文档文本内容
第01 讲 集合和常用逻辑用语
目录
01 题型归纳目录..................................................................................................................................2
02 思维导图..........................................................................................................................................3
03 方法技巧与总结归纳......................................................................................................................4
技巧1、集合中的运算性质........................................................4
技巧2、由
个元素组成的集合
的子集个数.................................4
技巧3、容斥原理................................................................4
技巧4、从集合与集合之间的关系上看..............................................4
技巧5、易错点规避技巧：三查三看................................................5
04 真题回归..........................................................................................................................................6
05 题型归纳，举一反三....................................................................................................................12
题型一：集合的定义.............................................................12
题型二：集合的并、交、补运算...................................................13
题型三：集合间的基本关系.......................................................14
题型四：充分必要条件的判断.....................................................16
题型五：全称量词、存在量词与命题的否定.........................................18
题型六：求参数问题.............................................................19
题型七：新定义问题.............................................................21
06 精选名校模拟题............................................................................................................................25
技巧1、集合中的运算性质
（1）交集的运算性质．
，
，
，
，
，
．
（2）并集的运算性质
，
，
，
，
，
．
（3）补集的运算性质
，
，
，
，
．
补充性质：
．
．
（4）结合律与分配律
结合律：
．
分配律：
．
技巧2、由
个元素组成的集合
的子集个数
的子集有
个，非空子集有
个，真子集有
个，非空真子集有
个．
技巧3、容斥原理
．
技巧4、从集合与集合之间的关系上看
设
．
（1）若
，则
是
的充分条件（
），
是
的必要条件
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小
大”．
（2）若
，则
是
的必要条件，
是
的充分条件；
（3）若
，则
与
互为充要条件．
技巧5、易错点规避技巧：三查三看
1、查代表元素，看集合本质
2、查空集情况，看子集关系
3、查元素特性，看互异无错
1．（2025 年高考全国二卷数学真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
，
故选：D.
2．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知集合
，
，则
中元素个
数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
中的元素个数为，
故选：C．
3．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
4．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意得，对于集合
中的元素
，满足
，
则
可能的取值为
，即
，
于是
.
故选：C
5．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
6．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
则
，
故选：D
7．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则
（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
8．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
.
故选：A.
9．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为全集
，集合
，所以
，
又
，所以
，
故选：A.
10．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
11．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
12．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，
若
，则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
或
于是有
或
，
即有
，解得
；
或者
，解得
；
所以
，
或
.
故选：B
13．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
故选：A.
14．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
15．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
16．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
题型一：集合的定义
【例题1】（2025·高三·广东·月考）已知集合
，则
的真子集个数为（ ）
A．1
B．3
C．7
D．15
【答案】C
【解析】因为
，
所以
的值有：
，
，
，
，
由集合元素的互异性得：
，
所以其真子集个数为
.
故选：C.
【例题2】（2025·云南·模拟预测）已知集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题意知，
，故
中有3 个元素．
故选：C.
【方法技巧与总结】
集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和
无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异
性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。
【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知集合
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由于
，故
，
由
知
或
，
即
或
，
注意到
，故由元素互异性知
，故
，
故选：C．
【变式2】（2025·高三·四川·月考）已知
，则
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
，
所以
，则
可能为
，
不可能为
.
故选：B
【变式3】（2025·高三·云南昆明·月考）已知
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
【答案】B
【解析】因为
，则
或
或
，
解得
或
.
故选：B.
题型二：集合的并、交、补运算
【例题3】（2025·高三·河南·月考）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，得
，故
，
，则
，所以
.
故选：B.
【例题4】（2025·高三·北京西城·月考）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于函数
，
，所以
，
所以
.
故选：B
【方法技巧与总结】
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、
并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
【变式4】（2025·高三·福建龙岩·月考）已知
为实数集，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，解得
，则
，而
，
因此
，所以
.
故选：D
【变式5】（2025·四川德阳·一模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式
，解得
或
，
所以集合
或
，
解
得
，即
，
所以集合
，
所以
.
故选：B
【变式6】（2025·云南·一模）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
．
故选：B．
题型三：集合间的基本关系
【例题5】（2025·江苏·模拟预测）集合
，下列选项不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解方程
得
，所以
，根据元素与集合的关系故A 正确；
空集是任何集合的子集，所以
，故B 正确；
表示无理数组成的集合，
均为无理数，所以
，故C 正确；
表示的是集合，所以
，故D 错误.
故选：D.
【例题6】（2025·广东江门·模拟预测）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对A，因为
，但
，所以
不成立，故A 错误；
对B，因为
，但
，所以
不成立，故B 错误；
对C，
，故C 错误；
对D，
，故D 正确.
故选：D
【方法技巧与总结】
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合
的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数
满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
【变式7】已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
∵
，∴
表示所有奇数，
也表示所有奇数，
∴
，
故选：D．
【变式8】（2025·广东江门·模拟预测）设
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】由题设，
，则
.
