文档文本内容
第02 讲 活用不等式妙解高考最值题
目录
01 题型归纳目录..................................................................................................................................2
02 思维导图..........................................................................................................................................3
03 方法技巧与总结归纳......................................................................................................................4
技巧一：基本不等式............................................................................................................................4
技巧二：柯西不等式............................................................................................................................4
技巧三：权方和不等式........................................................................................................................4
技巧四：拉格朗日乘数法....................................................................................................................4
04 真题回归..........................................................................................................................................5
05 题型归纳，举一反三......................................................................................................................6
题型一：基本不等式求最值................................................................................................................6
题型二：柯西不等式求最值................................................................................................................6
题型三：权方和不等式求最值............................................................................................................7
题型四：齐次化思想与不等式最值....................................................................................................7
题型五：将双变量转化为单变量........................................................................................................8
题型六：万能K 法............................................................................................................................... 8
题型七：对偶式换元............................................................................................................................9
题型八：待定系数法............................................................................................................................9
题型九：三角代换思想......................................................................................................................10
题型十：拉格朗日乘数法..................................................................................................................10
06 精选名校模拟题............................................................................................................................12
技巧一：基本不等式
基本不等式：如果
，则
（当且仅当“
”时取“ ”）．
重要不等式串：
技巧二：柯西不等式
设a，b ，c ，d ∈R+，有(a+b)(c+d)≥(√ac+√bd )2
当且仅当
a
c = b
d 时等号成立．
技巧三：权方和不等式
设a，b ，c ，d ∈R+，
b1
2
a1
+ b2
2
a2
≥(b1+b2)2
a1+a2
，当且仅当：
b1
a1
=b2
a2 时等号成立。
技巧四：拉格朗日乘数法
给定二元函数
和限制性条件
，为寻找二元函数
在附加条件
下的极值点，对
分别求导即可求出
，那么二元函数的
最值在此处取得.
1．（2025 年高考北京卷数学真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 年高考天津卷数学真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为
4．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））设
，则
的最小值为 ．
5．（2022 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））
，
，则
的最小值是
.
题型一：基本不等式求最值
【例1】（2025·陕西汉中·一模）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．5
B．25
C．36
D．64
【变式1-1】（2025·四川泸州·一模）若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．8
D．3
【变式1-2】（2025·高三·江西上饶·月考）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【变式1-3】（2025·浙江台州·一模）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
题型二：柯西不等式求最值
【例2】（2025·高三·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国
数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式，已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】已知，
都在区间
内，且
，则函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛
的应用．二维柯西不等式为
，当且仅当
时等号成立．已知
，
直线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】柯西不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
，当且仅当
等号成立，已知
，请
你用柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
题型三：权方和不等式求最值
【例3】（2025·高三·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广
泛的应用，其表述如下：设
，则
，当且仅当
时，等号成立.根据权方和
不等式，函数
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．25
【变式3-1】（2025·高三·广东深圳·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值
时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足
，当且仅当
时，等号
成立．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
【变式3-2】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初
命名的．其具体内容为：设
，则
，当且仅当
时，等号成立．根
据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2025·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很
广泛的应用，其表述如下：设正数，，，
，满足
，当且仅当
时，等号成立．
则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
题型四：齐次化思想与不等式最值
【例4】若正实数x，y，z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【变式4-1】（2025·高三·河南漯河·期末）设正实数、
、满足
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
题型五：将双变量转化为单变量
【例5】已知抛物线
的焦点为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式5-1】设
,则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【变式5-2】（多选题）（2025·高三·重庆·月考）已知正实数、
满足
，则下列说法正确
的有（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【变式5-3】（多选题）（2025·高三·湖北·月考）已知正实数
满足
，则下列结论正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-4】（2025·上海长宁·一模）已知
均为正实数，且
，则
的最
小值为 ．
题型六：万能K 法
【例6】（2025·高三·贵州·月考）已知函数
，若实数，满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．5
【变式6-1】已知正实数
满足
则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2025·高三·江苏苏州·月考）已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．0
题型七：对偶式换元
【例7】已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2025·高三·重庆渝北·月考）已知
，且
，则
的最小值是
（ ）
A．4
B．7
C．9
D．11
【变式7-2】若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】已知正数，，满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
题型八：待定系数法
【例8】已知
，则（1）
最大值为 ；（2）
的最大值为
【变式8-1】（2025·高三·河北邢台·期末）设
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．6
B．
C．
D．4
【变式8-2】已知正数，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．16
【变式8-3】（2025·高三·安徽·月考）已知实数a，b，c 满足
，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【变式8-4】（2025·山西运城·二模）若a，b，c 均为正实数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：三角代换思想
【例9】（2025·高三·浙江温州·月考）已知
，则
的最大值是
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【变式9-1】（2025·高三·安徽合肥·月考）已知正数x，y 满足
，则
的最小
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式9-2】实数a，b 满足
，则使
恒成立的实数
的最大值为 ．
题型十：拉格朗日乘数法
【例10】（2025·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数
在约束条
件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
，其中
为拉格
朗日系数．分别对
中的
部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解
，就是二元函数
在约束条件
的可能极值点．
的值代入到
中即为极值．
补充说明：【例】求函数
关于变量的导数．即：将变量
当做常数，即：
，下标加上，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的
表示分
别对
进行求导．
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数
满足
，求
的最大值．
(3)①若
为实数，且
，证明：
．
②设
，求
的最小值．
【变式10-1】已知正实数
满足
,则
的最小值是_____.
【变式10-2】
满足
,求
的最大值.
【变式10-3】已知实数
满足:
，则
的最大值是_____.
1．（2025·浙江温州·一模）若a，
，且
，则ab 的最小值为（ ）
A．5
B．17
C．25
D．36
2．（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问
题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不
等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
等号成立当且仅当
已知
，请你
用柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
3．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知a，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．9
C．13
D．
4．已知x，y，z 是非负实数，且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．以上答案都不对
5．（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）（2025·高三·福建宁德·月考）若，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·高三·广东·月考）权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知
为正数，
，当且仅当
时，等号成立.若x 为锐角，则
的最小值为 .
8．设
为正实数，则
的最小值是 ．
9．已知正实数
满足
，则
的最小值是 .
10．已知正数a，b 满足
，则
的最大值为 .
11．已知正实数
，则
的最大值是 ．
12．已知
，且满足
，则
的最小值为 ．
