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专题一 集合、常用的逻辑用语及复数专题归纳总结及测试
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·云南·模拟预测）已知全集
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，而
，
所以
.
故选：B
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
，
.
，
，
或
，
“
是
”
“
的必要不充分条件
”
.
故选：C.
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合
，若
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
所以
.
故选：A.
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知“p：
是
”
“q：
与
表示的曲线有两个不
同交点
的（
”
）条件.
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵
，∴
，
联立方程组
得
，
即方程
在
时有两个不同的解，
设函数
，则
，
即
，解得
，
∴
是
的必要不充分条件.
故选：A.
5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程
的两个根分别为
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意可得
，
，即
，
当
，
时，
，
，
当
，
时，
，
，
综上，
.
故选：D.
6．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
的取
值范围是：（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】】因为
，
，
，
所以
且
，解得：
，
故选：C
7．（2025·广东佛山·二模）已知函数
，命题p：
是奇函数，命题q：
在
上是减函数，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
的奇函数，则
，即
恒成立，
所以
，则
，
在
上单调递增，
所以
在
上是减函数，充分性成立；
若
在
上是减函数，
在
上单调递增，
所以
，故
，此时不一定有
，必要性不成立；
所以p 是q 的充分不必要条件.
故选：A
8．（2025·北京门头沟·一模）“
是
直线
”
“
与双曲线
只有一个公共点
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】法一：由题意，联立方程
可得
，
当
时，即
时，方程有一解，即只有一个公共点；
当
时，
，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线
与双曲线
只有一个公共点时，
.
所以“
是
直线
”
“
与双曲线
只有一个公共点
的充要条件
”
.
法二：因为直线
过定点
，双曲线的右顶点为
，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线
平行时，直线与双曲线只有 交点.
所以“
是
直线
”
“
与双曲线
只有一个公共点
的充要条件
”
.
故选：C.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．命题“
，都有
的否定是
”
“
，使得
”
C．“
是
”
“
的必要不充分条件
”
D．关于
的不等式
的解集为
，则
【答案】ACD
【解析】对于A，
，故A 正确；
对于B，“
，都有
的否定是
”
“
，使得
，故
”
B 不正确；
对于C，由
，可得
，所以
，所以
，
所以
，解得
或
“
是
”
“
的必要不充分条件，故
”
C 正确；
对于D，由题意知
和1 是关于
的方程
的两个根，
，解得
，
，故D 正确.
故选：ACD.
10．（2025·河南·模拟预测）已知
，为虚数单位，
，
是
的共轭复数，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
为纯虚数，则
B．若
在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C．
的最小值为
D．
为定值
【答案】AC
【解析】
；
对于A，
为纯虚数，
，解得：
，A 正确；
对于B，
在复平面内对应的点位于第一象限，
，解得：
，
即
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，不是定值，D 错误.
故选：AC.
11．（2025·江苏南通·二模）设有限集合
，其中
，
，非空集合
，
，若存在集合
，使得
，
中的所有元素之和相等，则称集合
是
可拆等和集
，则（
“
”
）
A．集合
不是
可拆等和集
“
”
B．若集合
是
可拆等和集
，则
“
”
的取值共有6 个
C．存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列
，使得集合
是
可拆等和集
“
”
D．若
，
，数列
是等差数列且公差
，则集合
是
可拆等和集
“
”
【答案】ABD
【解析】对于A 项，
构成了一个以1 为首项，2 为公比的等比数列，
且
.
所以，当
时，
中所有元素之和也小于
，不满足要求；
当
含有
以及
之外的其余元素时，也不满足要求.
综上，集合
不是
可拆等和集
，故
“
”
A 正确；
对于B 项，若
，则由
可拆等和集
的定义，有
“
”
，解得
；
若
，则由
可拆等和集
的定义，有
“
”
，解得
；
若
，则由
可拆等和集
的定义，有
“
”
，解得
；
若
，则由
可拆等和集
的定义，有
“
”
，解得
；
若
，则由
可拆等和集
的定义，有
“
”
，解得
，
此时因集合
已含有元素2，故舍去；
若
，则由
可拆等和集
的定义，有
“
”
，解得
若
，则由
可拆等和集
的定义，有
“
”
.
综上可知：
可取
，
，
，
，
，共6 个值，故B 正确；
对于C 项，将
中所有元素同时除以
后可得
，
根据等比数列前
项和公式，可得
.
因为
，所以
，
，所以有
.
所以，当
时，
中所有元素之和也小于
，
不满足要求，显然同时乘以
后仍然不满足；
当
含有
以及
之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以
后仍然不满足.
综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列
，使得集合
是
可拆等和集
，故
“
”
C 错误；
对于D 项，易知集合
中的元素个数为
，
，
根据等差数列的性质可知，
，
，
共有
组（剩余元素为
），从中剔除
之后，剩余
组.
从这
组相同的数据中任意选出
组，将对应的元素分到集合
中；
又
，则
，
而
，
不妨将
这两个元素也分到集合
中，则可满足
中的元素之和相等.故D 正确.
故选：ABD.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（24-25 上海·阶段练习）已知集合
}，若
，则 k 的值为
.
【答案】
或
【解析】由题意，集合
中，
可整理成
，
所以，集合
表示直线
上的点集，集合
表示直线
上的点集.
因为
，所以直线
与直线
平行或有一个交点
，
当两直线平行时，
；当两直线交点为
时，
.
故答案为：
或
.
