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2026 高考三十六计
高考数学应试技巧篇
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目录
考试技巧01 权方和不等式的应用及解题技巧 ............................................................ 4
考试技巧02 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 ...................................................... 5
考试技巧03 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 ...................................................... 5
考试技巧04 基本不等式链的应用及解题技巧 ............................................................ 6
考试技巧05 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 ......................................... 7
考试技巧06 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 ................................................ 7
考试技巧07 已知函数解析式判断函数图象解题技巧 ................................................... 8
考试技巧08 已知函数图象判断函数解析式解题技巧 ................................................... 9
考试技巧09 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧 ................................. 10
考试技巧10 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧 .............................................. 11
考试技巧11 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧 ........................................ 13
考试技巧12 函数对称性的应用及解题技巧 .............................................................. 15
考试技巧13 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 ........................................... 16
考试技巧14 整数解的应用及解题技巧 .................................................................... 16
考试技巧15 零点的应用及解题技巧 ....................................................................... 17
考试技巧16 切线与公切线的应用及解题技巧 .......................................................... 17
考试技巧17 端点效应（必要性探索）解题技巧 ....................................................... 18
考试技巧18 函数凹凸性解题技巧 .......................................................................... 21
考试技巧19 洛必达法则解题技巧 .......................................................................... 22
考试技巧20 导数中的极值点偏移问题的解题技巧 .................................................... 25
考试技巧21 半角公式的应用及解题技巧 ................................................................. 27
考试技巧22 万能公式的应用及解题技巧 ................................................................. 27
考试技巧23 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 .................................................... 28
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考试技巧24 三角函数异名伸缩平移的解题技巧 ....................................................... 28
考试技巧25 “爪子定理”的应用及解题技巧 .......................................................... 29
考试技巧26 系数和（等和线）的应用及解题技巧 .................................................... 30
考试技巧27 极化恒等式的应用及解题技巧 .............................................................. 31
考试技巧28 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 .............................................. 31
考试技巧29 角平分线定理的应用及解题技巧 .......................................................... 33
考试技巧30 张角定理的应用及解题技巧 ................................................................. 33
考试技巧31 点对称问题解题技巧 .......................................................................... 35
考试技巧32 圆中的切线问题解题技巧 .................................................................... 35
考试技巧33 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 .................................................... 36
考试技巧34 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 .................................................... 37
考试技巧35 复数的模长及最值的应用及解题技巧 .................................................... 38
考试技巧36 柯西不等式的应用及解题技巧 .............................................................. 39
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考试技巧01 权方和不等式的应用及解题技巧
权方和不等式的初级应用: 若
, , ,
0
a b x y >
则
2
2
2
(
)
a
b
a
b
x
y
x
y
+
+
≥
+
当且仅当 a
b
x
y
=
时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
例．已知
1
1,
2
a
b
>
>
，且2
3
a
b
+
=
，则
1
1
1
2
1
a
b
+
−
−的最小值为（ ）
A．1
B．9
2
C．9
D．1
2
因为2
3
a
b
+
= ，所以4
2
6
a
b
+
=
由权方和不等式
2
2
2
(
)
a
b
a
b
x
y
x
y
+
+
≥
+
可得
(
)
2
2
2
2 1
1
1
1
1
9
1
4
2
2
1
4
4
2
1
4
4
2
1
4
4
2
1
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
=
+
=
+
≥
=
−
−
−
−
−
−
−
+
−
当且仅当
2
1
4
4
2
1
a
b
=
−
−，即
7
2
,
6
3
a
b
=
=
时，等号成立．【答案】C
例．已知正数x ，y ，z 满足
1
x
y
z
+
+
= ，则
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
x
y
z
y
z
z
x
x
y 的最小值为
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数x ，y 满足
1
x
y
z
+
+
= ，
所以
(
)
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
3
x
y
z
x
y
z
y
z
z
x
x
y
y
z
z
x
x
y
+
+
+
+
≥
=
+
+
+
+
+
+
+
+
，
当且仅当
2
2
2
x
y
z
y
z
z
x
x
y
=
=
+
+
+
即
1
3
x
y
z
=
=
=
时取等号，故答案为：1
3 .
例．已知
2
3
4
5
30
x
y
z
u
v
+
+
+
+
=
，求
2
2
2
2
2
2
3
4
5
x
y
z
u
v
+
+
+
+
的最小值为
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
5
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
3
4
5
30
60
1
2
3+4+5
15
y
z
u
v
x
x
y
z
u
v
x
y
z
u
v
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
≥
=
=
+
+
当且仅当x
y
z
u
v
=
=
=
=
时取等号，故答案为：60
5 / 39
考试技巧02 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
1. 糖水不等式定理，若
0,
0
a
b
m
>
>
>
, 则一定有 b
m
b
a
m
a
+
>
+
通俗的理解: 就是 a 克的不饱和糖水里含有 b 克糖, 往糖水里面加入 m 克糖,则糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒数形式，设
0,
0
a
b
m
>
>
>
, 则有: a
a
m
b
b
m
+
>
+
例．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【详解】
8
24
ln3
ln
ln
ln3
ln5
5
5
8
ln5
ln8
ln8
ln5
ln 5
a
b
+
=
<
=
<
=
+
,又
13
39
ln3
ln
ln
ln3
ln8
5
5
13
ln5
ln13
ln13
ln5
ln 5
a
c
+
=
<
=
<
=
+
，
用排除法, 选 A 。
考试技巧03 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
(1) 设 n
N+
∈
, 且
1
n >
, 则有
1
2
log
log
(
1)
n
n
n
n
+
+
<
+
(2) 设
1,
0
a
b
m
>
>
>
, 则有 log
log
(
)
a
a m
b
b
m
+
<
+
(3) 上式的倒数形式：设
1,
0
a
b
m
>
>
>
, 则有 log
log
(
)
b
b m
a
a
m
+
>
+
例．（2022·全国·统考高考真题）已知9
10,
10
11,
8
9
m
m
m
a
b
=
=
−
=
−，则（ ）
A．
0
a
b
>
>
B．
0
a
b
>
>
C．
0
b
a
>
>
D．
0
b
a
>
>
对数型糖水不等式
因为 9
10
m =
, 所以
9
log 10
m =
. 在上述推论中取
9,
10
a
b
=
=
, 可得
9
log 10
m =
>
10
log 11
lg11
=
,
且
9
8
log 10
log 9
m =
<
.
所以
lg11
10
11
10
11
0,
m
a
b
=
−
>
−
=
=
9
log 9
8
9
8
9
0
m −
<
−
=
, 即
0
a
b
>
>
, 选 A.
6 / 39
考试技巧04 基本不等式链的应用及解题技巧
基本不等式链:
2
2
2
(
0,
0)
1
1
2
2
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
+
+
≥
≥
≥
>
>
+
, 当且仅当 a
b
=
时, 等号成立.
例．（2022·全国·统考高考真题）若x，y 满足
2
2
1
+
−
=
x
y
xy
，则（ ）
A．
1
x
y
+
≤
B．
2
x
y
+
≥−
C．
2
2
2
x
y
+
≤
D．
2
2
1
x
y
+
≥
由基本不等式链:
2
2
2
(
0,
0)
1
1
2
2
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
+
+
≥
≥
≥
>
>
+
, 可得
2
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
+
≤
≤
（,a bR），
对于AB
由
2
2
1
+
−
=
x
y
xy
可变形为，(
)
2
2
1
3
3
2
x
y
x
y
xy
+
+
−=
≤
，
解得2
2
x
y
−≤
+
≤
，当且仅当
1
x
y
=
= −时，
2
x
y
+
= −，当且仅当
1
x
y
=
= 时，
2
x
y
+
=
，所以A 错误，B
正确；
对于C
【法一】由
2
2
1
+
−
=
x
y
xy
可变形为(
)
2
2
2
2
1
2
x
y
x
y
xy
+
+
−=
≤
，解得
2
2
2
x
y
+
≤
，当且仅当
1
x
y
=
= ± 时取等
号，所以C 正确
【法二】由
2
2
2
2
2
,
2
2
x
y
x
y
x
y
xy
+
+
+
≥
≤
,得
2
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
x
xy
y
+
+
−
+
≥
−
,
又因为
2
2
1
x
xy
y
−
+
=
,所以
2
2
2
1
2
2
x
y
x
y
+
+
−
≤
,即
2
1 (
)
1,
2
4 x
y
x
y
+
≤
+
≤
.
