文档内容
模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）
（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知集合A={1,2},B={2,3},C={2,4}，则(A∩B)∪C=（ ）
A．{1,2} B．{2}
C．{2,4} D．{1,2,3,4}
【答案】C
【解析】因为A={1,2},B={2,3},C={2,4}，
所以(A∩B)∪C={2,4}，
故选：C
2．设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是（ ）
1 1 1 1 a+2 a
A．
a2>b2
B．
a
−c<
b
−c C．
b+2
>
b
D．ac2 −c，故B错误；
x a b
a+2 a 2(b−a) a+2 a
对于C， − = >0，所以 > ，故C正确；
b+2 b b(b+2) b+2 b
对于D，当c=0时，ac2=bc2，故D错误；
故选：C.
3．（2024·吉林·模拟预测）已知 是 的导函数，则“ ”是“ 是函数 的一
y=f'(x) y=f (x) f' (x )=0 x y=f (x)
0 0
个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据极值点的定义， 是函数 的一个极值点可得 ，
x y=f (x) f' (x )=0
0 0
但是 时， 不一定是函数 的一个极值点，
f' (x )=0 x y=f (x)
0 0
比如f (x)=x3，f'(x)=3x2，满足f'(0)=0，但f (x)=x3在R上单调递增，
即x=0不是函数的极值点，
故“ ”是“ 是函数 的一个极值点”的必要不充分条件，
f' (x )=0 x y=f (x)
0 0
故选：B
4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数y=log (x−1)+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A
a
4 1
在直线mx+ny−1=0上，则 + 的最小值为（ ）
m n
A．13 B．8√2 C．9+4√2 D．8
【答案】C
【解析】当x−1=1时，y=log 1+1=1，即A(2,1)
a
因为A在直线mx+ny−1=0上，所以2m+n=1
4 1 (4 1) 4n 2m √4n 2m
+ =(2m+n) + =9+ + ≥9+2 ⋅ =9+4√2
m n m n m n m n
√2 2√2−1 4 1
当且仅当n= m= 时，取等号，即 + 的最小值为9+4√2.
2 7 m n
故选：C
z
5．（2024·湖南衡阳·一模）复数z满足z+z=|z|，则 的实部为（ ）
|z|
√3 √3 1 1
A． B．− C． D．−
2 2 2 2
【答案】C
【解析】设z=a+bi，a，b∈R，
，
z+z=2a=|z|=√a2+b2 ⇒b=±√3a
z a b 1 √3 ，
= + i= ± i
|z| √a2+b2 √a2+b2 2 2z 1
所以 的实部为 ，
|z| 2
故选：C.
6．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合A、B、C为全集U的子集，A∩B= ∁ C≠∅，则
U
(A∪B)∩C=（ ）.
A． B．
A∪(B∩C) (∁ A)∩(∁ B)
U U
C． D．
[
∁
(A∩B)]∩(A∪B) [
∁
(A∪B)]∪(A∩B)
U U
【答案】C
【解析】∵A∩B= ∁ C，
U
∴(A∩B)∪C=U，
∴∁ (A∩B)=C，
U
∴ .
(A∪B)∩C=C∩(A∪B)=[
∁
(A∩B)]∩(A∪B)
U
故选：C.
