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第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共12 页，150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项． 1. 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z 满足 ，则 （ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 为得到函数 图象，只需把函数 的图象上的所有点（ ） A. 横坐标变成原来的 倍，纵坐标不变 B. 横坐标变成原来的2 倍，纵坐标不变 C. 纵坐标变成原来的 倍，横坐标不变 D. 纵坐标变成原来的3 倍，横坐标不变 5. 已知 是公差不为0 的等差数列， ，若 成等比数列，则 （ ） A. B. C. 16 D. 18 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 6. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 定义域为D，则“函数 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得 ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设函数 ，若 恒成立，且 在 上存在零点， 则 最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 9. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要时间 （单位：小时）， 其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加 20 小时；当训练数据量N 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加（单位：小 时）（ ） A. 2 B. 4 C. 20 D. 40 10. 已知平面直角坐标系 中， ， ，设 ，则 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分. 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 11. 抛物线 的顶点到焦点的距离为3，则 ________． 12. 已知 ，则 ________； ________． 13. 已知 ，且 ， ，写出满足条件的一组 ________， _________． 14. 某科技兴趣小组通过3D 打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF 是一个平行多 边形，平面 平面ABC ，平面 平面ABC ， ， ，若 ，则该多面体的体积 为________． 15. 关于定义域为R 函数 ，以下说法正确的有________． ①存在在R 上单调递增的函数 使得 恒成立； ②存在在R 上单调递减的函数 使得 恒成立； ③使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个； ④使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个． 三、解答题共6 小题，共85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在 中， ． 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求c； （2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求BC 的高． ① ；② ；③ 面积为 ． 17. 四棱锥 中， 与 为等腰直角三角形， ，E 为BC 的中点． （1）F 为 中点，G 为PE 的中点，证明： 面PAB； （2）若 面ABCD， ，求AB 与面PCD 所成角的正弦值． 18. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100 人，甲校有80 人答对，乙校有75 人答对 用频率估计概率． （1）从甲校随机抽取1 人，求这个人做对该题目的概率． （2）从甲、乙两校各随机抽取1 人，设X 为做对的人数，求恰有1 人做对的概率以及X 的数学期望． （3）若甲校同学掌握这个知识点则有 的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有 的概 率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概 率为 ，乙校学生掌握该知识点的概率为 ，试比较 与 的大小（结论不要求证明） 19. 已知 的离心率为 ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4， （1）求椭圆方程； （2）设O 为原点， 为椭圆上一点，直线 与直线 ， 交 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 于A，B． 与 的面积为 ，比较 与 的大小． 20. 函数 的定义域为 ， 为 处的切线． （1） 的最大值； （2） ，除点A 外，曲线 均在 上方； （3）若 时，直线 过A 且与 垂直， ， 分别于x 轴的交点为 与 ，求 的取值范 围． 21. ，从M 中选出n 个有序数对构成一列： ．相邻两项 满足： 或 ，称为k 列． （1）若k 列的第一项为 ，求第二项． （2）若 为k 列，且满足i 为奇数时， ：i 为偶数时， ；判断： 与 能否同时在 中，并说明； （3）证明：M 中所有元素都不构成k 列．