【法三】
2
2
2
2
2
2
1
(
)
3
(
)
3
(
)
2
4
x
y
x
xy
y
x
y
xy
x
y
x
y
+
−
+
=
+
−
≥
+
−
=
+
,
又因为
2
2
1
x
xy
y
−
+
=
,所以
2
1 (
)
1,
2
4 x
y
x
y
+
≤
+
≤
.
【答案】：BC．
7 / 39
考试技巧05 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧
在定义域内，若( )
( )
A
x
f
x
F
+
=
，其中( )
x
f
为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有
A
m
M
2
=
+
即
2
=
+ m
M
倍常数
例．（2023 上·江苏·高三模拟）已知M m
、分别是函数
+
+1 的最大值、最小值，则
M
m
+
=
2
=
+ m
M
倍常数=2
例．已知函数
( )
(
)
3
2
ln
1
3sin
7
f x
ax
x
x
x
=
−
+ +
+
+
，
[
]
2023,2023
x∈−
的最大值为M，最小值为m，则
M
m
+
= .
【法一】
2
=
+ m
M
倍常数=14
【法二】
( )
14
0
2
=
=
+
f
m
M
例．函数
3e
e
( )
e
e
x
x
x
x
f x
−
−
+
=
+
，
[ 5,5]
x∈−
，记
( )
f x 的最大值为M ，最小值为m ，则M
m
+
= .
3e
e
e
e
( )
2
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
−
−
−
−
+
−
=
=
+
+
+
【法一】
2
=
+ m
M
倍常数=4
【法二】
( )
4
0
2
=
=
+
f
m
M
考试技巧06 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧
在定义域内，若( )
( )
A
x
f
x
F
+
=
，其中( )
x
f
为奇函数，A 为常数，有( )
(
)
A
a
f
a
f
2
=
−
+
即( )
(
)
2
=
−
+
a
f
a
f
倍常数
例．（全国·高考真题）已知函数
( )
(
)
2
ln
1
1
f x
x
x
=
+
−
+ ，
( )
4
f a =
，则
(
)
f
a
−
= ．
(
)
2
ln
1
x
x
+
−
在定义域内为奇函数
所以( )
(
)
2
=
−
+
a
f
a
f
倍常数=2，解得
(
)
2
f
a
−
= −
8 / 39
【答案】－2
例．已知函数
( )
1
1
ln 1
x
x
f x
x
x
+
−
=
+
−
，则
1
1
e
e
f
f
+
−
=
．
( )
1
1
ln
1
1
x
f x
x
x
+
=
+
−
−
，
1
ln 1
x
x
+
−
和1
x 在定义域内为奇函数
所以
1
1
e
e
f
f
+
−
=
2 倍常数=-2
【答案】－2
考试技巧07 已知函数解析式判断函数图象解题技巧
特值与极限
①
646
.2
7
,
45
.2
6
,
236
.2
5
,
732
.1
3
,
414
.1
2
=
=
=
=
=
②
65
.1
,
39
.7
,
71828
.2
2
1
2
=
=
=
=
e
e
e
e
③
2
1
ln
,1
ln
,1.1
3
ln
,
69
.0
2
ln
,0
1
ln
=
=
=
=
=
e
e
④
42
.0
2
cos
,
91
.0
2
sin
,
54
.0
1
cos
,
84
.0
1
sin
−
=
=
=
=
特别地：当
0
→
x
时
x
x =
sin
例如：
1.0
099
.0
1.0
sin
≈
=
，
3.0
296
.0
3.0
sin
,2.0
199
.0
2.0
sin
≈
=
≈
=
当
0
→
x
时
1
cos
=
x
1
980
.0
)
2.0
cos(
,1
995
.0
1.0
cos
≈
=
−
≈
=
例．函数
(
)
3
3
cos
x
x
y
x
−
=
−
在区间
π π
,
2 2
−
的图象大致为（ ）
9 / 39
A．
B．
C．
D．
令
( ) (
)
3
3
cos ,
,
2 2
x
x
f x
x x
π π
−
=
−
∈−
，由奇偶性定义知
( )
f x 为奇函数，排除BD；
【法一】特值
(
) (
)
(
)
0
995
.0
3
3
1.0
cos
3
3
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
>
×
−
≈
−
=
−
−
f
，故选：A.
【法二】极限法
当
+
→0
x
时
1
cos
=
x
，
+
→1
3x
，
−
−→1
3 x
所以当
+
→0
x
时
(
)
3
3
cos
0
x
x
y
x
−
=
−
>
，故选：A.
【法三】
当
0, 2
x
π
∈
时，3
3
0,cos
0
x
x
x
−
−
>
>
，所以
( )
0
f x >
【答案】A
考试技巧08 已知函数图象判断函数解析式解题技巧
例．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[ 3,3]
−
的大致图像，则该函数
是（ ）
10 / 39
A．
3
2
3
1
x
x
y
x
−
+
=
+
B．
3
2
1
x
x
y
x
−
=
+
C．
2
2 cos
1
x
x
y
x
=
+
D．
2
2sin
1
x
y
x
=
+
【法一】特值
由图知：( )
0
2 <
f
，
对于A，( )
5
2
2
−
=
f
，对于B，( )
5
6
2 =
f
，对于C，( )
(
)
0
5
42
.0
2
2
2
<
−
×
×
=
f
，对于D，( )
0
5
91
.0
2
2
>
×
=
f
排除BD
结合函数零点位置可选A
【法二】猜测近似函数值
由图知( )
1
1 ≈
f
分别计算四个函数值即可得到答案
【法三】
设
( )
3
2
1
x
x
f
x
x
−
=
+
，则
( )1
0
f
=
，故排除B;
设( )
2
2 cos
1
x
x
h x
x
=
+
，当
π
0, 2
x
∈
时，0
cos
1
x
<
< ，
所以( )
2
2
2 cos
2
1
1
1
x
x
x
h x
x
x
=
<
≤
+
+
，故排除C;
设( )
2
2sin
1
x
g x
x
=
+
，则( )
2sin3
3
0
10
g
=
>
，故排除D.
【答案】A
11 / 39
考试技巧09 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题
技巧
1
e
+
≥x
x
，
x
x
e
e ≥
，
1
ln
1
1
−
≤
≤
−
x
x
x
，
e
ln
x
x ≤
例．已知
99
100
1
101
,
,
ln
100
100
a
b
e
c
−
=
=
=
, 则
, ,
a b c 的大小关系为 ( )
A. a
b
c
<
<
B. a
c
b
<
<
C. c
a
b
<
<
D. b
a
c
<
<
99
100
99
1
1
100
100
e
−
> −
+ =
101
101
1
ln
1
100
100
100
c =
<
−=
【答案】 C
考试技巧10 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧
常见函数的泰勒展开式：
（1）
(
)
2
3
1
e
1
e
1!
2!
3!
!
1 !
n
n
x
x
x
x
x
x
x
n
n
θ
+
= +
+
+
+
+
+
+
，其中(
)
0
1
θ
<
<
；
（2）
(
)
(
)
2
3
1
ln 1
1
2!
3!