7．（2024·福建宁德·模拟预测）若正实数a，b满足a+b=2，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为2 B．√a+√b的最大值为4
8
C．a2+b2的最小值为1 D．2a2+b2的最小值为
3
【答案】D
【解析】因为正实数a，b满足a+b=2，
a+b 2
由基本不等式ab≤( ) =1，当且仅当a=b=1时取等号，A错误；
2
因为 ，当且仅当 时取等号，
(√a+√b) 2=a+b+2√ab≤2(a+b)=4 a=b=1
即√a+√b的最大值2，B错误；
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，C错误；
2(a2+b2 )≥(a+b) 2=4 a2+b2≥2 a=b=1
， ，
2a2+b2=2a2+(2−a) 2=3a2−4a+4 a∈(0,2)
2 8
根据二次函数的性质可知，当a= 时，取得最小值 ，D正确．
3 3
故选：D．8．[新考法]（2024·高三·上海黄浦·期末）已知复数z=a+bi（a、b∈R，i是虚数单位），z ，z ∈C，
1 2
定义： ， ．给出下列命题：
D(z)=‖z‖=|a|+|b| D(z ,z )=‖z −z ‖
1 2 1 2
①对任意z∈C，都有D(z)>0；
②若z是复数z的共轭复数，则D(z)=D(z)恒成立；
③若 （ 、 ），则 ；
D(z )=D(z ) z z ∈C z =z
1 2 1 2 1 2
④对任意 、 、 ，结论 恒成立．
z z z ∈C D(z ,z )≤D(z ,z )+D(z ,z )
1 2 3 1 3 1 2 2 3
则其中真命题是（ ）．
A．①②③④； B．②③④； C．②④； D．②③．
【答案】C
【解析】对于①：由定义知，当z=0时，D(z)=0，故①错误
对于②：由题意得z=a−bi，所以D(z)=D(z)=|a|+|b|，故②正确；
对于③：设 ，
z =a+bi,z =c+di, D(z )=‖z ‖=|a|+|b| D(z )=‖z ‖=|c|+|d|
1 2 1 1 2 2
若D(z )=D(z )(z ,z ∈C)，则|a|+|b|=|c|+|d|，不能推出¿，无法得到z =z ，故③错误；
1 2 1 2 1 2
对于④：设z =a+bi,z =c+di,z =e+f i，
1 2 3
则 ，
D(z ,z )=||(a−c)+(b−d)i||=|a−c|+|b−d|
1 2
同理 ， ，
D(z ,z )=||(a−e)+(b−f )i||=|a−e|+|b−f| D(z ,z )=||(c−e)+(d−f )i||=|c−e|+|d−f|
1 3 2 3
又 ， ，
|a−e|=|(a−c)+(c−e)|≤|a−c|+|c−e| |b−f|=|(b−d)+(d−f )|≤|b−d|+|d−f|
所以D(z ,z )≤D(z ,z )+D(z ,z )恒成立，故④正确.
1 3 1 2 2 3
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024·高三·河北·期中）已知复数z满足z=2−i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．|z|=√5
B．z=2−i
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．z2+4z−11=0【答案】ACD
【解析】因为 ，可得 ，故A正确；
z=2−i |z|=√22+(−1) 2=√5
由z=2−i，得z=2+i，故B错误；
由z=2−i，知z在复平面内对应的点(2,−1)位于第四象限，故C正确；
因为z=2−i，
则 ，故D正确.
z2+4z−11=(2−i) 2+4(2+i)−11=4−1−4i+8+4i−11=0
故选：ACD.
a2+b2+13
10．（2024·广东茂名·一模）若a>0，b>0，ab=2，则 的值可以为（ ）
a+b
A．2√13 B．6 C．4√2 D．3
【答案】AB
【解析】因为a>0，b>0，ab=2，令t=a+b，则t≥2√2，当且仅当a=b=√2时，等号成立，
a2+b2+13 (a+b) 2+9 9 9 √ 9
则 = = +(a+b)=t+ ≥2 t⋅ =6，
a+b a+b a+b t t
当且仅当t=3时等号成立.
故选：AB
11．[新考法]（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合A，若∀x∈A,2−x∈A，则称A为对偶互存集，
则下列为对偶互存集的是（ ）
A．{−1,0,1,2,3} B．¿
C．¿ D．¿
【答案】ABD
【解析】对于A，当x=−1,0,1,2,3时，2−x∈{−1,0,1,2,3}，故A正确；
对于B，¿为全体奇数构成的集合，
当x为奇数时，2−x也为奇数，故B正确；
对于C，¿，则2∈¿，
但2−2=0∉¿，故C错误；
对于D，¿，当x∈[0,2]时，2−x∈[0,2]，故D正确．
故选：ABD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（2024·甘肃武威·一模）命题“∃x∈[1,4]，使λx2+x−2>0成立”的否定命题是 .
