文档文本内容
第01 讲集合的概念、关系及运算
（知识清单+5 典例精讲+3 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
集合交集运算、一元二次不等式解集
单项选择题
5
集合并集、补集综合运算
单项选择题
5
有限集交集、元素特征
单项选择题
5
集合交并运算、区间集合
单项选择题
5
集合交集、绝对值不等式解集
单项选择题
5
集合子集关系、参数范围
单项选择题
5
补集与交集综合、二次不等式
单项选择题
5
有限集并集运算
单项选择题
5
集合交集、简单函数定义域集合
单项选择题
5
集合补集、元素个数计算
单项选择题
5
区间集合交并综合运算
单项选择题
5
集合包含关系、参数取值
单项选择题
5
【知识点01】集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
【例题1】已知集合A ={1,a,a
2−1}，若0∈A，求实数a的值。
解：由0∈A，结合集合元素的确定性，分三种情况讨论：
当a=0时，集合A ={1,0,−1}，元素满足确定性、互异性、无序性，符合题意；
当a
2−1=0时，解得a=±1：
若a=1，集合A ={1,1,0}，元素重复，违背互异性，舍去；
若a=−1，集合A ={1,−1,0}，元素满足互异性，符合题意。
综上：a=0 或a=−1
【知识点02】集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B
的子集，记作A ⊆ B (或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A).
(3)相等：若A⊆B，且B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
【例题2】设A ={x∣−2< x ≤3}，B ={x∣m−1< x<m+2}，若B⊆A，求m的取值范围。
解：利用数轴法分析子集关系，结合端点取舍规则（包含用≤,≥，不包含用<,>），可得：
{m−1≥−2
m+2≤3
解不等式组，得：−1≤m≤1
故m的取值范围为[−1,1]
【知识点03】集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{ x | x ∈
A ，或
x ∈
B }
A ∪
B
交集
{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
A ∩ B
补集
{ x | x ∈
U ，且
x ∉ A }
∁UA
【例题3】设全集U = R，A ={x∣x>1}，B ={x∣−1≤x ≤2}，求：A ∩B , A ∪B ,∁U A ,∁U( A ∩B)。
解：结合数轴法进行交、并、补运算：
A ∩B ={x∣1< x ≤2}
A ∪B ={x∣x ≥−1}
∁U A ={x∣x ≤1}
∁U ( A ∩B)= {x∣x ≤1或x>2)
.
【题型一】集合的概念
【例1】（2025·黑龙江·模拟预测）下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，0 是自然数，
，故A 错误；
对于B，
不是有理数，
，故B 错误；
对于C，Z 是整数集，Q 是有理数集，Z 是Q 的子集，故C 错误；
对于D，
是方程
的解集，
，故D 正确.
故选：D.
【例2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．存在
，使得
D．存在
，使得
【答案】BD
【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案.
【详解】因为
，所以
是偶数，
是奇数，所以集合中的元素都是奇数，
即代入
……可得
.
对于A，由上分析可知错误；
选项B，由上分析可知正确；
对于C，因为
，所以可以推出
都是奇数，而
是偶数，所以
不可能在集合
中；
对于D，因为
，所以可以推出
都是奇数，而
是奇数，所以
可能在集合
中，
例如
.
故选：BD
【例3】（2025·河北衡水·模拟预测）设集合
，
，若
，则
______.
【答案】
/0.5
【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出
.
【详解】在
中，
，则
且
，
而
，
，显然
，因此
，解得
，
所以
.
故答案为：
【变式1】（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，
的唯一元素是零，而
，所以
，故A 错误；
对于B，
是无理数，
是有理数集，故B 错误；
对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C 错误；
对于D，由集合的无序性可得D 正确.
【变式2】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合
，且
，则实数
的值为______________．
【答案】3
【分析】因为
，则
或
，由此可解出
，再代入集合
验证，需要满足集合的互异性，由此可得
答案.
【详解】因为
，所以分为以下两种情况：
①
或
，当
时，集合
满足题意；
当
时，集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
②
，此时集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，
.
故答案为：3.
