文档文本内容
第02 讲 活用不等式妙解高考最值题
目录
01 题型归纳目录..................................................................................................................................3
02 思维导图..........................................................................................................................................4
03 方法技巧与总结归纳......................................................................................................................5
技巧一：基本不等式............................................................................................................................5
技巧二：柯西不等式............................................................................................................................5
技巧三：权方和不等式........................................................................................................................5
技巧四：拉格朗日乘数法....................................................................................................................5
04 真题回归..........................................................................................................................................6
05 题型归纳，举一反三......................................................................................................................9
题型一：基本不等式求最值................................................................................................................9
题型二：柯西不等式求最值..............................................................................................................10
题型三：权方和不等式求最值..........................................................................................................13
题型四：齐次化思想与不等式最值..................................................................................................14
题型五：将双变量转化为单变量......................................................................................................16
题型六：万能K 法............................................................................................................................. 18
题型七：对偶式换元..........................................................................................................................20
题型八：待定系数法..........................................................................................................................22
题型九：三角代换思想......................................................................................................................25
题型十：拉格朗日乘数法..................................................................................................................26
06 精选名校模拟题............................................................................................................................30
技巧一：基本不等式
基本不等式：如果
，则
（当且仅当“
”时取“ ”）．
重要不等式串：
技巧二：柯西不等式
设a ，b ，c ，d ∈R+ ，有(a+b)(c+d)≥(√ac+√bd )2
当且仅当
a
c = b
d 时等号成立．
技巧三：权方和不等式
设a ，b ，c ，d ∈R+，
b1
2
a1
+ b2
2
a2
≥(b1+b2)2
a1+a2
，当且仅当：
b1
a1
=b2
a2 时等号成立。
技巧四：拉格朗日乘数法
给定二元函数
和限制性条件
，为寻找二元函数
在附加条件
下的极值点，对
分别求导即可求出
，那么二元函数的
最值在此处取得.
1．（2025 年高考北京卷数学真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A,当
时，
，故A 错误；
对于BD，取
，此时
，
，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得
，故C 正确.
故选：C.
2．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
（
R），由
可变形为，
，
解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B
正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等号，所
以C 正确；
因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D 错误．
故选：BC．
3．（2025 年高考天津卷数学真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为
【答案】
【解析】设
，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，
故
的最小值为
.
故答案为：
4．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））设
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【解析】易知
，
当且仅当
，即
时取得最小值.
故答案为：4
5．（2022 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））
，
，则
的最小值是
.
【答案】
/
【解析】设
，则
，解得
，
所以，
，
因此，
的最小值是
.
故答案为：
.
题型一：基本不等式求最值
【例1】（2025·陕西汉中·一模）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．5
B．25
C．36
D．64
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
即
，解得
（
舍去），
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是
.
故选：B.
【变式1-1】（2025·四川泸州·一模）若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．8
D．3
【答案】C
【解析】由
，
因为
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：C
【变式1-2】（2025·高三·江西上饶·月考）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【解析】由题意，
，设
，
则
，当且仅当
时等号成立，
因为
，所以
，解得
，
当
时，
，即
时等号成立，
故
的最大值为2.
故选：B.
【变式1-3】（2025·浙江台州·一模）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】D
【解析】由题可知，
，又因为
,
则
,
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
因此
的最小值为4，
故
的最小值为3.
故选：D.
题型二：柯西不等式求最值
【例2】（2025·高三·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国
数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式，已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，即
，
由
，得
，则
，
由
，
，得
，
由柯西不等式得
，
因此
，当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
.
故选：C
【变式2-1】已知
，
都在区间
内，且
，则函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法一：因为
，
所以
，且
，
又因为
，
所以
，
所以
，
，
因为
，
所以
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
所以
，
所以
的最小值为
．
解法二：因为
，
所以
，且
，
所以
，
所以
的最小值为
．
故选：D．
【变式2-2】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛
的应用．二维柯西不等式为
，当且仅当
时等号成立．已知
，
直线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设直线
与曲线
相切的切点为
，
由
得
，则
，即
，
则
，得
，
所以
，代入
得
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
，即
等号成立.
