文档文本内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新1 卷）
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填
写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需
改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不
按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.
的虚部为（ ）
A.
B. 0
C. 1
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为
，所以其虚部为1，
故选：C.
2. 设全集
，集合
，则
中元素个数为（ ）
A. 0
B. 3
C. 5
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为
，所以
，
中的元素个数为
，
故选：C．
3. 若双曲线C 的虚轴长为实轴长的
倍，则C 的离心率为（ ）
A.
B. 2
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可知双曲线中
的关系，结合
和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为
，
由题知，
，
于是
，则
，
即
.
故选：D
4. 若点
是函数
的图象的一个对称中心，则a 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，
即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，
即
.
故选：B
5. 设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为
的范围中求解.
【详解】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风
风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对
应的向量大小相等，方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在
某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位
（m/s），则真风为（ ）
等级
风速大小m/s
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风
A. 轻风
B. 微风
C. 和风
D. 劲风
【答案】A
【解析】
【分析】结合题目条件和图
写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：
，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速
向量方向相反，
设真风风速对应的向量为
，船行风速对应的向量为
，
∴
，船行风速：
，
∴
，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
7. 若圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅有2 个，则r 的取值范围是
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆心
到直线
的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为
，
到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：
，
故由图可知，
当
时，
圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
当则
的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B.
8. 若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】法一：设
，对
讨论赋值求出
，即可得出大小关系，
利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象
与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A.
B.
平面
C.
D.
平面
【答案】BD
【解析】
【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定
与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：
根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】法一：对于A，在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，则
又
，
所以
，
则
不成立，故A 错误；
对于B，因为在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，
又
平面
，
所以
平面
，故B 正确；
对于D，因为在正三棱柱
中，
又
平面
平面
，所以
平面
，故D 正确；
对于C，因为在正三棱柱
中，
，
假设
，则
，这与
矛盾，
所以
不成立，故C 错误；
故选：BD.
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为
，高为，
则
，
对于A，
，
则
，
则
不成立，故A 错误；
对于BD，
，
设平面
的法向量为
，
则
，得
，令
，则
，
所以
，
，
则
平面
，
平面
，故BD 正确；
对于C，
，
则
，显然
不成立，故C 错误；
故选：BD.
10. 设抛物线
的焦点为F，过F 的直线交C 于A、B，过F 且垂直于
的直线交
于
E，过点A 作准线l 的垂线，垂足为D，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，先判断得直线
为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利
用三角形相似证得
，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），
联立直线
与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得
，
，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，易知直线
的斜率不为
，
设直线
的方程为
，
，
联立
，得
，
易知
，则
，
又
，
，
所以
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
又
，
，
所以
，
则
，故D 正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，当直线
的斜率不存在时，
；
当直线
的斜率存在时，设直线
方程为
，
联立
，消去
，得
，
易知
，则
，
所以
，
综上，
，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
当直线
的斜率不存在时，
，
；
所以
，即
；
当直线
的斜率存在时，
，
，
所以
，
则
；
综上，
，故D 正确.
故选：ACD.
11. 已知
的面积为
，若
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对
由二倍角公式先可推知A 选项正确，方法一分情况比较
和
的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，
利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用
算出
取值，最后利用三角形面
积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】
，由二倍角公式，
，
整理可得，
，A 选项正确；
由诱导公式，
，
展开可得
，
即
，
下证
.
方法一：分类讨论
若
，则
可知等式成立；
若
，即
，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，
，同理
，
又
，于是
，
与条件不符，则
不成立；
若
，类似可推导出
，则
不成立.
综上讨论可知，
，即
.
方法二：边角转化
时，由
，则
，
于是
，
由正弦定理，
，
由余弦定理可知，
，则
，
若
，则
，注意到
，则
，
于是
（两者同负会有两个钝角，不成立），于是
，
结合
，而
都是锐角，则
，
于是
，这和
相矛盾，
故
不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由
，结合正弦定理可得，
，由射影定理可得
，于是
，
则
，可同方法一种讨论的角度，推出
，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知
同时为
或者异号，即
，展开可得，
，
即
，结合和差化积，
，由上述分析，
，则
，则
，则
，即
，于是
，可知
.
