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2025 年高考天津卷数学真题
一、单选题
1.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，5}，则∁U(A∪B)等于( )
A.{1，2，3，4}
B.{2，3，4}
C.{2，4}
D.{4}
2.设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=
x
1-|x|
B.f(x)=
x
|x|-1
C.f(x)= |x|
1- x
2
D.f(x)= |x|
x
2-1
4.若m 为直线，α，β 为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A.若m∥α，n⊂α，则m∥n
B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C.若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
5.下列说法中错误的是( )
A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2)
C.|r|越接近1，相关性越强
D.|r|越接近0，相关性越弱
6.已知数列{an}的前n 项和为Sn=-n2+8n，则数列{|an|}的前12 项和为( )
A.112
B.48
C.80
D.64
7.函数f(x)=0.3x-√x的零点所在区间是( )
A.(0，0.3)
B.(0.3，0.5)
C.(0.5，1)
D.(1，2)
8.f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在[- 5 π
12 ，π
12]上单调递增，且x= π
12为它的一条对称轴，(
π
3 ，0)是它
的一个对称中心，当x∈[0，π
2]时，f(x)的最小值为( )
A.-√3
2
B.-1
2
C.1
D.0
9.双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲
线交于第一象限的点P，若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|，则双曲线的离心率e 等于( )
A.2
B.5
C.√2+1
2
D.√5+1
2
二、填空题
10.已知i 是虚数单位，则|
3+i
i |= .
11.在(x-1)6的展开式中，x3项的系数为 .
12.已知l1：x-y+6=0 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D 两点，|AB|=3|
CD|，则r= .
13.小桐操场跑圈，一周2 次，一次5 圈或6 圈.第一次跑5 圈或6 圈的概率均为0.5，若第一次跑5 圈，则第
二次跑5 圈的概率为0.4，6 圈的概率为0.6；若第一次跑6 圈，则第二次跑5 圈的概率为0.6，6 圈的概率
为0.4.小桐一周跑11 圈的概率为 ；若一周至少跑11 圈为运动量达标，则连续跑4 周，记合格周
数为X，则期望E(X)= .
14.在△ABC 中，D 为AB 边的中点，⃗CE=1
3⃗CD，⃗AB=a，⃗AC=b，则⃗AE= (用a，b 表示)，若|⃗AE|
=5，AE⊥CB，则⃗AE·⃗CD= .
15.若a，b∈R，对∀x∈[-2，2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0 恒成立，则2a+b 的最小值为 .
三、解答题
16.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知asin B=√3bcos A，c-2b=1，a=√7.
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求sin(A+2B)的值.
17.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F 分别为A1D1，C1B1的中点，CG=3GC1.
(1)求证：GF⊥平面FBE；
(2)求平面FBE 与平面EBG 夹角的余弦值；
(3)求三棱锥D-FBE 的体积.
18.已知椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P 为x=a 上一点，且直线PF 的斜率为1
3，△PFA
的面积为3
2，离心率为1
2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P 的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF 平分∠AFB.
19.已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1=b1=2，a2=b2+1，a3=b3.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)∀n∈N*，I∈{0，1}，有Tn={p1a1b1+p2a2b2+…+pn-1an-1bn-1+pnanbn|p1，p2，…，pn-1，pn∈I}，
①求证：对任意实数t∈Tn，均有t<an+1bn+1；
②求Tn所有元素之和.
20.已知函数f(x)=ax-(ln x)2.
(1)a=1 时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)f(x)有3 个零点x1，x2，x3且x1<x2<x3.
①求a 的取值范围；
②证明(ln x2-ln x1)·ln x3< 4 e
e -1.
答案精析
1.D
解析 由A={1，3}，B={2，3，5}，则A∪B={1，2，3，5}，
又集合U={1，2，3，4，5}，
故∁U(A∪B)={4}.
2.A
解析 由x=0⇒sin 2x=sin 0=0，则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件；
令sin 2x=0，则2x=kπ，k∈Z，故x=k π
2 ，k∈Z，所以sin 2x=0⇒/x=0，则“x=0”不是“sin 2x=0”的必要
条件，
综上可知，“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.
