🌈
⾼三冲刺笔记-数列（⼀）
考点归纳：等差数列
⼀、等差数列
i. 定义
: 后⼀项
前⼀项
⼆常数
eg.ci
- i d
ˇ
ˇ
a灬
-
a n
= d
1 制为以à , 为⾸项, d 为公差的等差数列
注: 将cnn.cn 看为⼀个整体理解
。
2 . 通项:
1 1 ) an-a.tl n - 1 )
. d
(2 ) Gn-amtln-mj.cl
3. 等差中项: 着⼒.AM 成等差数列, 则2A ⼆州
4 下标和性质
: 差mn :P+9
, 则
amtan-aptaqg.at
G = 92 -
1 9 6 = 9 4
-1 94
= 2 94
5. 前n 项和
⼩sn =
( a , + a n ) n
2
(2) sina.tzn-D.cl
(3) Sn = n a-
( n 为奇,仅限等差数列中)
绮
=
an
6
. 前⼏项和奇偶性ii) 当项数为偶数" 时, 偶
⼀倚
= nd
; 偶
u.cz
, 当项数为奇数2n
- 1 时
, 倚-5偶
⼆anj 绮
:
"
偶
n - 1
7. 前顺和部分差性质
: 差1a} 为等差,
则Sn.Szn-Sn.Sn-Szn.S4n-S.sn
… 也成等差
v
v
v
I
d
h
d
h
d
b 4
-
注: 将sn.sn Sn
- 看成整体, 看成新的数列的每⼀项
。
8
,
若等差数列{a} , { b n } 前⼏项和为Sn.in
,
且
臭
: 扣
, 则
:
an
bn
:
反以1
Tm
= f (2n_n
📍
题型训练：基本量计算
📍
题型训练：下标和性质
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：Sn下标差性质
📍
题型训练：Sn最值
c
🌶🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（⼆）
考点归纳：等⽐数列
⼀、等⽐数列
1 . 定义:
后⼀项
前项
⼆常数
, 您
= q
注: 将an-n.cn看成整体
。
eg
Gn+12
"
anzm
= 2
) { a n
. 2
" '} 为以a . 2
0 为⾸项
, 9 = 2 的等⽐数列
。
2
. 通项ii) Gnaaiqn
-1
(2)
a n = amqmm
3. 等⽐中项
: 差X
, G
, ㄚ成等⽐数列
, 则的X Y
G
= ± XY
4
。下标和性质
: 差mtn :P+9
则
am-an-ap.aqegaaia.cn
= 9 4
. 94
= ai
n a .
, 9=
1
5
, 前n 项和
i
s n =
1
⾸项
颂数
:
1 →n
i
n 项
a.ci
_ qn )
0 →n
i
n -1
1 项
1 -q
,
9 ≠1
0 →n - 1
: n项
g ;
2
0
+ 24 2
2
+ - +2mi
"项
=
2
0[ 1
- 2
"]
1 - 2
= 2
0[ 2
"
- 1]
= 2 ⼏1
giitft.tt
n -1 项
= 出[ 1
- 4的
⼈。
如
⼀𡶐i-3.in ,
6. 前顺和性质
: 着倒为等⽐数列
则Sn
, Szn-Sn.S3n-Szn.hn
- Sn
-
-
。为等
⽐⽅
,
q
后
q
5
3
q I
,
📍
题型训练：基本量计算
🌶
🌶
C
解, 由题
嵓
: 李
ana.ci
-2
⼆⻰
ii.(i)呸出
> (i) 以⻰
次= 7
A
解
: 56
- 54 = 951 06
: acqtq
2
)
=
9
-1 9
2
= f
s
( 3 9
-1 4) ( 3 9
- 1 ) = 0
.iq> 。
>
q
= j
> a a
. 9
3
= i
解
; 由题
(azta.iq:40
即2 09 = 4o.iq:2
D
解, 由题atG.qia.tk )
= 80
7
9
2
: 4
7 95 t a6
= 9
2
(a ta) = 320
C
解:
由题以a.tzazsa.qia.tzaqsq.it 没,
Gootaoi
921998
-1 999 )
998 tdqq
⼆
aqztaqq
=
3 + 202
D
Qzollt 92012
解由题0539、+2以
7
9
2
- 2 9
- 3 = o
> q = 3 iazooq.cn,
⼆àa" 垢"
920。9th。⻔
= 9
13
解
: 由题
/
G ( 1 - 9
3 )
1 - q
= j
i
s i
;
G 1 1 -9
3)
1 - q
x
⼈9
a. ( 1 - 9
6 )
a , ( 1 -9
6 )
⼆Ì ㄨ-
1
- q
= f
z
i
1 - 9
3
1 - 9
3
1 - 9
6
⼆⼗
⼋ci-qyutqy-fi.CZ
i.GE#.iag=a,-q7=fxz7=fx128=32
🌶
📍
题型训练：下标和性质
🌶
🌶
🌶
)
、
🌶
📍
题型训练：下标差性质
🌶
B
解
: 由题
:
55
,
51 0
- 55
.
