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限时练1
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 江苏泰州二模)已知集合U={x|0≤x≤5,x∈N},集合A={1,2,3},集合B={1,5},则
A∩(∁UB)=( )
A.{2,3}
B.{2,4}
C.{0,4}
D.{3,5}
2.(2025 河北邯郸高三模拟)在复平面内,O 为原点,向量⃗OA对应的复数为-3-7i,若点A 关
于实轴的对称点为B,则向量⃗OB对应的复数为( )
A.7+3i
B.3+7i
C.3-7i
D.-3+7i
3.(2025 山西晋中三模)已知{an}是公差为1 的等差数列,Sn是其前n 项和,若S6=S9,则a9=(
)
A.1
B.2
C.-2
D.-5
4.(2025 河北秦皇岛三模)甲、乙、丙三人排成一排,则甲不在排头,且乙或丙在排尾的概
率是( )
A.1
6
B.1
3
C.1
2
D.2
3
5.(2025 湖南岳阳二模)已知非零向量a,b,若|a|=√2|b|,且(a+b)⊥(a-2b),则a 与b 的夹角为
( )
A.π
4
B.π
6
C.π
3
D.π
2
6.(2025 北京东城二模)马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的
前提下,某飞行器的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg)、飞行器(除燃料外)
的质量m(单位:kg)的函数关系是v=2 900ln(1+ M
m
).已知当该飞行器所处高空的音速为
2
290 m/s,最大速度对应的马赫数分别为8 和13 时,燃料的质量分别为M1和M2,则下列结
论一定正确的是( )
A. M 2
M 1
=√e
B. M 2
M 1
=e
C.m+ M 2
m+ M 1
=√e
D.m+ M 2
m+ M 1
=e
7.(2025 山东滨州二模)已知椭圆C: x
2
16 + y
2
12
=1 和圆A:x2-2x+y2=0,P,Q 分别为椭圆C 和圆
A 上的动点,若F 为椭圆C 的左焦点,则|PQ|+|PF|的最小值为( )
A.6
B.5
C.9
D.8
8.(2025 江苏南京一模)已知函数f(x)=
1
a
2 x+1
-ax3,a>1,则关于x 的不等式f(x2)+f(5x-6)>1
的解集是( )
A.(-6,1)
B.(2,3)
C.(-∞,1)
D.(2,+∞)
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 福建厦门三模)甲、乙两名篮球运动员连续5 场比赛的得分如图所示,则( )
甲、乙得分折线图
A.甲得分的极差大于乙得分的极差
B.甲得分的平均数大于乙得分的平均数
C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
3
10.(2025 山东青岛、淄博二模)记Sn为数列{an}的前n 项和,已知an={
2
n,n为奇数,
n
2 +1,n为偶数,则(
)
A.2 025 是数列{an}中的项
B.数列{a2n-1}是公比为2 的等比数列
C.S6=51
D.若cn=a2n,则数列{
1
cncn+1
}的前n 项和小于1
2
11.(2025 福建宁德三模)设函数f(x)=(1
x
+a)ln(1+x)+1(a∈R),则( )
A.当a=1 时,f(x)没有零点
B.当a<0 时,f(x)在区间(0,+∞)上不存在极值
C.存在实数a,使得曲线y=f(1
x
)为轴对称图形
D.存在实数a,使得曲线y=f(1
x
)为中心对称图形
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2025 湖南沅澧共同体模拟)已知双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线与x 轴的夹角
为π
3
,则该双曲线的离心率为 .
13.(2025 山东聊城二模)函数f(x)=sin(ωx+π
3
),其中ω>0,若∃x1,x2∈[0,π](x1≠x2),使得
f(x1)+f(x2)=2,则ω 的取值范围为 .
14.(2025 湖北武汉二模)在各棱长均相等的正四面体PABC 中,取棱PC 上一点T,使
PT=2TC,连接TA,TB,三棱锥T-PAB 的内切球的球心为M,三棱锥T-ABC 的内切球的球心
为N,则平面MAB 与平面NAB 的夹角的正弦值是 .