3.D
解析 由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=
x
1-|x|和函数f(x)=
x
|x|-1为奇函数，故A，B 错误；
又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)= |x|
1- x
2>0，f(x)= |x|
x
2-1
<0，
由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C 错误，D 正确.
4.C
解析 若m∥α，n⊂α，则m 与n 平行或异面，故A 错误；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B 错误；
若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C 正确；
若m⊂α，α⊥β，则m 与β 平行或相交或m⊂β，故D 错误.
5.B
解析 根据正态分布的对称性可知，若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)，故A 正确；若X~N(1，
22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)=P(Y<2)=0.5，故B 错误；样本相关系数r 的绝对值越接近0，相关性越弱，越
接近1，相关性越强，故C，D 正确.
6.C
解析 因为Sn=-n2+8n，
所以当n=1 时，a1=S1=-12+8×1=7，
当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9，
经检验，a1=7 满足上式，
所以an=-2n+9(n∈N*)，令an=-2n+9≥0⇒n≤4，an=-2n+9≤0⇒n≥5，
设数列{|an|}的前n 项和为Tn，
则T4=S4=-42+8×4=16，
T12=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12
=2S4-S12=2×16-(-122+8×12)=80.
7.B
解析 由指数函数、幂函数的单调性可知y=0.3x在R 上单调递减，y=√x在[0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=0.3x-√x在定义域[0，+∞)上单调递减，
又f(0)=1>0，f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0，f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0，
所以根据零点存在定理可知，f(x)的零点所在区间为(0.3，0.5).
8.A
解析 设f(x)的最小正周期为T，
根据题意有{
π ω
12 +φ = π
2 +2k π ,
π ω
3 +φ =m π ,
m，k∈Z，
由正弦函数的对称性可知π
3 - π
12=(2n+1)T
4
(n∈N)，又ω>0，
即π
4 =2n π + π
2ω
，∴ω=4n+2(n∈N)，
又f(x)在[- 5 π
12 ，π
12]上单调递增，则T
2 ≥π
12-(- 5 π
12)=π
2 ，∴π
ω≥π
2 ，0<ω≤2，
∴ω=2，则{
φ = π
3 +2k π ,
φ =m π - 2π
3 ,
m，k∈Z，
∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1 时，φ=π
3 ，
∴f(x)=sin(2 x + π
3)，
又当x∈[0，π
2]时，2x+π
3 ∈[
π
3 ，4 π
3 ]，
由正弦函数的单调性可知当2x+π
3 =4 π
3 ，即x=π
2 时，f(x)min=sin 4 π
3 =-√3
2 .
9.A
解析 根据题意可得F2(
p
2 ，0)，设双曲线的半焦距为c，P(x0，y0)，则p=2c，
过点F1作x 轴的垂线l，过点P 作l 的垂线，垂足为A，显然直线AF1为抛物线的准线，
则|PA|=|PF2|，
由双曲线的定义及已知条件可知
|PF1|-|PF2|=2a，
|PF1|+|PF2|=6c，
在Rt△APF1中 ，由勾股定理可知|A F1|
2=y0
2=|P F1|
2-|PA|2=|P F1|
2-|P F2|
2=12ac，
易知y0
2=2px0=4cx0，∴x0= y0
2
4 c =3a，
即x0
2
a
2- y0
2
b
2 =9a
2
a
2 - 12ac
c
2-a
2=1，
整理得2c2-3ac-2a2=0，即(2c+a)(c-2a)=0，
∴c=2a，故离心率e=c
a=2.
10.√10
解析 由题意得，3+i
i
=-i(3+i)=1-3i，所以|
3+i
i |=√1
2+(-3)
2=√10.
11.-20
解析 (x-1)6的展开式的通项为Tk+1=C6
kx6-k·(-1)k，
当k=3 时，T4=C6
3x3·(-1)3=-20x3，
即在(x-1)6的展开式中，x3项的系数为-20.
