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第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 2025 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷 （考试时间120 分钟，满分150 分） 一、填空题（本大题共12 题，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分，共54 分.考生应在答 题纸的相应位置直接填写结果） 1. 已知全集 ，集合 ，则 _________． 2. 不等式 的解集为_________． 3. 己知等差数列 的首项 ，公差 ，则该数列的前6 项和为_________． 4. 在二项式 的展开式中， 的系数为_________． 5. 函数 在 上 值域为_________． 6. 已知随机变量X 的分布为 ，则期望 _________． 7. 如图，在正四棱柱 中， ，则该正四棱柱的体积为_________． 8. 设 ，则 的最小值为_________． 9. 4 个家长和2 个儿童去爬山，6 个人需要排成一条队列，要求队列 头和尾均是家长，则不同的排列 个数有_________种． 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 10. 已知复数z 满足 ，则 的最小值是_________． 11. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1 米的垂直于水 平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光： 其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45 米．则斜 面的底角 _________．（结果用角度制表示，精确到 ） 12. 已知 ， 是平面内三个不同的单位向量．若 ，则 可的取值范围是_______． 二、选择题（本大题共4 题，第13、14 题每题4 分，第15、16 题每题5 分，共18 分.每题有 且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13. 己知事件A、B 相互独立，事件A 发生的概率为 ，事件B 发生的概率为 ，则事件 发生的概率 为（ ） A. B. C. D. 0 14. 设 ．下列各项中，能推出 的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 15. 已知 ，C 在 上，则 的面积（ ） A 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 16. 已知数列 、 、 的通项公式分别为 ， 、， .若对任 意的 ， 、 、 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数 有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 1 个 D. 无数个 三、解答题（本大题共5 题，第17-19 题每题14 分，第20-21 题每题18 分，共78 分.解答下 列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.） 17. 2024 年东京奥运会，中国获得了男子 米混合泳接力金牌．以下 历届奥运会男子 米 混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 （1）求这组数据的极差与中位数； （2）从这10 个数据中任选3 个，求恰有2 个数据在211 以上的概率； （3）若比赛成绩y 关于年份x 的回归方程为 ，年份x 的平均数为2006，预测2028 年冠军 队的成绩（精确到0.01 秒）． 18. 如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且 ． （1）若直线PA 与圆锥底面的所成角为 ，求圆锥的侧面积； 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 （2）已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为 ， ．设点M 在线段 OC 上，证明：直线 平面PBD． 19. 已知 ． （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若函数 满足在 上存在极大值，求m 取值范围； 20. 已知椭圆 ， ，A 是 的右顶点． （1）若 的焦点 ，求离心率e； （2）若 ，且 上存在一点P，满足 ，求m； （3）已知AM 的中垂线l 的斜率为2，l 与 交于C、D 两点， 为钝角，求a 的取值范围． 21. 已知函数 的定义域为 ．对于正实数a，定义集合 ． （1）若 ，判断 是否是 中的元素，请说明理由； （2）若 ，求a 的取值范围； （3）若 是偶函数，当 时， ，且对任意 ，均有 ．写出 ， 解析式，并证明：对任意实数c，函数 在 上至多有9 个零点．
