🌈
⾼三冲刺笔记-平⾯向量（⼆）
考点归纳：平⾯向量运算
. 平⾯向量线性运算
,
⼀
1
、向量加法
:
1
三⻆形法则
( 适⽤于不同点)
起
“ ⾸尾相连⾸尾连
“
>
→
eg
:
AB =☆
B→= B
b
→
7
a
→
B
b Ʃ
则
a + 5
= AB + B= A
…
→
A
a
→ty
2 平⾏四边形法则
(适⽤于相同起点)
a
a+
5 ⽅法步骤
:
a :两个向量平移到同⼀起点
9
《
>
5
,
b
: 分别过终点作另⼀向量平⾏线交于⼀点
;
c
: 连接起点与交点
;
d
; 由起点指向终点
。
2向量减法:
“ 同起点指被减”
π
a
^
a
- b
eg
: AB = a
,
Aτ= D
3
b
→
则
a
- b
= AB
- At
=
CB
实数
3 向量数乘
: 实数与向量的积是⼀个向量
。记λ a
21 ⼤⼩
λ
- G |= 1 λ
.
a
1
@
,
→
2 a
“
⽅向{ 器
λ @ 与同向
,
λ a 与a 反向。
模绝对值模
α
-2 a
>
→
4向量共线定理
: 差@ 与5 共线
, 则☆=λ☆
( λ为唯⼀实数)
a
>
b
,
5
. 定⽐分点定理
: 设D 为BC 边上⼀点差
Dτ=λBD
A
则
: AD : I⼊'AB
+ 1+λ
Aτ
L
,
》
≥
差令公⼊
=µ
.
则计⼊
=
1
- u
B
1
D
C
λ
∴AD= U
.
AB
+
C
1
- U ) AE
⼆平⾯向量数量积
:
1
. 数量积
:
GD =
1
@ 111 . ω s <
a , 5
> 。规定
δ @
= 0
性质
: 设Qib
→
是⾮零向量
, 夹⻆为
θ
,
e 是与的⽅向相同的单位向量
,
则
. a
'
.
0 :
e
'
.
a '
=
1
a '
1
- cosa.
(2 )
Q
'
"
b
'
<
7 )
.
b
'
=
0
.
( 3 )
当
d
'
与
b 同向时
,
a
"
.
b
'
=
1 a 1
| 51
;
当⻓与为仅何时
, θ
, ☆=
-
1
θ 1151
.
特别地:
Q
'
. a
=
12
或|θ|=
Q .
(H )
由
( Cosα|
≤
1
.
得
:
1 θ
. ☆|≤1
A 1151
⼯
, 向量投影
;
”
点影由
ω
o =: 投刊
, 投影
: 别
=ω so 11
ey
:
正知( |=
3
.| 51 :2
J , <δ , >
=
120
'
"
, 则@ 在为⽅体上投” 为
?
解
:
投影
=
| a 1 cosLa
, 5 ≥
=
3
×
Cos
|20 '
= -
⽅向量的模与平⽅关系:
δ . a
= a
'
=
1 aP
>
| a + 5 |=
( a + 5 P
=
( a + 5]
'
= 1 @P + 2 a 5
+ 1 p
eg
: ⾛知|θ
1
= 2
,
| 5 |= 3
.
< d
'
,b
'
>
=
120
'
,
求
2 a
'
-
b
'
解
:
aa
-
5
=
2a
-
b
'
2
=
4 a
2
- 4 db
+
b
'
=
,
=
41 aP - 411151
. cos <
a,'
≥
+1R
=
HX 2
*
- 4X 2 x 3
.
Cos 20
o
+ 3
=
=
3T
,
4
. 乘法公式
:
⼩
i ☆t 的] [
a - B
} = @ ≥
2
=
1 @ |
3
- 15 R
23
( Gt b )
2
: G
2
± zab
→tb
= la
|
F
±
2 a
.b→+ 15 p
5
, 向量数量积运算律
: ⼩交换律
:
∞
, b
= 5
. a
2 ) 结合律: ( λ a
} .
b =
, ( λ 的) 对实数
3 分配律
:
[ a ± D }
. τ= G
. ☆± b
. ☆=Ʃ
.