12.2
解析 由题意得直线l1：x-y+6=0 与x 轴交于A(-6，0)，与y 轴交于B(0，6)，
所以|AB|=√6
2+6
2=6√2，则|CD|=2√2，
圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r，圆心(-1，3)到直线l1：x-y+6=0 的距离为d=|-1-3+6|
√2
=√2，
故|CD|=2√r
2-d
2=2√r
2-(√2)
2=2√2，
解得r=2(负值舍去).
13.0.6 3.2
解析 设小桐一周跑11 圈为事件A，第一次跑5 圈为事件B，第二次跑5 圈为事件C，
则P(A)=P(B)P(C|B)+P(B)P(C|B)=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6；
设运动量达标为事件D，则P(D)=P(A)+P(B)P(C|B)=0.6+0.5×0.4=0.8，
所以X~B(4，0.8)，E(X)=4×0.8=3.2.
14.1
6a+2
3b -15
解析 如图，因为⃗CE=1
3⃗CD，所以⃗AE-⃗AC=1
3 (⃗AD-⃗AC)，所以⃗AE=1
3⃗AD+2
3⃗AC.
因为D 为线段AB 的中点，所以⃗AE=1
6⃗AB+2
3⃗AC=1
6a+2
3b；
因为|⃗AE|=5，AE⊥CB，⃗CB=a-b，所以⃗AE
2=(
1
6 a+ 2
3 b)
2
= 1
36 a2+2
9a·b+4
9 b2=25，①⃗
AE·⃗CB=(
1
6 a+ 2
3 b)·(a-b)=1
6a2+1
2a·b-2
3b2=0，所以a2+3a·b=4b2，②
由①②得a2+4a·b=180，
又⃗CD=⃗AD-⃗AC=1
2⃗AB-⃗AC=1
2a-b，
所以⃗AE·⃗CD=(
1
6 a+ 2
3 b)·(
1
2 a-b)= 1
12a2+1
6a·b-2
3b2= 1
12 (a
2+2a·b-8b
2)
= 1
12(a2+2a·b-2a2-6a·b)= 1
12(-a2-4a·b)= 1
12×(-180)=-15.
15.-4
解析 设t=2a+b，则原题转化为求t 的最小值，
原不等式可转化为对∀x∈[-2，2]，均有tx2+(t-2a)x-a-1≤0 恒成立，
不妨代入x=-1
2，得1
4 t-1
2(t-2a)-a-1≤0，得t≥-4，
当t=-4 时，原不等式可化为-4x2+(-4-2a)x-a-1≤0，
即-[2 x +(
1
2 a+1)]
2
+1
4 a2≤0，
观察可知，当a=0 时，-(2x+1)2≤0 对∀x∈[-2，2]恒成立，当且仅当x=-1
2时取等号，
此时a=0，b=-4，说明当t=-4 时，a，b 均可取到，满足题意，
故t=2a+b 的最小值为-4.
16.解 (1)已知asin B=√3bcos A，
由正弦定理得sin Asin B=√3sin Bcos A，
显然cos A≠0，sin B≠0，
则tan A=√3，
由0<A<π，
可知A=π
3 .
(2)由(1)知，cos A=1
2，且c=2b+1，a=√7，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，
得7=b2+(2b+1)2-2b(2b+1)×1
2=3b2+3b+1，即b2+b-2=0，
解得b=1(b=-2 舍去)，
故c=3.
(3)由正弦定理
a
sin A =
b
sin B ，且b=1，a=√7，sin A=√3
2 ，
得sin B=bsin A
a
=√21
14 ，且a>b，则角B 为锐角，
故cos B=5√7
14 ，
又sin 2B=2sin Bcos B=5√3
14 ，
且cos 2B=1-2sin2B=1-2×(
√21
14 )
2
=11
14 ，
故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=√3
2 ×11
14 +1
2×5√3
14 =4√3
7
.