4
答案：
1.A 解析 根据题意,U={0,1,2,3,4,5},则∁UB={0,2,3,4},所以A∩(∁UB)={2,3}.故选A.
2.D 解析 依题意,A(-3,-7),则点B(-3,7),所以向量⃗OB对应的复数为-3+7i.故选D.
3.A 解析 因为S6=S9,所以S9-S6=a7+a8+a9=0.由等差数列的性质得3a8=0,所以a8=0,所
以a9=a8+1=1.故选A.
4.B 解析 甲、乙、丙三人排成一排,共A3
3=6 种情况,符合题意的有丙、甲、乙或乙、
甲、丙2 种情况,故概率为2
6 = 1
3 .故选B.
5.D 解析 由(a+b)⊥(a-2b),得(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=0,
则2|b|2-√2|b||b|cos<a,b>-2|b|2=0,故cos<a,b>=0.
由于<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π
2 .故选D.
6.C 解析 当马赫数为8 时,速度v1=8×290=2 900ln(1+ M 1
m
),解得1+ M 1
m =e
4
5,即
m+ M 1
m
=e
4
5 , M 1
m =e
4
5-1.当马赫数为13 时,速度v2=13×290=2 900ln(1+ M 2
m
),解得1+
M 2
m =e
13
10,即m+ M 2
m
=e
13
10 , M 2
m =e
13
10-1.故M 2
M 1
= e
13
10 -1
e
4
5 -1
, m+ M 2
m+ M 1
= e
13
10
e
4
5
=e
1
2 =√e.故选C.
7.A 解析 易知椭圆C: x
2
16 + y
2
12
=1 中,a=4,c=2,得F(-2,0),F'(2,0).又圆A:x2-2x+y2=0 的圆
心为A(1,0),半径r=1,易知椭圆右焦点F'在圆A 上,如图.
椭圆上一点P 到圆A 上任意一点Q 的最小距离为|PQ|=|PA|-r=|PA|-1,
因此可将|PQ|+|PF|的最小值转化为求|PA|+|PF|-1 的最小值.
由椭圆定义可得|PA|+|PF|-1=|PA|+2a-|PF'|-1=|PA|-|PF'|+7≥-|AF'|+7=6,
此时点P 在(-4,0)处,即|PQ|+|PF|的最小值为6.
8.A 解析 由1-f(-x)=1-
1
a
-2 x+1
+a(-x)3=1- a
2 x
1+a
2 x-ax3=
1
a
2 x+1
-ax3=f(x),则1-f(5x-6)=f(6-5x).
5
由a>1,则函数y=a2x在R 上单调递增,故函数f(x)在R 上单调递减.
由f(x2)+f(5x-6)>1,则f(x2)>1-f(5x-6),即f(x2)>f(6-5x),可得x2<6-5x,解得-6<x<1.故选A.
9.BC 解析 由题图可知,甲5 场比赛得分由低到高分别为15,16,18,21,30,乙5 场比赛得
分由低到高分别为4,10,16,22,38,则甲得分的极差为30-15=15,乙得分的极差为38-4=34,
故甲得分的极差小于乙得分的极差,故A 错误;甲得分的平均数为15+16+18+21+30
5
=20,乙得分的平均数为4+10+16+22+38
5
=18,则甲得分的平均数大于乙得分的平均数,
故B 正确;甲得分的中位数为18,乙得分的中位数为16,则甲得分的中位数大于乙得分的
中位数,故C 正确;甲得分的方差为1
5 ×[(15-20)2+(16-20)2+(18-20)2+(21-20)2+(30-
20)2]=29.2,乙得分的方差为1
5 ×[(4-18)2+(10-18)2+(16-18)2+(22-18)2+(38-18)2]=136,故甲
得分的方差小于乙得分的方差,故D 错误.故选BC.