故选：D
【变式9】（2025·广西·模拟预测）已知集合
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对任意
，存在
，使得
，
由于
，令
，则
，所以
，故
，
又
（当
时），但
（由
解得
），所以
是
的真子集，
故选：C
题型四：充分必要条件的判断
【例题7】（2025·四川成都·模拟预测）“
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】D
【解析】当
时，满足
，但是此时
；
当
，满足
，但此时
；
故“
是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【例题8】（2025·四川成都·一模）已知
，
为非零向量，则“存在实数
，使
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由存在实数
，使
，
则
，
，
当
时，
，故充分性不成立，
由
，则
，
故
，
所以
，
即
，故
，
所以
同向共线，即存在实数
，使
，必要性成立，
所以“存在实数
，使
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
【方法技巧与总结】
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
【变式10】（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则“函数
的图象的一条对
称轴为
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由函数
的图象的一条对称轴为
，得
，
解得
，又因为
，所以
或
，
因此“函数
的图象的一条对称轴为
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B．
【变式11】（2025·山东聊城·模拟预测）“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，
故“
”是“
”的一个充分不必要条件.
故选：B.
【变式12】（2025·江苏·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由
，则
，当
时，
成立，故“
”是“
”的不充分条
件；
由当
，显然
，但
，即
不成立，故“
”是“
”的不必要条
件.
综上所述“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
题型五：全称量词、存在量词与命题的否定
【例题9】（2025·高三·江苏扬州·开学考试）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】命题“
”的否定是
.
故选：D.
【例题10】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为命题“
，使
”是假命题，
则命题“
，
”为真命题，则
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：D.
【方法技巧与总结】
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定
结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当¬ p的真假不易判断时，可转化为去判断p的真假.
【变式13】（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在
上的函数
，则命题“
，
，
”的否定为（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【解析】命题“
，
，
”为存在量词命题，
则其否定为：
，
，
.
故选：D
【变式14】（2025·陕西汉中·一模）若
，使得
成立，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将题中条件转化为不等式
，在区间
上至少有一个解，
这等价于
的值大于该区间上x 的最小值，
因为当
时，x 的最小值为
，
所以必有
，解得以
.
故选：B.
【变式15】（2025·云南·一模）已知命题“
”是真命题，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于该命题是真命题，则
在
上恒成立，
设函数
，则
．
因为
，所以
.
故选:A．
题型六：求参数问题
【例题11】（2025·新疆喀什·二模）已知集合
，
，
且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
或
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：
.
【例题12】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知全集
，若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．3
C．-1 或-3
D．1 或3
【答案】D
【解析】因为方程
的判别式
，
所以
，
根据题意得到集合
，
，
即
，
，
因为
，所以
，
所以
或
，
若
，则
，解得
，
若
，则
，解得
，
所以
或
.
故选：D.
【方法技巧与总结】
确定性分析：明确集合元素特征，根据方程、不等式等条件确定参数的初步范围。
互异性检验：求出参数值后，验证集合内元素是否互不相同，排除违背互异性的解。
空集优先原则：涉及子集、交集问题时，先讨论空集情况，避免遗漏。
数形结合法：对含不等式的集合，借助数轴直观分析区间端点关系，列不等式（组）求解。
分类讨论：按集合间的包含、相等关系分类，逐一求解后整合结果。
【变式16】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知集合
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由集合
，
，
可得
，
因为
，所以
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：C.
【变式17】（2025·山西晋中·二模）已知
，
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设集合
，集合
，若
是
的充分不必要条件，
所以
是
的真子集，可得
，
故选：D.
【变式18】（2025·高三·山东青岛·开学考试）设
，且
是
成立的充分不必要
条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
或
，设
.
设满足
的集合为
，则
，
由p 是q 成立的充分不必要条件，则集合
是集合
的真子集，
所以
，所以
的取值范围是
.
故选：B
题型七：新定义问题
【例题13】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：
.若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设可得
，
，
因为
，
，
，
，
故
，
故选：D.
【例题14】（2025·上海·三模）已知集合
是由平面向量组成的集合，若对任意
，均有
，则称集合
是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
，
，则C 为线段AB 上一点，
因此一个集合E 是“凸”的就是E 表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：
A B
C D
观察选项A，B，C，D 所对图形知，B 对应集合不是“凸”的，ACD 对应集合是“凸”的.
故选：B
【方法技巧与总结】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方
法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定
理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
【变式19】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性
的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式表示
和
除以
的余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合
中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因
，则
，
因
，则
，
又
，
，
则
又
，则
，故A 正确；
，则
，故B 正确；
，则
，故D 正确；
不妨取
，不满足
，故C 错误.
故选：C.