【变式3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合
，且
，则实数
的值为______________．
【答案】3
【分析】因为
，则
或
，由此可解出
，再代入集合
验证，需要满足集合的互异性，由此可得
答案.
【详解】因为
，所以分为以下两种情况：
①
或
，当
时，集合
满足题意；
当
时，集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
②
，此时集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，
.
故答案为：3.
【题型二】集合的表示法
【例4】（2026·吉林延边·三模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得
，结合集合交集的定义与运算，即可求解.
【详解】由集合
，可得
，
根据集合交集的定义与运算，可得
.
【例5】（2026·四川宜宾·一模）已知集合
，集合
，则
集合
的元素之和等于__________.
【答案】80
【分析】根据题意利用列举法表示集合
，进而求集合
的元素之和.
【详解】因为集合
，
集合
，
可得
，所以集合
的元素之和为
.
故答案为：80.
【例6】（2024·山东菏泽·二模）已知
，集合
．则集合
中所有元素之
和为____________．
【答案】5
【分析】根据题意，求出
，即可得集合
中所有元素之和．
【详解】由题意，得
，
则集合
中所有元素之和为
.
故答案为：5
【变式1】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：已知集合
，
，
．
【变式2】（2024·江苏南京·二模）已知集合
，
，则集合
的元素个数为
__________．
【答案】2
【分析】利用列举法求解集合
，即可求解.
【详解】当
时，
，2，4，
分别为
,均不能满足
，
当
时，
时可满足
，
时，
，
时，
均不满足
，
当
时，
可满足
，
时，
，
时，
均不满足
，
所以
，故集合
的元素有2 个，
故答案为：2
【变式3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合
，
．若
，则实数
的取值集合为
______．
【答案】
【分析】根据
，得到集合
的元素都是集合
的元素，即可求得
的值.
【详解】由题意
，所以
或
，则
或
，
所以实数
的取值集合为
.
故答案为：
.
【题型三】集合间基本关系
【例7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分
和
两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
【例8】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知集合
，
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
可以取3
【答案】AC
【分析】把
代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若
，则任意实数
均满足
，因此
，A 正确，B 错误；
对于CD，由
，得
，解得
，C 正确，D 错误.
故选：AC.
【例9】（2026·陕西榆林·三模）集合
的真子集的个数为______.
【答案】3
【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解.
【详解】方程
可化为
，解得
或1，
则
，故集合
的真子集的个数为
【变式1】（2026·广东广州·模拟预测）已知集合
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由子集的定义，解不等式可得结果.
【详解】由
，可得
，解得
.
故选：D.
【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知全集
，集合
，
，
，若
，则（ ）
A．
的取值有个
B．
C．
D．
所有子集的个数为
【答案】BCD
【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出
的值，可判断A 选项；利用交集的定义可判断B 选项；
利用并集的定义可判断C 选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，
，且
，
则
或
，且
，
，解得
，故
的取值只有个，故A 错误；
对于B 选项，
，
，所以
，故B 正确；
对于C 选项，
，
，故C 正确；
对于D 选项，
，
所以
，
，则
，
其
的子集的个数为
，故D 正确．
故选：BCD.
【变式3】（2026·安徽合肥·一模）设集合
，满足下列性质的集合称为“TB 集合”：集合
内至少含有2 个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则
的子集中有___________个“TB 集合”.
【答案】
【分析】化简集合
，根据“
集合”的定义分2 个元素，3 个元素，4 个元素讨论求解.
【详解】解方程
，解得
，结合
，
因此：
，集合
共9 个元素.
（1）2 个元素的“
集合”：设为
，
当
时，
可取5，6，7，8，9，共5 个；
当
时，
可取6，7，8，9，共4 个；
当
时，
可取7，8，9，共3 个；
当
时，
可取8，9，共2 个；
当
时，
可取9，共1 个；当
时，无满足条件的
.
则2 个元素的“
集合”总数：
.
（2）3 个元素的“
集合”：要选出3 个元素，需满足任意两个元素至少相差4.