!
n
n
n
x
x
x
x
x
R
n
−
+
=
−
+
−
+ −
+
，其中
(
) (
)
1
1
1
1
1 ! 1
n
n
n
n
x
R
n
x
θ
+
+
= −
+
+
；
（3）
(
)
(
)
3
5
2
1
1
sin
1
3!
5!
2
1 !
k
k
n
x
x
x
x
x
R
k
−
−
=
−
+
−
+ −
+
−
，其中
(
) (
)
2
1
1
cos
2
1 !
k
k
n
x
R
x
k
θ
+
= −
+
；
（4）
(
)
(
)
2
4
2
2
1
cos
1
1
2!
4!
2
2 !
k
k
n
x
x
x
x
R
k
−
−
= −
+
−
+ −
+
−
，其中
(
) (
)
2
1
cos
2
!
k
k
n
x
R
x
k
θ
= −
；
（5）
2
1
1
(
)
1
n
n
x
x
x
o x
x = +
+
+
+
+
−
；
（6）
2
2
(
1)
(1
)
1
(
)
2!
n
n n
x
nx
x
o x
−
+
= +
+
+
；
（7）
(
)
3
5
2
2
tan
3
15
n
x
x
x
x
o x
=
+
+
+⋅⋅⋅+
；
12 / 39
（8）
(
)
2
3
1
1
1
1
1
2
8
16
n
x
x
x
x
o x
+
= +
−
+
+⋅⋅⋅+
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
e
1
x
x
≥+ ，
(
)
2
1
e
1
0
2
x
x
x
x
≥+
+
≥
，
(
)
3
1
sin
0
6
x
x
x
x
≥
−
≥
，
2
1
cos
1
2
x
x
≥−
，ln
1
≤
−
x
x
，
1
ex
x
−≥
，
(
)
3
1
tan
0
3
x
x
x
x
≥
+
≥
，
1
1
1
2
x
x
+
≤+
，
(
)
ln 1
x
x
+
≤
．
常见函数的泰勒展开式：
结论1 ln(1
)
(
1)
x
x x
+
≤
> −
．
结论2 ln
1 (
0)
x
x
x
≤
−
>
．
结论3
1
1
ln x
x
−
≤
（
0
x >
）．
结论4
(
)
1
ln
ln 1
1
1
1 1
x
x
x
x
x
x
x
<
⇒
<
+
+
+
−+
．
结论5 1
x
x
e
+
≤
；
(
)
1
1
1
xe
x
x
≤
<
−
；
(
)
(
)
ln 1
1
1
x
x
x x
x ≤
+
≤
> −
+
．
结论6
1
(
)
xe
x x
R
≥+
∈
；
结论7
1
(
)
x
e
x x
R
−≥−
∈
结论8
(
)
1
1
1
x
e
x
x ≥
<
−
．
结论9
(
)
1
1
1
x
e
x
x ≤
>
−
．
例．（2022 年新Ⅰ卷高考真题第7 题）设
0.1
0.1e
a =
，
1
9
b =
，
ln 0.9
c = −
则（ ）
A．
c
b
a
<
<
B．
a
b
c
<
<
C．
b
a
c
<
<
D．
b
c
a
<
<
泰勒公式法：
因为
105
.1
2
1.0
1.0
1
2
1.0
=
+
+
≈
e
，所以
b
e
=
=
<
≈
11111
.0
9
1
1105
.0
1.0
1.0
，所以
b
a <
因为
a
c
<
=
−
≈
+
−
=
+
−
≈
+
=
=
−
=
105
.0
006
.0
9
1
2187
1
162
1
9
1
3
)
9
1
(
2
)
9
1
(
9
1
)1
9
1
ln(
9
10
ln
9.0
ln
3
2
所以
a
c <
13 / 39
综上所述：
b
a
c
<
<
故选：C
例．（2022·全国·统考高考真题）已知
31
1
1
,
cos
,
4sin
32
4
4
a
b
c
=
=
=
，则（ ）
A．c
b
a
>
>
B．b
a
c
>
>
C．a
b
c
>
>
D．a
c
b
>
>
泰勒展开
设
0.25
x =
，则
2
31
0.25
1
32
2
a =
= −
，
2
4
1
0.25
0.25
cos
1
4
2
4!
b =
≈−
+
，
2
4
1
sin
1
0.25
0.25
4
4sin
1
1
4
3!
5!
4
c =
=
≈−
+
，计算得c
b
a
>
>
，故选A.
考试技巧11 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧
∈
<
<
2
π
,0
,
tan
sin
x
x
x
x
)1
(
1
ln
>
−
<
x
x
x
x
，
)1
0
(
1
ln
<
<
−
>
x
x
x
x
，
)1
)(
1
(
2
1
ln
>
−
<
x
x
x
x
，
)1
0
)(
1
(
2
1
ln
<
<
−
>
x
x
x
x
，
)1
(
2
3
2
2
1
ln
2
>
−
+
−
>
x
x
x
x
，
)1
0
(
2
3
2
2
1
ln
2
<
<
−
+
−
<
x
x
x
x
)1
(
1
)1
(
2
ln
>
+
−
>
x
x
x
x
，
)1
0
(
1
)1
(
2
ln
<
<
+
−
<
x
x
x
x
放缩程度综合
)1
0
(1
2
3
2
2
1
1
)1
(
2
ln
1
)
1
(
2
1
1
1
2
<
<
−
<
−
+
−
<
+
−
<
<
−
<
−
<
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
14 / 39
)
2
1(1
)
1
(
2
1
1
ln
1
)1
(
2
2
3
2
2
1
1
1
2
<
<
−
<
−
<
−
<
<
+
−
<
−
+
−
<
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
2
(1
)
1
(
2
1
1
ln
1
)1
(
2
1
1
2
3
2
2
1
2
>
−
<
−
<
−
<
<
+
−
<
−
<
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)1
(
1
1
e
1
<
−
<
<
+
x
x
x
x
，
)1
(
e
1
1
1
>
<
+
<
−
x
x
x
x
例．（2022·全国·统考高考真题）设
0.1
1
0.1e
,
ln 0.9
9
a
b
c
=
=
= −
，
，则（ ）
A．a
b
c
<
<
B．c
b
a
<
<
C．c<a<b
D．a
c
b
<
<
放缩法
因为
)1
(
1
1
e
1
<
−
<
<
+
x
x
x
x
，
所以
b
a
=
=
−
×
<
=
<
⇒
−
<
<
9
1
1.0
1
1
1.0
e
1.0
11
.0
1.0
1
1
e
1.1
1.0
1.0
，即
b
a <
因为
)1
)(
1
(
2
1
ln
>
−
<
x
x
x
x
，
所以
a
c
<
<
=
−
<
=
−
=
11
.0
180
19
)
10
9
9
10
(
2
1
9
10
ln
9.0
ln
，即
a
c <
综上所述：
b
a
c
<
<
，故选：C
15 / 39
例．（2022·全国·统考高考真题）已知
31
1
1
,
cos
,
4sin
32
4
4
a
b
c
=
=
=
，则（ ）
A．c
b
a
>
>
B．b
a
c
>
>
C．a
b
c
>
>
D．a
c
b
>
>
【法一】：不等式放缩一
因为当
π
0,
,sin
2
x
x
x
∈
<
，
取
1
8
x
得：
2
2
1
1
1
31
cos
1 2sin
1 2
4
8
8
32
= −
> −
=
，故b
a
>
1
1
1
4sin
cos
17 sin
4
4
4
ϕ
+
=
+
，其中
0, 2
π
ϕ
∈
，且
1
4
sin
,cos
17
17
ϕ
ϕ
=
=
当
1
1
4sin
cos
17
4
4
+
=
时，1
4
2
π
ϕ
+
=
，及
1
2
4
π
ϕ =
−
此时
1
4
sin
cos
4
17
ϕ
=
=
，
1
1
cos
sin
4
17
ϕ
=
=
故
1
1
cos 4
17
=
4
1
1
sin
4sin
4
4
17
<
=
<
，故b
c
<
所以b
a
> ，所以c
b
a
>
>
，故选A
【法二】不等式放缩二
因为
1
4tan 4
c
b =
，因为当
π
0,
,sin
tan
2
x
x
x
x
∈
<
<
，所以