故选：B.
【变式2-3】柯西不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
，当且仅当
等号成立，已知
，请
你用柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【解析】因为
，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最大值是
，
故选：A
题型三：权方和不等式求最值
【例3】（2025·高三·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广
泛的应用，其表述如下：设
，则
，当且仅当
时，等号成立.根据权方和
不等式，函数
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．25
【答案】B
【解析】因为
，所以
，即
故根据题意，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以函数
的最小值为
.
故选：B
【变式3-1】（2025·高三·广东深圳·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值
时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足
，当且仅当
时，等号成
立．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
【答案】B
【解析】由
，则
，
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：B.
【变式3-2】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初
命名的．其具体内容为：设
，则
，当且仅当
时，等号成立．根
据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故选：C．
【变式3-3】（2025·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很
广泛的应用，其表述如下：设正数
，
，
，
，满足
，当且仅当
时，等号成立．
则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立，
又
，即
，于是得
，
当且仅当
，即
时取“=”，
所以函数的
最小值为49．
故选：D
题型四：齐次化思想与不等式最值
【例4】若正实数x，y，z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】由条件可得
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
当且仅当
，且
，即
，
，
等号成立.
故选：B.
【变式4-1】（2025·高三·河南漯河·期末）设正实数
、
、
满足
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为正实数
、
、
满足
，则
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最大值为.
故选：D.
【变式4-2】已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值是
；
故选：B
题型五：将双变量转化为单变量
【例5】已知抛物线
的焦点为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由
，得
，令
得
，
，令
，则
，当且仅当
，即
时取等号．
故选：B．
【变式5-1】设
,则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【解析】由题意
，所以
，
得到
，
当且仅当
，即
时， 等号成立，则
的最小值为
．
故选：A.
【变式5-2】（多选题）（2025·高三·重庆·月考）已知正实数
、
满足
，则下列说法正确
的有（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，
，∴
，
则
，当且仅当
，
时取等，即
的最小值为
，故A 错误；
对于B，由选项A 知
，所以
，故
的最小值为
，则B 正确；
对于C，
，
由
得
，故
，
令
，则
，
，所以
，
则
，
当且仅当
，
，即
，
时取等号，
即
的最小值为
，故C 正确；
对于D，由选项C,得
，当且仅当
，
，即
，
时取等号，
即
的最小值为
，故D 正确.
故选：BCD.
【变式5-3】（多选题）（2025·高三·湖北·月考）已知正实数
满足
，则下列结论正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A：正实数
满足
，得
，
即
，所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，故A 正确；
对于B：由
，得
，因
，
所以
，且
.同理可得
，且
.
所以
，所以B 错误；
对于C：
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以C 正确；
对于D：
，由C 可知
，
所以
，所以存在
，使得
，所以D 错误.
故选：AC.
【变式5-4】（2025·上海长宁·一模）已知
均为正实数，且
，则
的最
小值为 ．
【答案】4
【解析】由
可得
，所以原式
①.
令
，当
时，
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
.
所以①式可化为原式
.
令
，则
，
当且仅当
，即
，即
时等号成立，所以
，
所以
的最小值为4.
故答案为：4
题型六：万能K 法
【例6】（2025·高三·贵州·月考）已知函数
，若实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．5
【答案】D
【解析】由题意
，
，则
，所以函数
为奇
函数.
又
，所以
在
上严格单调递减.
又知
，则
，故
，
令
，得
，所以
，整理得
，
此时
，解得
，即
的最大值为，
当且仅当
时取等号.
故选：D.
【变式6-1】已知正实数
满足
则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，
因为
，
所以
，即：
，
所以
，
解得：
，
又因为
，
为正实数，
所以
，
所以
的最大值为
.
故选：C.