515
- 510
成等⽐
3 0
%
9=2
元
9 :2
%
A
解: 由题
: Sn.Szn-Sn.sn
- Szn
府
占
6 3 ;
6 0
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（三）
考点归纳：数列通项（⼀）-累加法、累乘法
- 累加法:
冷n 的式⼦
"
1、
anti-an.fm )
( n E 11⽶)
推导
:
m
a
- G = f( 1 )
,
"左边相加相消
, 右边相加求和
"
⼏汉
Q3-ai.fm
nna4-a.fm/
an-aifntfmt-tfmlimnan.am
⼆扣" )
, aifcntfmt.it fn) t a '
i
'
含⼏的式⼦
"
2
antl-an.fm)
(以2 )
推导
:
收
a3-ai.fm
,
"左边相加相消
, 右边相加求和
"
N3
94
- 93
=f(3)
mta5-a.fm/
an-aifntfmt-tfmlimn-IQn.am
=f m)
> a : fcntfmt.it fcn) t a
注:
1
茬加) 是并于⼏的
⼀次函数
, 累加后可转化为等差数列求和。
> egantian.nl
2
若加) 是并于⼏的⼆次函数
, 累加后可分组求和。
> egiantian.im
3
若加) 是关于n 的指数函数
, 累加后可转化为等⽐数列求和。
7 eg.am
- a : 5
个茬加) 是并于⼏的分式函数
, 累加后可转化为裂项求和。
> eg.am
- a: 品
⼆
, 累乘法
, 含⼏的式⼦
"
1.
Qntlan.fm )
( n E ⼉⽶1
92
推导
: ma.tn
,
"
左边相乘相消, 右边相乘求积
"
以
93
a
=抝
a
a
a
a
a
ㄨ
a
ㄨ
a 3
X …
on-fnxfmxxfcn.in
:3
94
⼨13)
a
,
an
i
a
=
fcnxfmx.n.xfcn-yirnGan.hn
>
aiaxfcnxfmx-xfmyi-sn.Szn-Sn.sn
📍
题型训练：累加法
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：累乘法
🌶
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（四）
考点归纳：数列通项（⼆）找规律、周期性
📍
题型训练：利⽤周期性求特定项
🌶
⼀、数列的周期性:
1
. ⼀般地, 若数列{a} 满⾜
, 存在⼀个最⼩的正整数T ,
使得Qnian 对⼀切正整数⼏都成⽴,
则数列{a} 称为周期数列
, 其中ī 叫数列{a} 周期。
主要⽅法
:
通过递推公式求出数列的前⼏项观察得到或由递推公式发现规律。
🌶
🌶
🌶🌶
📍
题型训练：利⽤周期性求和
🌶
1 9 9
解:
由题
amanan-Qn.it Qntann
作美
aridntilarn-amkdrntln-lidn.am#liUrn-Gm:07Qnt3=Qn-'GQ2Q
3
: aitataai-l.a-2.idi3.is 1 00 = 33 X ( H 2+ 3 ) + 1 = 199
40 4个
解: 同上题
" S 2022
=
67 4 X ( H2-1 3)
= 4 0 4个
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（五）
考点归纳：数列通项（三）待定系数法
⼀
.
待定系数法
:
> 常数
, 常数
1.