1
1
tan 4
4
>
,即
1
c
b > ，所以c
b
>
；因为当
π
0,
,sin
2
x
x
x
∈
<
，取
1
8
x
得
2
2
1
1
1
31
cos
1 2sin
1 2
4
8
8
32
= −
> −
=
，故b
a
> ，所以c
b
a
>
>
．
故选：A．
考试技巧12 函数对称性的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设函数
( )
y
f x
=
的图像与
2x a
y
+
=
的图像关于直线y
x
= −对称，且
( 2)
( 4)
1
f
f
−
+
−
= ，
则
=
a
A．1
−
B．1
C．2
D．4
反解
( )
f x 的解析式，可得
2 y a
x
−+
−=
，即
(
)
2
log
y
a
x
=
−
−
，
16 / 39
因为
( 2)
( 4)
1
f
f
−
+
−
= ，所以
2
2
log 2
log 4
1
a
a
−
+
−
= ，解得解得
2
a =
，故选C
考试技巧13 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧
例2．（全国·高考真题）设函数
( )
(
)
2
1
1
ln 1
f x
x
x
−
+
+
=
,则使
( )
(
)
2
1
f x
f
x
>
−
成立的x 的取值范围是
A．1 ,1
3
B．
(
)
1
,
1,
3
−∞
+∞
C．
1 1
,
3 3
−
D．
1
1
,
,
3
3
−∞−
∪
+∞
【特值法】
当
1
=
x
时，( )
( )1
1
f
f
>
不成立，排除D，当
0
=
x
时，则判断( )
(
)1
0
−
> f
f
是否成立，
计算( )
1
0
−
=
f
，(
)
19
.0
2
1
2
ln
1
≈
−
=
−
f
，不成立，故排除B、C,
【答案】A
考试技巧14 整数解的应用及解题技巧
例．已知关于x 的不等式
4
3
0
ln x
kx
kx
+
>
−
恰有一个整数解，则实数k 的取值范围为（ ）
A．ln3 1
,
54 8
B．ln3 1
,
27 8
C．
ln 2
, 8
−∞
D．ln3 ln 2
,
54
8
17 / 39
【猜根法，寻找临界条件】
由题知整数解不可能为1，
若整数解为2，则整数解3 不可取，代入有
8
2
ln
0
8
16
2
ln
=
⇒
=
+
−
k
k
k
，
54
3
ln
0
27
81
3
ln
=
⇒
=
+
−
k
k
k
，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D.
考试技巧15 零点的应用及解题技巧
例4．（全国·高考真题）已知函数
2
1
1
( )
2
(
)
x
x
f x
x
x
a e
e
−
−+
=
−
+
+
有唯一零点，则
=
a
A．
1
2
−
B．1
3
C．1
2
D．1
通过观察发现
2
2
x
x
−
关于
1
x = 对称，
1
1
x
x
e
e
−
−+
+
也关于
1
x = 对称，
则唯一零点为1，解得解得
1
2
a =
.故选：C.
考试技巧16 切线与公切线的应用及解题技巧
例．（2021·全国·统考高考真题）若过点(
)
,a b 可以作曲线
ex
y =
的两条切线，则（ ）
18 / 39
A．eb
a
<
B．ea
b
<
C．0
eb
a
<
<
D．0
ea
b
<
<
画出函数曲线
x
y
e
=
的图象如图所示，根据直观即可判定点(
)
,a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切
线.由此可知0
a
b
e
<
<
.
故选：D.
例．
（全国·高考真题）若直线y
kx
b
=
+ 是曲线
ln
2
y
x
=
+
的切线，也是曲线
ln(
1)
y
x
=
+
的切线，则b = ．
对函数
ln
2
y
x
=
+
求导得
1
y
x
′ =
，对
ln(
1)
y
x
=
+
求导得
1
1
y
x
′ =
+ ，设直线y
kx
b
=
+ 与曲线
ln
2
y
x
=
+
相切于
点
1
1
1
( ,
)
P x y ，与曲线
ln(
1)
y
x
=
+
相切于点
2
2
2
(
,
)
P x
y
，则
1
1
2
2
ln
2,
ln(
1)
y
x
y
x
=
+
=
+
，由点
1
1
1
( ,
)
P x y 在切线上得
(
)
1
1
1
1
ln
2
(
)
y
x
x
x
x
−
+
=
−
，由点
2
2
2
(
,
)
P x
y
在切线上得
2
2
2
1
ln(
1)
(
)
1
y
x
x
x
x
−
+
=
−
+
，这两条直线表示同一条直
线，所以
，解得
1
1
1
1
1
,
2,
ln
2 1
1 ln 2
2
x
k
b
x
x
=
∴
=
=
=
+
−= −
.
考试技巧17 端点效应（必要性探索）解题技巧
19 / 39
端点效应的类型
1.如果函数
( )
f x 在区间[ , ]
a b 上,
( )
0
f x ≥
恒成立,则
( )
0
f a ≥
或
( )
0
f b ≥
.
2. 如果函数
( )
f x
在区问[ , ]
a b 上,
( )
0
f x ≥
恒成立, 且
( )
0
f a =
( 或
( )
0
f b =
), 则
( )
0
f
a
′
≥
(
或
)
( )
0
f
b
′
≤
.
3.如果函数
( )
f x 在区问[ , ]
a b 上,
( )
0
f x ≥
恒成立,且
( )
0,
( )
0
f a
f
a
′
=
=
(或
( )
0
f b =
,
)
( )
0
f
b
′
≤
则
(
( )
0
f
a
′′
≥
或
)
( )
0
f
b
′′
≤
.
例．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
3
sin
π
( )
,
0,
cos
2
x
f x
ax
x
x
=
−
∈
(1)当
8
a =
时，讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
( )
sin 2
f x
x
<
恒成立，求a 的取值范围．
【法一】端点效应一
令
( )
( )
sin 2 ,
0, 2
g x
f x
x x
π
=
−
∈
，
得
(0)
0
g
=
，且
( )
0
g x <
在
0, 2
x
π
∈
上恒成立
画出草图
根据端点效应, 需要满足
(0) 0
g′
，而
2
4
1
2sin
( )
2cos2
cos
x
g x
a
x
x
′
+
=
−
−
则
(0)
3
g
a
′
=
−
, 令
(0) 0
g′
, 得
3
a ≤
当
3
a 时, 由于
(0)
0
g
=
, 只需证
( )
0
g x
′
<
即可
而
( )
g x
′
含有参数 a , 故可对
( )
g x
′
进行放缩
即
( )
2
2
2
2
4
4
4
1
2sin
1
2sin
3
2cos
2cos2
3
2cos2
5
4cos
cos
cos
cos
x
x
x
g
x
a
x
x
x
x
x
x
′
+
+
−
=
−
−
≤
−
−
=
−
−
令
2
cos
t
x
=
, 其中 0
1
t
< <
设
2
3
2
( )
5
4
t
h t
t
t
−
=
−
−
则
3
3
2
3
6
2
4
2
6
( )
4
t
t
h t
t
t
t
′
−
−
+
=
−
−
=
20 / 39
令
3
( )
4
2
6
p t
t
t
= −
−
+
则
2
( )
12
2
0
p t
t
′
= −
−
<
, 故
( )
p t 在 (0,1) 上递减, 得
( )
(1)
0
p t
p
>
=
则
( )
0
h t
′
>
, 得
( )
h t 在 (0,1) 上单调递增, 则
( )
(1)
0
h t
h
<
=
即
( )
0
g x
′
<
, 满足
( )
(0)
0
g x
g
<
=
成立
当
3
a >
时，
( )
0
3
0
由于
,
g
a
=
−
>
′
故存在
0x , 使得在 (
)
0
0, x
上
( )
0
g x
′
>
,
所以
( )
g x 在 (
)
0
0, x
上单调递增, 则
( )
(0)
0
g x
g
>
=
, 不成立
特上所述:
3
a ≤
.