【变式20】（2025·北京丰台·二模）已知
是平面直角坐标系
中的点集．设
是
中两点间距离的最大值，
是
中的点与原点
连线的斜率，是
表示的图
形的面积，给出下列四个结论：①
；②
；③
；④
．其中所有正确结论
的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】对于①代入可得
符合题意，故①正确；
∵
对
恒过点
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
由此我们可知
的点集是由曲线绕A 点往上直到
点扫过的区域，如图：
∴
，故②正确；
，
，
，故③错误；
有图易得
，故④正确.
故选：C.
【变式21】（2025·北京·模拟预测）集合
的所有三个元素的子集记为
记
为集合
中的最大元素，则
（ ）
A．10
B．40
C．45
D．50
【答案】C
【解析】由题知：
，
，
，
，
，
，
，
则
故选：C
1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为集合
，集合
，
所以
，
.
故选：B.
2．（2025·四川成都·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
.
故选：A
3．（2025·新疆·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，解得
，故
，
又
，故
.
故选：A
4．（2025·高三·云南楚雄·期中）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，得
．
故选：B．
5．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，集合
，
所以
，
故选：D.
6．（2025·河北·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】集合
，又
，
所以
，
故选：C．
7．（2025·安徽·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，则
或
，
.
故选：D.
8．（2025·上海闵行·一模）已知非零实数
、
，则“
”是“
”成立的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】取
，满足
，但
不成立，充分性不成立；
取
，满足
，但
不成立，必要性不成立.
由题意可知：“
”是“
”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D.
9．（2025·上海闵行·一模）如果“若
，则
”和“若
，则
”中有且仅有一个真命题，称
与
具有
“
－关系”．已知函数
的定义域为
，
为偶函数，则
与下列选项中的
具有“
－关系”的为（ ）
A．
：对任意
都有
B．
：对任意
都有
C．
：对任意
都有
D．
：对任意
都有
【答案】C
【解析】由
为偶函数，得
对于选项A：“
”为假命题，“
”也为假命题， 故A 错误；
对于选项B∶ 由
得
成立，故“
”为真命题，
而对任意
都有
可推出
且
，
从而
成立，所以“
”也为真命题，故B 错误；
对于选项C：易得“
”为假命题，
而由
：
，用
替换
得
，
又因
，故
，所以
成立，
所以“
”为真命题，故C 正确；
对于选项D：“
”为真命题，
由于由
，用
替换
得
，故
，
所以“
”也为真命题， 故 D 错误；
故选∶ C．
10．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】由集合
，得
，
解得
，所以
.
故选：D
11．（2025·广东汕尾·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，
.
故选：B
12．（2025·江苏·模拟预测）已知集合
，则
中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由
，则
.
故选：B.
13．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7 和0.6，两人各投篮一次，事件
为甲投
中，事件
为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件
互相独立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7 和0.6，
若“事件
互相独立”，则
，
若
，则事件
互相独立，
即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件
互相独立”的充要条件，
故选：C
14．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合
、
、
是全集
的三个真子集，
、
、
的关系如Venn 图所
示，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为
，
即阴影部分表示集合为
.
故选：B.
15．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．存在
，使得
D．存在
，使得
【答案】BD
【解析】因为
，所以
是偶数，
是奇数，所以集合中的元素都是奇数，
即代入
……可得
.
对于A，由上分析可知错误；
选项B，由上分析可知正确；
对于C，因为
，所以可以推出
都是奇数，而
是偶数，所以
不可能在集合
中；
对于D，因为
，所以可以推出
都是奇数，而
是奇数，所以
可能在集合
中，
例如
.
故选：BD
16．（多选题）（2025·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12 名同学参加100 米、400
米、1500 米三个项目，其中有8 人参加“100 米比赛”，有7 人参加“400 米比赛”，有5 人参加“1500
米比赛”，“100 米和400 米”都参加的有4 人，“100 米和1500 米”都参加的有3 人，“400 米和1500
米”都参加的有3 人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2 人
B．只参加100 米比赛的有3 人
C．只参加400 米比赛的有3 人
D．只参加1500 米比赛的有3 人
【答案】AB
【解析】根据题意，设
{
是参加100 米的同学}，
{
是参加400 米的同学}，
{
是参加1500 米的同学}，
则
且
则
，
所以三项比赛都参加的有2 人，
只参加100 米比赛的有
人，
只参加400 米比赛的有
人，
只参加1500 米比赛的有
人.
故选：AB
17．（2025·吉林长春·三模）设集合
，
，则
．
【答案】
【解析】因为
，且函数
在
上为增函数，
当
时，
，即
，
因此
.
故答案为：
.
18．（2025·安徽·二模）已知等差数列
的公差为
，若集合
，则
．
【答案】
/
【解析】
，
则
，其周期为
，
而
，即
最多3 个不同取值，
由题可知集合
有且仅有两个元素，
，
则在
，
，
中，
或
，
或
，
又
，即
，一定会有相邻的两项相等，
设这两项分别为
，
，
于是有
，
即有
，
解得
，
不相等的两项为
，
，
故
．
故答案为：
．