常数型
:
适⽤于QM
⼆
⼊Qntc
> egiàizant3
⽅法:
1
变形
7
Qmtx
⼆
⼊(a t X )
2
解x
> 全⼊x_x =
C
得
⽔前
( 不写出来
, 算出x 代⼊
1 )
3 构造
,
antxantxI.la哘为从G.tk 为⾸项
, ⼊为公仆的等从数列。
4
求解
>
antx.laix)
。⼊
" '
> aicatxi.MX
,
> egiantk2Gnt3.am
求Qn
,
解题模版:
解: 由题
Qrnt 3 = 2 ( a
-
1 3 )
"
(⽗2x_x : 3
> x : 3 )
"
… …
…
…
…
1
变形
i.AM ⽵
、
_
_
_
_
…
2
构造
Qntj
=2
i 化叶⾏为从G.+3=4 为⾸项
, 对公仆的等处数列
i a
-13 = 4 2"
⼆进
… …
3
求解
,
i G: 2
"'
- 3
2
、指数型
:
适⽤于antnnantqnln.lt , 为常数)
⽅法
1
同除qM.ch
qm
⼆!
n_n
t f
a+1
2
构造bn
⼆!
, bnqn
:
> bn-i.hn tā 1
塑= 1
>
{ 的为等差
当䟖
)
待定系数常数型,
> eg.am:2antiai-l.tn
解题模版
:
解: 由题
ai
aan
an
,
对
⼆
2mi
t Ì
=
2
n
t I
-
…
…
-
1
同除
⽗bn :
Gn
2
构造
…
… …
znibn-bnii.it bn 了为以b以为⾸项
, ⽂为公差的等差数列
ibniitcn-n.i-iiaibn.i-z.sn
=
n
. 2
""
题型训练：待定系数法-常数型
🌶
i次函数
"
了
,
⼀次型:
适⽤于Qmi :DQnt
kntb
⽅法
7
1
变形idntx.CM ) + y
= n (antxnty )
>
2 解
x.yiantxntxtymantMntManti-nantnxn-xntny-x.mg
Qri Mnt (ix) nt (⼋)yx
>
3 构造
:
arntxcntlltyantxnty-x.la
ntxnty } 为从9, ⼗州为⾸项, ⼊为公⼭的等从数列
o.iQntxntyi@txtyl.M
>
aica.txtyj-i-xn-y.seg.at
3h
+2m
, a ,
⼆个
求Qn
解题模版:
解:
⽗
antxcntljty-3cantxntyj.it
变形
化简
:
am
= 3
antzxnt2y-x.it
2⼼2
> {
⽕'
y = ,
⼀
、-.-
2 解
x.y2y-x-liantltlntlJ-3CGntnl.io
m t
(叶1 )
= 3
.
-.- -3
构造
a t n
i { ant n } 为以a.tl:5 为⾸坹
, 3 为公⽐的等从数列
,
iantn : 5
. 3" '
s
dn
=
5 了"
- n
.
📍
题型训练：待定系数法-指数型
🌶
题型训练：待定系数法-⼀次型
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（六）
考点归纳：数列通项（四）对数法、倒数法
⼀
、倒数变换法
:
qan
类型
1
:
形如
QntipantqCP.ae为常数
, P9.to )
的数列
,
1
1
通过对两边取
"倒
"
, 变形为
ari
⼆à tq
, 即
cn
- a
= i
从⽽构造出新的等差数列
{ a
'
n 了
,
先求出趁个通项,
从⽽求得出了。
类型2 :
形如
: arikdnpa.iq
( P , 9 为常数
, 阡0,9和
,
kto , )
的数列
,
1
9
1
p
通过对两边取
"倒
"
, 变形为
am
T an
t
K
,
可通过换元
, bniā
化为bniibntk.fi
i
= 1
7 Ibn} 为等差数列
, 求出{ bn} 通项,
> 求出{ a} 。
2 是≠
1
>
待定系数法求出( b n} 通项,
7 求出{ anb
类型3
:
形如arntpaniqann.hn
( P .
9 为常数
, P 9≠0 )
, 通过
⽹边同除以Qntian
得aitpai.iq
1
若
P - 1
, 则构成以
⾸项为à
, 公差为-9 的等差数列{ àn
了
, 求出ai
, 进⽽求an。
2
若
阡
- 1
,
转化为待定系数法求通项的类型。
⼆对数法:
1
. 形如
Qri Pa
"
( P7 0 ) 型的数列通项公式求法
1
若
队1
,
则等式两边取常⽤对数或⾃然对数
, 化为
: lgdiqban.HN/gQn=q.