【答案】“∀x∈[1,4]，λx2+x−2≤0”
【解析】命题“∃x∈[1,4]，使λx2+x−2>0成立”的否定命题是“∀x∈[1,4]，λx2+x−2≤0”
故答案为：∀x∈[1,4]，λx2+x−2≤0
13．（2024·吉林·模拟预测）复数z满足|z−5|=|z−1|=|z+i|，则|z|= .
【答案】3√2
【解析】设复数z=x+ yi(x,y∈R)，
由|z−5|=|z−1|，可得复数z对应的点在以(5,0)和(1,0)为端点的线段的垂直平分线上，所以x=3，
由|z−1|=|z+i|可得复数z对应的点在以(1,0)和(0,−1)为端点的线段的垂直平分线上，所以y=−x，
联立¿，解得¿，所以z=3−3i，
经检验，z=3−3i满足|z−5|=|z−1|=|z+i|，
则 .
|z|=√32+(−3) 2=3√2
故答案为：3√2.
14．（2024·河南信阳·一模）已知不等式ax2+(a+2)x+c>0的解集为{x|−10的解集为{x|−11时，不等式的解集M=¿，
若−a−1>−2，则a<1时，不等式的解集M=¿，
若−a−1=−2，则a=1时，不等式的解集M=∅，不符合题意舍去，
故M中的3个整数只能是−5、−4、−3或−1，0，1；
①若解集中的3个整数是−5、−4、−3，则−6≤−(a+1)<−5，得4y)，都有 ∈A，则称
x−y
A为“L−集合”．
(1)判断{1,2,4}是否为“L−集合”，说明理由；
(2)若双元素集M为“L−集合”，且4∈M，求所有满足条件的集合M；
(3)求所有满足条件的“L−集合”．
12 1
【解析】（1）因为 = ∉{1,2,4}，所以{1,2,4}不是“L一集合”．
4−1 3
（2）设 ．
M={4,m}(m∈N∗,m≠4)
m2 m2
若m<4，则 =m或 =4．
4−m 4−m
m2
由 =m，解得m=2,m=0（舍去），此时M={2,4}；
4−m
m2
由 =4化为m2+4m−16=0，而Δ=42+4×16=80，故方程无正整数解．
4−m
42 42
若m>4，则 =4或 =m，
m−4 m−4
42
由 =4，解得m=8，此时M={4,8}；
m−4
42
由 =m化为m2−4m−16=0，而Δ=42+4×16=80，故方程无正整数解．
m−4
综上，所有满足条件的集合M为{4,8},{2,4}．
（3）若“L−集合”为双元素集，
k2 k2
不妨设M={k,m}(k,m∈N∗,m>k)，则 =k或 =m，
m−k m−k
k2
由 =k，则2k2=mk，而m>k，故m=2k，此时M={k,2k}；
m−kk2
由 =m，则m2−mk−k2=0，而Δ=5k2，显然不存在正整数解；
m−k
所以，“L−集合”为{k,2k}，其中k∈N∗．
若“L−集合”含有两个以上的元素，
设最小的元素为b，最大的元素为a，第二大的元素为n，
b2 n2
则 , 是“L−集合”中的元素，
a−b a−n
b2
若 ≥b，解得a≤2b，
a−b
n2
若 ≤n，则a≥2n>2b，矛盾，
a−n
n2 √5−1
若 =a，该方程的解为n= a，则n，a不可能同时为整数，无解．
a−n 2
故所有满足条件的“L−集合”为{k,2k}，其中k∈N∗．