10.ACD 解析 当n 为偶数时,令n
2
+1=2 025,得n=4 048,符合题意,故A 正确;由题知,
a2n-1=22n-1,a2n+1=22n+1,则a2n+1
a2n-1
=4,故数列{a2n-1}是公比为4 的等比数列,故B 错误;由题知,
a1=2,a2=2,a3=8,a4=3,a5=32,a6=4,所以S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=51,故C 正确;因为cn=a2n=
2n
2
+1=n+1,所以
1
cncn+1
=
1
(n+1)(n+2) =
1
n+1 -
1
n+2 .设数列{
1
cncn+1
}的前n 项和为Tn,则
Tn=1
2 - 1
3 + 1
3 - 1
4
+…+ 1
n+1 -
1
n+2 = 1
2 -
1
n+2 < 1
2
,故D 正确.故选ACD.
11.ABC 解析 对于A,函数f(x)的定义域为{x|x>-1 且x≠0}.由(1
x
+1)ln(x+1)+1=0,得
ln(x+1)=- x
1+ x
(x>-1 且x≠0).作出y=ln(x+1)与y=- x
1+ x
的图象,由图可知,两函数图象无交
点,故f(x)没有零点,故A 正确;
6
对于B,由题知,f'(x)=- 1
x
2ln(1+x)+(1
x
+a) 1
1+ x
=- 1
x
2ln(1+x)+ 1+ax
x(1+ x )
=- 1
x
2[ln(1+x)-
x(1+ax )
1+ x
].
令g(x)=ln(1+x)- x(1+ax )
1+ x
,则g'(x)=-2ax -a x
2+ x
(1+ x )
2
.因为a<0,x>0,所以g'(x)>0.
又g(0)=0,所以g(x)>0,所以f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)上无极值,故B 正确;对于C,D,令
h(x)=f(1
x
)=(x+a)ln1+ x
x
+1,因为1+1
x
>0,所以x>0 或x<-1.由对称性可知,若存在对称轴或
对称中心,则必在直线x=-1
2
上.h(x)-h(-x-1)=[(x+a)ln1+ x
x
+1]-[(-x-1+a)ln x
1+ x
+1]=(x+a)ln
1+ x
x
-(x+1-a)ln1+ x
x
=(2a-1)ln1+ x
x
,当a=1
2
时,h(x)=h(-x-1),所以y=f(1
x
)的图象关于直线
x=-1
2
对称,故C 正确;h(x)+h(-x-1)=(x+a)ln1+ x
x
+(x+1-a)ln1+ x
x
+2=(2x+1)ln1+ x
x
+2,所以
不存在符合题意的常数a,故D 错误.故选ABC.
12.2 解析 根据渐近线的倾斜角为π
3
,
可得b
a=tanπ
3 =√3,所以c
a =√1+( b
a )
2=√1+(√3)
2=2.
13.[13
6
,+∞) 解析 因为ω>0,所以当x∈[0,π]时,ωx+π
3 ∈[π
3
,πω+π
3
].又∃x1,x2∈[0,π]
(x1≠x2),使得f(x1)+f(x2)=2,且-1≤f(x)≤1,所以∃x1,x2∈[0,π](x1≠x2),使得f(x1)=f(x2)=1,则πω+
π
3 ≥5 π
2
,解得ω≥13
6 .
14. √3
3
解析 设三棱锥T-PAB 的内切球分别与平面PAB,平面TAB 相切于D,E 两点,易
知DP 平分∠APB,ET 平分∠ATB.
7
因为PA=PB,TA=TB,取AB 中点为Q,则M 在∠PQT 的平分线上.同理,三棱锥T-PAB 的内
切球球心N 在∠TQC 的平分线上.因为PQ⊥AB,CQ⊥AB,PQ∩CQ=Q,PQ,CQ⊂平面PQC,
所以AB⊥平面PQC.又MQ⊂平面PQC,NQ⊂平面PQC,所以MQ⊥AB,NQ⊥AB,故
∠MQN 为平面MAB 与平面NAB 的夹角的平面角.设正四面体棱长为3a,则QP=QC=
3√3
2
a,PC=3a,∠MQN=1
2 ∠PQC,所以sin∠MQN=
1
2 PC
QC =
3
2 a
3√3
2
a
= √3
3 .