【法二】端点效应二
(2)
3
3
sin
sin
( )
sin 2
sin 2
( )
sin 2
0
cos
cos
x
x
f x
x
ax
x
g x
ax
x
x
x
<
⇒
−
<
⇒
=
−
−
<
由于
(0)
0
g
=
, 且
2
2
4
cos
3sin
( )
2cos2
cos
x
x
g x
a
x
x
+
′
=
−
−
,
注意到当
(0)
0
g′
>
, 即
3
a >
时,
0
0, 2
x
π
∃
∈
使
( )
0
g x
′
>
在
(
)
0
0,
x
x
∈
成立, 故此时
( )
g x 单
调递减
( )
(0)
0
g x
g
∴
>
=
, 不成立.
另一方面, 当
3
a 时,
3
sin
( ) 3
sin 2
( )
cos
x
g x
x
x
h x
x
−
−
≡
, 下证它小于等于 0 .
( )
(
)
(
)
(
) (
)
2
2
4
2
2
4
2
4
4
4
2
2
2
4
3
2cos
3
2cos2
cos
3 cos
1
2cos
1 cos2 cos
3cos
2cos
3
2cos2 cos
cos
cos
cos
1
4cos
3
0.
cos
x
h x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=
−
−
−
+
−
+
−−
=
=
−
−
+
=
<
令
( )
g x
∴
单调递减,
( )
(0)
0
g x
g
∴
=
. 特上所述:
3
a ≤
.
21 / 39
考试技巧18 函数凹凸性解题技巧
凹函数：对于某区间内
1
2
,
x x
∀
, 都有
(
)
(
)
1
2
1
2
2
2
f x
f x
x
x
f
+
+
>
.
凸函数：对于某区间内
1
2
,
x x
∀
, 都有
(
)
(
)
1
2
1
2
2
2
f x
f x
x
x
f
+
+
<
.
例．在
ABC
中, 求 sin
sin
sin
A
B
C
+
+
的最大值.
因为函数
sin
y
x
=
在区间 (0, )
π 上是上凸函数, 则
1
3
(sin
sin
sin
)
sin
sin
3
3
3
2
A
B
C
A
B
C
π
+
+
+
+
≤
=
=
即
3 3
sin
sin
sin
2
A
B
C
+
+
≤
, 当且仅当 sin
sin
sin
A
B
C
=
=
时, 即
3
A
B
C
π
=
=
=
时,取等号.
上述例题是三角形中一个重要的不等式: 在
ABC
中,
3 3
sin
sin
sin
.
2
A
B
C
+
+
≤
例. 丹麦数学家琴生(
)
Jensen 是19 世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等
式方面留下了很多宝贵的成果．设函数
( )
f x 在( , )
a b 上的导函数为
( )
f
x
′
，
( )
f
x
′
在( , )
a b 上的导函数为
( )
f
x
′′
，
若在( , )
a b 上
( )
0
f
x
′′
<
恒成立，则称函数
( )
f x 在( , )
a b 上为“凸函数”．已知
2
( )
ln
2
x
m
f x
e
x
x
x
=
−
−
在(1,4) 上
为“凸函数”，则实数m 的取值范围是（ ）
22 / 39
A．(
)
1,
e −
+∞
B．[
)
1,
e −
+∞
C．
4
1 ,
4
e
−
+∞
D．
4
1 ,
4
e
−
+∞
因为
2
( )
ln
2
x
m
f x
e
x
x
x
=
−
−
，
所以
(
)
( )
1 ln
ln
1
x
x
f
x
e
x
mx
e
mx
x
′
=
−
+
−
=
−
−
−，
1
( )
x
f
x
e
m
x
′′
=
−
−
，
因为
2
( )
ln
2
x
m
f x
e
x
x
x
=
−
−
在(1,4) 上为“凸函数”，
所以
1
( )
0
x
f
x
e
m
x
′′
=
−
−
<
对于
(1,4)
x∈
恒成立，
可得
1
x
m
e
x
>
−
对于
(1,4)
x∈
恒成立，
令( )
1
x
g x
e
x
=
−
，则
( )max
m
g x
>
，
因为
( )
2
1
0
x
g
x
e
x
=
+
>
′
，所以( )
1
x
g x
e
x
=
−
在(1,4) 单调递增，
所以( )
( )
4
max
1
4
4
g x
g
e
<
=
−
，
所以
4
1
4
m
e
≥
−
，
【答案】C
考试技巧19 洛必达法则解题技巧
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
( )
lim
0
x
a f x
→
=
及
( )
lim
0
x
a g x
→
=
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
( )
( )
lim
x
a
f
x
l
g
x
→
′
=
′
，
23 / 39
那么
( )
( )
lim
x
a
f x
g x
→
=
( )
( )
lim
x
a
f
x
l
g
x
→
′
=
′
。 0
0
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
( )
lim
x
a f x
→
= ∞及
( )
lim
x
a g x
→
= ∞；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
( )
( )
lim
x
a
f
x
l
g
x
→
′
=
′
，
那么
( )
( )
lim
x
a
f x
g x
→
=
( )
( )
lim
x
a
f
x
l
g
x
→
′
=
′
。 ∞
∞
型
例．（全国高考）已知 ln
1
ln
1
1
x
x
k
x
x
x
x
+
>
+
+
−
恒成立, 求 k 的取值范围
解:
2
ln
1
ln
2 ln
1
1
1
1
x
x
k
x
x
k
x
x
x
x
x
+
>
+
⇔
<
+
+
−
−
记
2
2 ln
( )
1
1
x
x
g x
x
=
+
−
,
则
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 ln
2 1
2
1
1
( )
ln
1
1
1
x
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
′
+
+
−
+
−
=
=
+
+
−
−
( )
2
2
1
ln
1
记
x
h x
x
x
−
=
+
+
则
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
4
( )
0
1
1
x
x
h x
x
x
x
x
′
−
=
−
=
>
+
+
所以,
( )
h x 在 (0,
)
+∞ 单调递增, 且
(1)
0
h
=
所以
(0,1)
x∈
时,
( )
0,
(1,
)
h x
x
<
∈
+∞ 时,
( )
0
h x >
即
( )
g x 在 (0,1) 上单调递减, 在 (1,
)
+∞ 上单调递增
所以
( )
2
1
1
2
1
1
2 ln
lim
lim
1
1
2 ln
2
2ln
lim
1
lim
1
1 1
0
1
2
x
x
x
x
x
x
k
g x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
→
≤
=
+
−
+
=
+ =
+ = −=
−
−
所以
0
k ≤
24 / 39
分析
上式中求
2
1
2 ln
lim
1
1
x
x
x
x
→
+
−
用了洛必达法则 当
1
x →
时, 分子 2 ln
0
x
x →
, 分母
2
1
0
x
−
→
, 符合
0
0
不定形式, 所以
2
1
1
2 ln
2
2ln
lim
lim
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
→
→
+
=
= −
−
−
例．（全国高考）
2
(0,
),
1
0
x
x
e
x
ax
∀∈
+∞
−−
−
恒成立, 求 a 的取值范围
解:
2
2
1
1
0
x
x
e
x
e
x
ax
a
x
−
−
−−
−
⇔
<
记
2
1
( )
xe
x
g x
x
−
−
=
,
则
3
2
2
( )
x
x
xe
e
x
g x
x
′
−
+
+
=
记
( )
2
2
x
x
h x
xe
e