{ ^± 5 ]
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量线性运算
D
解
:
原贰
=
CB
+
BD
"
- CD
'
=
B
P
解
Λ
C
π
BA
= OA→
-
0B
= a
- 5
→
CD :
OD -
: d
- →
AT
B
>
0
µ -
B-
d -
☆
)
a - 5 +δ - d =
ABC
=⑦
=
CB +
BD
- CD =②
=
DA + AD =⑤
ABCD
= AB -AB=
=CB
+ BD
+ DE =②
=②
=
=
解:
AE + CA
=
A⑦+
OB
=
= AB
→
=
( OA
'
- OB )
+ Co[
- O[ )
=
CB +
BD
- CD
=
BA +⑦
=
CD
- CD
= BA
: ⇒
=
DA
+ AP
=DB
⼀裴
=②
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量线性运算中的⼏何表示
D
解:
CE
-
BB
=
- ⇌AB
- AD- ADTAB'
= Ʃ AB
-
2AD
c
解
:
AE : AETAB
=
AD
+ DET AB
=
AP+ IAB +A
α
= AB
+ IA→
B
解
:
2AITEFT
=
2AD
+
2DI TEE
+ CE
=
2AD
+ AB TIAB
- IAD
=③AB + AD
D
解:
B涨: B, DF
= 2F
AT
= AD + DT =
AD + 5 P= AD' + 3 AB
DI
= DGTCE
= AB + ⑤CB
=
AB
'
- 5 AD
则AF
+ DE
= 3 A☆
+ 3 AB
🌶
🌶
🌶
c
解
:
易
躯
EITUSS
AE
: 2
( ADTAE )
AF ZCAE
+ AB )
: AC = AD +
AB
D⑩F
∴AET AF
=
AE + I ( A☆+ AB )
= BAx
A
B
. AE=
3 HE+ 2 AF'
:
λ+ U = 4
D
解
:
BE = 2 FE
,
BH : G
,
B←=5
CT =BF -BC =
⑤BE -B
:5
⑤(BAtIBE )
- Bx
:⑤BA
-
⑤BE
=
②@
- 55
A
解:
MT
=
MBT
BA
= ④CB
+ IBA
= ( B -
δ )+
2(
a -5 )
= Ʃ Q + 45
- )
A
解
:
∴LAOM ~∠
COD
, 喝: 焱α
, : OM : 5 DM
= 书( DY + AM )
= 5
(
- AD +Ʃ AB )
= δ AB
→
- 5 Ap
🌶
🌶
🌶
c
解: :E
=
2 AE
: AT =δ Ax
1
. IEB
=AB -AE =AB - ECAB +A )
= ⑤AB
- δ AP
解
: 毙
: 毙之
. AG
: ③AE =⑤(AB +AD
) =为+ 55
. :
BE
=
AE
- AB : ⑤a + ⑤5
- θ :
- ☆☆+ 55
a-5
MATT MB= MAT
T MA
+ AB
D
解
:
a
5
c
=
2 MA
+ AB
=
2 ×
C
- 3 A )
+ AB
A
7 M
π
B
>
M
=
- ⑤CAP + AB )
+ AB
= BAB
- ②AD
= 5 a- b
B
解: AE
: AP
+
PE
→
= AP + 为P
: AP + 5 (AE -AP
) = 3 (AB +
AD
→
→
) + AP
= 5 + 3 +⑤→
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量线性运算与定⽐分点
D
解:
∵AP : ZAB
+ IAT
= ⽂AB
+
4 A [→
: m :
2
, n =
4 :m +
n=
A
解:
CD
= Ʃ CCA
+
CB
)
: ⽂(
BA
- BC
→
→
+ cB
)
=
-B☆
+ IBA
c
解了
」
B
☆: BE + 4 BA
: 35
+ 4
c
- a
」
= '-
* a
A
A
解
:
AP
: ⑤AE + 5
. AB
: 5 5 + 3 x
Bcg
~∴
B
A
解:
《r
AN' : B AM
=
DAB
+ WAG
. ∴
AM
=
3D AB
'
+ 3 UAx
L
√
了
1
B
↑
M
c
. ∴
3λ+3 w=
1
: λ+ U = 5
🌶
A
A
AN
= D AM
=
D ABT WAT
解
B
*
“
N
c
.
AM=
2
D AB+ 2
UAE'
:
2λ+ a µ=
1
D
解
:
AD
= 5 A→
1
,
∴APT
=MAB +
T
. 5AN
4
, :APT :MAB T
# 'NE
:
m
: y
解
:
∵
B
. C
. D 三点共线
D 为
BC 中点
∴AD
= ZAB +
ZACD
∴2 AG
= ZAB + ZAx
∴AG
= 4 AB + 出A→
AGG =
4 的
. AE + 4 '
. Aπ
∴
4 ( i 的+ π )
=
1
∴min
= 4
c
解
:
∵AB
= 2 Aπ
∴
C 为AB 中点
∴
O☆= ZO☆+ ZOB
= 2 OP
∴OP
= EO* + Y 0B
∴
OM
= MOB
.
ON
=
n OA
∴OB= oin
,
OA
= A Or
∴
op
=
4mont4
-
ofum
+ 4
n
=
1
当
m =
g
n =
1
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量数量运算
🌶
A
解
:
2☆+ 5 |=
(2 D + 5
)
=
=4
a
2 +4
Q.