由
，由
，则
，即
，
则
，同理
，由上述推导，
，则
，
不妨设
，则
，即
，
由两角和差的正弦公式可知
，C 选项正确
由两角和的正切公式可得，
，
设
，则
，
由
，则
，则
，
于是
，B 选项正确，由勾股定理可知，
，D 选项错误.
故选：ABC
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.
12. 若直线
是曲线
的切线，则
_________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利
用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点
与
的方程组，解之即可得解.
【详解】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线
切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
13. 若一个等比数列
各项均为正数，且前4 项和为4，前8 项和为68，则该等比数列的公比为
_________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前
项和的定
义，得到关于
的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前
项和性质得到关于
的方程，解之即
可得解.
【详解】法一：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
当
时，
，即
，则
，显然不成立，舍去；
当
时，则
，
两式相除得
，即
，
则
，所以
，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：
.
法二：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
所以
，
，
所以
，则
，所以
，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
因为
，
又
，
所以
，所以
，
所以该等比数列公比为
.
故答案为：
.
14. 一个箱子里有5 个相同的球，分别以1~5 标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球
的个数X，则数学期望
_________.
【答案】
##
【解析】
【分析】法一：根据题意得到
的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得
的分布
列，从而求得
；法二，根据题意假设随机变量
，利用对立事件与独立事件的概率公式求得
，
进而利用数学期望的性质求得
.
【详解】法一：依题意，
的可能取值为1、2、3，
总的选取可能数为
，
其中
：三次抽取同一球，选择球的编号有5 种方式，
故
，
：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有5 种方式，选取出现一次的球有4 种方式，
其中选取出现一次球的位置有3 种可能，故事件
的可能情况有
种，
故
，
：三种不同球被取出，
由排列数可知事件
的可能情有况
种，
故
，
所以
.
故答案为：
.
法二：依题意，假设随机变量
，其中
：
其中
，则
，
由于球的对称性，易知所有
相等，
则由期望的线性性质，得
，
由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为
，
由于抽取独立，三次均未取出球的概率为
，
因此球至少被取出一次的概率为：
，
故
，
所以
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000 人，得到如下列
联表：
超声波检查结果
组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P 的估计值；
（2）根据小概率值
的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附
，
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）
（2）有关
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）根据独立性检验的基本思想,求出
,然后与小概率值
对应的临界值
比较,即可判
断.
【小问1 详解】
根据表格可知，检查结果不正常的
人中有
人患病，所以
的估计值为
；
【小问2 详解】
零假设为
：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，
，
根据小概率值
独立性检验，我们推断
不成立，即认为超声波检查结果与患该病有
关，该推断犯错误的概率不超过
.
16. 设数列
满足
，
（1）证明：
为等差数列；
（2）设
，求
．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目所给条件
化简，即可证明结论；
（2）先求出
的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以
，作差并利用等比数列前
项和得出
导函数表达式，即可得出结论.
【小问1 详解】
由题意证明如下，
，
在数列
中，
，
，
∴
，即
，
∴
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
【小问2 详解】
由题意及（1）得，
，
在数列
中，首项为3，公差为1，
∴
，即
，
在
中，
，
∴
，
当
且
时，
∴
，
∴
∴
.
17. 如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
．
（i）证明：
在平面
上；
（ⅱ）求直线
与直线
所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析；
（ii）
.
【解析】
【分析】（1）通过证明
，
，得出
平面
，即可证明面面垂直；
（2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设
在同一球面
上，在平面
中，得出点
坐标，进而得出点
在空间中的坐标，计算出
，即可证明结
论；
法二：作出
的边
和
的垂直平分线，找到三角形的外心
，求出
，求出出外心
到
，
，
，
的距离相等，得出外心
即为
，
，
，
所在球的球心，即可证明结论；
（ii）法一：写出直线
和
的方向向量，即可求出余弦值.