x
=
−
+
+
则
( )
1
x
x
h x
xe
e
′
=
−
+
( )
0
x
h
x
xe
′′
=
>
所以,
( )
h x
′
在 (0,
)
+∞ 单调递增, 所以
( )
(0)
0
h x
h
′
′
>
=
所以,
( )
h x 在 (0,
)
+∞ 单调递增, 所以
( )
(0)
0
h x
h
>
=
即在 (0,
)
+∞ 上
( )
0
g x
′
>
, 所以
( )
g x 在 (0,
)
+∞ 上单调递增
所以
2
0
0
0
0
1
1
1
lim ( )
lim
lim
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
e
x
e
e
a
g x
x
x
→
→
→
→
−
−
−
≤
=
=
=
=
所以
1
2
a ≤
25 / 39
考试技巧20 导数中的极值点偏移问题的解题技巧
例．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
( )
ln
x
f x
x
a
x
x
e −
=
+
−
．
(1)若
( )
0
f x ≥，求a 的取值范围；
(2)证明：若
( )
f x 有两个零点
1
2
,
x x ，则
1
2
1
x x < ．
（2）[方法一]：构造函数
由题知,
( )
f x 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
1
2
1
x
x
要证
1
2
1
x x < ,即证
1
2
1
x
x
<
因为
1
2
1
,
(0,1)
x x ∈
,即证
( )
1
2
1
f x
f
x
>
又因为
( )
(
)
1
2
f x
f x
=
,故只需证
(
)
2
2
1
f x
f
x
>
即证
1
1
ln
ln
0,
(1,
)
x
x
e
x
x
xe
x
x
x
x
−
+
−
−
−
>
∈
+∞
即证
1
1
1
2 ln
0
2
x
x
e
xe
x
x
x
x
−
−
−
−
>
下面证明
1
x > 时，
1
1
1
0,ln
0
2
x
x
e
xe
x
x
x
x
−
>
−
−
<
设
1
1
(
,
)
x
x
e
g
xe
x
x
x =
>
−
，
则
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
( )
1
1
x
x
x
x
x
g x
e
e
xe
e
e
x
x
x
x
x
x
′
=
−
−
+
⋅−
=
−
−
−
1
1
1
1
1
x
x
x
x
e
x
e
e
e
x
x
x
x
−
=
−
−
=
−
设( )
(
)
( )
2
2
1
1
1
1 ,
0
x
x
x
e
x
x
x
x
e
e
x
x
x
x
ϕ
ϕ
−
=
>
=
−
=
>
′
所以( )
( )1
x
e
ϕ
ϕ
>
=
,而
1
x
e
e
<
所以
1
0
x
x
e
e
x −
>
,所以
( )
0
g x
′
>
所以( )
g x 在(1,
)
+∞单调递增
26 / 39
即( )
(1)
0
g x
g
>
=
,所以
1
0
x
x
e
xe
x −
>
令
1
1
( )
ln
,
1
2
h x
x
x
x
x
=
−
−
>
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
(
1)
( )
1
0
2
2
2
x
x
x
h x
x
x
x
x
−
−
−
−
′
=
−
+
=
=
<
所以( )
h x 在(1,
)
+∞单调递减
即( )
(1)
0
h x
h
<
=
,所以
1
1
ln
0
2
x
x
x
−
−
<
；
综上,
1
1
1
2 ln
0
2
x
x
e
xe
x
x
x
x
−
−
−
−
>
,所以
1
2
1
x x < .
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
( )
ln
x
x
e
e
f x
a
x
x
=
+
−
令
1
xe
t
x
=
> ，则
( )
ln
f t
t
t
a
= +
−
，
( )
1
'
1
0
f
t
t
= +
>
所以( )
ln
g t
t
t
a
= +
−
在(
)
1,+∞上单调递增，故( )
0
g t =
只有1 个解
又因为
( )
ln
x
x
e
e
f x
a
x
x
=
+
−
有两个零点
1
2
,
x x ，故
1
2
1
2
x
x
e
e
t
x
x
=
=
两边取对数得：
1
1
2
2
ln
ln
x
x
x
x
−
=
−
，即
1
2
1
2
1
ln
ln
x
x
x
x
−
=
−
又因为
( )
1
2
1
2
1
2
*
ln
ln
x
x
x x
x
x
−
<
−
，故
1
2
1
x x < ，即
1
2
1
x x <
下证
( )
1
2
1
2
1
2
*
ln
ln
x
x
x x
x
x
−
<
−
因为
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
ln
ln
ln
ln
ln
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
−
−
<
⇔
−
<
⇔
<
−
−
不妨设
1
2
1
x
t
x
=
> ，则只需证
1
2lnt
t
t
< −
构造( )
1
2ln
,
1
h t
t
t
t
t
=
−+
> ，则
( )
2
2
2
1
1
'
1
1
0
h t
t
t
t
=
−−
= −
−
<
故( )
1
2ln
h t
t
t
t
=
−+ 在(
)
1,+∞上单调递减
故( )
( )1
0
h t
h
<
=
，即
1
2lnt
t
t
< −得证
27 / 39
考试技巧21 半角公式的应用及解题技巧
sin
α
2E
A＝±
A
1－cos α
2
EA，cosA
α
2E
A＝±
A
1＋cos α
2
EA，tan
α
2＝±
1－cos α
1＋cos α＝
sin α
1＋cos αE
A＝
1－cos α
sin αE
A.
例．（2023·全国·统考高考真题）已知α 为锐角，
1
5
cos
4
α
+
=
，则sin 2
α = （ ）．
A．3
5
8
−
B．1
5
8
−+
C．3
5
4
−
D．1
5
4
−+
【详解】因为
2
1
5
cos
1 2sin 2
4
α
α
+
= −
=
，而α 为锐角，
所以sin 2
α =
1－cos α
2
(
)
2
5
1
3
5
5
1
8
16
4
−
−
−
=
=
=
．
考试技巧22 万能公式的应用及解题技巧
2
2
2
2
2tan
1
tan
2tan
2
2
2
sin
cos
tan
1
tan
1
tan
1
tan
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=
=
=
+
+
−
例．在 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 中, tan
𝐶𝐶
2 = 3tan
𝐴𝐴
2, 则
2
sin𝐴𝐴+
6
sin𝐶𝐶 的最小值为
A. 4 B. 2√5 C. 4√5 D. 16
2
sin𝐴𝐴+
6
sin𝐶𝐶
=
2
2tan 𝐴𝐴
2
1 + tan2 𝐴𝐴
2
+
6
2tan𝐶𝐶
2
1 + tan2 𝐶𝐶
2
28 / 39
=
1 + tan2 𝐴𝐴
2
tan 𝐴𝐴
2
+
3 ቀ1 + tan2 𝐶𝐶
2ቁ
tan 𝐶𝐶
2
=
1
tan𝐴𝐴
2
+ tan 𝐴𝐴
2 +
3
tan 𝐶𝐶
2
+ 3tan𝐶𝐶
2
=
1
tan𝐴𝐴
2
+ tan 𝐴𝐴
2 +
3
3tan𝐴𝐴
2
+ 3 ⋅3tan𝐴𝐴
2
= 10tan𝐴𝐴
2 +
2
tan 𝐴𝐴
2
≥2√20 = 4√5.
最小值为4√5
考试技巧23 正余弦平方差公式的应用及解题技巧
正弦平方差公式: sin2𝐴𝐴−sin2𝐵𝐵= sin(𝐴𝐴+ 𝐵𝐵)sin(𝐴𝐴−𝐵𝐵)
余弦平方差公式: cos2𝐴𝐴−sin2𝐵𝐵= cos(𝐴𝐴+ 𝐵𝐵)cos(𝐴𝐴−𝐵𝐵)
例．已知 sin𝛼𝛼=
1
2 , sin𝛽𝛽=
1
3, 则 sin(𝛼𝛼+ 𝛽𝛽)sin(𝛼𝛼−𝛽𝛽) =________
由已知可得 sin(𝛼𝛼+ 𝛽𝛽)sin(𝛼𝛼−𝛽𝛽) = sin2𝛼𝛼−sin2𝛽𝛽= ቀ
1
2ቁ
2
−ቀ
1
3ቁ
2
=
5
36 .
