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2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12 页，150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知复数z 满足
，则
（ ）
A.
B.
C. 4
D. 8
3. 双曲线
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有点的（ ）
A. 横坐标变为原来
倍（纵坐标不变）
B. 横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
D. 纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
5. 已知
是公差不为零的等差数列，
，若
成等比数列，则
（ ）
A.
B.
C. 16
D. 18
6. 已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
” 是“ 对任意
，存在
，使得
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，
则
的最小值为（ ）
A
8
B. 6
C. 4
D. 3
9. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位
数据量所需要的时间
（单位：
h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间
增加20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加（ ）
A. 2h
B. 4h
C. 20h
D. 40h
10. 在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11. 已知抛物线
的顶点到焦点的距离为3，则
________．
12. 已知
，则
________；
________．
13. 已知
，且
，
.写出满足条件的一组
的值
________，
_________．
14. 某科技兴趣小组用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF 是一个平面
多边形，平面
平面ABC ，平面
平面ABC ，
，
.若
，则该多面体的体积为
________．
15. 关于定义域为
的函数
，给出下列四个结论：
①存在在
上单调递增的函数
使得
恒成立；
②存在在
上单调递减的函数
使得
恒成立；
③使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个；
④使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个．
其中正确结论
序号是________．
三、解答题共6 小题，共85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在
中，
．
（1）求c 的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求BC 边上的高．
条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为
．
17. 如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，E 为BC 的中点．
（1）若
分别为
的中点，求证：
平面PAB；
（2）若
平面ABCD，
，求直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值．
18. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.
为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100 名学生该题的答题数据，其中
甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计
概率.
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1 名，设X 为这2 名学生中该题选择正确的人数，估计
的概率及X 的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握
该知识点，甲校学生选择正确的概率为
，乙校学生选择正确的概率为
.设甲、乙两校高一年级
学生掌握该知识点的概率估计值分别为
，
，判断
与
的大小（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆
的离心率为
，椭圆E 上的点到两焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设O 为坐标原点，点
在椭圆E 上，直线
与直线
，
分别交于点A，B．设
与
的面积分别为
，比较
与
的大小．
20. 已知函数
的定义域是
，导函数
，设
是曲线
在
点
处的切线．
（1）求
最大值；
（2）当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线
的上方；
（3）设过点A 的直线
与直线
垂直，
，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的取值范围．
21. 已知集合
，从M 中选取n 个不同的元素组成一个
序列：
，其中
称为该序列的第i 项
，若该序列的相邻
项
满足：
或
，则称该序列为K 列．
（1）对于第1 项为
的K 列，写出它的第2 项．
（2）设
为K 列，且
中的项
满足：当i 为奇数时，
：当i 为偶数时，
.判断
，
能否同时为
中的项，并说明理由；
（3）证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