最小的3 个满足条件的元素为1，5，9，则3 个元素的“TB 集合”仅1 个：1，5，9.
（3）若尝试选出4 个元素，最小的4 个满足条件的数为1，5，9，13，而13 超出集合A 的范围，
因此不存在4 个及以上元素的“TB 集合”.
综上，“
集合”总数
个元素的数量
个元素的数量：
.
【题型四】集合的基本运算
【例11】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
后结合交集的定义可求
.
【详解】
，故
，
故选：D.
【例12】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知
为全集，集合M，N，P 均为非空集合，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可.
【详解】全集为
，集合M，N，P 均为非空集合，由
作出如图所示的韦恩图：
由
，得
，而
，
结合韦恩图，得
不是
的子集，
，
，
不是
的子集，
因此选项AD 错误，选项BC 正确.
故选：BC
【例13】（2026·云南红河·模拟预测）已知全集
，集合
均为
的子集，且
，则满足
条件
的集合
的个数是_____
【答案】
【详解】
，
，
，
满足条件
的集合
的个数为
.
【变式1】（2026·广东深圳·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
.
【变式2】（多选）（2025·河北·三模）已知集合
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】通过讨论
，得到集合
，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误.
【详解】已知集合
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
对于A，由对集合
分析知
，故A 不正确，
对于C，由对集合
分析知
，故C 正确；
对于B，当
时，
，此时
，故B 正确；
对于D，当
时，
，故D 正确.
故选：BCD.
【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
为集合
的非空子集，且
，若
，则
______．
【答案】
【分析】根据集合交并补的运算结果以及集合间的关系求解即可.
【详解】由
，则
，又
，所以
.
故答案为：
.
【题型五】集合运算与不等式综合
【例14】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合
，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合
中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
【例15】（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，则
_______．
【答案】
【分析】先求出集合A，再结合集合并集的概念求解即可.
【详解】由题意知，
，
所以
．
故答案为：
【例16】（2025·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，关于
的不等式
的解集
为
.
(1)若
时，求
；
(2)若
是
的充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
或
；
(2)
【分析】（1）求定义域得集合
，解不等式得集合
，再由交集合的运算法则计算；
（2）分
，
，
解不等式得集合
，根据充分条件的定义列不等式组求解．
【详解】（1）（1）由
，解得
且
，
所以集合
且
，
不等式
可化为
当
时，不等式可化为为
，
所以
，故集合
，
又
或
，
所以
或
或
；
（2）因为
是
的充分条件，所以
是
的子集，
又
且
，
当
时，
，满足题意，
当
时，
，
所以
或
，结合
解得，
，
当
时，
，
所以
，得
.
综上，实数
的取值范围为
.
【变式1】（2026·河北承德·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
，
则
.
【变式2】（2025·河北·模拟预测）已知集合
或
，若
，则
__________．
【答案】0
【分析】由题意可得
和2 是方程
的两根，利用根与系数的关系求得
，可求
的值.
【详解】由
得，
，因为
或
，
所以
，所以
和2 是方程
的两根，
所以
，解得
，所以
．
故答案为：
.
【变式3】（2024·宁夏·模拟预测）已知集合
.
(1)若
，且
是
的必要不充分条件，求
的取值范围；
(2)若函数
的定义域为
，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可；
（2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为
，最后结合二次函数的值域即可求参.
【详解】（1）由题意知
，
解不等式
，解得
，
所以
，
因为
是
的必要不充分条件，所以
是A 的真子集，
所以
且等号不同时成立，
解得
，即
的取值范围是
；
（2）因为
，所以
在
上有解，
所以
，
令
，则
，
所以
，即
的取值范围是
.
