(1)求切点坐标
；
(2)求切线的方程.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】
数的运算法
、求在曲
上一点
的切
方程（斜率）
导
则
线
处
线
（1）根据
数的几何意
，
合两平行
的性
行求解即可；
导
义结
线
质进
（2）
合（
结
1）的
，利用直
的点斜式方程
行求解即可
结论
线
进
.
（1）因
点
为
的切
处
线平行于直线
，
所以
点的曲
的切
的斜率
过该
线
线
，
由
，所以
，因此
，
所以切点坐
：
标为
；
（2）由直
的点斜式方程可知：
线
.
【典型例题2】已知函数
的
象
点
图
经过
，且在点A
的切
与直
处
线
线
垂直．
(1)求a，b 的
；
值
(2)求
点
经过
且与曲线
相切的切
方程．
线
【答案】(1)
(2)
或
【解析】
数的加减法、两条切
平行、垂直、重合（公切
）
、求
一点的切
方程
导
线
线问题
过
线
（1）求
，根据
意
合
数的几何意
分析列式求解；
导
题
结
导
义
（2）
切点
设
，切
斜率
线
，求直
方程并代入点
线
运算求解即可.
（1）由
，则
，
因为
的
象在点
图
的切
与直
处
线
线
垂直，
则
，解得
.
（2）由（1）可
切
与曲
设
线
线
相切于点
，
切
斜率
则
线
，
切
的方程
则
线
为
，
将点
代入方程整理得
，解得
或
．
当
，切
方程
时
线
为
．
当
，切
方程
时
线
为
．
故
点
经过
且与曲线
相切的切
方程
线
为
或
．
【变式训练7-4-1】已知
，曲线
在点
的切
处
线与直线
平行，
直
则
线的
方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-4-2】已知曲线y =2 x
2+1，
在曲
上找一点
试
线
，使得曲
在点
线
P
的切
平行于直
处
线
线
.
【变式训练7-4-2】已知
是曲线
上的一点.写出
曲
在点
该
线
P
的切
方程，并分
求出
处
线
别
切
斜率
线
为和切
平行于
线
x
切点
轴时
P 的坐标.
【变式训练7-4-3】已知函数
在
的切
与直
处
线
线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-4-4】若曲线
在点
的切
与直
处
线
线
垂直，
数
则实
的值
为 .
【变式训练7-4-5】曲线
点
过
的切
与直
线
线
垂直，则
.
【变式训练7-4-6】已知函数
．
(1)求曲线
在
的切
方程；
处
线
(2)若曲线
在
的切
与曲
处
线
线
在
的切
平行，求
处
线
的
．
值
【变式训练7-4-7】曲线
在
的切
与直
处
线
线
垂直，则
的
（
值为 ）
A．-1
B．1
C．2
D．4
【变式训练7-4-8】若曲线
的一条切线与直线
垂直，
切
则
线的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-4-9】若曲线
在点
的切
与直
处
线
线
平行，则
.
【变式训练7-4-10】已知曲线y＝
在点
的切
与直
处
线
线平行，且与的距离等于
，求直线的方程.
（五）曲线切线的斜率、倾斜角问题
【典型例题1】
点
过
且与曲线
相切的切
斜率不可能
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求
一点的切
方程
过
线
切点
设
，
合
数的几何意
可得切
方程，根据切
点
结
导
义
线
线过
，可得
，
而确定切
斜率
进
线
.
由
，得
，
切点
设
为
，
切
斜率
则
线
，
即切
方程
线
为
，
又切
点
线过
，
则
，
整理可得
，
解得
或
或
，
切
斜率
则
线
为
或
或
，
故
：
选D．
【典型例题2】（多选）已知点P 在曲线
上，
曲
在点
为
线
P
的切
的
斜角，
处
线
倾
则
的
可以是（
值
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】求曲
切
的斜率（
斜角）、基本（均
）不等式的
用、直
的
斜角、斜率与
斜角的
化关系
线
线
倾
值
应
线
倾
倾
变
求
，
合基本不等式求出
函数的取
范
，从而得到
斜角的取
范
导结
导
值
围
倾
值
围.
因为
，所以
．
因为
，所以
（当且
当
仅
，即
取等号），
时
所以
，所以
．
又因为
，所以
．
故
：
选CD．
【变式训练7-5-1】
点
过
的直线l 与曲线
相切，
直
则
线l 的斜率
（
为 ）
A．不存在
B．-1
C．3
D．3 或-1
【变式训练7-5-2】函数
的
像如
所示，下列数
排序正确的是（
图
图
值
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-5-3】点P 在曲线
上移
，
点
动设
P
切
的
斜角
处
线
倾
为
，
角
则
的范
是（
围
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-5-4】若曲线
在
的切
的
斜角
处
线
倾
为
，则
.