13．（2024·北京昌平·二模）已知
：设函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，若
，则
在区间
内无零点．能说明
为假命题的一个函数的解析式是 ．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】解析式为
.
函数的定义域为
，所以函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
因为
，
，所以
，
又
，
在区间
内有零点，
所以为假命题.
故答案为：
（答案不唯一）.
14．（23-24 浙江绍兴·阶段练习）已知
，且
，为虚数单位，则
的最大值是 ．
【答案】
【解析】设
，由
，
则
，表示的是圆心为
，半径为的圆，
而
，表示的是圆上一点到
的距离，
如图所示，显然最大距离是
与圆心
的连线加上半径长，
即最大值为
.
故答案为：
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15 题13 分，16、17 题各
15 分，18、19 题各17 分
15．（24-25 江苏苏州）已知
，
．试问：
(1)从集合A 和B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点?
(2)从
中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐减小，这样的三位数有多少个?
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得
，
，
所以
，
，
中元素作为横坐标，
中元素作为纵坐标，有
个，
中元素作为横坐标，
中元素作为纵坐标，有
个，
其中重复的有
，
所以不同的点有
个；
（2）因为
，
，
所以
，
要满足从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字逐渐减小，
即从
个元素中选个元素的组合数，
所以
，所以满足要求的三位数有
个.
16．（24-25 高三下·山东·阶段练习）已知复数
，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A 在第一象
限，且原点O 是
的外心.
(1)求
.
(2)记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
（i）证明：
是直角三角形；
（ii）求
的面积.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）
是
的外心，即
，
. 只需考虑
，即
，
又
在第一象限，
，
.
（2）（i）
，
，
由余弦定理知
，两式相加可得
，
，
是直角三角形.
（ii）设
，
，则
，
，
可知
，
，
.
易知AB 与复平面的实轴垂直，又
，
与复平面的虚轴垂直，
，
，
又
，点A 在第一象限，
.
，
，
，
，
，
的面积为
.
17．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合
.
(1)若
，且
是
的必要不充分条件，求
的取值范围；
(2)若函数
的定义域为
，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知
，
解不等式
，解得
，
所以
，
因为
是
的必要不充分条件，所以
是A 的真子集，
所以
且等号不同时成立，
解得
，即
的取值范围是
；
（2）因为
，所以
在
上有解，
所以
，
令
，则
，
所以
，即
的取值范围是
.
18．（2025 湖南）对于定义在
上的函数
，如果存在一组常数
，
，
，
…
（
为正整数，且
），使得
，
，则称函数
为“
阶零和函数”．
(1)若函数
，
，请直接写出
，
是否为“2 阶零和函数
；
”
(2)判断“
为2 阶零和函数
是
”
“
为周期函数
的什么条件（用
充分不必要条件
必要不充分条
”
“
”“
件
充要条件
或
既不充分也不必要
回答），并证明你的结论；
”“
”
“
”
【答案】(1)
不是，
是；
(2)充分不必要条件，证明见解析；
【解析】（1）函数
，
对一切实数不恒成
立，
所以函数
不是“2 阶零和函数
；
”
取
，
，
，
所以
是“2 阶零和函数
．
”
（2）“
为2 阶零和函数
是
”
“
为周期函数
的充分不必要条件．证明如下：
”
若
为2 阶零和函数，则存在常数
，使得
，
，
即
，因此
，即函数
为周期函数；
反之函数
为周期函数，
如
，对
，
，
为周期函数，
对任意正常数
，
，
因此函数
不是2 阶零和函数，
所以“
为2 阶零和函数
是
”
“
为周期函数
的充分不必要条件．
”
19．（2025·广东·模拟预测）已知
.设集合
或
，且
，集合
.若集合
中的元素
满足
，则称
为
的
相邻元
“
”.对于整数
，若集合
存在一个子集
满足：
（i）集合
中的元素个数为
；（ii）
，在集合
中都至少有
个
相邻元
，则称
“
”
是
好数
“
”.
(1)当
时，直接写出
的
相邻元
；
“
”
(2)当
时，求证：
是
好数
；
“
”
(3)当
时，若整数
满足
，且
，求证：
是
好数
“
”.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）
的
相邻元
为：
“
”
.
（2）因为
，所以
.
设
，显然
中每一个元素恰有9 个
相邻元
“
”.
设
，构造
，
则集合
中的元素个数为
.
对集合
中的任意元素
，在集合
中至多存在一个
，
满足
，
从而
在集合
中至少有8 个
相邻元
，所以
“
”
是
好数
“
”.
（3）设
，且
，且
.
当
①
时，
集合
中的每一个元素均有2025 个
相邻元
“
”.
设
，则
中含有
个元素.
设
.
则
中含有
个元素，
.并且
两两交集为空集，
设
，则
共有：
对于
②
，有在每一个
中，至多有一个
相邻元
“
”.
下面证明该结论：设
，且均是
的
相邻元
“
”.
由于
，则与
不同元素在前
位，且后
位相同，即
，后
位相同.
设与
不同位置为
，即
；与
不同位置为，即
.
当
相同时，又
中与
差为1 的只有一个数，则
.
当
时，
，
所以在每一个
中，至多有一个
相邻元
“
”.
③不能在
中均有
相邻元
，
“
”
.下面证明该结论：
元素中第
都是
中元素.
中第
都是
中元素.
故
中至少有3 个元素属于不同的
和
.
所以不存在
，均是的
相邻元
“
”.
由
知
①②③
在
中至少有2024 个
相邻元
，故：
“
”
是
好数
“
”.