【解题大招】元素互异性验证法（规避低级失分）
【例题1】已知集合A ={1,a,a
2−1}，若0∈A，求实数a的值。
解析：（互异性验证步骤）① 由0∈A分情况讨论：a=0或a
2−1=0；② 求出参数：a=0、a=1、a=−1；③
代回验证：a=1时集合元素重复，舍去；④ 确定答案。
解答：当a=0时，A ={1,0,−1}，满足互异性；当a=−1时，A ={1,−1,0}，满足互异性；a=1舍去。故a=0或
a=−1。
【解题大招】数轴法（万能解题法，高考首选）
【例题2】设A ={x∣−2< x ≤3}，B ={x∣m−1< x<m+2}，若B⊆A，求m的取值范围。
解析：（数轴法步骤）① 画出数轴，标注集合A的区间；② 结合B⊆A，将B的区间放在A内部；③ 确定端点
约束条件，列不等式组；④ 求解不等式组，得出范围。
解答：由数轴分析，得{m−1≥−2
m+2≤3 ，解得−1≤m≤1，故m的取值范围为[−1,1]。
【解题大招】空集优先法（子集含参易错点突破）
【例题3】设A ={x∣−1≤x ≤4 }，B ={x∣a≤x ≤2a+1}，若B⊆A，求a的取值范围。
解析：（空集优先步骤）① 讨论B =∅：a>2a+1，解得a<−1；② 讨论B≠∅：列不等式组{
a≤2a+1
a≥−1
2a+1≤4
，解得
−1≤a≤3
2；③ 合并两种情况，得出最终范围。
解答：综上，a的取值范围为[−1, 3
2 ]。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合
的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合
中的元素
，满足
，
则
可能的取值为
，即
，
于是
.
故选：C
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合
，
，则
中元素个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为
，所以
，
中的元素个数为，
故选：C．
3．（2026·河北衡水·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可得
，
或
，所以
二、多选题
4．（2026·湖北十堰·一模）已知集合
，若集合
满足
，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若
，
满足
，符合题意，故A 正确；
对于选项B：若
，
则
，不符合题意，故B 错误；
对于选项C：若
，
满足
，符合题意，故C 正确；
对于选项D：因为
，
则
，不符合题意，故D 错误；
故选：AC.
三、填空题
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
__________.
【答案】
或
【分析】根据集合元素互异性可得
，由
可得
，然后分类讨论即可求得参数.
【详解】由题知，
，
因为
，所以
，
则当
时，
，而
；
当
时，
(舍)或，
所以
或.
故答案为：
或
6．（2025·山东潍坊·一模）已知集合
，
，若
，则实数
________．
【答案】
或2
【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性求参数的值.
【详解】因为
，所以
.
根据集合中元素的互异性，可知
且
.
若
，此时
，
，满足
.
若
或
（舍去）.
此时
，
，满足
.
综上
或2.
故答案为：
或2
7．（2026·河南濮阳·一模）已知全集
，则
__________.
【答案】
【分析】由交、并、补集的定义求解即可.
【详解】
，所以
.
故答案为：
四、解答题
8．（2025·河南·模拟预测）已知集合
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数的单调性化简
，即可由交集的定义求解，
（2）根据
，对
讨论即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
，
所以
．
（2）由
，可得
．
因为
，
所以当
时，
，解得
，满足题意；
当
时，
解得
．
综上，
的取值范围为
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·贵州六盘水·一模）集合
的子集的个数为（ ）
A．64
B．16
C．6
D．4
【答案】A
【分析】确定集合
，根据集合中元素的个数确定子集的个数.
【详解】由题意
且
，
的值可以为：
，所以
有6 个元素.
故集合
的子集有：
个.
2．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值集合
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，解得
或
，所以
.
因为
，所以
或
，解得
或
或
.
经检验：当
时，
与集合中元素的互异性矛盾.
所以实数
的取值集合为
.
二、多选题
3．（2026·山西临汾·二模）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】易知
，即
.
，即
.
A.
，成立.
B.因为
，所以
，不成立.
C.
或
，
，成立.
D.
或
，
或
，成立.
三、填空题
4．（2025·吉林·模拟预测）已知集合
，
，将
中所有元素按从小到
大的顺序构成数列
，则数列
的通项公式为__________.
【答案】
【分析】设
，则
，利用二项式展开，根据等式左侧为3 的倍数，右侧也
为3 的倍数可得答案.