得到⾸项为1gal
,
公⼼为9 的等从数列{ lgan}
,
> ban-lga.ci
saia.ci
2
若
阩
,
则等式两边取以P 为底对数
, 化为
: bgpariqbg.tn
+1
的形式
,
可通过换元
: br.bg!
化为
brnqbntl
, 再⽤待定系数法求解。
.
📍
题型训练：倒数变换法
🌶🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：对数法
🌶
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（七）
考点归纳：数列通项（五）an与Sn关系
题型训练：an与Sn关系求通项
🌶
⼀、
an 与Sn 关系求通项
:
⽅法:
"
三步⾛
"
1
求出a.
. a
'
,
"
2
求以2时
an 或
Um 与Un 的关系式;
>
a: Sn-5mi
3
检验a. 是否符合
2
所求出的a 或关系式,
或aniSnti-S.ru
"
若符合
, 则直接求出a , 若不符合
, 则为分段形式
, aYG.nl
a.
"
, rn 或an.la
, 叫
atcn-21.d.mn?egil
,
4
.
8
.
1 6
.
3 2
-.-
9=2
9:2
9: 2
.
解:
1
M 时iai-l.GE4,1 也写出来, ⽅便检验了
2
M, 2时
:
dm
an
= 2
3
检验:
您
⼆个
⼆千
不符合憇
:
2.im/
2时{ a}为以92 :4为⾸坏, 2 为公以的等从数列
,
i
0喉管! i.in
䑫
1
⼏⼆1时
Q, = S , = 2 (a
-
1)
> a. =2 ,
且a = 4
.
⼋
2
M 2时
Sn ⼆2dm -2
5nF2dm 2
作美
an-an-2.ch
即
an
,
当得到的是关系式时
, 在
1 求出a. ⽅便检验与求a
a. 1
:
2
3
检验
; i a
an
a
= 告汉
, 符合
a.,
=2
.
i {a}为从2为⾸项,
⼜为公⽐的等从数列
, i
a= 2 2M
= 2
⼏
,
🌶
🌶
解:
I
n: 1时
a. ⼆主
且
at252.S.io?Gztata=o7Gz=.7.
2
m2时
iai-Sn-S.in 代⼊原式
7 Sn-Sn-itz.sn Sn.no
即j-si-2.cm,刘
⼼
之⼀我
: 2
.
符合上式
。
i 郔为上⼈i
= 2为⾸坹
、对公差的等差数列
,
- i t
= 2t (m) X 2
= 2M
1
- 1
i.sn: I
i
a : Sn-Smizn-z.cm )
⼆zncn.is
3
检验⼼
⾮1时
代⼊9min
不存在
i 不符
。
" anyi.in
,
"
双(m)
, 以2
.
解:
1
N 1时
a. = 51 = 2
.
2
⼏≥2时
Sn-3I-2MSn.li
3cm)
2
- 2(n
- 1 ) + 1
作美
Un :
3 1
2
- 2n
- [ 3 (im + 1 )
- 2(n- 1 )]
即
以6n
. 5
-
>
当
⼜直接得到an时
, 代⼊G, 即可检验, ⽆需求a.
3
检验: a:
1
, 不符合
i
an : {
2 .
n = 1
6 n
- 5 ,
以2
,
解
1
k 1时
451 = 40 1 = a.4 29 . 3
7 a = 3
. 且92 = 5
.
2
顺时
4Sn-aitzan-34Sn.li
ait 2dm -3
作美4amaitzan-ai-z.am
即
lan.am ) (antam ) : 2 ( Gntdm )
,
a.am
:2
.
3
检验:
ia.ch:2
符合
上式
i {a}为从
3 为⾸项
, 2为公差的等差数列
。
i. Gni 2M
,
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（⼋）
考点归纳：数列通项（六）数学归纳法
📍
题型训练：数学归纳法求通项
🌶
⼀
、数学归纳法
1
、定义:
⼀般地,
当要证明⼀个命题对于
不⼩于某正整数中的所有正整数⼏都成⽴时
, 可以⽤
以下步骤进⾏
:
2 、步骤:
I
证明当⼏取第⼀个值n.cn。E 12⽶)
时命题成⽴;
2
以当kklkano.lt/谜) 时命题成⽴为条件
, 推出当rkkt1时命题也成⽴,
可
得证。
解:
( 1)
:
- i a : 1
,
Qntk 2Qn -3⼏⼗5
> a
= 4 ,
93 = 7
.