5 +
2
=
4
- 494
= 2
A
解
:
Q
. Ca
- 45 )
= G
2
- 4.5
=
1
- 4 X
1
× 2
× (
- ÷ )
= 5
c
解
: (2 atB
) .
5
:2 ab +
" = 2
X 3 I X 2 X
+ 4
=
16
B
解
:
cosa
: @
.
1 )
:
rte
t e - ze ): e
-
zeerteier-
2
e →"
| 1
|
51
l 1 ( 51
er - es=lelle
→1.cos 60 -
zF ( te=
)
P
=
3
( 5|== (
e - 2e ) == 3
, :
1 a31
= 03
,
| 5}
= 法
」
Δ
, COSQ
=
- 2
D
解
: le * |=
1
, le
1
:
1
G .e
=
- ) le 1.cosG "= Ʃ
→
⽂
( 3* + 4) ~ 9
:
3 e
,
f 4 ei→= 5
3e * +4eT 1=(
3 *+ 4
)
'
=qe " t24ei
+ i6e
"
= B]
cosa
=
( 3e " + 4e
)
- →
l 3e)
+ 4e
1 le|
=
号
A
解
: (2θ+351
:4 P
+ 12 Q
, 5 +
q 152
=
4
X22
+ 12 × 2 × 1
× Cos12j'
+ 9
. 12
=
13
🌶
🌶
🌶
河
解
:
( µ+ 351
:
Q
"+ 6
θ 5+ 915' <
⼜:(2
Q '-3 ) ( 2 D+ 5
) =4
=
- 411151
. Cos 120
'
- 352
= 61
,
: 3b
2
- 815 |
- 3
=
3
:
| 5 |= 3
:
( + ab' 1
:
61
3
解:(
a + mD) .
a .
a 2
+ ma .
b '
=
9 +
m × 3
x
acos
120
'
=
0
: m =3
.
解
:
( 2Q
. 5 )
B
=
2
θ,
5 -
B "
=
1
-
1 =
0
解
( 1
) :
1
: 4
,
151
= 3
,
(2a
- 3D ]
.
( 2G + 5 ) = 61
,
.
: θ
' .
5
:
-
6
.
-6
∵
≤π … 2 =π
: (osa
=
@.||
=
4 x3
=
- 之
(2 ) B
. 8
= 5
,
(ta
+ (
1
- t ) 5 )
= ta
. 5
"
+
(
1
- t )
, B
"
=
-
15 tf
9
= 0
, ∴
t =⑤
: IEIP
: ( ⑤
a '+
⑤
5
]
-2508 :
E |=
⑤s
解
:
当Q115
θ
.☆夹⻆为α=
0 ^
或1800 :Qb = 2 或江
=
θ=+ aQb→+ ⽚
=
=
1
解
:
⻓
-D
I
. a
:
a
- a
. 5
= IaP
- 1111 . cosa:
1
-
I. cosa
= 0
, : cos ⼜
= ⼯
.
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量数量运算-投影
🌶
A
解
:
a别
c
解: ∵fan <☆, ⑤>=④:Cos<θ , >= 5
: 技影
= 步
= 告
= 4
c
解
:
θ
, (5
- E )
= E
. 5
-
E
. 8 =
0
:
Q7 :
⻓
. 5
∵投s =
(
| . cos<δ , a
> : ☆
M
|
=π
州=||. cos☆
= 2 X2 =
1
3 B
解
:
θ
.B
=
1|||
. csπ=
6
× 2 XZ =
6 .
Q
. LG '
- ②5) =θ
'
- ②代
.5 = 36
-3 × 6
= 27
l-35|
:
θ
2
+ 95'
2
- 3 Qb
:
36 f9
- 3 × 6
=
3B
投影,
θ
,
( ☆
- ②5
)
=
靠
=
3 B
ia
- 5 '
1
这
解
:
投影
: |µ| .cos < ) , )
=
(愉
+ 房Posπ=
1 + 2 x 1 × 1 Xcos + 1 XB
: 边
下3
, 5]
,
解
: 投影
,
为: CGt 25 )
-
☆:LF +2
. 151
. cosa
=
1 + 4 cosα
.
l
la
1
; OEIO .
π ] :
COSREF -
1
.
1]
:
1 H 4Cosa
E I
- 3 ,
5J
,
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量数量运算与⼏何关系
🌶
A
→
→
7
a + b
解
: 的
a
- 7
>
5
→
A
c
解:
台
na +
51
分
“
,
5
C
7
解
:
600∵
vb
)
⾔
污
a'b : 河
解:
台
,
“
t
11
k
→a
-
511
, cis,
以之
↑
1 =
1
5P
1
=
1
120
,
解
:
Ta
→ε
”
只
、”
>
>
5