【详解】设
，
则
，
等式左侧为3 的倍数，
为3 的倍数，
所以
也为3 的倍数，
故
为大于1 的奇数，所以
.
故答案为：
.
5．（2026·山东德州·一模）设集合
，若
，则
__________.
【答案】
【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.
【详解】
，
，
且
且
且
，
或
，
当
时，
且
，
，
.
当
时，解得
，
且
，
不成立.
综上可得，
.
故答案为：
.
四、解答题
6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合
，
.
(1)若
，求实数m 的取值范围；
(2)设
，
，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
可得
，分
和
两种情况讨论即可；
（2）由p 是q 的充分不必要条件可得
真包含于
，根据包含关系列出不等式组即可.
【详解】（1）由
可得
，
当
时，则
，解得
；
当
时，则
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
.
（2）若p 是q 的充分不必要条件，则
真包含于
，这等价于
且
，
由
可得{
2−m≤1
2+m≥4 ，解得
，
又
（即
且
）无解，故
恒成立，
所以实数
的取值范围是
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，得
，故
，
，
故
.
2．（2026·广东梅州·一模）已知全集
，
，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
，所以
，故A 正确；
对于任意
，则
，又
，所以
，所以
，故B 正确；
若
，则
，又
，则
，则
，
与
矛盾，所以
，同理
，
，故
，故C 正确；
若
时，可得
不成立，故D 错误.
二、多选题
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集
，集合
，
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
中元素个数为
D．
【答案】BD
【分析】分析可知，所以方程
有两个相异实根
、
，且
、
异号，结合全集
中的元素可确定集
合
，结合韦达定理求出
的值，再利用集合运算可判断BCD 选项.
【详解】在集合
中，因为
，所以方程
有两个相异实根，
设为
、
，由韦达定理可得
，所以
、
异号，且
，
因为全集的元素中两元素之积为
的只有两组
、
和
、
，
所以
或
.
当
时，
，则
，
所以
，
，
；
当
时，
，则
，
所以
，
，
.
综上，则
或
，
，
中元素个数为，
，
故A 错误，B 正确，C 错误，D 正确.
三、填空题
4．（2024·海南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据条件
，逐一讨论集合
，求出符合条件的
即可.
【详解】由题可得
，
当
时，
，则
，不满足条件；
当
时，
，要使
，则
，
当
时，
，要使
，则
，
综上，实数
的取值范围为
.
故答案为：
四、解答题
5．（2025·湖北·模拟预测）已知集合
，
，
、
是
的非空子集.记集合
除以
的余数
.若正整数
满足：存在非空集合
、
，使得
两两的交集为空集，且
，则称
为“好的”.
(1)设
，
，当
时，求
，并直接判断
是否为“好的”；
(2)证明：
是“好的”，
是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【答案】(1)
，
是“好的”
(2)证明见解析
(3)除、
、
外的正整数
【分析】（1）根据题中定义可求出集合
，并由此作出判断；
（2）当
时，取集合
，
；当
时，取集合
，
，结合题中定义验
证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数
是“好的”，则
也是“好的”，再证：
为奇数是“好的”，
不是“好的”，
同理易知
，
不是“好的”，由此可得出结论.
【详解】（1）当
时，由题中定义可得
，且
，故
是“好的”.
（2）
时，取
，
，则
的值为
、
、、，除以8 的余数为4，7，5，0.
所以
，此时
，合乎题意；
时，取
，
，
的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16 的余数为4，7，12，15，5，8，13，0.
所以
，则
，满足条件.
故
是“好的”，
是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数
是“好的”，则
也是“好的”.（*）
事实上，若正整数
是“好的”，
设
，
，
，此时集合
、
满足
时条件.
时，考虑
，
，
则
也满足条件，（*）得证.
②再证：
为奇数是“好的”.（**）
事实上，取
，
，则
满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4 外的正整数均为“好的”.
③再证：
不是“好的”.
对集合
，记
为
中元素个数，由条件，
.
若
，则
，矛盾.
若
或
，则
，则
，矛盾.
于是
不是“好的”.
同理易知
，2 不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4 外的正整数.