【变式6-2】（2025·高三·江苏苏州·月考）已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，所以
，等号成立当且仅当
，
从而
，
令
，设
，显然
，
则
，
因为关于的一元二次方程有实数根，所以
，
整理得
，即
，
解得
，注意到
，从而
，
等号成立当且仅当
，即
，
所以经检验
的最大值，即
的最大值为
.
故选：D.
【变式6-3】已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】D
【解析】根据题意
，
若方程有解，则
，
即
，
所以
，
当
时，
，此时
，即
，
也就是说当且仅当
时，
.
故选：D
题型七：对偶式换元
【例7】已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：∵
，
∴可设
，
，
∴
，代入所求式子得，
，
当且仅当
，
时等号成立.所以
的最小值为
.
法二：设
，
，
代入已知等式得，
，
∴
，
其中
，
.
∴
，所以
的最小值为
.
故选：D
【变式7-1】（2025·高三·重庆渝北·月考）已知
，且
，则
的最小值是
（ ）
A．4
B．7
C．9
D．11
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
，
构造
，整理可得
，
则
，解得
，故
，
得到
，
当且仅当
时取等，此时解得
，
则
的最小值是9，故C 正确.
故选：C
【变式7-2】若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
因为
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故
的最小值为
．
故选：B．
【变式7-3】已知正数
，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】正数
满足
，则
，
令
，
，则有
，
，
，
则
，
由
，
当且仅当
时等号成立，由
解得
，
即当
，
时，
，即
的最小值为
.
故选：C.
题型八：待定系数法
【例8】已知
，则（1）
最大值为 ；（2）
的最大值为
【答案】
【解析】为求
的最大值，需满足
同号，则
，
令
，
得
，
所以
，
由于
的系数与题设比例相同，故
，解得
，则
，
当且仅当
且
同号时等号成立.
由于
的系数与题设比例相同，故
，解得
，
则
，
当且仅当
，即
且
同号时等号成立.
故答案为：
；
.
【变式8-1】（2025·高三·河北邢台·期末）设
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．6
B．
C．
D．4
【答案】D
【解析】设
，
，
令
，解得
，所以
，
即
，当且仅当
，
时，等号成立．
故选：D.
【变式8-2】已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．16
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
又
，
，
为正数，
所以
，所以
；
所以
，由
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
，
当且仅当
，即
，
时，取最小值.
所以
的最小值为
，当且仅当
，
，
时取等号.
故选：D.
【变式8-3】（2025·高三·安徽·月考）已知实数a，b，c 满足
，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【解析】由基本不等式可得 ：
，
当且仅当
时等号成立，可取
，
所以
的最大值为 2 ．
故选：B.
【变式8-4】（2025·山西运城·二模）若a，b，c 均为正实数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为a，b 均为正实数，
则
，
当且仅当
，且
，即
时取等号，
则
的最大值为
．
故选：A．
题型九：三角代换思想
【例9】（2025·高三·浙江温州·月考）已知
，则
的最大值是
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.
令
，等号在
时取到．
故选：A
【变式9-1】（2025·高三·安徽合肥·月考）已知正数x，y 满足
，则
的最小
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
，由
，
得
，
令
，且
，
所以，有
，
即
，故
，
所以
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为1.
故选：A
【变式9-2】实数a，b 满足
，则使
恒成立的实数
的最大值为 ．
【答案】
【解析】由
可得
，
令
,
则
，
要使
恒成立，故
，解得
，
故
的最大值为
，
故答案为：
题型十：拉格朗日乘数法
【例10】（2025·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数
在约束条
件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
，其中
为拉格朗
日系数．分别对
中的
部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解
，就是二元函数
在约束条件
的可能极值点．
的值代入到
中即为极值．
补充说明：【例】求函数
关于变量
的导数．即：将变量
当做常数，即：
，下标加上
，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的
表示
分别对
进行求导．
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数
满足
，求
的最大值．
(3)①若
为实数，且
，证明：
．
②设
，求
的最小值．
【解析】（1）函数
，对变量
求导得：
，
当
时，
.