考试技巧24 三角函数异名伸缩平移的解题技巧
通常用
−
=
2
π
cos
sin
x
x
进行正弦化余弦，用
+
=
2
π
sin
cos
x
x
进行余弦化正弦
例．若要得到函数
( )
π
sin 2
6
f x
x
=
+
的图象，只需将函数( )
π
cos 2
3
g x
x
=
+
的图象（ ）
A．向左平移π
6 个单位长度
B．向右平移π
6 个单位长度
29 / 39
C．向左平移π
3 个单位长度
D．向右平移π
3 个单位长度
我们可以对平移前( )
π
cos 2
3
g x
x
=
+
进行变换，( )
π
π
π
5π
cos 2
=sin 2
sin 2
3
3
2
6
g x
x
x
x
=
+
+
+
=
+
，
从而转化为( )
5π
sin 2
6
g x
x
=
+
( )
π
sin 2
6
f
x
x
→
=
+
？
的变换；
我们同样也对平移后
( )
π
sin 2
6
f
x
x
=
+
进行变换，
( )
π
π
π
π
sin 2
cos 2
cos 2
6
6
2
3
f
x
x
x
x
=
+
=
+
−
=
−
，从而转化为( )
π
cos 2
3
g x
x
=
+
( )
π
cos 2
3
f
x
x
→
=
−
？
的变换，进而求解变换过程
【答案】D
考试技巧25 “爪子定理”的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设D 为ABC
所在平面内一点，且
3
BC
CD
=
，则（ ）
A.
1
4
3
3
AD
AB
AC
= −
+
B.
1
4
3
3
AD
AB
AC
=
−
C.
4
1
3
3
AD
AB
AC
=
+
D.
4
1
3
3
AD
AB
AC
=
−
解析：由图可想到“爪字形图得：
1
3
4
4
AC
AB
AD
=
+
，解得：
1
4
3
3
AD
AB
AC
= −
+
答案：A
A
B
C
D
30 / 39
考试技巧26 系数和（等和线）的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
AP
=λ AB
+ µ AD
，则λ + µ 的最大值为
A．3
B．2
2
C．5
D．2
【系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时， λ
µ
+
最大，此时
3
3,
AF
AB
BE
EF
AB
AB
AB
AB
λ
µ
+
+
+
=
=
=
=
故选 A .
例．边长为2 的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含短点)上运动，P 是圆Q 上
及其内部的动点，设向量
( ,
)
AP
mAB
nAF m n
R
=
+
∈
，则m
n
+
的取值范围是（ ）
(
]
[
]
[
]
[
]
5,3
.
5,2
.
6,5
.
2,1
.
D
C
B
A
分析:如图，设AP
mAB
nAF
=
+
，由等和线结论，
2
2
AG
AB
m
n
AB
AB
+
=
=
=
.此为m
n
+
的最小值；
31 / 39
同理，设AP
mAB
nAF
=
+
，由等和线结论，
5
AH
m
n
AB
+
=
=
.此为m
n
+
的最大值.
综上可知
[2,5]
m
n
+
∈
.
考试技巧27 极化恒等式的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设向量
满足
，
，则
A．1
B．2
C．3
D．5
由极化恒等式可得：
2
2
2
2
(
)
(
)
1
4
4
a
b
a
b
a
b
a
b
a b
+
−
−
+
−
−
⋅
=
=
=
，故选A．
例．（2023·全国·统考高考真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED
⋅
=
（ ）
A．5
B．3
C．2 5
D．5
设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：
2
2
1
3
4
EC ED
EO
DC
⋅
=
−
=
故选：B.
考试技巧28 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
32 / 39
例．（宁夏·高考真题）已知O，N，P 在ABC
∆
所在平面内，且
,
0
OA
OB
OC NA
NB
NC
=
=
+
+
=
，且
•
•
•
PA PB
PB PC
PC PA
=
=
，则点O，N，P 依次是ABC
∆
的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心
B．重心外心内心
C．外心重心垂心
D．外心重心内心
因为OA
OB
OC
=
=
，所以O 到定点, ,
A B C 的距离相等，所以O 为ABC
∆
的外心，由
0
NA
NB
NC
+
+
=
，
则NA
NB
NC
+
= −
，取AB 的中点E ，则
2
NA
NB
NE
CN
+
= −
=
，所以2 NE
CN
=
，所以N 是ABC
∆
的重心；
由
•
•
•
PA PB
PB PC
PC PA
=
=
，得(
)
0
PA
PC
PB
−
⋅
=
，即
0
AC PB
⋅
=
，所以AC
PB
⊥
，同理AB
PC
⊥
，所以
点P 为ABC
∆
的垂心，故选C.
例．（江苏·高考真题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
λ
=
+
+
，
,
[
)
0
λ ∈
+∞，则P 的轨迹一定通过ABC
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【详解】
OP
OA
AP
−
=
，
(
)
|
|
|
|
AB
AC
AP
AB
AC
λ
∴
=
+
令|
|
|
|
AB
AC
AM
AB
AC
+
=
，
则AM
是以A 为始点，向量|
|
AB
AB
与|
|
AC
AC
为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即AM
→在
BAC
∠
的平分线上，
AP
AM
λ
=
，
,
AP AM
∴
共线，
故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，
33 / 39
故选：B
考试技巧29 角平分线定理的应用及解题技巧
角平分线定理
（1）在ABC
∆
中，AD 为
BAC
∠
的角平分线，则有
CD
AC
BD
AB =
（2）
2
cos
2
BAC
b c
AD
b
c
∠
× ×
=
+
（3）
2
AD
AB
AC
BD CD
=
×
−
×
（库斯顿定理）
（4）
ABD
ACD
S
AB
AC
S
=
例．（2023·全国·统考高考真题）在ABC
中，
60 ,
2,
6
BAC
AB
BC
∠
=
°
=
=
，
BAC
∠
的角平分线交BC
于D，则AD = ．
由余弦定理可得，
2
2
2
2 2
cos60
6
b
b
+
−× × ×
=
，因为
0
b >
，解得：
1
3
b = +
，
则
2
cos
2
BAC
b c
AD
b
c
∠
× ×
=
+
计算即可，故答案为：2 ．
考试技巧30 张角定理的应用及解题技巧
张角定理
AD
AC
AB
)
sin(
sin
sin
β
α
α
β
+
=
+
34 / 39
例．如图，已知AD 是ABC
∆
中
BAC
∠
的角平分线，交BC 边于点D .
（1）用正弦定理证明：AB
BD
AC
DC
=
；
（2）若
120
BAC
∠
=
° ，
2
AB =
，
1
AC = ，求AD 的长.