17.(1)证明 方法一 在正方形BCC1B1中，
由条件易知tan∠C1FG=GC1
C1 F =1
2= F B1
B B1
=tan∠B1BF，
所以∠C1FG=∠B1BF，
则∠B1FB+∠B1BF=π
2 =∠B1FB+∠C1FG，
故∠BFG=π-(∠B1FB+∠C1FG)=π
2 ，
即GF⊥BF，
在正方体中，易知D1C1⊥平面BCC1B1，且EF∥D1C1，
所以EF⊥平面BCC1B1，
又GF⊂平面BCC1B1，所以EF⊥GF，
因为EF∩BF=F，EF，BF⊂平面FBE，
所以GF⊥平面FBE.
方法二 如图，以D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
则B(4，4，0)，E(2，0，4)，F(2，4，4)，G(0，4，3)，
所以⃗EF=(0，4，0)，⃗EB=(2，4，-4)，⃗FG=(-2，0，-1)，
设平面FBE 的法向量为m=(a，b，c)，
则{
m·⃗EF = 4 b=0,
m·⃗EB =2a+ 4 b- 4 c =0,
令a=2，则b=0，c=1，
所以m=(2，0，1)，
易知⃗FG=-m，则⃗FG也是平面FBE 的一个法向量，
所以GF⊥平面FBE.
(2)解 同上方法二建立的空间直角坐标系，
则⃗EG=(-2，4，-1)，⃗BG=(-4，0，3)，
由(1)知⃗FG=(-2，0，-1)是平面FBE 的一个法向量，
设平面EBG 的法向量为n=(x，y，z)，
所以{
n·⃗EG =-2 x + 4 y - z =0,
n·⃗BG =- 4 x +3 z =0,
令x=6，则z=8，y=5，即n=(6，5，8)，
设平面FBE 与平面EBG 的夹角为α，
则cos α=|cos〈⃗FG，n〉|=|⃗FG·n|
|⃗FG||n|
=
20
√5×√125=4
5 ，即平面FBE 与平面EBG 夹角的余弦值为4
5 .
(3)解 因为EF⊥平面BCC1B1，FB⊂平面BCC1B1，
所以EF⊥FB，
易知S△FBE=1
2EF·FB=1
2×4×√4
2+2
2=4√5，
又D(0，0，0)，则⃗DE=(2，0，4)，故点D 到平面FBE 的距离为d=|⃗DE·⃗FG|
|⃗FG|
= 8
√5，
由棱锥的体积公式知V 三棱锥D-FBE=1
3S△FBE×d=1
3×4√5× 8
√5=32
3 .
18.(1)解 依题意，设椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的半焦距为c，
则左焦点F(-c，0)，右顶点A(a，0)，离心率e=c
a=1
2，即a=2c，
因为P 为x=a 上一点，设P(a，m)，
又直线PF 的斜率为1
3，
则m-0
a-(-c)= m
a+c =1
3，
即
m
2c +c =1
3，
解得m=c，则P(a，c)，即P(2c，c)，
因为△PFA 的面积为3
2，|AF|=a-(-c)=a+c=3c，高为|m|=c，
所以S△PFA=1
2|AF||m|=1
2×3c×c=3
2，
解得c=1，
则a=2c=2，b2=a2-c2=3，
所以椭圆的方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
(2)证明 由(1)可知，P(2，1)，F(-1，0)，A(2，0)，
易知直线PB 的斜率存在，设其方程为y=kx+t，
则1=2k+t，即t=1-2k，
联立{
y =kx +t ,
x
2
4 + y
2
3 =1,得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0，
因为直线PB 与椭圆有唯一交点，
所以Δ=(8kt)2-4(3+4k2)(4t2-12)=0，
即4k2-t2+3=0，
则4k2-(1-2k)2+3=0，
解得k=-1
2，则t=2，
所以直线PB 的方程为y=-1
2x+2，
联立{
y =- 1
2 x +2,
x
2
4 + y
2
3 =1,
解得{
x =1,
y = 3
2 ,则B(1，3
2)，
方法一 则⃗FB=(2，3
2)，⃗FP=(3，1)，⃗FA=(3，0)，
所以cos∠BFP=⃗
FB·⃗FP
|⃗FB||⃗FP|
=
2×3+ 3
2 ×1
√
2
2+(
3
2)
2
×√3
2+1
2
=3√10
10
，cos∠PFA=⃗
FA ·⃗FP
|⃗FA ||⃗FP|
=3×3+0×1
3√3
2+1
2 =3√10
10
，
则cos∠BFP=cos∠PFA，
又∠BFP，∠PFA∈(0，π
2)，
所以∠BFP=∠PFA，即PF 平分∠AFB.