【变式训练7-5-5】
原点与曲
过
线
相切的一条切
的方程
线
为 .
【变式训练7-5-6】已知函数
.
(1)求曲线
在
的切
处
线的方程；
(2)求
原点
过
O 与曲线
相切的直线
的方程.
（六）公切线问题
【典型例题1】
写出曲
试
线
与曲线
的一条公切
方程
线
.
【答案】
或
（写出一个即可）
【解析】
出切点坐
，根据切
斜率相等，建立等式，解出即可
设
标
线
.
公切
设
线与曲线
切于点
，
与曲线
切于点
.
由
，得
.由
，得
.
令
，即
，则
，
且
，
即
，
化为
，
所以
，解得
或
.
当
，
时
，
，
此
切
时
线的方程为
，即
.
当
，
时
，
，
此
切
时
线的方程为
，即
.
上可知，切
综
线的方程为
或
，写出任意一个即可.
故答案
：
为
或
，写出任意一个即可.
【典型例题2】已知曲线
在点
的切
与曲
处
线
线
相切，求
的值.
【答案】
【解析】
数的运算法
、求
一点的切
方程
导
则
过
线
求出
的
数，求得切
的斜率可得切
方程，再由切
方程与曲
方程
立，根据
导
线
线
线
线
联
得到
的值.
∵
，
，
∴曲线
在点
的切
方程
处
线
为
，即
，
又∵直线
与曲线
相切，
当
，曲
直
时
线变为
线
，与已知直
平行，
线
∴
，可得
，消去
得
，
由
得
.
【典型例题3】已知函数
的
象与函数
图
（
且
）的
象在公共点
有相同的切
，
公共点
图
处
线则
坐标为 .
【答案】
【解析】
公共点
设
为
，即可得到
，再由
数的几何意
得到
导
义
，从而求出
，即
可求出切点坐
，从而求出
标
，再求出切
方程
线
.
解：因
函数
为
与
的
象关于直
图
线
称，
对
所以
与
互
反函数，所以
为
，
则
．由
，得
，
直
设
线与函数
的
象的切点坐
图
标为
，
与函数
的
象的切点坐
图
标为
，
直
则
线的斜率
，故
，
然
显
，故
，
所以直线的
斜角
倾
为
，
故
：
选B．
【变式训练7-6-1】已知函数
与函数
存在一条
原点的公共切
，
过
线则
.
【变式训练7-6-2】已知直线分
与曲
别
线
，
相切于点
，
，则
的
值为 .
【变式训练7-6-3】已知曲线
与
的公切线为
，
数
则实
.
【变式训练7-6-4】在平面直角坐
系
标
中，若
点
过
且同
与曲
时
线
，曲线
都相切的直
有
线
两条，
点
则
的坐标为 ．
【变式训练7-6-5】已知函数
和
，其中a，b
常数且
为
．
(1)当
，求曲
时
线
在
的切
方程；
处
线
(2)若存在斜率为1 的直
与曲
线
线
和
都相切，求
的取
范
．
值
围
（七）切线条数问题
【典型例题】
点
过
可作曲线
的切
条数
（
线
为 ）
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【解析】求
一点的切
方程
过
线
根据
数的几何意
，
合
点是不是切点分
行求解即可
导
义结
该
类讨论进
.
由
，
当点
是切点
，此
切
的斜率
时
时
线
为
，此
有一条切
；
时
线
当点
是不切点
，
切点
时设
为
，
切
的斜率
则
线
为
，
切
方程
：
线
为
，
切
点
该
线过
，
于是有
或
（舍去），
上所述：
点
综
过
可作曲线
的切
条数
线
为
，
故
：
选B
【变式训练7-7-1】已知
点
过
可以作曲线
的两条切
，
数
线则实
a 的取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-7-2】
函数
设
，
，曲线
有两条斜率为的切
，
线
数
则实
的取
范
是
值
围
.
【变式训练7-7-3】判断曲线
在点
是否有切
，如果有，求出切
的斜率
处
线
线
.
（八）已知切线求参数范围
【典型例题】若直线y = x + 2 与曲线y = x3 + bx2 + c (b，c ∈ R ) 相切于点M (1，3) ，则c =
．
【变式训练7-8-1】已知曲线y = x3 与曲线y = ln -
x 在x = x0
的切
互相垂直，
处
线
则x0 =
．
【变式训练7-8-2】已知函数g(x ) = x3 + ax ，若曲线g(x)在x =0
的切
也与曲
处
线
线h (x )= -lnx 相切，
则a = ．
题型08：根据导数的几何意义求参数的值
【典型例题】已知直线
是曲线
和
的公切
，
数
线则实
a= ．
【变式训练8-1】若一直
与曲
线
线
和曲线
相切于同一点
，则
的值为 .