法二：求出
的长，过点
作
的平行线，交
的延长线为
，连接
，
，利用勾股定理
求出
的长，进而得出
的长，在
中由余弦定理求出
，即可求出直线
与直
线
所成角的余弦值.
【小问1 详解】
由题意证明如下，
在四棱锥
中，
⊥平面
，
，
平面
，
平面
，
∴
，
，
∵
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面
.
【小问2 详解】
（i）由题意及（1）证明如下，
法一：
在四棱锥
中，
，
，
，
∥
，
，
，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴
，
若
，
，
，
在同一个球面上，
则
，
在平面
中，
∴
，
∴线段
中点坐标
，
直线
的斜率：
，
直线
的垂直平分线
斜率：
，
∴直线
的方程：
，
即
，
当
时，
，解得：
，
∴
在立体几何中，
，
∵
解得：
，
∴点
在平面
上.
法二：
∵
，
，
，
在同一个球面上，
∴球心到四个点的距离相等
在
中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出
和
的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
，
，
，
∴
，
∴点
是
的外心，
在Rt
中，
，
，
由勾股定理得，
∴
，
∴点
即为点
，
，
，
所在球的球心
，
此时点
在线段
上，
平面
，
∴点
在平面
上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线
与直线
所成角为
，
∴
.
法2：
由几何知识得，
，
，
∥
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
，
过点
作
的平行线，交
的延长线为
，连接
，
，
则
，直线
与直线
所成角即为
中
或其补角.
∵
平面
，
平面
，
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
，
在Rt
中，
，由勾股定理得，
，
在
中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直线
与直线
所成角的余弦值为：
.
18. 设椭圆
的离心率为
，下顶点为A，右顶点为B，
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足
．
（i）设
，求点
的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，
是椭圆上的动点，直线OR 的斜率为直线
的斜率的3 倍，求
的最大值．
【答案】（1）
（2）(ⅰ)
(ⅱ)
【解析】
【分析】（1）根据题意列出
的关系式,解方程求出
,即可得到椭圆的标准方程；
（2）(ⅰ)设
,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；
(ⅱ) 根据斜率关系可得到点
的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接
运算即可解出.
【小问1 详解】
由题可知,
，所以
，解得
，
故椭圆C 的标准方程为
；
【小问2 详解】
(ⅰ)设
，易知
，
法一：所以
，故
，且
．
因为
，
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以点
的坐标为
.
法二：设
，则
，所以
，
，故
点
的坐标为
.
(ⅱ)因为
,
,由
,可得
,化简得
,即
,
所以点
在以
为圆心,
为半径的圆上（除去两个点）,
为
到圆心
的距离加上半径,
法一：设
,所以
,当且仅当
时取等号,
所以
.
法二：设
，则
，
，当且仅当
时取等号,
故
.
19. （1）设函数
,求
在
的最大值；
（2）给定
，设a 为实数，证明：存在
，使得
；
（3）若存在
使得对任意x，都有
，求b 的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者
利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑
时
的范围，对于
时，可利用（2）中的结论结合特值法求得
，从
而可得
的最小值；或者先根据函数解析特征得
，再结合特值法可得
，结合（1）的结果可
得
的最小值.
【详解】（1）法1：
，
因为
，故
，故
，
当
时，
即
，
当
时，
即
，
故
在
上
增函数，在
为减函数，
故
在
上的最大值为
.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
故
在
上的最大值为
，在
上的最大值也是
.
（2）法1：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
则
且
，此时
无解，
矛盾，故无解；故存在
，使得
，
法2：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
则对每个
，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为的闭区间
上必有一整数
，该整数
不满足条件，矛
盾.
故存在
，使得
成立.
（3）法1：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
当
时，
，
此时
，
令
，则
，
而
，
，故
，
当
，在（2）中取
，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，
使得等号成立.
综上，
.
法2：设
.
①一方面，若存在
，使得
对任意
恒成立，则对这样的
，同样有
.
所以
对任意
恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
假设
，则
，
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都
在直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由（1）中已经证明
，
知存在
，使得
.
从而
满足题目要求.
综合上述两个方面，可知
的最小值是
.