94=
10
由a . a a3
04 猜想a: 31 -2
cnc.tl
(2) 证明:
1
当⽔1时
, a = 3 X 1
- 2 = 1
成⽴
2 假设当mkckn.la/2⽶)
猜想成⽴
,
即9k :
3K
- 2 .
则当kkt1时
7dm : 2纵
-3kt5=2×(31<-2)
-3kt5 -3kt
即9kt 31kt 1 )
-2
-致
即当叫《1 , 猜想成⽴
,
.int/l,an=3n-2 成交。
解:
(i).
Qri2antl.GE 1
.
7
92 = 3 .
93 = 7
.
94 = 15
⼀
解⼼
,
在Qnt 3 5n = 3 中
,
⽗以1
7 G 、⼆条
;
⽗⾮3
7
93 ⼆动
⽗以2
7 92 = i
⽗⽔4
7
94 ⼆应
猜想an:)
(2) 证明
1
当n =
1
.
a =f
3
2
作⽂这Fk
。
Qk ⼆
千
"
当mktl
:
' Gkt 35k = 3
3
i.
3.35k :
Qk ⼆⼼
" Qm +35kt1
= 3
3
.
"
Qktl
⼆千( 3
- 35 k)
⼆本Qk ⼆4M
即9mi
解
:
( 1)
a =
1
,
Srin2.am
当⾮2
) G = 书
当⾮3
7
93 中
当⽔4
7
94⼆点
2.iar.MN
(2)
之正
,
当
n = 1
.
G ,
=
1
2
2
当rkk.dk?KCkt1)
当n = 14 1
9灬
=
K
2
2
kt2.dk
⼆
点2
X
K (M)
=
(㖄(M2)
i
当⾮从1 1
.
结论也成⽴
,
iar.ru的
。
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（九）
考点归纳：数列通项（七）和式作差求通项
📍
题型训练：和式作差求通项
⼀、和式作美递推求通项
.
1
. 适⽤
: 斯bnan.sn 型
eg.at 2Gt
393 t.it
nan : 2
"
2
、⽅法:
1
求
⼏
⼆1时
a.
;
2
根据原式斯bnan.sn
写出
算bnia.im
(以2 )
3
作美得an 并检脸a. 符不符合an
, 若符合,
an 即为所求
, 若不符合
,
则为分段形式
。
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（⼗）
考点归纳：等差等⽐数列证明
⼀、等差等处证明:
1
.
等差定义证明
:
后抓
⼀前⼀项: 常数
v
v
an-n.cn
: d
>
"
代表后项和前项的符号
。重点理解背后的含义
"
egidnzn.am
2
灬
= 2
>
{ 剘为以其为⾸项
,
⼜为公差的等差数列
、
后项
前⼀项
1
1
1
eg.cn
-
an
= 2
)
{ d } 为以a, 为⾸项
,
⼜为公差的等差数列
,
a
a
a
a
实际背景:
a : iii.in
> 本身{a} 即不是等美
, 也⾮等处;
1
a
i
2
4
6
-
…
2⼏
> 颠倒后为⾸还为2
. 公差为⼈的等差数列
,
2
. 等以定义证明
:
后⼀项
前环
⼆常数
eg.Qmzna.in:2?lanzi 了为以G , 2
0 为⾸坹,
⼜为公⼼的等从数列
,
eg :
Unti
+1
a
+ 1
: 2
)
{ a +1 } 为从G.tl 为⾸坹
,
对公⽐的等外数列
。
a.
a.cn
a.
⼀、
an
实际背景
Qn :
1
3
7
1 5
2
- 1
) 本身{a} ⾮等差等从
a t 1
2
4
8
1 6
2
"
7 每项加1 后为等以数列
。
⼆
、⽅法指引
:
以靛系数, 求倒等
"
1
若题⼲给出的式⼦符合常⻅求通项的类型, 则根据⽅法变形证明。
2
若题⼲给出的式⼦不符合常⻅求通项的类型, 则写出题意需要的后项与前项
的关系式
, 进⾏加减乘除颠倒的变化, 得出题意所需的关系过。
📍
题型训练：等差等⽐证明
,
