文档文本内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷 回忆版）
数学
本试卷分第1 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟.第1
卷1 至3 页第Ⅱ卷4 至6 页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回.在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！
第I 卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9 小题，每小题5 分，共45 分.
参考公式：
·如果事件
互斥，那么
·如果事件
相互独立，那么
·棱柱的体积公式
，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．
·圆锥的体积公式
，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 设
，则“
”是“
”
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 若m 为直线，
为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，则
5. 下列说法中错误的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，
，则
C.
越接近1，相关性越强
D.
越接近0，相关性越弱
6.
，则数列
的前
项和为（ ）
A. 112
B. 48
C. 80
D. 64
7. 函数
的零点所在区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.
，在
上单调递增，且
为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值为（ ）
A.
B.
C. 1
D. 0
9. 双曲线
的左、右焦点分别为
，以右焦点
为焦点的抛物线
与双曲线交于第一象限的点P，若
，则双曲线的离心率
（
）
A. 2
B. 5
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11 小题，共105 分．
二、填空题：本大题共6 个小题，每小题5 分，共30 分．
10. 已知i
虚数单位，则
________．
11. 在
的展开式中，
项的系数为________．
12
，与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与
交于C、D 两点，
，则
_________．
13. 小桐操场跑圈，一周2 次，一次5 圈或6 圈.第一次跑5 圈或6 圈的概率均为0．5，若第一次跑5 圈，则
第二次跑5 圈的概率为0．4，6 圈的概率为0．6；若第一次跑6 圈，则第二次跑5 圈的概率为0．6，6 圈
的概率为0．4．小桐一周跑11 圈的概率为________；若一周至少跑11 圈为动量达标，则连续跑4 周，记
合格周数为X，则期望
_______
14.
中，D 为AB 边中点，
，则
______（用
，
表示），若
，
，则
_______
15. 若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为_______
三、解答题：本大题共5 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
（1）求A 的值；
（2）求c 的值；
（3）求
的值．
17. 正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（3）求三棱锥
的体积．
18. 已知椭圆
的左焦点为F，右顶点为A，P 为
上一点，且直线
的斜率为
，
的面积为
，离心率为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P
直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF 平分
.
19. 已知数列
等差数列，
是等比数列，
．
（1）求
，
的通项公式；
（2）
，
，有
，
（i）求证：对任意实数
，均有
;
（ii）求
所有元素之和．
20. 已知函数
（1）
时，求
在点
处的切线方程；
（2）
有3 个零点，
且
.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明
．