【变式训练8-2】已知直线
是曲线
在点
的切
方程，
处
线
则
【变式训练8-3】（22-23 高二下·湖南
沙
长
·
段
）若直
阶
练习
线
与曲线
相切，
数
则实
．
【答案】
3
【解析】直线y = x + 2 与曲线y = x
3 + bx
2 + c (b，c ∈ R ) 相切于
点M (1，3) ，则1+b + c = 3 ，故b + c = 2 ．
又y ' = 3x
2 + 2bx ，当x = 1 时， 3 + 2b = 1 ，所以b = -1 ，则c = 3．
题型09：导数及其几何意义的综合应用
【典型例题】已知函数
的
象
点
图
过
，且
.
(1)求
，
的
；
值
(2)求曲线
在点
的切
与坐
成的三角形面
处
线
标轴围
积.
【变式训练9-1】已知曲线
在点
的切
与
处
线
圆
相切，
的半径
（
该圆
为 ）
A．
B．
C．
或
D．
或1
【变式训练9-2】已知
，
正
数，直
为
实
线
与曲线
相切，则
的最小
是
值
.
【变式训练9-3】已知点
和点
是曲线
上的两点，且点
的横坐
是
标
，点
的
坐
是
纵
标
，求：
(1)割线
的斜率；
(2)在点
的切
方程
处
线
.
题型10：利用切线求距离最值
【典型例题1】
点
设
A 在直线
x - y +1 = 0 上，点 B 在函数f (x ) = ln x 的
象上
图
，则 AB 的最小
值为 .
【典型例题2】曲线f(x) = ln(x 一1)+ x +1 上的点到直线y = 2x + 4 的距离的最小值为
【答案】 ❑√5
【解析】 f(x) 的定
域
义
为(1, +∞) ，求
得
导
f,
令 f ' (x ) = 2 ，解得x = 2 ，则f (2) = 3 ，故切点坐标为(2, 3)，
故曲线f (x )上的点到直线y = 2x + 4 的距离的最小
即
切点
值
为
(2, 3) 到直线y = 2x + 4 的
距离，即为
.
【变式训练10-1】已知点 A 在函数f (x) = ex 一 2x 的
象上，点
图
B 在直线l : x + y + 3 = 0 上，则
A，B 两点之
距离的最小
间
值是 ．
【变式训练10-2】已知点 P 在函数f (x ) = xex +1 的
象上，点
图
Q 在函数g
的
象上，
图
则
【答案】
1 +
ln3
【解析】设函数f (x ) = lnx 与直线3x - y +1 = 0 平行的切线为l
则l 的斜率为
3
由 f '(x ) =
= i3 ，得x =
，所以切点为P
(
(
|
, -
ln3
)
，
则点
P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即
ln3 .
PQ 的最小值为 .
【变式训练10-3】
点
设
A 在直线❑√3x - y +1 = 0 上，点 B 在函数f (x) = ln x 的
象上
图
，则 AB 的最小
值为 .
【变式训练10-4】若点P 是曲线y = lnx - x
2 上任意一点，
点
则
P 到直线l : x + y - 4 = 0 距离的最
小
值为( )
A．
B． s2 C．2 D． 2、i2
一、单选题
1．已知函数
，则
（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
2．已知函数
，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，
曲
则
线
在
的切
方程
（
处
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，使得命
“曲
题
线
在点
的切
与曲
处
线
线
没有公共点”成立的一个充分
不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
点
过
的直
与曲
线
线
相切于点
，
切点
则
的坐
（
标为 ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
点
过
可以作曲线
的两条切
，
数
线则实
a 的取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．下列求
果正确的是（
导结
）
A．
B．
C．
D．
8．若存在
点
过
的直线l 与曲线
和
都相切，则a 的
可以是（
值
）
A．1
B．
C．
D．
三、填空题
9．若曲线
在
的切
的
斜角
处
线
倾
为
，则
.
10．已知定
在
义
上的函数
足
满
，
曲
则
线
在点
的切
方程
处
线
为
.
11．已知曲线
存在两条斜率为3 的切
，
数
线则实
a 的取
范
值
围为 .
四、解答题
12．求下列函数的
数．
导
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
13．写出
点
过
，并且和曲线
相切的直
方程．
线
14．已知
与曲线
在点
相切，
处
曲
另一条切
，且
为该
线
线
．
（1）求直线
及直线
的方程；
（2）求由直线
、
和
所
成的三角形的面
．
轴
围
积