方法二 所以kFB=
3
2 -0
1-(-1)
=3
4 ，kPF=
1-0
2-(-1)=1
3，kAF=0，
由两直线夹角公式，得tan∠BFP=|
3
4 - 1
3
1+ 1
3 × 3
4|
=1
3，tan∠PFA=|
1
3 -0
1+0|
=1
3，
则tan∠BFP=tan∠PFA，
又∠BFP，∠PFA∈(0，π
2)，
所以∠BFP=∠PFA，即PF 平分∠AFB.
方法三 则tan∠PFA=kPF=
1-0
2-(-1)=1
3，tan∠BFA=kFB=
3
2 -0
1-(-1)
=3
4 ，
故tan 2∠PFA= 2tan∠PFA
1-tan
2∠PFA =
2× 1
3
1-(
1
3)
2=3
4 =tan∠BFA，
又∠BFA，∠PFA∈(0，π
2)，
所以∠BFA=2∠PFA，即PF 平分∠AFB.
方法四 则kFB=
3
2 -0
1-(-1)
=3
4 ，
所以直线FB 的方程为y=3
4 (x+1)，即3x-4y+3=0，
则点P(2，1)到直线FB 的距离为d=
|3×2- 4×1+3|
√3
2+(- 4)
2
=1，
又点P 到直线FA 的距离也为1，所以PF 平分∠AFB.
19.(1)解 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，
由题意得{
2+d =2q+1,
2+2d =2q
2 ⇒{
d =3,
q =2,
所以an=2+3(n-1)=3n-1，bn=2×2n-1=2n.
(2)①证明 由(1)得pnanbn=(3n-1)2npn=0 或pnanbn=(3n-1)2n>0，an+1bn+1=(3n+2)2n+1，
当pnanbn=(3n-1)2n>0 时，
设Sn=p1a1b1+p2a2b2+…+pn-1an-1bn-1+pnanbn=2×2+5×22+…+(3n-4)2n-1+(3n-1)2n，
所以2Sn=2×22+5×23+…+(3n-4)2n+(3n-1)2n+1，
则-Sn=4+3×(22+23+…+2n)-(3n-1)2n+1=4+3×2
2(1-2
n-1)
1-2
-(3n-1)2n+1=-8+(4-3n)2n+1，
故Sn=8+(3n-4)2n+1为Tn中的最大元素，则t≤Sn，
此时an+1bn+1-Sn=(3n+2)2n+1-[8+(3n-4)2n+1]=6·2n+1-8>0 对∀n∈N*恒成立，
所以对任意实数t∈Tn，均有t<an+1bn+1.