（2）令
，
则
，解得
或
，
于是函数
在约束条件
的可能极值点是
，
，
当
时，函数
的一个极值为函数
，
当
时，函数
的一个极值为函数
，
方程
视为关于x 的方程：
，则
，解得
，
视为关于y 的方程：
，则
，解得
，
因此函数
对应的图形是封闭的，而
，
所以
的最大值为
.
（3）①由
，
，设
，
则
，
当且仅当
时取等号，
所以
.
②当
时，
，当且仅当
时取等号，
所以
时，
取得最小值4.
【变式10-1】已知正实数
满足
,则
的最小值是_____.
【解析】设
,
。
设
代入解得最小值为 4
【变式10-2】
满足
,求
的最大值.
【解析】
分别求导联立得
故
的最大值为
【变式10-3】已知实数
满足:
，则
的最大值是_____.
【解析】本题欲使得
最大
等价于
均为正数的条件
令
对
,
求偏导可得：
故
1．（2025·浙江温州·一模）若a，
，且
，则ab 的最小值为（ ）
A．5
B．17
C．25
D．36
【答案】C
【解析】由
，
，得
，
则
，解得
，因此
，
当且仅当
时取等号，所以当
时，ab 取得最小值25.
故选：C
2．（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问
题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不
等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
等号成立当且仅当
已知
，请你用
柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【解析】由题干中柯西不等式可得
，
所以
的最大值为
，当且仅当
时取等号.
故选：A
3．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知a，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．9
C．13
D．
【答案】C
【解析】
，因a，
，
则
，同理易得
.
则
.
从而
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：C
4．已知x，y，z 是非负实数，且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．以上答案都不对
【答案】A
【解析】
，
，
，
所以
，
，
当
时可取等号.
因此所求代数式的最大值为1．
故选：A.
5．（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为正实数
满足
，
设
，则
，
因为
，
即
，整理可得得
，
将其看为关于
的一元二次方程，则
，解得
，
即
，故A 正确；
对于选项D：因为
，且
，
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，故D 正确；
对于选项B：因为
，则
，
当且仅当
时，等号成立，
则
，得
，当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，
因为
，则
，
，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
，可得
，
即
，当且仅当
时，等号成立
所以
，故C 正确；
故选：ACD.
6．（多选题）（2025·高三·福建宁德·月考）若
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于AB，令
，则
，把
代入
，
得
，整理得
，而
，
则
，解得
，A 正确，B 错误；
对于CD，
，解得
，
当且仅当
且
时取等号，C 错误；
，解得
，当且仅当
时取等号，D 正确.
故选：AD
7．（2025·高三·广东·月考）权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知
为正数，
，当且仅当
时，等号成立.若x 为锐角，则
的最小值为 .
【答案】8
【解析】
，
当且仅当
时，即
时，取等号.
故答案为：8
8．设
为正实数，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】设
，
则
，
则
，
，
，
故
，
当
时，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
当
时，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
验证取等条件，显然
，
，
，故
，
，
，
代入可得
，故等号成立
.
故答案为：
9．已知正实数
满足
，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】对已知变形有
因式分解得
，设
，则
，
因为
都是正实数，
所以
，联立方程组
，解得
，因为
所以
，故
，
所以
，当且仅当
，
时取最小值.
故答案为:
10．已知正数a，b 满足
，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意，
，故
，
因为正数a，b 满足
，故
.
令
，则
，
，
故
.
又
，故当且仅当
，即
时，
取最大值
.
故答案为：
11．已知正实数
，则
的最大值是 ．
【答案】
【解析】已知正实数
，要求
的最大值，
即求
的最小值，
，
令
，则原式子变为
，
要求
的最小值，可判定应在
时，
当
，即
，
，
，当且仅当
即
时取等，
则
，
即
的最小值为
，
则
的最大值是
．
故答案为：
12．已知
，且满足
，则
的最小值为 ．
【答案】1
【解析】由
可得
，即
，
令
，则
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故答案为：1