先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD 的长为
．
例．在ABC
中,角、、
A
B
C 所对的边分别为、、
a
b
c ,已知点D 在BC 边上,
2 2
,sin
,
3 2,
3
3
AD
AC
BAC
AB
AD
⊥
∠
=
=
=
,则CD = __________
解：如图
2 2
sin
3
BAC
∠
=
2
1
cos
1 sin
3
BAC
BAC
∴
∠
=
−
∠
=
由张角定理得: sin
sin
sin
BAC
BAD
DAC
AD
AC
AB
∠
∠
∠
=
+
即
2 2
sin
sin
2
3
2
3
3 2
BAC
AC
π
π
∠
−
=
+
35 / 39
2
2
2 2
cos
1
9
3 2
1
2 2
1
3
9
3 2
3 2
3 3
BAC
AC
AC
AC
CD
AD
AC
−
∠
=
+
−
=
+
∴
=
∴
=
+
=
考试技巧31 点对称问题解题技巧
点 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 关于直线 𝐴𝐴𝐴𝐴+ 𝐵𝐵𝐵𝐵+ 𝐶𝐶= 0 的对称点坐标ቀ𝑥𝑥−
2𝐴𝐴(𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐵𝐵𝐵𝐵+𝐶𝐶)
𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
, 𝑦𝑦−
2𝐵𝐵(𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐵𝐵𝐵𝐵+𝐶𝐶)
𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
ቁ
例．点(
)
6, 1
−
关于直线2
4
0
x
y
−
+
=
的对称点的坐标是 ．
直线2
4
0
x
y
−
+
=
中，
4
,1
,2
=
−
=
=
C
B
A
,所以
5
17
2
2
=
+
+
+
B
A
C
By
Ax
，所以
5
38
)
(
2
2
2
−
=
+
+
+
−
B
A
C
By
Ax
A
x
，
5
29
)
(
2
2
2
=
+
+
+
−
B
A
C
By
Ax
B
y
答案为：
38 29
,
5
5
−
.
考试技巧32 圆中的切线问题解题技巧
例．经过点(
)
1,0 且与圆
2
2
4
2
3
0
x
y
x
y
+
−
−
+
=
相切的直线方程为 ．
代入
0
0
0
0
0;
2
2
x
x
y
y
x x
y y
D
E
F
+
+
+
+
+
+
=
求解即可，答案为：
1
0
x
y
+
−=
36 / 39
例．过圆
2
2
1
x
y
+
= 上点
2
2
,
2
2
P
−
的切线方程为 ．
代入
2
0
0
x x
y y
r
+
=
求解即可，答案为：
2
y
x
=
+
例．过点(
)
2,1
P
作圆
2
2
4
x
y
+
=
的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB 方程是 .
过圆外一点(
)
0
0
,
x
y
作圆的两条切线,则切点弦方程为(
)
(
)
2
0
0
(
)
(
)
x
a
x
a
y
b
y
b
r
−
−
+
−
−
=
，代入求解即可
答案为: 2
4
0
x
y
+
−
=
考试技巧33 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧
例．过双曲线
2
2
4
x
y
−
=
的右焦点F 作倾斜角为150°直线，交双曲线于
,
A B两点，求弦长AB ．
由双曲线
2
2
4
x
y
−
=
得
2,
2 2
a
b
c
=
=
=
，又
150
θ =
° 所以
2
2
2
2
2
2 2 4
=
=8
3
cos
4
8
4
ab
AB
a
c
θ
× ×
=
−
−×
．
例．（山东·统考高考真题）斜率为
3 的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于A，B 两点，则AB
= ．
【法一】先求出倾斜角，代入|𝐴𝐴𝐴𝐴| =
2|𝑝𝑝|
sin2𝜃𝜃求解即可
【法二】解得
1
2
1 ,
3
3
x
x
=
=
所以
2
1
2
1
16
|
|
1
|
|
1 3 | 3
|
3
3
AB
k
x
x
=
+
−
=
+ ⋅
−
=
【法三】
100
36
64
0
∆=
−
=
>
设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，则
1
2
10
3
x
x
+
=
,
过
,
A B 分别作准线= 1
x −的垂线，设垂足分别为
,
C D 如图所示.
37 / 39
1
2
|
| |
|
|
| |
|
|
|
1
1
AB
AF
BF
AC
BD
x
x
=
+
=
+
=
+ +
+
1
2
16
+2= 3
x
x
=
+
故答案为：16
3
考试技巧34 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）已知椭圆
2
2
x
a
＋
2
2
y
b
＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A、B 两
点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为
A．
2
45
x ＋
2
36
y ＝1
B．
2
36
x ＋
2
27
y ＝1
C．
2
27
x ＋
2
18
y ＝1
D．
2
18
x ＋
2
9
y ＝1
【法一】kAB.kOM = −
b2
a2，解得b2
a2=
1
2，因为c=3，所以
2
2
9,
18
b
a
=
=
.
例．（重庆·高考真题）直线l 与圆
2
2
2
4
0(
3)
+
+
−
+
=
<
x
y
x
y
a
a
相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，
则直线l 的方程为 ．
【答案】
1
0
x
y
−
+ =
.
【详解】设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO的斜率为
op
k
，
2 1
1 0
op
k
−
= −−
则l
PO
⊥
，所以k
( 1)
1
1
op
k
k
k
⋅
=
⋅−
= −∴
= 由点斜式得
1
y
x
=
+ ．
例．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
( 7,0)
F
，直线
1
y
x
=
−与其相交于M ，N 两
点，若MN 中点的横坐标为
2
3
−
，则此双曲线的方程是
38 / 39
A．
2
2
1
3
4
x
y
−
=
B．
2
2
1
4
3
x
y
−
=
C．
2
2
1
5
2
x
y
−
=
D．
2
2
1
2
5
x
y
−
=
【答案】D
【分析】根据点差法得
2
2
2
5
a
b
=
，再根据焦点坐标得
2
2
7
a
b
+
=
，解方程组得
2
2
a =
，
2
5
b =
，即得结果.
【详解】设双曲线的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
>
>
，由题意可得
2
2
7
a
b
+
=
，设
(
)
1
1
,
M x y
，(
)
2
2
,
N x
y
，则MN
的中点为
2
5
,
3
3
−
−
，由
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
−
= 且
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
−
= ，得(
)(
)
1
2
1
2
2
x
x
x
x
a
+
−
= (
)(
)
1
2
1
2
2
y
y
y
y
b
+
−
，
2
2
2
3
a
× −
=
（
）
2
5
2
3
b
× −
（
），即
2
2
2
5
a
b
=
，联立
2
2
7
a
b
+
=
，解得
2
2
a =
，
2
5
b =
，故所求双曲线的方程为
2
2
1
2
5
x
y
−
= ．故选D．
考试技巧35 复数的模长及最值的应用及解题技巧
例（全国高考）设
3
i
1
2i
z
−
= +
，则z =
A．2
B．3
C．
2
D．1
i
i
z
2
1
3
+
−
=
2
5
10
2
1
3
2
1
3
=
=
+
−
=
+
−
=
∴
i
i
i
i
z
【答案】C
例．已知z 满足
5 12
3
z
i
+ −
=
.则z 的最大值是（ ）
A．3
B．10
C．20
D．16
【答案】D
【详解】
5 12
3
z
i
z
+ −
=
⇒
对应的点在以(
)
5,12
−
为圆心，3 为半径的圆上，
2
2
max
5
12
3
16
z
=
+
+
=
因此
.
故答案为D
39 / 39
考试技巧36 柯西不等式的应用及解题技巧
例．函数
( )
2
2
4
4
5
f x
x
x
x
=
+
+
−
+
的最小值为 ．
【答案】13
【详解】注意到，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
c
d
a
c
b
d
+
+
+
≥
+
+
+
．
则
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
5
2
2
1
2
3
13
f x
x
x
x
x
x
=
+
+
−
+
=
+
+
−
+
≥
+
=
．
例．已知x，y，z 满足
1
x
y
z
+
+
= ，则
2
2
2
4
9
x
y
z
+
+
的最小值为 .
【答案】36
49
【详解】因为
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
3
2
3
x
y
z
x
y
z
+
+
⋅
+
+
≥
+
+
,
即
(
)
2
2
2
2
2
2
49
36
4
9
1
4
9
36
49
x
y
z
x
y
z
⋅
+
+
≥⇒
+
+
≥
,
所以
2
2
2
4
9
x
y
z
+
+
最小值为36
49 ，当且仅当
4
9
x
y
z
时取等号.
故答案为：36
49 .