②解 由①得Sn=8+(3n-4)2n+1为Tn中的最大元素，
由题意可得，Tn中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当p1，p2，…，pn-1，pn均为1 时，该系列元素只有Sn=8+(3n-4)2n+1，共有Cn
0个；
当p1，p2，…，pn-1，pn中只有一个为0，其余均为1 时，
该系列的元素有Sn-a1b1，Sn-a2b2，Sn-a3b3，…，Sn-anbn，共有Cn
1个，
则这n 个元素的和为Cn
1Sn-(a1b1+a2b2+…+anbn)=(Cn
1-Cn
0)Sn；
当p1，p2，…，pn-1，pn中有2 个为0，其余均为1 时，
该系列的元素为Sn-aibi-ajbj(i，j∈{1，2，…，n}，i≠j)，共有Cn
2个，
则这n 个元素的和为Cn
2Sn-Cn-1
1
(a1b1+a2b2+…+anbn)=(Cn
2-Cn-1
1
)Sn；
当p1，p2，…，pn-1，pn中有3 个为0，其余均为1 时，该系列的元素为Sn-aibi-ajbj-akbk(i，j，k∈{1，2，…，
n}，i≠j≠k)，共有Cn
3个，
则这n 个元素的和为Cn
3Sn-Cn-1
2
(a1b1+a2b2+…+anbn)=(Cn
3-Cn-1
2
)Sn；
…
当p1，p2，…，pn-1，pn中有n-1 个为0，1 个为1 时，该系列的元素为a1b1，a2b2，…，anbn，共有Cn
n-1个，
则这n 个元素的和为Cn
n-1Sn-Cn-1
n-2(a1b1+a2b2+…+anbn)=(Cn
n-1-Cn-1
n-2)Sn；
当p1，p2，…，pn-1，pn均为0 时，该系列的元素只有0，共有Cn
n个，
综上所述，Tn中的所有元素之和为
Sn+(Cn
1-1)Sn+(Cn
2-Cn-1
1
)Sn+(Cn
3-Cn-1
2
)Sn+…+(Cn
n-1-Cn-1
n-2)Sn+0
=[(Cn
0+Cn
1+…+Cn
n-1+Cn
n)-(Cn-1
0
+Cn-1
1
+…+Cn-1
n-2+Cn-1
n-1)]Sn
=(2n-2n-1)Sn=2n-1Sn=2n-1·[8+(3n-4)2n+1]=2n+2+(3n-4)22n.
20.(1)解 当a=1 时，f(x)=x-(ln x)2，x>0，
则f'(x)=1-2ln x
x
，则f'(1)=1，且f(1)=1，
即切点坐标为(1，1)，且切线的斜率为1，
故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x.
(2)①解 令f(x)=ax-(ln x)2=0，x>0，得a=(ln x)
2
x
，
设g(x)=(ln x)
2
x
，x>0，则g'(x)=
2ln x
x
· x -(ln x)
2
x
2
=(2- ln x)ln x
x
2
，
令g'(x)=0，解得x=1 或x=e2，
当0<x<1 时，g'(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减；
当1<x<e2时，g'(x)>0，g(x)在(1，e2)上单调递增；
当x>e2时，g'(x)<0，g(x)在(e2，+∞)上单调递减，
又当x→0 时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→0，g(1)=0，g(e2)= 4
e
2，
则作出函数g(x)的图象如图，
因为函数f(x)有3 个零点，
则方程a=g(x)在(0，+∞)内有3 个实数根，即直线y=a 与函数g(x)的图象有3 个交点.
结合图象可知，0<a< 4
e
2，
故a 的取值范围为(0，4
e
2)，
②证明 由图象可知，0<x1<1<x2<e2<x3，
设ln x1=t1，ln x2=t2，ln x3=t3，则t1<0<t2<2<t3，
满足{
ae
t1=t1
2,①
ae
t2=t2
2,②
ae
t3=t3
2,③
由②③可得{
ln a+t2=2ln t2,
ln a+t3=2ln t3,
两式作差可得t3-t2=2(ln t3-ln t2)，
则由对数均值不等式可得2=
t3-t2
ln t3- ln t2
>√t2t3，则t2t3<4，
故要证(ln x2-ln x1)·ln x3< 4 e
e -1，
即证t2t3-t1t3< 4 e
e -1，只需证4-t1t3≤4 e
e -1，
即证-t1t3≤4
e -1，
又因为t1<0，t1
2=ae
t1<a，则|t1|=-t1<√a，
所以-t1t3<√at3=
t3
2
e
t3
2
，故只需证
t3
2
e
t3
2
≤4
e -1，
设函数φ(t)=
t
2
e
t
2 ，t>2，
则φ'(t)=2t e
t
2 - 1
2 t
2e
t
2
e
t
=(2- 1
2 t)t
e
t
2
，令φ'(t)=0，得t=4，
当2<t<4 时，φ'(t)>0，则φ(t)在(2，4)上单调递增；
当t>4 时，φ'(t)<0，则φ(t)在(4，+∞)上单调递减，
故φ(t)max=φ(4)=16
e
2 ，即φ(t)≤16
e
2 .
而由4e2-16e+16=4(e-2)2>0，得16(e-1)<4e2，
可知16
e
2 < 4
e -1成立，故命题得证.
